广东省广州市2022年中考数学试卷【含答案】

2022年广东省广州中考数学

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．）

1．如图是一个几何体的侧面展开图，这个几何体可以是（　　）

A．圆锥 B．圆柱 C．棱锥 D．棱柱

2．下列图形中，是中心对称图形的是（　　）

A．     B．   C．     D．

3．代数式有意义时，x应满足的条件为（　　）

A．x≠﹣1 B．x＞﹣1 C．x＜﹣1 D．x≤﹣1

4．点（3，﹣5）在正比例函数y＝kx（k≠0）的图象上，则k的值为（　　）

A．﹣15 B．15 C．﹣ D．﹣

5．下列运算正确的是（　　）

A．＝2 B．﹣＝a（a≠0） 

C．+＝ D．a2•a3＝a5

6．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝﹣2，下列结论正确的是（　　）

A．a＜0                                 B．c＞0 

B． C．当x＜﹣2时，y随x的增大而减小  D．当x＞﹣2时，y随x的增大而减小

7．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则（　　）

   A．a＝b B．a＞b C．|a|＜|b| D．|a|＞|b|

8．为了疫情防控，某小区需要从甲、乙、丙、丁4名志愿者中随机抽取2名负责该小区入口处的测温工作，则甲被抽中的概率是（　　）A．              B．              C．              D．

9．如图，正方形ABCD的面积为3，点E在边CD上，且CE＝1，∠ABE的平分线交AD于点F，点M，N分别是BE，BF的中点，则MN的长为（　　）

    A．   B．   C．2﹣   D．

10．如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第1个图形需要6根小木棒，拼第2个图形需要14根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒……若按照这样的方法拼成的第n个图形需要2022根小木棒，则n的值为（　　）

A．252 B．253 C．336 D．337

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。）

11．在甲、乙两位射击运动员的10次考核成绩中，两人的考核成绩的平均数相同，方差分别为S甲2＝1.45，S乙2＝0.85，则考核成绩更为稳定的运动员是 　   　．（填“甲”、“乙”中的一个）．

12．分解因式：3a2﹣21ab＝　   　．

13．如图，在▱ABCD中，AD＝10，对角线AC与BD相交于点O，AC+BD＝22，则△BOC的周长为 　   　．

14．分式方程＝的解是 　   　．

15．如图，在△ABC中，AB＝AC，点O在边AC上，以O为圆心，4为半径的圆恰好过点C，且与边AB相切于点D，交BC于点E，则劣弧的长是 　   　．（结果保留π）

16．如图，在矩形ABCD中，BC＝2AB，点P为边AD上的一个动点，线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BP′，连接PP′，CP′．当点P′落在边BC上时，∠PP′C的度数为 　   　；当线段CP′的长度最小时，∠PP′C的度数为 　   　．

三、解答题（本大题共9小题，满分72分．）

17．解不等式：3x﹣2＜4．

18．如图，点D，E在△ABC的边BC上，∠B＝∠C，BD＝CE，求证：△ABD≌△ACE．

19．某校在九年级学生中随机抽取了若干名学生参加“平均每天体育运动时间”的调查，根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和频数分布直方图．

频数分布表

请根据图表中的信息解答下列问题：

（1）频数分布表中的a＝　   　，b＝　   　，n＝　   　；

（2）请补全频数分布直方图；

（3）若该校九年级共有480名学生，试估计该校九年级学生平均每天体育运动时间不低于120min的学生人数．

20．某燃气公司计划在地下修建一个容积为V（V为定值，单位：m3）的圆柱形天然气储存室，储存室的底面积S（单位：m2）与其深度d（单位：m）是反比例函数关系，它的图象如图所示．

（1）求储存室的容积V的值；（2）受地形条件限制，储存室的深度d需要满足16≤d≤25，求储存室的底面积S的取值范围．

21．已知T＝（a+3b）2+（2a+3b）（2a﹣3b）+a2．

（1）化简T；（2）若关于x的方程x2+2ax﹣ab+1＝0有两个相等的实数根，求T的值．

22．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且AC＝8，BC＝6．

（1）尺规作图：过点O作AC的垂线，交劣弧于点D，连接CD（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）在（1）所作的图形中，求点O到AC的距离及sin∠ACD的值．

23．某数学活动小组利用太阳光线下物体的影子和标杆测量旗杆的高度．如图，在某一时刻，旗杆AB的影子为BC，与此同时在C处立一根标杆CD，标杆CD的影子为CE，CD＝1.6m，BC＝5CD．

（1）求BC的长；（2）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求旗杆AB高度．

条件①：CE＝1.0m；条件②：从D处看旗杆顶部A的仰角α为54.46°．

注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分．

参考数据：sin54.46°≈0.81，cos54.46°≈0.58，tan54.46°≈1.40．

24．已知直线l：y＝kx+b经过点（0，7）和点（1，6）．

（1）求直线l的解析式；

（2）若点P（m，n）在直线l上，以P为顶点的抛物线G过点（0，﹣3），且开口向下．

①求m的取值范围；②设抛物线G与直线l的另一个交点为Q，当点Q向左平移1个单位长度后得到的点Q′也在G上时，求G在≤x≤+1的图象的最高点的坐标．

25．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AB＝6，连接BD．

（1）求BD的长；

（2）点E为线段BD上一动点（不与点B，D重合），点F在边AD上，且BE＝DF．

①当CE⊥AB时，求四边形ABEF的面积；

②当四边形ABEF的面积取得最小值时，CE+CF的值是否也最小？如果是，求CE+CF的最小值；如果不是，请说明理由．

参考答案

1．A．2．C．3．B．4．D．5．D．6．C．7．C．8．A．9．D．10．B．

11．乙．12．3a（a﹣7b）．13．21．14．x＝3．15．2π．16．120°，75°．

17．解不等式：3x﹣2＜4．

18．证明：∵∠B＝∠C，∴AB＝AC，在△ABD和△ACE中，，

∴△ABD≌△ACE（SAS）．

19．解：（1）由题意可知，n＝4÷0.1＝40，∴a＝40×0.35＝14，b＝6÷40＝0.15，

（2）补全频数分布直方图如下：

（3）480×＝300（人），答：估计该校九年级学生平均每天体育运动时间不低于120min的学生人数为300人．

20．解：（1）设底面积S与深度d的反比例函数解析式为S＝，把点（20，500）代入解析式得500＝，∴V＝10000．

2）由（1）得S＝，∵S随d的增大而减小，∴当16≤d≤25时，400≤S≤625，

21．解：（1）T＝（a+3b）2+（2a+3b）（2a﹣3b）+a2＝a2+6ab+9b2+4a2﹣9b2+a2

＝6a2+6ab；

（2）∵关于x的方程x2+2ax﹣ab+1＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝（2a）2﹣4（﹣ab+1）＝0，∴a2+ab＝1，∴T＝6×1＝6．

22．解：（1）分别以A、C为圆心，大于AC为半径画弧，在AC的两侧分别相交于P、Q两点，画直线PQ交劣弧于点D，交AC于点E，即作线段AC的垂直平分线即可；

（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，且AC＝8，BC＝6．

∴AB＝＝10，∵OD⊥AC，∴AE＝CE，又∵OA＝OB，∴OE是△ABC的中位线，

∴OE＝BC＝4，即点O到AC的距离为4，

∵DE＝OD﹣CE＝5﹣4＝1，CE＝AC＝3，∴CD＝＝＝，

∴sin∠ACD＝＝＝．

23．解：（1）∵BC＝5CD，CD＝1.6m，∴BC＝5×1.6＝8（m），∴BC的长为8m；

（2）若选择条件①：由题意得：＝，∴＝，∴AB＝12.8，

∴旗杆AB的高度为12.8m；

若选择条件②：过点D作DF⊥AB，垂足为F，则DC＝BF＝1.6m，DF＝BC＝8m，

在Rt△ADF中，∠ADF＝54.46°，∴AF＝DF•tan54.46°≈8×1.4＝11.2（m），

∴AB＝AF+BF＝11.2+1.6＝12.8（m），∴旗杆AB的高度约为12.8m．

24．解：（1）将点（0，7）和点（1，6）代入y＝kx+b，∴，

解得，∴y＝﹣x+7；

（2）①∵点P（m，n）在直线l上，∴n＝﹣m+7，

设抛物线的解析式为y＝a（x﹣m）2+7﹣m，

∵抛物线经过点（0，﹣3），∴am2+7﹣m＝﹣3，∴a＝，

∵抛物线开口向下，∴a＜0，∴a＝＜0，∴m＜10且m≠0；

②∵抛物线的对称轴为直线x＝m，∴Q点与Q'关于x＝m对称，∴Q点的横坐标为m+，

联立方程组，整理得ax2+（1﹣2ma）x+am2﹣m＝0，

∵P点和Q点是直线l与抛物线G的交点，∴m+m+＝2m﹣，∴a＝﹣2，

∴y＝﹣2（x+m）2+7﹣m，∴﹣2m2+7﹣m＝﹣3，解得m＝2或m＝﹣，

当m＝2时，y＝﹣2（x﹣2）2+5，此时抛物线的对称轴为直线x＝2，

图象在≤x≤上的最高点坐标为（2，5）；当m＝﹣时，y＝﹣2（x+）2+，

此时抛物线的对称轴为直线x＝﹣，图象在﹣2≤x≤﹣1上的最高点坐标为（﹣2，9）；

综上所述：G在≤x≤+1的图象的最高点的坐标为（﹣2，9）或（2，5）．

25．解：（1）过点D作DH⊥AB交BA的延长线于H，如图：

∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝6，∴∠BAD＝120°，∴∠DAH＝60°，

在Rt△ADH中，DH＝AD•sin∠DAH＝6×＝3，AH＝AD•cos∠DAH＝6×＝3，

∴BD＝＝＝6；

（2）①设CE⊥AB交AB于M点，过点F作FN⊥AB交BA的延长线于N，如图：

菱形ABCD中，

∵AB＝BC＝CD＝AD＝6，AD∥BC，∠BAD＝120°，∴∠ABC+∠BAD＝180°，

∴∠ABC＝180°﹣∠BAD＝60°，在Rt△BCM中，BM＝BC•cos∠ABC＝6×＝3，

∵BD是菱形ABCD的对角线，∴∠DBA＝ABC＝30°，

在Rt△BEM中，ME＝BM•tan∠DBM＝3×＝，

BE＝＝＝2，∵BE＝DF，∴DF＝2，∴AF＝AD﹣DF＝4，

在Rt△AFN中，∠FAN＝180°﹣∠BAD＝60°，∴FN＝AF•sin∠FAN＝4×＝2，

AN＝AF•cos∠FAN＝4×＝2，

∴MN＝AB+AN﹣BM＝6+2﹣3＝5，∴S四边形ABEF＝S△BEM+S梯形EMNF﹣S△AFN

＝EM•BM+（EM+FN）•MN﹣AN•FN

＝3+（+2）×5﹣2×2

＝+﹣2    ＝7；

②当四边形ABEF的面积取最小值时，CE+CF的值是最小，

理由：设DF＝x，则BE＝DF＝x，过点C作CH⊥AB于点H，过点F作FG⊥CH于点G，

过点E作EY⊥CH于点Y，作EM⊥AB于M点，过点F作FN⊥AB交BA的延长线于N，如图：

∴EY∥FG∥AB，FN∥CH，∴四边形EMHY、FNHG是矩形，

∴FN＝GH，FG＝NH，EY＝MH，EM＝YH，由①可知：ME＝BE＝x，

BM＝BE＝x，AN＝AF＝（AD﹣DF）＝3﹣x，

FN＝AF＝，CH＝BC＝3，BH＝BC＝3，

∴AM＝AB﹣BM＝6﹣x，AH＝AB﹣BH＝3，YH＝ME＝x，GH＝FN＝，

EY＝MH＝BM﹣BH＝x﹣3，∴CY＝CH﹣YH＝3﹣x，

FG＝NH＝AN+AH＝6﹣，CG＝CH﹣GH＝3﹣＝x，

∴MN＝AB+AN﹣BM＝6+3﹣x﹣x＝9﹣2x，

∴S四边形ABEF＝S△BEM+S梯形EMNF﹣S△AFN＝EM•BM+（EM+FN）•MN﹣AN•FN

＝x×x+（x+）•（9﹣2x）﹣（3﹣x）•

＝x2﹣x+9

＝（x﹣3）2+，

∵＞0，∴当x＝3时，四边形ABEF的面积取得最小值，

CE+CF＝+•

＝+

＝+×

＝+×

＝+，

∵（x﹣3）2≥0，当且仅当x＝3时，（x﹣3）2＝0，

∴CE+CF＝+≥12，

当且仅当x＝3时，CE+CF＝12，即当x＝3时，CE+CF的最小值为12，

∴当四边形ABEF的面积取最小值时，CE+CF的值也最小，最小值为12．