2021年广东省广州市番禺区中考数学一模试卷（含答案）

这是一份2021年广东省广州市番禺区中考数学一模试卷（含答案），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年广东省广州市番禺区中考数学一模试卷
一、选择题（木大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.）
1．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．3a2+2a2＝5a2 B．＝±3
C．x2•x2＝2x4 D．x6+x2＝x3
2．（3分）实数﹣5的绝对值是（　　）
A． B．5 C．0 D．±5
3．（3分）直线y＝3x+2与y轴的交点坐标为（　　）
A．（0，3） B．（﹣，0） C．（0，﹣2） D．（0，2）
4．（3分）一个由圆柱和长方体组成的几何体如图水平放置，它的俯视图是（　　）

A． B． C． D．
5．（3分）一个等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（　　）
A．7 B．9 C．12 D．9或12
6．（3分）三张外观相同的卡片分别标有数字1，2，3，从中随机一次性抽出两张，则这两张卡片上的数字恰好都小于3的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．（3分）如图，点（3，k）在双曲线y＝上，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，线段OA的垂直平分线交OC于点B，则△ABC周长的值是（　　）

A．3 B．2+ C．4 D．3+
8．（3分）一种药品原价为25元，经过两次降价后每盒16元，设两次降价的百分率都同为x，则x满足方程（　　）
A．25（1﹣2x2）＝16 B．25（1﹣x）2＝16
C．16（1+2x2）＝25 D．16（1+x）2＝25
9．（3分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，BC与⊙O交于点D，连接OD．若∠C＝50°，则∠AOD的度数为（　　）

A．40° B．50° C．80° D．100°
10．（3分）如是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）（3，0）之间，对称轴是线x＝1．对于下列说法：
①abc＜0；②b＞a+c；③3a+c＞0；④当﹣1＜x＜时，y＞0；⑤a+b≥m（am+b）（m为实数）．
其中正确的是（　　）

A．①②③ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．（3分）函数y＝自变量x的取值范围是　 　．
12．（3分）分解因式：m2n﹣4n＝　 　．
13．（3分）如图，直线a、b被c所截，且a∥b，∠1＝132°，则∠2＝　 　．

14．（3分）某红外线的波长为0.000 000 94米，用科学记数法表示这个数是　 　米．
15．（3分）已知关于x的方程x2﹣2x+3k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　 　．
16．（3分）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD延长线上的一点，连接PA，过点P作PE⊥PA交BC的延长线于点E，过点E作EF⊥BP于点F，则下列结论中：
①PA＝PE；②CE＝PD；③BF﹣PD＝BD；④S△PEF＝S△ADP
正确的是　 　（填写所有正确结论的序号）

三、解答题（本大题共9小题，满分72分.解答写出文说明、证明过程或演算步骤）
17．（4分）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．
18．（4分）解分式方程：．
19．（6分）已知，如图，E、F分别为矩形ABCD的边AD和BC上的点，AE＝CF，求证：BE＝DF．

20．（6分）已知H＝（a≠b≠0）．
（1）化简H；
（2）若点P（a，b）在直线y＝x﹣2上，求H的值．
21．（8分）中华文化源远流长，文学方面《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长编小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”．某中学为了解学生对四大名著的阅读情况，就“四大名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行抽查，根据调查结果绘制了尚不完整的统计图．

请根据以上信息，解决下列问题：
（1）直接写出本次抽样调查所得的数据的中位数．并将条形统计图补充完整；
（2）没有读过四大古典名著的两名学生准备从四部名著中各自随机选择一部来阅读，求他们恰好选中同一部名著的概率．
22．（10分）已知反比例函数y＝（k为常数）．
（1）点P1（﹣1，y1）、P2（﹣2，y2）为此反比例函数图象上的两点，比较y1和y2的大小；
（2）设点P（m，n）（m＞0）是其图象上的一点．过点P作PM⊥x轴于点M．O为坐标原点，若tan∠POM＝2，PO＝．求k的值．并直接写出不等式kx﹣＞0的解集．
23．（10分）如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB的中线．
（1）尺规作图：画出以CD为直径的⊙O，与AB交于点E，与AC交于点F；
（2）若BC＝2，AC＝4，求DE的长；
（3）连接EF，交CD于点P，若DP：PO＝3：2，求的值．

24．（12分）如图，△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，过点A作AO⊥AC交BC于点O．
（1）求证：BO＝BC；
（2）设AB＝k．
①以OB为半径的⊙O交BC边于另一点P，点D为CA边上一点，且CD＝2DA．连接DP，求S△CPD．
②点Q是线段AB上一动点（不与A、B合），连接OQ，在点Q运动过程中，求AQ+2OQ的最小值．

25．（12分）已知抛物线y＝﹣x2+x+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点B坐标为（﹣2，0）．
（1）求直线BC的解析式；
（2）点Q（h，k）为抛物线上一动点，且h≥0，k＞0．
①过点Q作平行于BC的直线l1交线段AC于点D，记线段QD的长为d．当d取最大值时，求点Q的坐标；
②点Q1为点Q关于y轴的对称点，又过点Q1作直线l1的平行线l2交直线AC于点D1．记线段Q1D1的长为d1，求当d＜d1时，h的取值范围．

2021年广东省广州市番禺区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（木大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.）
1．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．3a2+2a2＝5a2 B．＝±3
C．x2•x2＝2x4 D．x6+x2＝x3
【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则和合并同类项，即可得出答案．
【解答】解：A、3a2+2a2＝5a2，故此选项符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、xx2•x2＝x4，故此选项不符合题意；
D、x6+x2不能合并同类项，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了用同底数幂的乘法运算以及合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．
2．（3分）实数﹣5的绝对值是（　　）
A． B．5 C．0 D．±5
【分析】直接利用绝对值的性质得出答案．
【解答】解：实数﹣5的绝对值是：5．
故选：B．
【点评】此题主要考查了绝对值的性质，正确掌握相关定义是解题关键．
3．（3分）直线y＝3x+2与y轴的交点坐标为（　　）
A．（0，3） B．（﹣，0） C．（0，﹣2） D．（0，2）
【分析】先令x＝0求出y的值即可求出直线y＝3x+2与y轴交点的坐标．
【解答】解：∵令x＝0，则y＝2，
∴直线y＝3x+2与y轴交点的坐标是（0，2）．
故选：D．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知y轴上点的坐标特点是解答此题的关键．
4．（3分）一个由圆柱和长方体组成的几何体如图水平放置，它的俯视图是（　　）

A． B． C． D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【解答】解：几何体的俯视图是：

故选：C．
【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
5．（3分）一个等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（　　）
A．7 B．9 C．12 D．9或12
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为2和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：当腰为5时，周长＝5+5+2＝12；
当腰长为2时，根据三角形三边关系可知此情况不成立；
根据三角形三边关系可知：等腰三角形的腰长只能为5，这个三角形的周长是12．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
6．（3分）三张外观相同的卡片分别标有数字1，2，3，从中随机一次性抽出两张，则这两张卡片上的数字恰好都小于3的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两张卡片上的数字恰好都小于3的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：

∵共有6种等可能的结果，而两张卡片上的数字恰好都小于3有2种情况，
∴两张卡片上的数字恰好都小于3概率是；
故选：C．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．解题的关键是要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
7．（3分）如图，点（3，k）在双曲线y＝上，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，线段OA的垂直平分线交OC于点B，则△ABC周长的值是（　　）

A．3 B．2+ C．4 D．3+
【分析】先求出点A的坐标，根据点的坐标的定义得到OC＝3，AC＝1，再根据线段垂直平分线的性质可知AB＝OB，由此推出△ABC的周长＝OC+AC．
【解答】解：∵点（3，k）在双曲线y＝上，
∴k＝1，
∴A（3，1），
∴OC＝3，AC＝1．
∵OA的垂直平分线交OC于B，
∴AB＝OB，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝OB+BC+AC＝OC+AC＝3+1＝4．
故选：C．
【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和线段中垂线的性质，将求△ABC的周长转换成求OC+AC是解题的关键．
8．（3分）一种药品原价为25元，经过两次降价后每盒16元，设两次降价的百分率都同为x，则x满足方程（　　）
A．25（1﹣2x2）＝16 B．25（1﹣x）2＝16
C．16（1+2x2）＝25 D．16（1+x）2＝25
【分析】等量关系为：原价×（1﹣下降率）2＝16，把相关数值代入即可．
【解答】解：第一次降价后的价格为25（1﹣x），
第二次降价后的价格为25（1﹣x）×（1﹣x）＝25×（1﹣x）2，
∴列的方程为25（1﹣x）2＝16，
故选：B．
【点评】本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
9．（3分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，BC与⊙O交于点D，连接OD．若∠C＝50°，则∠AOD的度数为（　　）

A．40° B．50° C．80° D．100°
【分析】由切线的性质得出∠BAC＝90°，求出∠ABC＝40°，由等腰三角形的性质得出∠ODB＝∠ABC＝40°，再由三角形的外角性质即可得出结果．
【解答】解：∵AC是⊙O的切线，
∴AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∵∠C＝50°，
∴∠ABC＝40°，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠ABC＝40°，
∴∠AOD＝∠ODB+∠ABC＝80°；
故选：C．
【点评】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质、直角三角形两锐角互余、三角形的外角性质，熟练运用切线的性质是本题的关键．
10．（3分）如是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）（3，0）之间，对称轴是线x＝1．对于下列说法：
①abc＜0；②b＞a+c；③3a+c＞0；④当﹣1＜x＜时，y＞0；⑤a+b≥m（am+b）（m为实数）．
其中正确的是（　　）

A．①②③ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴判定b与0的关系；当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c；然后由图象确定当x取何值时，y＞0．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，故①正确；
∵抛物线与x轴的交点A在点（2，0）（3，0）之间，对称轴为x＝1，
∴抛物线x轴的另一个交点在（﹣1，0）和（0，0）之间，
∴当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，即a+c＜b，即②正确，④错误；
抛物线与x轴的交点A在点（2，0）（3，0）之间，
∴9a+3b+c＜0，
又b＝﹣2a，
∴9a﹣6a+c＝3a+c＜0，故③错误；
由图可知，当x＝1时，函数有最大值，
∴对于任意实数m，有am2+bm+c≤a+b+c，即a+b≥m（am+b），故⑤正确．
综上，正确的有①②⑤．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右，（简称：左同右异）；③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．（3分）函数y＝自变量x的取值范围是　x≥5　．
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【解答】解：根据题意得，x﹣5≥0，
解得x≥5．
故答案为：x≥5
【点评】本题考查函数自变量的取值范围的知识点，关键是利用二次根式的被开方数非负数解答．
12．（3分）分解因式：m2n﹣4n＝　n（m+2）（m﹣2）　．
【分析】原式提取n，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝n（m2﹣4）＝n（m+2）（m﹣2），
故答案为：n（m+2）（m﹣2）
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
13．（3分）如图，直线a、b被c所截，且a∥b，∠1＝132°，则∠2＝　48°　．

【分析】直接根据两直线平行，同旁内角互补即可得到答案．
【解答】解：∵a∥b，
∴∠1+∠2＝180°，
∵∠1＝132°，
∴∠2＝180°﹣∠1＝180°﹣132°＝48°．
故答案为：48°．
【点评】此题考查的是平行线的性质，掌握其性质是解决此题关键．
14．（3分）某红外线的波长为0.000 000 94米，用科学记数法表示这个数是　9.4×10﹣7　米．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000 00094＝9.4×10﹣7；
故答案为9.4×10﹣7．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
15．（3分）已知关于x的方程x2﹣2x+3k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　k　．
【分析】关于x的方程x2﹣2x+3k＝0有两个不相等的实数根，即判别式Δ＝b2﹣4ac＞0．即可得到关于k的不等式，从而求得k的范围
【解答】解：∵a＝1，b＝﹣2，c＝3k，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×3k＝4﹣12k＞0，
解得：k＜．
故答案为：k＜．
【点评】此题考查了根的判别式，用到的知识点是一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
16．（3分）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD延长线上的一点，连接PA，过点P作PE⊥PA交BC的延长线于点E，过点E作EF⊥BP于点F，则下列结论中：
①PA＝PE；②CE＝PD；③BF﹣PD＝BD；④S△PEF＝S△ADP
正确的是　①②③　（填写所有正确结论的序号）

【分析】①解法一：如图1，作辅助线，构建三角形全等和平行四边形，证明△BFG≌△EFP（SAS），得BG＝PE，再证明四边形ABGP是平行四边形，可得结论；
解法二：如图2，连接AE，利用四点共圆证明△APE是等腰直角三角形，可得结论；
②如图3，作辅助线，证明四边形DCGP是平行四边形，可得结论；
③证明四边形OCGF是矩形，可作判断；
④证明△AOP≌△PFE（AAS），则S△AOP＝S△PEF，可作判断．
【解答】解：①解法一：如图1，在EF上取一点G，使FG＝FP，连接BG、PG，

∵EF⊥BP，
∴∠BFE＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠FBC＝∠ABD＝45°，
∴BF＝EF，
在△BFG和△EFP中，
∵，
∴△BFG≌△EFP（SAS），
∴BG＝PE，∠PEF＝∠GBF，
∵∠ABD＝∠FPG＝45°，
∴AB∥PG，
∵AP⊥PE，
∴∠APE＝∠APF+∠FPE＝∠FPE+∠PEF＝90°，
∴∠APF＝∠PEF＝∠GBF，
∴AP∥BG，
∴四边形ABGP是平行四边形，
∴AP＝BG，
∴AP＝PE；
解法二：如图2，连接AE，∵∠ABC＝∠APE＝90°，

∴A、B、E、P四点共圆，
∴∠EAP＝∠PBC＝45°，
∵AP⊥PE，
∴∠APE＝90°，
∴△APE是等腰直角三角形，
∴AP＝PE，
故①正确；
②如图3，连接CG，由①知：PG∥AB，PG＝AB，

∵AB＝CD，AB∥CD，
∴PG∥CD，PG＝CD，
∴四边形DCGP是平行四边形，
∴CG＝PD，CG∥PD，
∵PD⊥EF，
∴CG⊥EF，即∠CGE＝90°，
∵∠CEG＝45°，
∴CE＝CG＝PD；
故②正确；
③如图4，连接AC交BD于O，由②知：∠CGF＝∠GFD＝90°，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∴∠COF＝90°，
∴四边形OCGF是矩形，
∴CG＝OF＝PD，
∴BD＝OB＝BF﹣OF＝BF﹣PD，
故③正确；
④如图4中，在△AOP和△PFE中，
∵，
∴△AOP≌△PFE（AAS），
∴S△AOP＝S△PEF，
∴S△ADP＜S△AOP＝S△PEF，
故④不正确；
本题结论正确的有：①②③，
故答案为：①②③．
【点评】此题属于四边形综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，正方形的性质，平行四边形和矩形的判定和性质，勾股定理，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分.解答写出文说明、证明过程或演算步骤）
17．（4分）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：，
解不等式①得：x＞﹣1，
解不等式②得：x≤2，
∴不等式组的解集是﹣1＜x≤2．
将解集表示在数轴上如下：
．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18．（4分）解分式方程：．
【分析】考查分式方程的解法，先去分母化成整式方程，再解这个整式方程，注意验根．
【解答】解：去分母，得x（x+2）+6（x﹣2）＝（x﹣2）（x+2）．
化简得：8x＝8，
解得x＝1．
经检验，x＝1是原方程的解．
∴原方程的解是x＝1．
【点评】注意解题过程：去分母化整式方程，解整式方程，最后要把整式方程的解代入最简公分母进行检验，当最简公分母不为0时，才是原分式方程的解，当最简公分母为0时，原分式方程无解．
19．（6分）已知，如图，E、F分别为矩形ABCD的边AD和BC上的点，AE＝CF，求证：BE＝DF．

【分析】先求出BF＝DE，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形BFDE为平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证．
【解答】证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
又∵AE＝CF，
∴AD﹣AE＝BC﹣CF，
即ED＝BF，
而ED∥BF，
∴四边形BFDE为平行四边形，
∴BE＝DF（平行四边形对边相等）．
【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，主要利用了矩形的对边相等的性质，四个角都是直角的性质．
20．（6分）已知H＝（a≠b≠0）．
（1）化简H；
（2）若点P（a，b）在直线y＝x﹣2上，求H的值．
【分析】（1）根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子；
（2）根据点P（a，b）在直线y＝x﹣2上，可以得到a﹣b的值，然后代入（1）中化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（1）H＝
＝
＝；
（2）∵点P（a，b）在直线y＝x﹣2上，
∴b＝a﹣2，
∴a﹣b＝2，
当a﹣b＝2时，原式＝＝1，
即H的值是1．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
21．（8分）中华文化源远流长，文学方面《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长编小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”．某中学为了解学生对四大名著的阅读情况，就“四大名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行抽查，根据调查结果绘制了尚不完整的统计图．

请根据以上信息，解决下列问题：
（1）直接写出本次抽样调查所得的数据的中位数．并将条形统计图补充完整；
（2）没有读过四大古典名著的两名学生准备从四部名著中各自随机选择一部来阅读，求他们恰好选中同一部名著的概率．
【分析】（1）先求出调查的总人数，再求得阅读1部对应的人数，进而得到本次调查所得数据的中位数，补全条形统计图即可；
（2）画树状图，展示所有9种等可能的结果数，找出符合条件的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）∵调查的总人数为：10÷25%＝40（人），
∴阅读1部对应的人数为：40﹣2﹣10﹣8﹣6＝14（人），
∵2+14+10＝26＞21，2+14＜20，
∴中位数为2部，将条形统计图补充完整如下：

（2）将《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》分别记作A，B，C，D，
画树状图可得：

共有16种等可能的结果，其中选中同一名著的有4种，
故P（两人选中同一名著）＝＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了条形统计图和扇形统计图．
22．（10分）已知反比例函数y＝（k为常数）．
（1）点P1（﹣1，y1）、P2（﹣2，y2）为此反比例函数图象上的两点，比较y1和y2的大小；
（2）设点P（m，n）（m＞0）是其图象上的一点．过点P作PM⊥x轴于点M．O为坐标原点，若tan∠POM＝2，PO＝．求k的值．并直接写出不等式kx﹣＞0的解集．
【分析】（1）先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及其增减性，再根据P1、P2两点的横坐标判断出两点所在的象限，故可得出结论．
（2）根据题意求得n＝2m，根据勾股定理求得m＝1，n＝2，得到P（1，2），即可得到k2+1＝2，即可求得k的值，然后分两种情况借助反比例函数和正比例函数图象即可求得．
【解答】解：（1）∵k2+1＞0，
∴反比例函数y＝（k为常数）在每一个象限内y随x的增大而减小，
∵﹣2＜﹣1＜0，
∴y1＜y2；
（2）点P（m，n）在反比例函数y＝（k为常数）的图象上，m＞0，
∴n＞0，
∴OM＝m，PM＝﹣n，
∵tan∠POM＝2，
∴＝＝2，
∴n＝2m，
∵PO＝，
∴m2+n2＝5，
∴m＝1，n＝2，
∴P（1，2），
∴k2+1＝2，
解得k＝±1，
①当k＝﹣1时，则不等式kx﹣＞0的解集为：x＜0；
②当k＝1时，则不等式kx﹣＞0的解集为：x＞或﹣＜x＜0．

【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式；也考查了反比例函数和一次函数的交点．
23．（10分）如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB的中线．
（1）尺规作图：画出以CD为直径的⊙O，与AB交于点E，与AC交于点F；
（2）若BC＝2，AC＝4，求DE的长；
（3）连接EF，交CD于点P，若DP：PO＝3：2，求的值．

【分析】（1）以C为圆心定长为半径画弧，以D为圆心定长为半径画弧，两弧交于点M、N，连接MN交CD于点O，以O为圆心，OC为半径画圆；
（2）连接CE，由相似三角形的判定与性质可得＝＝2，AB，CE的长，然后由三角形的面积公式可得问题的答案；
（3）根据直角三角形斜边上中线的性质及平行线的判定得FO∥AD，再由平行线截线段成比例得，令DE＝3x，则CD＝4x＝AD＝BD，BE＝x，根据勾股定理得CE长，即可得到答案．
【解答】解：（1）以C为圆心定长为半径画弧，以D为圆心定长为半径画弧，两弧交于点M、N，连接MN交CD于点O，以O为圆心，OC为半径画圆；

（2）连接CE，
∴∠CEB＝ACB，∠ABC＝∠CBE，
∴△ABC∽△CBE，
同理，△ACE∽△ABC，
∴＝＝2，
AB＝，CE＝，
∵S△ABC＝＝，
∴BE＝，AE＝，
∵，
∴，
（3）∵CD为△ABC中线，
∴AD＝BD＝CD，
∴∠DAC＝∠DCA，
∵OF＝OC，
∴∠OFC＝∠OCF＝∠DCA＝∠DAC，
∴FO∥AD，
∴，
∴，
令DE＝3x，则CD＝4x＝AD＝BD，BE＝x，
∴CE＝x，
∴．
【点评】此题考查的是作图及直角三角形性质，掌握其性质定理是解决此题关键．
24．（12分）如图，△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，过点A作AO⊥AC交BC于点O．
（1）求证：BO＝BC；
（2）设AB＝k．
①以OB为半径的⊙O交BC边于另一点P，点D为CA边上一点，且CD＝2DA．连接DP，求S△CPD．
②点Q是线段AB上一动点（不与A、B合），连接OQ，在点Q运动过程中，求AQ+2OQ的最小值．

【分析】（1）证明AO＝CO，BO＝AO，即可得到结论；
（2）①Rt△AOC中求出OA，Rt△AOD中求出tan∠AOD可得∠AOD＝30°，利用△AOD≌△POD证明∠DPO＝∠AOD＝90°，DA＝DP，即可得到答案；
②以A为顶点，AB为一边，在△ABC外部作∠BAN＝30°，过Q作QN⊥AN于N，过O作OM⊥AN于M，连接OQ，由NQ＝AQ，AQ+2OQ＝2（AQ+OQ），故求出NQ+OQ最小值即OM的最小值即可．
【解答】解：（1）证明：∵∠A＝120°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵AO⊥AC，
∴∠OAC＝90°，∠BAO＝30°，
∴BO＝AO，AO＝CO，
∴BO＝CO，
∴BO＝BC；
（2）①如图：

∵AB＝k，
∴AC＝k，
Rt△AOC中，tanC＝，
∴OA＝k＝OB，
∵∠C＝30°，
∴OC＝2OA＝k，
∴CP＝OC﹣OP＝OC﹣OA＝k，
∵CD＝2DA，
∴DA＝，DC＝，
Rt△AOD中，tan∠AOD＝＝＝，
∴∠AOD＝30°，
∵∠AOC＝180°﹣∠OAC﹣∠C＝60°，
∴∠AOD＝∠DOP＝30°，
又OA＝OP，OD＝OD，
∴△AOD≌△POD（SAS），
∴∠DPO＝∠OAD＝90°，DA＝DP，
∴DP＝，
∴S△CPD＝CP•DP＝k2；
②以A为顶点，AB为一边，在△ABC外部作∠BAN＝30°，过Q作QN⊥AN于N，过O作OM⊥AN于M，连接OQ，如图：

在Rt△AQN中，∠BAN＝30°，
∴NQ＝AQ，
∵AQ+2OQ＝2（AQ+OQ），
∴AQ+2OQ最小，即是AQ+OQ最小，故NQ+OQ最小，此时ON⊥AN，Q与Q'重合，N与M重合，OM长度即是AQ+OQ的最小值，
而由①知：OA＝k，∠OAM＝∠OAB+∠BAM＝60°，
Rt△AOM中，sin∠OAM＝，
∴sin60°＝，
∴OM＝，
∴AQ+OQ的最小值为，
∴AQ+2OQ的最小值是k．
【点评】本题考查等腰三角形的性质及应用，解题的关键是构造“胡不归”模型．
25．（12分）已知抛物线y＝﹣x2+x+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点B坐标为（﹣2，0）．
（1）求直线BC的解析式；
（2）点Q（h，k）为抛物线上一动点，且h≥0，k＞0．
①过点Q作平行于BC的直线l1交线段AC于点D，记线段QD的长为d．当d取最大值时，求点Q的坐标；
②点Q1为点Q关于y轴的对称点，又过点Q1作直线l1的平行线l2交直线AC于点D1．记线段Q1D1的长为d1，求当d＜d1时，h的取值范围．
【分析】（1）把B（﹣2，0）代入y＝﹣x2+x+c，列方程求c的值，得到点C的坐标，再根据点B、C的坐标用待定系数法求直线BC的的解析式；
（2）①过点Q作QE⊥x轴交线段AC于点F，过点D作DG⊥QF，将△DFQ分割成两个三角形，这两个三角形分别与△BOC、△AOC相似，用点Q、F的横坐标h表示线段QF的长，根据相似三角形的性质，将其转化为QD的长，得到d关于h的二次函数，再利用二次函数的性质求出d最大时h的值及此时点Q的坐标；
②根据关于y轴对称的点的坐标的特征用含h的代数式表示Q1的坐标，再用表示线段QD长的方法表示线段Q1D1的长，得到d1关于h的函数关系式，再根据d＜d1和h、k的取值范围列不等式组求h的取值范围．
【解答】解：（1）把B（﹣2，0）代入y＝﹣x2+x+c，得过且﹣2﹣2+c＝0，解得c＝4，
∴抛物线的解析式为y＝x2+x+4，
当x＝0时，y＝4，
∴C（0，4），
设直线BC的解析式为y＝mx+4，则﹣2m+4＝0，解得m＝2，
∴直线BC的解析式为y＝2x+4．
（2）①如图1，作QE⊥x轴于点E，交线段AC于点F，作DG⊥QF于点G，设直线l1交x轴于点H．
当y＝0时，由x2+x+4＝0，得x1＝﹣2，x2＝4，
∴A（4，0），
设直线AC的解析式为y＝ax+4，则4a+4＝0，解得a＝﹣1，
∴y＝﹣x+4，
设Q（h，h2+h+4），则F（h，﹣h+4），
∴QF＝h2+h+4+h﹣4＝h2+2h；
∵OA＝OC＝4，∠AOC＝90°，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°，
∵DG∥AB，FG∥OC，
∴∠GDF＝∠OAC＝45°，∠GFD＝∠OCA＝45°，
∴DG＝FG；
∵OB＝2，OC＝4，∠BOC＝90°，
∴BC＝＝2，
∵∠QDG＝∠QHA＝∠CBO，∠DGQ＝∠BOC＝90°，
∴△DGQ∽△BOC，
∴DG：GQ：QD＝BO：OC：CB＝1：2：．
∴GQ＝2DG＝2FG，DG＝FG＝QF，QD＝DG＝QF，
∴d＝（h2+2h）＝h2+h＝（h﹣2）2+，
∵＜0，
∴当h＝2时，d的值最大，
此时Q（2，4）．
②如图2，作Q1R⊥x轴，交直线AC于点R，作D1P⊥Q1R于点P.
∵∠Q1D1R＝∠CDH＝∠QDF，∠Q1RD1＝∠QFD，
∴△D1Q1R∽△DQF，
∴Q1D1＝Q1R，
∵点Q1与点Q（h，h2+h+4）关于轴对称，
∴Q1（﹣h，h2+h+4），R（﹣h，h+4），
∴Q1R＝h+4+h2﹣h﹣4）＝h2，
∴Q1D1＝×h2＝h2，
由题意，得，解得2＜h＜4，
∴h的取值范围是2＜h＜4．


【点评】此题重点考查二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解一元二次方程、用待定系数法求函数关系式等知识，涉及的的方法主要是用点的横坐标表示垂直于x轴的线段的长度，解题的关键是正确地作出辅助线．此题中等难度和计算量，是很好的考试题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2021/11/15 14:13:07；用户：张家港二中；邮箱：zjg2z@xyh.com；学号：41479226

菁优网APP 菁优网公众号 菁优网小程序