2022-2023学年山东省德州市临邑县万力学校、永兴学校九年级（上）期中数学试卷(解析版)

2022-2023学年山东省德州市临邑县万力学校、永兴学校九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知，是一元二次方程的两根，且，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  将二次函数的图象沿轴向右平移个单位长度，得到的函数表达式是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，已知是正三角形，，将绕点按逆时针方向旋转，使得与重合，得到，则旋转的角度是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  某品牌网上专卖店月份的营业额为万元，已知第一季度的总营业额共万元，如果平均每月增长率为，则由题意列方程应为(    )

A.  B.
C.  D.

6.  下列四个命题：
等边三角形是中心对称图形；
在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；
三角形有且只有一个外接圆；
垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧．
其中真命题的个数有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

7.  如图，是的直径，若，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，为直径，，，平分，则(    )

A.
B.
C.
D.

9.  已知二次函数的图象上，当时，随的增大而增大，则的取值范围是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，函数和是常数，且在同一平面直角坐标系的图象可能是(    )

A.
B.
C.
D.

11.  如图，二次函数的图象与轴正半轴相交于，两点，与轴相交于点，对称轴为直线，且，则下列结论：；；；若，则，其中所有正确的结论是(    )

A.  B.  C.  D.

12.  如图，在中，，，是斜边上上两点，且，将绕点顺时针旋转后，得到，连接，下列结论：
；≌；；
其中正确的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

13.  在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，______．

14.  若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为______．

15.  设点，，是抛物线上的三点，则、、的大小关系为______．

16.  飞机着陆后滑行的距离单位：关于滑行时间单位：的函数解析式是在飞机着陆滑行中，最后滑行的距离是______

17.  在直径为毫米的圆柱形油罐内装进一些油，其横截面如图．油面宽毫米，如果再注入一些油后，油面宽变为毫米，此时油面上升了______毫米．

18.  如图，在中，，，将沿轴依次以点、、为旋转中心顺时针旋转，分别得到图、图、，则旋转得到的第个三角形的直角顶点的坐标为______．

三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）

19.  解下列方程．
；
．

四、解答题（本大题共6小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20.  本小题分
已知关于的一元二次方程．
求证：方程有两个不相等的实数根；
若的两边，的长是方程的两个实数根，第三边的长为当是等腰三角形
时，求的值．

21.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，．
关于原点对称的，请画出，并写出的坐标；
把绕原点逆时针旋转，得到，请画出，写出的坐标，并求点在此旋转过程中走过的路径的长．

22.  本小题分
如图，在平行四边形中，是对角线，，以点为圆心，以的长为半径作，交边于点，交于点，连接．
求证：与相切；
若，，求阴影部分的面积．

23.  本小题分
某商品的进价为每件元，售价为每件元，每周可卖出件；如果每件商品的售价每上涨元，则每周就会少卖出件，但每件售价不能高于元，设每件商品的售价上涨元为整数，每周的销售利润为元．
求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
每件商品的售价为多少元时，每周可获得最大利润？最大利润是多少？
每件商品的售价定为多少元时，每周的利润恰好是元？

24.  本小题分
如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长是，宽是按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用表示，且抛物线上的点到墙面的水平距离为，到地面的距离为

求该抛物线对应的函数解析式，并计算出拱顶到地面的距离．
一辆货车载一长方体集装箱后高为，宽为，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货运汽车能否安全通过？
在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过，那么两排灯的水平距离最小是多少？

25.  本小题分
如图，在直角坐标系中，抛物线经过点，，，其对称轴与轴相交于点．
求抛物线的解析式和对称轴；
在抛物线的对称轴上是否存在一点，使的周长最小？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
连接，在直线的下方的抛物线上，是否存在一点，使的面积最大？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念判断即可．
【解答】
解：、是轴对称图形，是中心对称图形，故正确；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故错误；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故错误．  

2.【答案】 

【解析】解：，是一元二次方程的两根，
．
，
，
解得：．
故选：．
根据根与系数的关系可得出，结合可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了根与系数的关系，牢记两根之积等于是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查二次函数的图象与几何变换，解答本题的关键是明确二次函数平移的特点，左加右减、上加下减，注意一定将函数解析式化为顶点式之后再平移题目中的函数解析式，可以先化为顶点式，然后再根据左加右减的方法进行解答即可得到平移后的函数解析式．
【解答】
解：，
二次函数的图象沿轴向右平移个单位长度，得到的函数表达式是：，
故选D．  

4.【答案】 

【解析】解：是正三角形，
，
，
，
，
即旋转角是，
故选：．
根据等边三角形的性质求出，根据垂直求出，求出即可．
本题考查了旋转的性质和等边三角形的性质，能求出的度数是解此题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：一月份的营业额为万元，平均每月增长率为，
二月份的营业额为，
三月份的营业额为，
可列方程为，
即．
故选B．
先得到二月份的营业额，三月份的营业额，等量关系为：一月份的营业额二月份的营业额三月份的营业额万元，把相关数值代入即可．
此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，平均增长率问题，一般形式为，为起始时间的有关数量，为终止时间的有关数量．
 

6.【答案】 

【解析】解：等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，
是假命题；
如图，和都对弦，但和不相等，即是假命题；
三角形有且只有一个外接圆，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，即是真命题；
垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧，即是真命题．
故选：．
根据等边三角形的性质即可得出等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，即可判断；举出反例，即可判断；根据三角形的外接圆的定义即可判断；根据垂径定理即可判断．
本题考查了中心对称图形，圆周角定理，垂径定理，三角形的外接圆等知识点的应用，通过做此题培养了学生的理解能力和辨析能力，题型较好，但是一道比较容易出错的题目．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图，连接．

是直径，
，
，
，
故选：．
如图，连接求出即可解决问题．
本题考查圆周角定理，三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

8.【答案】 

【解析】解：连接，

为直径，
，
，，
，
，
平分，
，
，
即为的中点，
，
，
故选：．
连接，由圆周角定理可得，利用勾股定理可求解的长，由角平分线的定义可得，即可得为等腰直角三角形，进而可求解的长．
本题主要考查圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形等知识的综合运用．
 

9.【答案】 

【解析】解：二次函数的对称轴为直线，
当时，的值随值的增大而增大，
．
故选：．
根据二次函数的性质，利用二次函数的对称轴不大于列式计算即可得解．
本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性，熟记性质并列出不等式是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：、由一次函数的图象可得，此时二次函数的图象应该开口向下，故该选项错误；
B、由一次函数的图象可得，此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴为直线，故该选项正确；
C、由一次函数的图象可得，此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴为直线，故该选项错误；
D、由一次函数的图象可得，此时二次函数的图象应该开口向上，故该选项错误．
故选B．
本题考查二次函数以及一次函数的图象．
可先根据一次函数的图象判断的正负，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可．
 

11.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向上，
，
抛物线的对称轴为直线，
，
抛物线与轴的交点在轴的负半轴，
，
，所以正确；
时，，
，所以错误；
，
而，
，
，所以正确；
抛物线与轴的一个交点在与之间，另一个交点在与之间，
错误．
故选：．
由抛物线的开口方向得到，由抛物线的对称轴方程得到，由抛物线与轴的交点位置得，则可对进行判断，再利用时，可对进行判断；接着利用得到，则可对进行判断；由于抛物线与轴的一个交点在与之间，另一个交点在与之间，则结合函数图象可对进行判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小；当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；当与同号时，对称轴在轴左侧；当与异号时，对称轴在轴右侧；常数项决定抛物线与轴交点，抛物线与轴交于也考查了数形结合的思想．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角．也考查了三角形全等的判定与性质以及勾股定理．根据旋转的性质得、、，由知，即可判断；由、知，继而可得，可判断；由、，根据可判断；根据可判断．
【解答】
解：绕点顺时针旋转后，得到，
≌，
，，，，
又，
，
即，
，
故正确；
，，
，
，
即，
在和中，
≌，
故正确；
，
，
≌，
，
在中，，
，
故错误，
，
，
，，
，
故正确；
故选C．  

13.【答案】 

【解析】解：点与点关于原点对称，
，，
解得：，，
．
故答案为：．
直接利用关于原点对称点的性质，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点是，进而得出答案．
此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．
 

14.【答案】且 

【解析】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
且，
解得且，
故答案为：且．
根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义得到且，解不等式即可．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
抛物线开口向下，对称轴为直线，
，
．
故答案为：．
由抛物线解析式可得抛物线的开口方向及对称轴，由点到对称轴距离的大小关系求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
 

16.【答案】 

【解析】解：当取得最大值时，飞机停下来，
则，
此时，飞机着陆后滑行米才能停下来．
因此的取值范围是；
即当时，，
所以米，
故答案是：．
由于飞机着陆，不会倒着跑，所以当取得最大值时，也取得最大值，求得的取值范围即可，结合取值范围求得最后滑行的距离．
本题考查二次函数的实际运用，运用二次函数求最值问题常用公式法或配方法是解题关键．
 

17.【答案】毫米或 

【解析】解：如图，过作交于，交圆于，连接，
毫米，
直径毫米，
毫米，
在中，由勾股定理得：毫米，
油面宽变为毫米时，存在两种情况：
当油面在圆心的下方时，连接，
，
毫米，
毫米，
毫米；
当油面在圆心上方时，同理可得油面上升的高度为：毫米；
综上所述，如果再注入一些油后，油面宽变为毫米，此时油面上升了毫米或毫米，
故答案为：毫米或．
过点作于点，交于点，连接，由垂径定理即可求得的长，再由勾股定理求得的长，然后分两种情况，当油面在圆心的下方时，当在圆心上方时，由垂径定理和勾股定理分别求出油面上升的高度即可．
此题考查了垂径定理的应用与勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：，，，
，
根据图形，每个图形为一个循环组，，
所以，第个三角形的直角顶点在轴上，横坐标为，
所以，第个三角形的直角顶点的坐标为，
故答案为：．
利用勾股定理得到的长度，结合图形可求出图的直角顶点的坐标；根据图形不难发现，每个图形为一个循环组依次循环，且下一组的第一个图形与上一组的最后一个图形的直角顶点重合．
本题考查了坐标与图形的变化旋转，仔细观察图形，判断出旋转规律“每个图形为一个循环组依次循环，且下一组的第一个图形与上一组的最后一个图形的直角顶点重合”是解题的关键．
 

19.【答案】解：，
，
，即，
则，
，；
，
，
，
或，
解得，． 

【解析】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
利用配方法求解可得；
利用因式分解法提取公因式求解可得．
 

20.【答案】证明：．
方程有两个不相等的实数根；
解：由 ，得，
，．
即、的长为、，
当时，即 ，满足三角形构成条件；
当时，，解得 ，满足三角形构成条件．
综上所述， 或 ． 

【解析】计算判别式的值得到然后根据判别式的意义得到结论；
利用因式分解法解方程得到，，、的长为、，讨论当时，即 ；当时，，解得 ．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，，也考查了根的判别式．
 

21.【答案】解：如图，即为所求，的坐标；
如图，即为所求，的坐标，点在此旋转过程中走过的路径的长
 

【解析】利用中心对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
将点、分别绕点逆时针旋转得到对应点，再首尾顺次连接即可得．
本题主要考查作图旋转变换与平移变换，解题的关键是掌握旋转变换与平移变换的定义和性质．
 

22.【答案】证明：连接，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
≌，
，
，
，
，
是的半径，
与相切；
解：，，
是等边三角形，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
． 

【解析】证明：连接，根据平行四边形的性质得到，，求得，根据全等三角形的性质得到，得到，于是得到结论；
根据已知条件得到是等边三角形，求得，，得到，得到，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
本题考查了切线的判定和性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，扇形的面积的计算，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．
 

23.【答案】解：由题意得：
对称轴：，
，，
在对称轴左侧，随增大而增大，
当时，，
售价元
答：当售价为元时，可获得最大利润元．
由题意得：，
解之得：或不符合题意，舍去  
售价元．
答：售价为元时，每周利润为元． 

【解析】本题考查二次函数的应用、最值问题、一元二次方程等知识，解题的关键是搞清楚利润、售价、销售量之间的关系，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考常考题型．
根据销售利润每件的利润销售数量，构建函数关系即可；
利用二次函数的性质即可解决问题；
列出方程，解方程即可解决问题．
 

24.【答案】解：根据题意得，
把，代入，得
，
解得．
所以抛物线的函数解析式为．
配方，得，
于是可得点的坐标为．
所以拱顶到地面的距离为；
由题意得货运汽车最外侧与地面的交点为或，
当或时，，
所以这辆货车能安全通过；
令，则，
解得，，
于是有，
即两排灯的水平距离最小是 

【解析】先确定点和点坐标，然后利用待定系数法可以求出抛物线表达式．再利用配方法确定顶点的坐标，即可得到点到地面的距离；
由于抛物线的对称轴为直线，而隧道内设双向行车道，车宽为，则货运汽车最外侧与地面的交点为或接下来通过计算自变量为和时对应的函数值，再把函数值与进行大小比较，即可作出判断；
由于抛物线开口向下，可知函数值越大，对称点之间的距离越小，于是计算函数值为时所对应的自变量的值，即可得到两排灯的水平距离最小值．
本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是得出函数的表达式．
 

25.【答案】解：根据已知条件可设抛物线的解析式为，
把点代入上式得：，
，
抛物线的对称轴是：直线；
点坐标为，
理由如下：
点，抛物线的对称轴是直线，
点关于对称轴的对称点的坐标为，
如图，连接交对称轴于点，连接，此时的周长最小，

设直线的解析式为，
把，代入得，
解得，
，
点的横坐标为，
，
；
在直线的下方的抛物线上存在点，使面积最大，
设点的横坐标为，此时点，
如图，过点作轴交于，交轴于点，过点作于，

则，
设直线的解析式为，
把，代入得
解得
直线的解析式为：，
把代入得：，则，
此时：，
，
，
，
，
，
，
当时，的面积最大，最大值为，
由，得：，
． 

【解析】本题主要考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，解题的关键是方程思想与数形结合思想的灵活应用．
抛物线经过点，，，可利用两点式设抛物线的解析式为，代入即可求得函数的解析式，则可求得抛物线的对称轴；
点关于对称轴的对称点的坐标为，连接交对称轴于点，连接，此时的周长最小，可求出直线的解析式，即可得出点的坐标．
在直线的下方的抛物线上存在点，使面积最大，设点的横坐标为，此时点，再求得直线的解析式，即可求得的长与的面积，由二次函数最大值的问题即可求得答案．