高中数学北师大版 (2019)必修 第一册3.3 对数函数y=loga x的图像和性质课堂检测

【基础】3.3 对数函数y=logax的图象和性质-2作业练习

一．填空题

1．若实数x，y满足，则的最小值为___________．

2．光线通过某种玻璃时，强度损失，要使光线强度减弱到原来的以下，至少需要____________块这样的玻璃（参考数据）.

3．若， 则_________．

4．若函数的值域为，则实数的取值范围是______.

5．函数在上是单调递增的，则实数的范围是_________．

6．函数的定义域是________．

7．等于_________．

8．函数在定义域内存在区间，，满足在，上的值域为，，则实数的取值范围是___________.

9．已知实数，满足，，则的最小值为________．

10．函数的图像恒过定点的坐标为_________.

11．给定，则使乘积为整数的称为“和谐数”，则在区间内的所有“和谐数”的和为_______.

12．若，，则__________．

13．若，，则________.

14．函数的定义域是__________.

15．已知函数，其定义域为，若函数在其定义域内有反函数，则实数的取值范围是________

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】分析：由对数的运算性质可求出的值，再由基本不等式计算即可得答案．

详解：由题意，

得：，

则（当且仅当时，取等号）．

故答案为：

2．【答案】

【解析】分析：设需要块这样的玻璃，根据题意可得出关于的不等式，求得的取值范围，进而可求得结果.

详解：设需要块这样的玻璃，由题意可得，可得，

而，

，因此，至少需要块这样的玻璃.

故答案为：.

3．【答案】

【解析】分析：由对数与指数的互化以及对数的运算即可求解.

详解：解：，，

，，

，

.

故答案为：.

4．【答案】

【解析】分析：问题转化为可以取所有正数，且，由分类讨论和基本不等式可得.

详解：∵函数的值域为，

，且，

当时，，

故只需即可，

解不等式可得，

综上可得的取值范围为：且.

故答案为：.

【点睛】

本题考查对数函数的性质，涉及恒成立问题和基本不等式求最值，属中档题.

5．【答案】

【解析】分析：分析出内层函数为增函数，可得出外层函数为增函数，再由可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.

详解：由于且，则内层函数在区间上为增函数 ，

由于函数在上是单调递增的，则外层函数为增函数，.

由题意可知，对任意的，恒成立，即，解得.

因此，实数的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】

关键点点睛：本题的解题关键：

（1）对底数分类讨论；

（2）利用复合函数的单调性“同增异减”，并结合内层函数的单调性分析出外层函数的单调性；

（3）不要忽略了真数要恒大于零.

6．【答案】

【解析】分析：求出不等式的解可得函数的定义域.

详解：由题设可得即，故函数的定义域为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查函数的定义域，一般从以下几个方面考虑：

（1）分式的分母不为零；

（2）偶次根号（，为偶数）中，；

（3）零的零次方没有意义；

（4）对数的真数大于零，底数大于零且不为1.

7．【答案】6

【解析】分析：根据指数和对数的运算性质计算即可.

详解：由题意，根据对数的运算性质，可得：

.

故答案为：6.

8．【答案】

【解析】分析：利用对数函数的一般性质对进行化简，然后根据给定区间的增减性及正负性先确定，的取值范围，再利用恒成立问题进行求解.

详解：，

由题意可知：，

则在区间，上是递减的，

所以在区间，上的值域为(b)，(a)，

所以，

所以，

所以，

因为，

所以，

因为，

所以，

因为，，

所以，

因为，

所以.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了对数相关性质，不等式的相关内容，综合性较强，属于中档题.

9．【答案】4

【解析】分析：先根据已知条件可得，再根据基本不等式可求得结果.

详解：因为且，所以，即，

所以，

所以，

所以，当且仅当时，等号成立，

故答案为：4.

【点睛】

本题考查了对数的性质，考查了利用基本不等式求最值，属于基础题.

10．【答案】(1,2)

【解析】分析：令真数，求出的值和此时的值即可得到定点坐标．

详解：令得：，

此时，

所以函数的图象恒过定点，

故答案为：．

11．【答案】2026

【解析】分析：根据换底公式把代入并且化简，转化为为整数，即，，可求得区间内的所有“和谐数”的和.

详解：由换底公式：，

得

为整数，

∴，，

分别可取，

最大值，则最大可取10，

故所有“和谐数”的和为.

故答案为：2026.

【点睛】

考查数列的综合应用及对数的换底公式，把化简并且转化为对数的运算，体现了转化的思想，属中档题.

12．【答案】

【解析】分析：由指对关系，把指数式转化为对数式，利用对数的运算法则进行计算．

详解：，.又，.

【点睛】

本题考查指数与对数的关系及对数的运算，属于基础题．

13．【答案】1

【解析】分析：根据对数运算与指数运算是互为逆运算，求出，再利用换底公式求出与，进行对数运算可求.

详解：又，

.

故答案为：1

【点睛】

本题主要考查了指数与对数的互化，考查了对数的运算公式及换底公式，熟练运用换底公式化同底数的对数是进行对数运算的关键.

14．【答案】

【解析】分析：根据对数真数大于零．偶次根式底数不小于零可构造不等式组求得结果.

详解：由题意得：，，解得：，

的定义域为.

故答案为：.

15．【答案】

【解析】分析：由函数，其对称轴为，且开口向上，所以若，在为减函数，在为增函数，结合本题目给定的定义域进行分段讨论，从而可求出实数t的取值范围.

详解：函数，其对称轴为，且开口向上，

所以若，在为减函数，在为增函数，

 若，即，则在定义域上单调递增，所以具有反函数；

 若，即，则在定义域上单调递减，所以具有反函数；

 当，即时，由于区间关于对称轴的对称区间是，

于是当或，即或时，

函数在定义域上满足一一对应关系，具有反函数．

综上，的取值范围是．

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查了函数的单调性．对称性．反函数，以及分段函数的定义域．值域等有关方面的知识与技能，属于中档题型，也是常考题型.若要求一函数的反函数，首先要求出此函数的单调区间，最好求出对应的值域，然后在各个单调区间进行运算求解，并将x，y进行互换，定义域与值域互换，从而得到反函数.