高中北师大版 (2019)3.2 对数函数y=log2 x的图像和性质课时训练

课时作业(二十五)　对数函数y＝logax的图象和性质

1．已知函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)在区间[－2,2]上的函数值总小于2，则log2a的取值范围是(　　)

A．∪

B．∪

C．∪

D．∪

答案：C　

解析：若a＞1，则f(x)在[－2,2]上是增函数，

∴f(x)max＝a2＜2，∴1＜a＜，∴0＜log2a＜.

若0＜a＜1，则f(x)在[－2,2]上是减函数，

∴f(x)max＝a－2<2，∴＜a＜1，∴－＜log2a＜0.

综上，log2a∈∪.故应选C．

2．设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则(　　)

A．c＞b＞a          B．b＞c＞a

C．a＞c＞b          D．a＞b＞c

答案：D　

解析：∵0<log23<log25<log27，∴>>>0，可得log32>log52>log72，∴log32＋1>log52＋1>log72＋1，即可得log36>log510>log714，

∴a>b>c，故应选D．

3．指数函数y＝ax过点(2,4)，则其反函数的解析式为(　　)

A．y＝log4x     B．y＝2x

C．y＝4x        D．y＝log2x

答案：D　

解析：∵y＝ax过点(2,4)，∴4＝a2，∴a＝2，由反函数定义知，y＝2x的反函数为y＝log2x.故应选D．

4．已知f(x)＝loga|x－1|在(0,1)上单调递减，那么f(x)在(1，＋∞)上是(　　)

A．单调递增，无最大值        

B．单调递减，无最大值

C．单调递增，有最大值        

D．单调递减，有最小值

答案：A　

解析：∵0<x<1，∴|x－1|＝1－x，∴a>1，

∴f(x)在(1，＋∞)上单调递增，无最大值．故应选A．

5．若函数f(x)＝若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－1,0)∪(0,1)

B．(－∞，－1)∪(0，＋∞)

C．(－1,0)∪(1，＋∞)

D．(－∞，－1)∪(0,1)

答案：C　

解析：当x＞0时，f(x)＝log2x，－x＜0，

f(－x)＝log[－(－x)]＝logx＝－log2x＝－f(x)，同理可以证明当x＜0时，也有f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，所以f(a)＞f(－a)＝－f(a)，即f(a)＞0.

综上，实数a的取值范围是(－1,0)∪(1，＋∞)．

6．函数f(x)＝lg(x2－ax－1)在区间(1，＋∞)上是增函数，则a的取值范围为________．

答案：(－∞，0]　

解析：要使f(x)＝lg(x2－ax－1)在(1，＋∞)上是增函数，则需满足

解得a≤0.即a的取值范围是(－∞，0]．

7．如果一个函数f(x)满足下面两个条件：①对任意x，y∈(0，＋∞)，都有f(x·y)＝f(x)＋f(y)；②f(x)在(0，＋∞)上是增函数，试写出一个满足上述条件的函数：__________________________.

答案：f(x)＝log2x(答案不唯一)

解析：同时满足这两个条件“递增的对数函数”．

8．函数f(x)＝log3(4x－x2)的单调递增区间是________．

答案：(0,2]　

解析：由4x－x2＞0，得0＜x＜4，

函数y＝log3(4x－x2)的定义域为(0,4)．

令u＝4x－x2＝－(x－2)2＋4，

当x∈(0,2]时，u＝4x－x2是增函数，

当x∈(2,4)时，u＝4x－x2是减函数．

又∵y＝log3u是增函数，

∴函数y＝log3(4x－x2)的单调递增区间为(0,2]．

9．若不等式x2－logmx＜0在内恒成立，求实数m的取值范围．

解：由x2－logmx＜0，得x2＜logmx.

在同一坐标系中作y＝x2和y＝logmx的图象，

要使x2＜logmx在内恒成立，只需y＝logmx在内的图象在y＝x2的上方，于是0＜m＜1，如下图．

∵当x＝时，y＝x2＝，

∴只要x＝时，y＝logm≥＝logmm.

∴≤m，即≤m.

又0＜m＜1，∴≤m＜1.

故所求m的取值范围是.

10．已知f(x)＝2＋log3x，x∈[1,9]，求y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值及y取最大值时x的值．

解：∵f(x)＝2＋log3x，

∴y＝[f(x)]2＋f(x2)

＝(2＋log3x)2＋(2＋log3x2)

＝(log3x)2＋6log3x＋6

＝(log3x＋3)2－3.

∵函数f(x)的定义域为[1,9]，

∴要使函数y＝[f(x)]2＋f(x2)有定义，

必须

∴1≤x≤3，∴0≤log3x≤1.

令u＝log3x，则0≤u≤1.

又函数y＝(u＋3)2－3在[－3，＋∞)上是增函数，

∴当u＝1时，函数y＝(u＋3)2－3有最大值13.

即当log3x＝1，即x＝3时，函数y＝[f(x)]2＋f(x2)有最大值13.

11．已知x满足不等式－3≤logx≤－，求函数f(x)＝·的最大值和最小值．

解：由－3≤logx≤－，得≤x≤8，

∴≤log2x≤3.

∵f(x)＝(log2x－2)(log2x－1)

＝2－，

∴当log2x＝，即x＝2时，f(x)有最小值－；

当log2x＝3，即x＝8时，f(x)有最大值2.

12．已知f(x)＝loga(a－ax)(a＞1)．

(1)求f(x)的定义域、值域；

(2)判断f(x)的单调性，并证明．

解：(1)为使函数有意义，需满足a－ax＞0，即ax＜a.

又∵a＞1，∴x＜1，

即定义域为(－∞，1)．

又loga(a－ax)＜logaa＝1，

∴f(x)＜1，即值域为(－∞，1)．

(2)f(x)为减函数．证明如下：

设任意x1＜x2＜1，

则f(x1)－f(x2)＝loga(a－ax1)－loga(a－ax2)

＝loga＞loga1＝0，

即f(x1)＞f(x2)．∴f(x)为减函数．