山东省济南市历城职业中等专业学校2022-2023学年高一下学期第二次月考数学试卷

这是一份山东省济南市历城职业中等专业学校2022-2023学年高一下学期第二次月考数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）实数λ与向量的乘积λ是（ ）
A．一个实数B．一个实数或一个向量
C．一个向量D．一个实数且一个向量
2．（3分）角α＝1785°，那么角α是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
3．（3分）在0°～360°之间，下列与角﹣120°终边相同的角是（ ）
A．240°B．250°C．270°D．120°
4．（3分）角α＝﹣30°，将其终边绕原点按逆时针方向旋转1圈，所得角α＝（ ）
A．150°B．330°C．30°D．180°
5．（3分）已知角α是锐角，则角2α是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角
C．小于180°的正角D．不大于直角的正角
6．（3分）若非零向量与满足，则k的值是（ ）
A．±1B．0C．3D．2
7．（3分）已知向量表示“向东航行1km”，向量表示“向南航行1km”，则向量表示的含义是（ ）
A．向东南航行2kmB．向东南航行km
C．向东北航行2kmD．向东北航行km
8．（3分）已知向量，则的关系是（ ）
A．B．C．D．
9．（3分）已知sinαcsα＞0，则α为（ ）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第一象限角或第三象限角
D．以上都不对
10．（3分）如果，那么tanα的值为（ ）
A．﹣2B．2C．D．
11．（3分）如果，则sinα＝（ ）
A．B．C．1D．﹣1
12．（3分）已知2+2＝4且有2＝2，则与的关系是（ ）
A．B．C．D．
13．（3分）已知角A是三角形的一个内角，则下列正确的是（ ）
A．csA＞0B．csA＜0C．sinA＞0D．sinA＜0
14．（3分）函数y＝sin2x的最小正周期为（ ）
A．B．2πC．πD．1
15．（3分）y＝3+sinx的最大值和最小值分别是（ ）
A．4，2B．3，1C．1，﹣1D．2，1
16．（3分）sin（﹣1230°）等于（ ）
A．﹣B．﹣C．4D．﹣4
17．（3分），且α是第一象限角，则其余弦等于（ ）
A．B．C．D．
18．（3分）设，α为第二象限角，则csα＝（ ）
A．B．C．D．
19．（3分）已知平行四边形ABCD，点E，F分别是AB，BC的中点（如图所示），设＝，＝则等于（ ）
A．B．C．D．
20．（3分）在△ABC中，已知＝3，则等于（ ）
A．（+2 ）B．（+2 ）
C．（+3 ）D．（+2 AB）
二．填空题。（每小题4分，共20分，把答案填在每小题的横线上）
21．（4分）在△ABC中，++＝ ．
22．（4分）化简：＝ ．
23．（4分）﹣+＝ ．
24．（4分）在矩形ABCD中，||＝3，||＝4，则||＝ ．
25．（4分）y＝2+sinx的最大值是 ，请写出一个它的最大值点的横坐标：x＝ ．
三、解答题。（解答应写出推理步骤，共40分）
26．（8分）计算：．
27．（8分）按要求完成以下题目：
（1）写出y＝2sinx的最大值和最小值；
（2）不计算，比较cs45°与cs60°两余弦值的大小；
（3）不计算，比较sin10°与sin250°两正弦值的大小；
（4）将75°化为弧度制．
28．（8分）求半径为1m的圆中，60°的圆心角所对的弧的长度．
29．（8分）化简：
（1）（1−sinα）（1+sinα）；
（2）．
30．（8分）已知函数，试用语言说明y＝sinx的图像经过怎样的变换可以得到函数的图像？
2022-2023学年山东省济南市历城职业中等专业学校高一（下）第二次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题。（每小题3分，共60分，在每小题列出的选项中，只有一项符合题目要求，请将该选项选出，并将前面的代号填在后面的括号内）
1．（3分）实数λ与向量的乘积λ是（ ）
A．一个实数B．一个实数或一个向量
C．一个向量D．一个实数且一个向量
【分析】由平面向量数乘的定义即可判断。
【解答】解：实数与向量的乘积是向量，向量与向量的乘积是实数，
故选：C。
2．（3分）角α＝1785°，那么角α是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
【分析】根据终边相同角的定义，由1785°＝360°×4+345°可知1785°与345°终边相同，故由345°是第四象限角可得1785°是第四象限角。
【解答】解：∵1785°＝360°×4+345°，
∴1785°与345°终边相同，
∵345°是第四象限角，∴1785°是第四象限角，
故选：D。
3．（3分）在0°～360°之间，下列与角﹣120°终边相同的角是（ ）
A．240°B．250°C．270°D．120°
【分析】根据终边相同的角即可求解．
【解答】解：∵与角−120°终边相同的角α＝﹣120°+360°•k，k∈Z，
又∵α在0°～360°之间，
∴当k＝1时，α＝240°，符合题意．
故选：A．
4．（3分）角α＝﹣30°，将其终边绕原点按逆时针方向旋转1圈，所得角α＝（ ）
A．150°B．330°C．30°D．180°
【分析】根据逆时针旋转的角为正角，可得将角α＝﹣30°的终边绕原点按逆时针方向旋转1圈得﹣30°+360°＝330°。
【解答】解：由任意角的定义可知，逆时针旋转的角为正角，
故将角α＝﹣30°的终边绕原点按逆时针方向旋转1圈得﹣30°+360°＝330°，
故选：B。
5．（3分）已知角α是锐角，则角2α是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角
C．小于180°的正角D．不大于直角的正角
【分析】由角α是锐角，得0°＜α＜90°，从而得到0°＜2α＜180°。
【解答】解：由角α是锐角，得0°＜α＜90°，
∴0°＜2α＜180°，
故选：C。
6．（3分）若非零向量与满足，则k的值是（ ）
A．±1B．0C．3D．2
【分析】根据向量的数乘及模长可知＝|k|||，再由|k|||＝||，可得|k|＝1，从而得出k＝±1。
【解答】解：∵＝|k|||，
∴由可得|k|||＝||，
∴|k|＝1，
∴k＝±1，
故选：A。
7．（3分）已知向量表示“向东航行1km”，向量表示“向南航行1km”，则向量表示的含义是（ ）
A．向东南航行2kmB．向东南航行km
C．向东北航行2kmD．向东北航行km
【分析】根据向量表示“向东航行1km”，向量表示“向南航行1km”可知与的夹角为90°，且＝1，＝1，则由向量加法可知向量表示的含义是向东南航行了km。
【解答】解：由题意可得与的夹角为90°，且＝1，＝1，
则||＝＝＝，
∴向量表示的含义是向东南航行了km，
故选：B。
8．（3分）已知向量，则的关系是（ ）
A．B．C．D．
【分析】联立方程组，消去即可求得与的关系。
【解答】解：由3＝2，得6＝9﹣3，
由2+2＝3得6＝4+2，
∴﹣9﹣3＝4+2，∴5＝5，
∴＝，
故选：A。
9．（3分）已知sinαcsα＞0，则α为（ ）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第一象限角或第三象限角
D．以上都不对
【分析】由sinαcsα＞0可知sinα，csα同号，再由当α为第一象限角时sinα，csα同为正，α为第三象限角时sinα，csα同为负即可判断。
【解答】解：由sinαcsα＞0，
得或，
当时，α为第一象限角；
当，时，α为第三象限角，
故α为第一或第三象限角，
故选：C。
10．（3分）如果，那么tanα的值为（ ）
A．﹣2B．2C．D．
【分析】根据同角三角函数的基本关系，将方程左边分子分母同时除以csα进行弦切的转化，再求解关于tanα的方程即可。
【解答】解：，
，
＝﹣5，
∴tanα＝﹣，
故选：D。
11．（3分）如果，则sinα＝（ ）
A．B．C．1D．﹣1
【分析】根据诱导公式sin（π+α）＝﹣sinα即可得到sinα＝﹣。
【解答】解：由，
得﹣sinα＝﹣，
∴sinα＝，
故选：A。
12．（3分）已知2+2＝4且有2＝2，则与的关系是（ ）
A．B．C．D．
【分析】联立方程组2+2＝4，2＝2，消去即可求得与的关系。
【解答】解：由2＝2，得4＝4﹣2，
∴2+2＝4＝4﹣2，
∴﹣2＝﹣4，∴＝2，
故选：B。
13．（3分）已知角A是三角形的一个内角，则下列正确的是（ ）
A．csA＞0B．csA＜0C．sinA＞0D．sinA＜0
【分析】根据A∈（0，π），再由各象限角的三角函数的符号进行判断即可。
【解答】解：∵角A是三角形的一个内角，∴A∈（0，π），
即A有可能是第一象限角也有可能是第二象限角，
当A为第一象限角时，csA＞0，sinA＞0，
当A为第二象限角时，csA＜0，sinA＞0，
故选：C。
14．（3分）函数y＝sin2x的最小正周期为（ ）
A．B．2πC．πD．1
【分析】利用正弦函数的周期公式可得答案。
【解答】解：函数y＝sin2x的最小正周期为T＝＝π，
故选：C。
15．（3分）y＝3+sinx的最大值和最小值分别是（ ）
A．4，2B．3，1C．1，﹣1D．2，1
【分析】因为函数y＝sinx的值域为[﹣1，1]，因此函数y＝3+sinx的值域为[2，4]。
【解答】解：∵函数y＝sinx的值域为[﹣1，1]，
∴函数y＝3+sinx的值域为[2，4]，
故选：A。
16．（3分）sin（﹣1230°）等于（ ）
A．﹣B．﹣C．4D．﹣4
【分析】根据诱导公式以及特殊角的三角函数值即可求解．
【解答】解：sin（﹣1230°）＝sin（210°﹣4×360°）＝sin210°＝sin（180°+30°）＝﹣sin30°＝﹣．
故选：A．
17．（3分），且α是第一象限角，则其余弦等于（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据同角三角函数的基本关系sin2α+cs2α＝1即可求出csα.
【解答】解：由，且α是第一象限角，
得csα＝＝，
故选：A。
18．（3分）设，α为第二象限角，则csα＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据同角三角函数的基本关系sin2α+cs2α＝1进行求解即可。
【解答】解：由，α为第二象限角，
得＝﹣，
故选：A。
19．（3分）已知平行四边形ABCD，点E，F分别是AB，BC的中点（如图所示），设＝，＝则等于（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据四边形ABCD是平行四边形及点E，F分别是AB，BC的中点，可得＝，＝＝，再由向量的加法即可得＝+＝+＝+＝（）。
【解答】解：因为点E，F分别是AB，BC的中点，
＝，＝，
又因为四边形ABCD是平行四边形，∴＝，
∴＝＝，
∴＝+＝+＝+＝（），
故选：A。
20．（3分）在△ABC中，已知＝3，则等于（ ）
A．（+2 ）B．（+2 ）
C．（+3 ）D．（+2 AB）
【分析】根据向量加法的三角形法则＝+，结合＝3可得＝+，再根据＝，代入即可得＝+（）＝+＝（2）。
【解答】解：∵＝3，∴＝，
∴＝+＝+＝+（）＝+＝（2），
故选：A。
二．填空题。（每小题4分，共20分，把答案填在每小题的横线上）
21．（4分）在△ABC中，++＝ ．
【分析】根据向量加法的三角形法则进行计算即可。
【解答】解：++＝+＝，
故答案为：。
22．（4分）化简：＝ 2+2μ ．
【分析】根据向量的线性运算对原式去括号进行计算即可。
【解答】解：原式＝+λ+μ+μ+﹣λ﹣μ+μ＝2+2μ，
故答案为：2+2μ。
23．（4分）﹣+＝ ．
【分析】根据向量的减法运算“减去一个向量等于加上这个向量的相反向量”将原式子化成++，再根据向量的加法的三角形法则进行计算即可。
【解答】解：﹣+＝++＝++＝+＝，
故答案为：。
24．（4分）在矩形ABCD中，||＝3，||＝4，则||＝ 5 ．
【分析】根据四边形ABCD为矩形，可得AC＝＝5，从而可得||＝5。
【解答】解：因为四边形ABCD为矩形，||＝3，||＝4，
∴AC＝＝5，
∴||＝5，
故答案为：5.
25．（4分）y＝2+sinx的最大值是 3 ，请写出一个它的最大值点的横坐标：x＝ ．
【分析】因为函数y＝sinx的值域为[﹣1，1]，因此函数y＝2+sinx的值域为[1，3]，因此y＝2+sinx的最大值是3；因为当x＝+2kπ，k∈Z时，函数y＝2+sinx取最大值，因此当k＝0时，x＝是函数取最大值点的一个横坐标。
【解答】解：函数y＝sinx的值域为[﹣1，1]，
∴函数y＝2+sinx的值域为[1，3]，
∴y＝2+sinx的最大值是3，
当x＝+2kπ，k∈Z时，函数y＝2+sinx取最大值，
当k＝0时，x＝，
故答案为：3，。
三、解答题。（解答应写出推理步骤，共40分）
26．（8分）计算：．
【分析】根据特殊角的三角函数值进行计算即可。
【解答】解：原式＝+×＝＝1.
27．（8分）按要求完成以下题目：
（1）写出y＝2sinx的最大值和最小值；
（2）不计算，比较cs45°与cs60°两余弦值的大小；
（3）不计算，比较sin10°与sin250°两正弦值的大小；
（4）将75°化为弧度制．
【分析】（1）根据函数解析式y＝2sinx可知ymax＝2，ymin＝﹣2；
（2）由当0°＜x＜180°时，y＝csx单调递减即可判断；
（3）由sin250°＝sin（180°+70°）＝﹣sin70°＜0，sin10°＞0即可判断；
（4）根据πrad＝180°即可进行角度与弧度的互化。
【解答】解：（1）ymax＝2，ymin＝﹣2；
（2）∵当0°＜x＜180°时，y＝csx单调递减，
∴cs45°＞cs60°；
（3）∵sin250°＝sin（180°+70°）＝﹣sin70°＜0，sin10°＞0，
∴sin10°＞sin250°；
（4）75°＝＝.
28．（8分）求半径为1m的圆中，60°的圆心角所对的弧的长度．
【分析】根据扇形的弧长公式l＝|α|r（α为圆心角的弧度数）进行求解即可。
【解答】解：设扇形的弧长为l，∵60°＝，
∴l＝1×＝，
∴60°的圆心角所对的弧的长度为m。
29．（8分）化简：
（1）（1−sinα）（1+sinα）；
（2）．
【分析】（1）对原式去括号再根据同角三角函数的基本关系sin2α+cs2α＝1进行化简即可；
（2）根据二倍角公式cs2α＝1﹣2sin2α＝2cs2α﹣1进行化简即可。
【解答】解：（1）原式＝1﹣sin2α＝cs2α；
（2）原式＝＝1.
30．（8分）已知函数，试用语言说明y＝sinx的图像经过怎样的变换可以得到函数的图像？
【分析】根据函数图像的平移满足“左加右减”，函数y＝Asinωx横坐标的伸缩满足当横坐标缩短为原来的时，ω会变成原来的2倍，纵坐标的伸缩满足纵坐标扩大为原来的2倍时，A会变成原来的2倍，故只需将函数y＝sinx先向右平移个单位，再把横坐标缩短为原来的，纵坐标扩大为原来的2倍，即可得到y＝2sin（2x﹣）.
【解答】解：将函数y＝sinx先向右平移个单位，再把横坐标缩短为原来的，纵坐标扩大为原来的2倍，
则可得y＝2sin（2x﹣）.