高中数学北师大版 (2019)必修 第一册2.2 用函数模型解决实际问题同步练习题
展开课时作业(二十八) 实际问题中的函数模型
1.某地区的绿化面积平均每年比上一年增长10.4%,若按此速度,经过x年后的绿化面积与现在的绿化面积之比为y,则y=f(x)的大致图象为( )
答案:D
解析:设现有绿化面积为1,则y=(1+10.4%)x=1.104x为指数函数.
故应选D.
2.某人若以每股17.25元购进股票一万股,一年后以每股18.96元销售,该银行月利率为0.8%,按月计复利,为获取最大利润,某人应将钱[(1+0.8%)12≈1.100 34]( )
A.全部购股票
B.全部存入银行
C.部分购股票,部分存银行
D.购股票或存银行均一样
答案:B
解析:买股票利润:x=(18.96-17.25)×10 000,存银行利润:y=17.25×10 000×(1+0.8%)12-17.25×10 000,计算得x<y.
故应选B.
3.某种产品成本原来为m元,现通过某种措施使成本每年比上年降低p%,则成本y与年数x的函数关系式是( )
A.y=mx(1-p%) B.y=(1-m·p%)x
C.y=m(1-p%)x D.y=(m-m·p%)x
答案:C
解析:一年后成本y1=m(1-p%);
二年后成本y2=y1(1-p%)=m(1-p%)2;
三年后成本y3=y2(1-p%)=m(1-p%)3;
……
∴x年后成本y=m(1-p%)x.
故应选C.
4. 如图所示,向放在水槽底部的烧杯注水(流量一定),注满烧杯后,继续注水,直至注满水槽,水槽中水面上升高度h与注水时间t之间的函数关系大致是下列图象中的( )
答案:B
解析:开始一段时间,水槽底部没有水,烧杯满了之后,水槽中水面上升先快后慢,与B图象相吻合.
5.今有一组数据如下:
t | 1.99 | 3.0 | 4.0 | 5.1 | 6.12 |
v | 1.5 | 4.40 | 7.5 | 12 | 18.01 |
现准备了如下四个函数,最接近这组数据的函数是( )
A.v=log2t B.v=logt
C.v= D.v=2t-2
答案:C
解析:将t的5个数值代入这四个函数,大体估算一下,很容易发现v=的函数比较接近表中v的5个数值.
6.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y=3 000+20x-0.1x2(0<x<240,x∈N+),若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是________.
答案:150台
解析:∵销售收入为25x,
∴纯利润t=25x-y=0.1x2+5x-3 000≥0,
即(x+200)(x-150)≥0,
∴x≥150.
7.某工厂生产某种产品的固定成本为2 000万元,每生产一单位产品,成本增加10万元,又知总收入K是产品数Q的函数,K(Q)=40Q-Q2,则总利润L(Q)的最大值是________万元.
答案:2 500
解析:总利润L(Q)=40Q-Q2-10Q-2 000=-Q2+30Q-2 000,
当Q=-=300时,L(Q)最大.
L(Q)max=-×3002+30×300-2 000=2 500(万元).
8.据某校环保小组调查,某区垃圾量的年增长率为b,2016年产生的垃圾量为a吨,由此预测该区2021年的垃圾量应为________吨.
答案:a(1+b)5
解析:下一年的垃圾量为a(1+b)吨,从2016年开始经过5年到2021年时该区的垃圾量应为a(1+b)5吨.
9.某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元,每生产一台仪器需增加投入100元.已知总收益满足函数:R(x)=其中x是仪器的月产量.
(1)将利润表示为月产量的函数f(x);
(2)当月产量为何值时,公司获利润最大?最大利润为多少元?(总收益=总成本+利润)
解:(1)月产量为x台,则总成本为20 000+100x,从而f(x)=
(2)当0≤x≤400时,f(x)=-(x-300)2+25 000,
∴当x=300时,有最大值25 000;
当x>400时,f(x)=60 000-100x是减函数,
又f(400)=20 000<25 000,
∴当x=300时,f(x)的最大值为25 000元.
综上知,当月产量为300台时,公司获利润最大.最大利润为25 000元.
10.已知桶1与桶2通过水管相连,如图所示.开始时桶1中有a L水,t min后剩余的水符合指数衰减函数y1=ae-nt,那么桶2中的水就是y2=a-ae-nt,假定5 min后,桶1中的水与桶2中的水相等,那么再过多长时间桶1中的水只有 L?
解:由题意,得
ae-5n=a-ae-5n,即e-5n=.①
设再过t min后桶1中的水有L,
则ae-n(t+5)=,e-n(t+5)=.②
将①平方,得e-10n=,③
比较②③得-n(t+5)=-10n,
∴t=5.
即再过5 min后桶1中的水只有L.
11.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初上市后,公司经历了从亏损到盈利的过程,下面的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润S(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和S与t之间的关系).
根据图象提供的信息解答下列问题:
(1)由已知图象上的三点坐标,求累积利润S(万元)与时间t(月)之间的函数关系式;
(2)求截止到第几个月末公司累积利润可达到30万元;
(3)求第八个月公司所获利润是多少万元.
解:(1)由二次函数图象,设S与t的函数关系式为S=at2+bt+c.
由题意,得
解得a=,b=-2,c=0,
∴所求函数关系式为S=t2-2t.
(2)把S=30代入函数关系式,得30=t2-2t,
解得t1=10,t2=-6(舍去),
所以截止到第10个月末公司累积利润可达到30万元.
(3)把t=7代入函数关系式,得
S=×72-2×7=10.5(万元),
把t=8代入函数关系式,得
S=×82-2×8=16(万元),
则第八个月获得的利润为16-10.5=5.5(万元),
∴第八个月公司所获利润是5.5万元.
12.某家庭今年一月份、二月份和三月份煤气用量和支付费用见下表.
该市煤气收费的方法是:
煤气费=基本费+超额费+保险费.
若每月用量不超过最低限度A m3,只付基本费3元和每户每月的定额保险C元;若用气量超过A m3,超过部分每立方米付B元.又知保险费C不超过5元,求A,B,C的值.
解:设煤气用量为x(m3),支付费用为y(元),根据题设条件得y与x的函数关系式为
y=
由0<C≤5有C+3≤8.
从表格中看此家庭第二、第三月份的费用均大于8元,故用气量25 m3,35 m3均大于最低限度A m3,
将x=25,x=35分别代入②,得
④-③得B=0.5,代入③得,
A=2C+3.⑤
再分析一月份的用气量是否超过最 低限度,不妨设A<4,将x=4代入②,得
3+0.5[4-(3+2C)]+C=4,
3.5-C+C=4,3.5=4矛盾.
∴A≥4,一月份付款方式选①.
∴3+C=4,即C=1,代入⑤得A=5.
∴A=5,B=0.5,C=1.
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