2023-2024学年山东省德州市庆云县九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省德州市庆云县九年级（上）期中数学试卷（含解析），共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．围棋起源于中国．古代称之为“弈”，至今已有4000多年历史．2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaG进行了围棋人机大战．截取对战机棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（ ）
A．B．
C．D．
2．若是一元二次方程，则m的值为（ ）
A．2B．﹣2C．D．
3．已知⊙O的半径为5，PO＝4，则点P在（ ）
A．圆内B．圆上C．圆外D．不确定
4．已知二次函数y＝﹣2（x﹣1）2﹣3，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴为直线x＝﹣1B．函数的最大值是3
C．抛物线开口向上D．顶点坐标为（1，﹣3）
5．已知点A（1，a）、点B（b，2）关于原点对称，则a+b的值为（ ）
A．3B．﹣3C．﹣1D．1
6．在一幅长60m，宽40m的景观区域的四周铺设一条观光小道，如图所示，如果要使观光小道的总面积是2816m2，设观光小道的宽为x m，那么x满足的方程是（ ）
A．2x（60+2x）+2x（40+2x）＝2816
B．（60+2x）（40+2x）＝2816
C．（60+2x）（40+2x）﹣2400＝2816
D．x（60+2x）+x（40+2x）＝2816
7．如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P．若∠A＝48°，∠APD＝80°，则∠B的度数为（ ）
A．32°B．42°C．48°D．52°
8．下列命题正确的是（ ）
A．在一个三角形中至多有两个锐角
B．在圆中，垂直于弦的直径平分弦
C．如果两个角互余，那么它们的补角也互余
D．两条直线被第三条直线所截，同位角一定相等
9．已知抛物线y＝ax2﹣5x﹣3经过点（﹣1，4），则下列结论正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下
B．抛物线的对称轴是
C．抛物线与x轴没有交点
D．当时，关于x的一元二次方程ax2﹣5x﹣3﹣t＝0有实根
10．下列函数图象中，能反映y的值始终随x值的增大而增大的是（ ）
A．B．
C．D．
11．发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，图①是发动机的实物剖面图，图②是其示意图．图②中，点A在直线l上往复运动，推动点B做圆周运动形成⊙O，AB与BO表示曲柄连杆的两直杆，点C、D是直线l与⊙O的交点；当点A运动到E时，点B到达C；当点A运动到F时，点B到达D．若AB＝12，OB＝5，则下列结论正确的是（ ）
A．FC＝3
B．EF＝12
C．当AB与⊙O相切时，EA＝4
D．当OB⊥CD时，EA＝AF
12．定义：在平面直角坐标系中，对于点P（x1，y1），当点Q（x2，y2）满足2（x1+x2）＝y1+y2时，称点Q（x2，y2）是点P（x1，y1）的“倍增点”．已知点P1（1，0），有下列结论：
①点Q1（3，8），Q2（﹣2，﹣2）都是点P1的“倍增点”；
②若直线y＝x+2上的点A是点P1的“倍增点”，则点A的坐标为（2，4）；
③抛物线y＝x2﹣2x﹣3上存在两个点是点P1的“倍增点”；
④若点B是点P1的“倍增点”，则P1B的最小值是；
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（每题4分，共计24分）
13．关于x的一元二次方程x2﹣4x+2a＝0有实数根，则a的值可以是 （写出一个即可）．
14．如果将抛物线y＝x2﹣3向左平移2个单位，再向上平移4个单位，那么平移后的抛物线解析式是 ．
15．银杏是著名的活化石植物，其叶有细长的叶柄，呈扇形．如图是一片银杏叶标本，叶片上两点B，C的坐标分别为（﹣3，2），（4，3），将银杏叶绕原点顺时针旋转90°后，叶柄上点A对应点的坐标为 ．
16．如图，P是正方形ABCD内一点，将△PBC绕点C顺时针方向旋转后与△P′CD重合，若PC＝2，则PP'＝ ．
17．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，连接AO并延长，交⊙O于点E连接BE，DE．若DE＝3DO，，则△ODE的面积为 ．
18．若实数m，n分别满足下列条件：
（1）2（m﹣1）2﹣7＝﹣5；
（2）n﹣3＞0．
试判断点所在的象限为 ．
三、解答题（共计78分）
19．解方程：
（1）4（x﹣1）2＝9；
（2）（x+5）2＝3（x+5）．
20．如图，△ABC的顶点坐标分别为A（0，1），B（3，3），C（1，3）．
（1）画出与△ABC关于点O成中心对称的图形△A1B1C1；
（2）①画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°的△A2B2C2；
②在①基础上，若点M（a，b）为△ABC边上的任意一点，则旋转后对应点的坐标为 ．
21．已知：二次函数y＝x2+4x+3．
（1）求出该函数图象的顶点坐标；
（2）在所提供的网格中画出该函数的大致范围；
（3）求当﹣4≤x≤2时，函数y的取值范围？
22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，点C，A的对应点分别为E，F，点E落在BA上，连接AF．
（1）若∠BAC＝40°．则∠BAF的度数为 ；
（2）若AC＝8，BC＝6，求AF的长．
23．今年4月，多国禽流感大暴发，大量蛋鸡被扑杀，导致世界级的“鸡蛋荒”．若某国有一只蛋鸡患有禽流感，经过两轮感染后共有64只蛋鸡患病．
（1）每轮传染中平均每只患病蛋鸡传染了几只健康的蛋鸡？
（2）如果不及时控制，那么三轮传染后，患病的蛋鸡会不会超过500只？
24．在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论．解决以下问题：
如图1，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（60°＜α＜180°）．点D是BC边上的一动点（点D不与B，C重合），将线段AD绕点A顺时针旋转α到线段AE，连接BE．
（1）求证：A，E，B，D四点共圆；
（2）如图2，当AD＝CD时，⊙O是四边形AEBD的外接圆，求证：AC是⊙O的切线．
25．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；
（3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、单选题（每题4分，共计48分）
1．围棋起源于中国．古代称之为“弈”，至今已有4000多年历史．2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaG进行了围棋人机大战．截取对战机棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．
解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查了中心对称图形定义，关键是找出对称中心．
2．若是一元二次方程，则m的值为（ ）
A．2B．﹣2C．D．
【分析】根据一元二次方程的定义进行求解即可．
解：由题意得：，
解得：m＝﹣2．
故选：B．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键在于熟知一元二次方程的定义：一般地，形如ax2+bx+c＝0（a、b、c都是常数，a≠0）的方程叫做一元二次方程．
3．已知⊙O的半径为5，PO＝4，则点P在（ ）
A．圆内B．圆上C．圆外D．不确定
【分析】已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当r＞d时，点P在⊙O内，②当r＝d时，点P在⊙O上，③当r＜d时，点P在⊙O外，根据以上内容判断即可．
解：∵⊙O的半径为5，若PO＝4，
∴4＜5，
∴点P与⊙O的位置关系是点P在⊙O内，
故选：A．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系的应用，注意：已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当r＞d时，点P在⊙O内，②当r＝d时，点P在⊙O上，③当r＜d时，点P在⊙O外．
4．已知二次函数y＝﹣2（x﹣1）2﹣3，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴为直线x＝﹣1B．函数的最大值是3
C．抛物线开口向上D．顶点坐标为（1，﹣3）
【分析】依据题意，根据抛物线y＝﹣2（x﹣1）2﹣3的性质可以判断得解．
解：由题意，∵二次函数y＝﹣2（x﹣1）2﹣3的开口向下，对称轴是直线x＝1，
∴当x＝1时，函数有最大值为﹣3；顶点坐标为（1，﹣3）．
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并理解是关键．
5．已知点A（1，a）、点B（b，2）关于原点对称，则a+b的值为（ ）
A．3B．﹣3C．﹣1D．1
【分析】由关于原点对称的两个点的坐标之间的关系直接得出a、b的值即可．
解：∵点A（1，a）、点B（b，2）关于原点对称，
∴a＝﹣2，b＝﹣1，
∴a+b＝﹣3．
故选：B．
【点评】本题考查关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的两个点，它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数．
6．在一幅长60m，宽40m的景观区域的四周铺设一条观光小道，如图所示，如果要使观光小道的总面积是2816m2，设观光小道的宽为x m，那么x满足的方程是（ ）
A．2x（60+2x）+2x（40+2x）＝2816
B．（60+2x）（40+2x）＝2816
C．（60+2x）（40+2x）﹣2400＝2816
D．x（60+2x）+x（40+2x）＝2816
【分析】根据面积的和差列方程即可．
解：根据题意得：（60+2x）（40+2x）﹣60×40＝2816，
即（60+2x）（40+2x）﹣2400＝2816，
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7．如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P．若∠A＝48°，∠APD＝80°，则∠B的度数为（ ）
A．32°B．42°C．48°D．52°
【分析】根据外角∠APD，求出∠C，由同弧所对圆周角相等即可求出∠B．
解：∵∠A＝48°，∠APD＝80°，
∴∠C＝80°﹣48°＝32°，
∵，
∴∠B＝∠C＝32°．
故选：A．
【点评】本题考查了圆周角的性质的应用，三角形外角的性质应用是解题关键．
8．下列命题正确的是（ ）
A．在一个三角形中至多有两个锐角
B．在圆中，垂直于弦的直径平分弦
C．如果两个角互余，那么它们的补角也互余
D．两条直线被第三条直线所截，同位角一定相等
【分析】分别根据三角形的性质，垂径定理，余角和补角，同位角、内错角、同旁内角判断即可．
解：A、锐角三角形有三个锐角，本选项不符合题意；
B、在圆中，垂直于弦的直径平分弦，本选项符合题意；
C、如果两个角互余，那么它们的补角不互余，本选项不符合题意；
D、两条平行线被第三条直线所截，同位角一定相等，本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的性质，垂径定理，余角和补角，同位角、内错角、同旁内角，熟练掌握这些定理和性质是解决问题的关键．
9．已知抛物线y＝ax2﹣5x﹣3经过点（﹣1，4），则下列结论正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下
B．抛物线的对称轴是
C．抛物线与x轴没有交点
D．当时，关于x的一元二次方程ax2﹣5x﹣3﹣t＝0有实根
【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征，可求出a的值，进而可得出抛物线的解析式为y＝2x2﹣5x﹣3．
A．由a＝2＞0，利用二次函数的性质，可得出抛物线开口向上；
B．利用抛物线的对称轴为直线x＝﹣，可得出抛物线的对称轴是直线x＝；
C．由根的判别式Δ＝37＞0，可得出抛物线与x轴有两个交点；
D．将抛物线的解析式转化为顶点式，结合顶点的纵坐标，即可得出当t＜﹣时，关于x的一元二次方程ax2﹣5x﹣3﹣t＝0没有实根．
解：∵抛物线y＝ax2﹣5x﹣3经过点（﹣1，4），
∴4＝a﹣5×（﹣1）﹣3，
∴a＝2，
∴抛物线的解析式为y＝2x2﹣5x﹣3．
A．∵a＝2＞0，
∴抛物线开口向上，选项A不符合题意；
B．∵a＝2，b＝﹣5，
∴抛物线的对称轴是直线x＝﹣＝﹣＝，选项B符合题意；
C．∵a＝2，b＝﹣5，c＝﹣3，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×2×（﹣3）＝37＞0，
∴抛物线与x轴有两个交点，选项C不符合题意；
D．∵抛物线的解析式为y＝2x2﹣5x﹣3，即y＝2（x﹣）2﹣，
∴将抛物线往上移动超过个单位长度时，抛物线与x轴无交点，
即当t＜﹣时，关于x的一元二次方程ax2﹣5x﹣3﹣t＝0没有实根，选项D不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、根的判别式、二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，代入点的坐标，求出a的值是解题的关键．
10．下列函数图象中，能反映y的值始终随x值的增大而增大的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】观察图象，由函数的性质可以解答．
解：由图可知：
A、图象A函数值具有对称性．在对称轴的左侧y的值随x值的增大而增大，对称轴的右侧y的值随x值的增大而减小，该选项不符合题意；
B、增减性需要限定在各个象限内，该选项不符合题意；
C、图象是函数y的值随x值的增大而增大，该选项符合题意；
D、图象在原点左侧是函数y的值随x值的增大而减小，该选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象，一次函数图象，正比例函数图象，反比例函数图象，准确识图并理解函数的增减性的定义是解题的关键．
11．发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，图①是发动机的实物剖面图，图②是其示意图．图②中，点A在直线l上往复运动，推动点B做圆周运动形成⊙O，AB与BO表示曲柄连杆的两直杆，点C、D是直线l与⊙O的交点；当点A运动到E时，点B到达C；当点A运动到F时，点B到达D．若AB＝12，OB＝5，则下列结论正确的是（ ）
A．FC＝3
B．EF＝12
C．当AB与⊙O相切时，EA＝4
D．当OB⊥CD时，EA＝AF
【分析】根据切线的性质和勾股定理以及垂径定理即可得到结论．
解：如图，由题意可得：
AB＝CE＝12，AB+BO＝OE＝17，FD＝AB＝12，OC＝OB＝OD＝5，
∴FC＝FD﹣CD＝12﹣10＝2，故A不符合题意；
EF＝CE﹣CF＝12﹣2＝10，故B不符合题意；
如图，当AB与⊙O相切时，∠ABO＝90°，
∴AO＝＝13，
∴EA＝EO﹣AO＝17﹣13＝4，故C符合题意；
当OB⊥CD时，如图，
∴AO＝＝，
∴AE＝EO﹣AO＝17﹣，AF＝AO﹣OF＝﹣2﹣5＝﹣7，
∴AE≠AF，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是线段的和差运算，圆的切线的性质，勾股定理的应用，理解题意熟练的利用数形结合的方法解题是关键．
12．定义：在平面直角坐标系中，对于点P（x1，y1），当点Q（x2，y2）满足2（x1+x2）＝y1+y2时，称点Q（x2，y2）是点P（x1，y1）的“倍增点”．已知点P1（1，0），有下列结论：
①点Q1（3，8），Q2（﹣2，﹣2）都是点P1的“倍增点”；
②若直线y＝x+2上的点A是点P1的“倍增点”，则点A的坐标为（2，4）；
③抛物线y＝x2﹣2x﹣3上存在两个点是点P1的“倍增点”；
④若点B是点P1的“倍增点”，则P1B的最小值是；
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】依据题意，由“倍增点”的意义进行计算进而判断①；设满足题意得“倍增点”A为（x，x+2），从而可以求得A（0，2），进而可以判断②；设抛物线上的“倍增点”为（x，x2﹣2x﹣3），从而建立方程求得解，可以判断③；设B（x，y），再由倍增点的意义得出y＝2（x+1），再利用两点间的距离公式表示出P1B，然后利用配方可以判断④，从而可以得解．
解：依据题意，由“倍增点”的意义，
∵2（1+3）＝8+0，2（1﹣2）＝﹣2+0，
∴点Q1（3，8），Q2（﹣2，﹣2）都是点P1的“倍增点”．
∴①正确．
对于②，由题意，可设满足题意得“倍增点”A为（x，x+2），
∴2（x+1）＝x+2+0．
∴x＝0．
∴A（0，2）．
∴②错误．
对于③，可设抛物线上的“倍增点”为（x，x2﹣2x﹣3），
∴2（x+1）＝x2﹣2x﹣3．
∴x＝5或﹣1．
∴此时满足题意的“倍增点”有（5，12），（﹣1，0）两个．
∴③正确．
对于④，设B（x，y），
∴2（x+1）＝y+0．
∴y＝2（x+1）．
∴P1B＝＝＝．
∴当x＝﹣时，P1B有最小值为．
∴④正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次函数图象上的点的坐标、一次函数图象上的点的坐标，解题时要熟练掌握并理解．
二、填空题（每题4分，共计24分）
13．关于x的一元二次方程x2﹣4x+2a＝0有实数根，则a的值可以是 1 （写出一个即可）．
【分析】根据方程有实数根，得到根的判别式大于等于0求出a的范围，写出一个即可．
解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+2a＝0有实数根，
∴Δ＝16﹣8a≥0，
解得：a≤2，
则a的值可以是1．
故答案为：1．
【点评】此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键．
14．如果将抛物线y＝x2﹣3向左平移2个单位，再向上平移4个单位，那么平移后的抛物线解析式是 y＝（x+2）2+1 ．
【分析】根据平移规律“左加右减，上加下减”写出抛物线的解析式即可．
解：依题意，得y＝（x+2）2﹣3+4＝（x+2）2+1，
故答案为：y＝（x+2）2+1．
【点评】本题主要考查的了二次函数图象与几何变换，利用顶点坐标的平移确定函数图象的平移可以使求解更简便，平移规律“左加右减，上加下减”．
15．银杏是著名的活化石植物，其叶有细长的叶柄，呈扇形．如图是一片银杏叶标本，叶片上两点B，C的坐标分别为（﹣3，2），（4，3），将银杏叶绕原点顺时针旋转90°后，叶柄上点A对应点的坐标为 （﹣3，1） ．
【分析】先根据B、C两点的坐标建立平面直角坐标系，再作出点A绕原点O顺时针旋转90°所得的对应点，即可求解．
解：如图，建立平面直角坐标系，那么点A的坐标为（﹣1，﹣3），
作出点A绕原点O顺时针旋转90°所得的对应点A′，
则点A′的坐标为（﹣3，1）．
故答案为：（﹣3，1）．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，掌握旋转的性质，作出点A绕原点O顺时针旋转90°所得的对应点是解题的关键．
16．如图，P是正方形ABCD内一点，将△PBC绕点C顺时针方向旋转后与△P′CD重合，若PC＝2，则PP'＝ 2 ．
【分析】由旋转的性质可得PC＝P'C＝2，∠PCP'＝∠BCD＝90°，即可求解．
解：∵将△PBC绕点C顺时针方向旋转后与△P′CD重合，
∴PC＝P'C＝2，∠PCP'＝∠BCD＝90°，
∴PP'＝PC＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
17．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，连接AO并延长，交⊙O于点E连接BE，DE．若DE＝3DO，，则△ODE的面积为 ．
【分析】根据垂径定理，三角形中位线定理以及勾股定理求出OD，再根据三角形面积公式进行计算即可．
解：∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE＝90°，
∵AB⊥OC，OC是⊙O的半径，
∴AD＝BD＝AB＝3，
∵OA＝OE，
∴OD是△ABE的中位线，
∴OD＝BE，
由于DE＝3DO，可设OD＝x，则DE＝3x，BE＝2x，
在Rt△BDE中，由勾股定理得，
BD2+BE2＝DE2，
即（3）2+（2x）2＝（3x）2，
解得x＝3或x＝﹣3（舍去），
即OD＝3，
∴S△DOE＝OD•BD
＝×3×
＝．
故答案为：．
【点评】本题考查垂径定理，三角形中位线定理以及勾股定理，掌握垂径定理，三角形中位线定理以及勾股定理是解决问题的前提，求出OD的长是正确解答的关键．
18．若实数m，n分别满足下列条件：
（1）2（m﹣1）2﹣7＝﹣5；
（2）n﹣3＞0．
试判断点所在的象限为 第一象限或第二象限 ．
【分析】解方程2（m﹣1）2﹣7＝﹣5可得：m1＝0，m2＝2，解不等式n﹣3＞0可得：n＞3，把m和n代入，即可判断点P所在的象限．
解：由（1）得：（m﹣1）2＝1，
∴m1＝0，m2＝2，
由（2）得：n＞3，
∴当m＝0，n＞3时，
2m﹣3＝2×0﹣3＝﹣3＜0，
，
∴在第二象限；
当m＝2，n＞3时，
2m﹣3＝2×2﹣3＝1＞0，
，
∴点在第一象限；
综上所述，在第一象限或第二象限．
故答案为：第一象限或第二象限
【点评】本题考查了点在平面直角坐标系的坐标特征，解不等式，不等式的性质，解方程等，利用不等式性质判断点P的坐标特征是解题关键．
三、解答题（共计78分）
19．解方程：
（1）4（x﹣1）2＝9；
（2）（x+5）2＝3（x+5）．
【分析】（1）方程两边开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；
（2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．
解：（1）4（x﹣1）2＝9，
开方得：2（x﹣1）＝±3，
解得：x1＝，x2＝﹣；
（2）（x+5）2＝3（x+5），
移项，得（x+5）2﹣3（x+5）＝0，
（x+5）（x+5﹣3）＝0，
x+5＝0或x+5﹣3＝0，
解得：x1＝﹣5，x2＝﹣2．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．
20．如图，△ABC的顶点坐标分别为A（0，1），B（3，3），C（1，3）．
（1）画出与△ABC关于点O成中心对称的图形△A1B1C1；
（2）①画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°的△A2B2C2；
②在①基础上，若点M（a，b）为△ABC边上的任意一点，则旋转后对应点的坐标为 （﹣b，a）． ．
【分析】（1）利用关于原点对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）①利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点A2、B2、C2即可；
②利用所画图形写出C2点的坐标．
解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）①画如图，△A2B2C2为所作；
②M（a，b）绕原点O逆时针旋转90°后，旋转后对应点坐标的横坐标为M的M点纵坐标的负值，纵坐标为M的横坐标，
∴旋转后对应点的坐标为（﹣b，a），
故答案为：（﹣b，a）．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
21．已知：二次函数y＝x2+4x+3．
（1）求出该函数图象的顶点坐标；
（2）在所提供的网格中画出该函数的大致范围；
（3）求当﹣4≤x≤2时，函数y的取值范围？
【分析】（1）把二次函数解析式转化为顶点式即可求解；
（2）利用描点法确定抛物线与x轴的交点及顶点，再连线即可作图；
（3）由x＝﹣2时抛物线有最小值，再求x＝﹣4、x＝2时的函数值即可求解．
解：（1）y＝x2+4x+3＝（x+2）2﹣1，
∴该函数图象的顶点坐标为：（﹣2，﹣1）；
（2）函数图象如图所示；
（3）解：∵函数图象的顶点坐标在﹣4≤x≤2之间，
∴当x＝﹣2时，最小值为y＝﹣1，
当x＝﹣4时，y＝3，
当x＝2时，y＝15，
∴当﹣4≤x≤2时，函数y的取值范围为：﹣1≤x≤15．
【点评】本题考查二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数图象与性质是解题的关键．
22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，点C，A的对应点分别为E，F，点E落在BA上，连接AF．
（1）若∠BAC＝40°．则∠BAF的度数为 65° ；
（2）若AC＝8，BC＝6，求AF的长．
【分析】（1）根据三角形的内角和定理得到∠ABC＝50°，根据旋转的性质得到∠EBF＝∠ABC＝50°，AB＝BF，根据三角形的内角和定理即可得到结论；
（2）根据勾股定理得到AB＝10，根据旋转的性质得到BE＝BC＝6，EF＝AC＝8，根据勾股定理即可得到结论．
解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝40°，
∴∠ABC＝50°，
∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，
∴∠EBF＝∠ABC＝50°，AB＝BF，
∴∠BAF＝∠BFA＝（180°﹣50°）＝65°，
故答案为：65°；
（2）∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝10，
∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，
∴BE＝BC＝6，EF＝AC＝8，
∴AE＝AB﹣BE＝10﹣6＝4，
∴AF＝＝4．
【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
23．今年4月，多国禽流感大暴发，大量蛋鸡被扑杀，导致世界级的“鸡蛋荒”．若某国有一只蛋鸡患有禽流感，经过两轮感染后共有64只蛋鸡患病．
（1）每轮传染中平均每只患病蛋鸡传染了几只健康的蛋鸡？
（2）如果不及时控制，那么三轮传染后，患病的蛋鸡会不会超过500只？
【分析】（1）设每轮传染中平均每只患病蛋鸡传染了x只健康的蛋鸡，则第一轮中有x只健康的蛋鸡被传染，第二轮中有x（1+x）只健康的蛋鸡被传染，根据“某国有一只蛋鸡患有禽流感，经过两轮感染后共有64只蛋鸡患病”，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）利用如果不及时控制经过三轮传染后患病的蛋鸡只数＝64+第三轮中被传染的健康的蛋鸡只数，可求出如果不及时控制经过三轮传染后患病的蛋鸡只数，再将其与500比较后即可得出结论．
解：（1）设每轮传染中平均每只患病蛋鸡传染了x只健康的蛋鸡，则第一轮中有x只健康的蛋鸡被传染，第二轮中有x（1+x）只健康的蛋鸡被传染，
根据题意得：1+x+x（1+x）＝64，
整理得：（1+x）2＝64，
解得：x1＝7，x2＝﹣9 （不符合题意，舍去）．
答：每轮传染中平均每只患病蛋鸡传染了7只健康的蛋鸡；
（2）64+64×7
＝64+448
＝512（只），
∵512＞500，
∴如果不及时控制，那么三轮传染后，患病的蛋鸡会超过500只．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
24．在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论．解决以下问题：
如图1，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（60°＜α＜180°）．点D是BC边上的一动点（点D不与B，C重合），将线段AD绕点A顺时针旋转α到线段AE，连接BE．
（1）求证：A，E，B，D四点共圆；
（2）如图2，当AD＝CD时，⊙O是四边形AEBD的外接圆，求证：AC是⊙O的切线．
【分析】（1）根据旋转的性质得到 AE＝AD，∠DAE＝α，证明∠BAE＝∠CAD，进而证明△ABE≌△ACD，可以得到∠AEB＝∠ADC，由∠ADC+∠ADB＝180°，可得∠AEB+∠ADB＝180°，即可证明A、B、D、E四点共圆；
（2）连接OA，OD，根据等边对等角得到∠ABC＝∠ACB＝∠DAC，由圆周角定理得到∠AOD＝2∠ABC＝2∠DAC，再由 OA＝OD，得到∠OAD＝∠ODA，利用三角形内角和定理证明∠DAC+∠OAD＝90°，即∠OAC＝90°，可证明AC是⊙O的切线．
【解答】证明：（1）由旋转的性质可得AE＝AD，∠DAE＝α，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠BAD＝∠DAE﹣∠BAD，即∠BAE＝∠CAD，
又∵AB＝AC，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴∠AEB＝∠ADC，
∵∠ADC+∠ADB＝180°，
∴∠AEB+∠ADB＝180°，
∴A、B、D、E四点共圆；
（2）如图所示，连接OA，OD，
∵AB＝AC，AD＝CD，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠DAC，
∵⊙O是四边形AEBD的外接圆，
∴∠AOD＝2∠ABC，
∴∠AOD＝2∠ABC＝2∠DAC，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵∠OAD+∠ODA+∠AOD＝180°，
∴2∠DAC+2∠OAD＝180°，
∴∠DAC+∠OAD＝90°，即∠OAC＝90°，
∴OA⊥AC，
又∵OA是⊙O的半径，
∴AC是⊙O的切线．
【点评】本题属于四点共圆综合题，主要考查了旋转的性质，等边对等角，解直角三角形，圆周角定理，切线的判定，三角形外 接圆的性质，垂线段最短等等，正确作出辅助线是解题的关键．
25．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；
（3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）运用待定系数法即可求得抛物线的表达式；
（2）利用待定系数法可得直线AM的解析式为y＝2x+2，进而可得D（0，2），作点D关于x轴的对称点D′（0，﹣2），连接D′M，D′H，MH+DH＝MH+D′H≥D′M，即MH+DH的最小值为D′M，利用两点间距离公式即可求得答案；
（3）分三种情况：当DM、PQ为对角线时，当DP、MQ为对角线时，当DQ、PM为对角线时，根据平行四边形的对角线互相平分即对角线的中点重合，分别列方程组求解即可．
解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，
，
解得：，
∴该抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点M（1，4），
设直线AM的解析式为y＝kx+d，则，
解得：，
∴直线AM的解析式为y＝2x+2，
当x＝0时，y＝2，
∴D（0，2），
作点D关于x轴的对称点D′（0，﹣2），连接D′M，D′H，如图1，
∴DH＝D′H，
∴MH+DH＝MH+D′H≥D′M，即MH+DH的最小值为D′M，
∵D′M＝＝，
∴MH+DH的最小值为；
（3）对称轴上存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形．
由（2）得：D（0，2），M（1，4），
∵点P是抛物线上一动点，
∴设P（m，﹣m2+2m+3），
∵抛物线y＝﹣x2+2x+3的对称轴为直线x＝1，
∴设Q（1，n），
如图2，当DM、PQ为对角线时，DM、PQ的中点重合，得：
，
解得：，
∴Q（1，3）；
如图3，当DP、MQ为对角线时，DP、MQ的中点重合，得：
，
解得：，
∴Q（1，1）；
如图4，当DQ、PM为对角线时，DQ、PM的中点重合，得：
，
解得：，
∴Q（1，5）；
综上所述，对称轴上存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为（1，3）或（1，1）或（1，5）．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了求二次函数解析式，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，二次函数图象上点的坐标特征，运用分类讨论思想是解题的关键．