山东省德州市临邑县万力学校、永兴学校2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷 (含答案)

这是一份山东省德州市临邑县万力学校、永兴学校2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷 (含答案)，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省德州市临邑县万力学校、永兴学校九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每题4分，共48分）
1．下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．已知x1，x2是一元二次方程x2+2x﹣k﹣1＝0的两根，且x1x2＝﹣3，则k的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C．3 D．4
3．将二次函数y＝x2+2x﹣1的图象沿x轴向右平移2个单位长度，得到的函数表达式是（　　）
A．y＝（x+3）2﹣2 B．y＝（x+3）2+2 C．y＝（x﹣1）2+2 D．y＝（x﹣1）2﹣2
4．如图，已知△OAB是正三角形，OC⊥OA，OC＝OA．将△OAB绕点O按逆时针方向旋转，使得OB与OC重合，得到△OCD，则旋转的角度是（　　）

A．150° B．120° C．90° D．60°
5．某品牌网上专卖店1月份的营业额为50万元，已知第一季度的总营业额共600万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（　　）
A．50（1+x）2＝600 B．50[1+（1+x）+（1+x）2]＝600
C．50+50×3x＝600 D．50+50×2x＝600
6．下列四个命题：
①等边三角形是中心对称图形；
②在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；
③三角形有且只有一个外接圆；
④垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧．
其中真命题的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，AB是⊙O的直径，若∠BAC＝36°，则∠ADC的度数为（　　）

A．36° B．45° C．54° D．72°
8．如图，AB为⊙O直径，BC＝8，AC＝6，CD平分∠ACB，则AD＝（　　）

A．5 B．6 C．5 D．2
9．已知二次函数y＝3（x﹣a）2的图象上，当x＞2时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（　　）
A．a＜2 B．a≥2 C．a≤2 D．a≤﹣2
10．如图，函数y＝ax2﹣2x+1和y＝ax﹣a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
11．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴正半轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x＝2，且OA＝OC，则下列结论：①abc＞0；②9a+3b+c＜0；③c＞﹣1；④若ax2+bx+c＞0，则1≤x≤3，其中所有正确的结论是（　　）

A．①③ B．②③ C．②④ D．①④​​​​
12．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D，E是斜边上BC上两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论：
①BF⊥BC；②△AED≌△AEF；③BE+DC＝DE；④BE2+DC2＝DE2
其中正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（每题4分，共24分）
13．在平面直角坐标系中，点P（1，1﹣a）与点Q（b+1，5）关于原点对称，ab＝　 　．
14．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为 　 　．
15．设点（﹣2，y1），（1，y2），（2，y3）是抛物线y＝﹣x2﹣2x+a﹣1上的三点，则y1、y2、y3的大小关系为 　 　．
16．飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y＝60t﹣．在飞机着陆滑行中，最后4s滑行的距离是　 　m．
17．在直径为1000毫米的圆柱形油罐内装进一些油，其横截面如图．油面宽AB＝600毫米，如果再注入一些油后，油面宽变为800毫米，此时油面上升了 　 　毫米．

18．如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝4．将△AOB沿x轴依次以点A、B、O为旋转中心顺时针旋转，分别得到图②、图③、…，则旋转得到的第13个三角形的直角顶点的坐标为　 　．

三、解答题（共78分）
19．（10分）解下列方程．
（1）x2﹣2x﹣2＝0
（2）3x（x﹣2）＝x﹣2
20．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC的两边AB，AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5．当△ABC是等腰三角形时，求k的值．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（﹣1，﹣2），B（﹣2，﹣4），C（﹣4，﹣1）．
（1）△ABC关于原点对称的△A1B1C1，请画出△A1B1C1，并写出A1的坐标；
（2）把△ABC绕原点O逆时针旋转90°，得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2，写出B2的坐标，并求点A在此旋转过程中走过的路径的长．

22．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，∠CAB＝90°，以点A为圆心，以AB的长为半径作⊙A，交BC边于点E，交AC于点F，连接DE．
（1）求证：DE与⊙A相切；
（2）若∠ABC＝60°，AB＝4，求阴影部分的面积．

23．（12分）某商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每周可卖出180件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每周就会少卖出5件，但每件售价不能高于50元，设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每周的销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）每件商品的售价为多少元时，每周可获得最大利润？最大利润是多少？
（3）每件商品的售价定为多少元时，每周的利润恰好是2145元？
24．（12分）如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y＝﹣x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到墙面OB的水平距离为3m，到地面OA的距离为m．

（1）求该抛物线对应的函数解析式，并计算出拱顶D到地面OA的距离．
（2）一辆货车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货运汽车能否安全通过？
（3）在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少？
25．（14分）如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M．
（1）求抛物线的解析式和对称轴；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．


2022-2023学年山东省德州市临邑县万力学校、永兴学校九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题4分，共48分）
1．下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念判断即可．
【解答】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形．故正确；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；
D、不是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误．
故选：A．
2．已知x1，x2是一元二次方程x2+2x﹣k﹣1＝0的两根，且x1x2＝﹣3，则k的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C．3 D．4
【分析】根据根与系数的关系可得出x1x2＝﹣k﹣1，结合x1x2＝﹣3可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2+2x﹣k﹣1＝0的两根，
∴x1x2＝﹣k﹣1．
∵x1x2＝﹣3，
∴﹣k﹣1＝﹣3，
解得：k＝2．
故选：B．
3．将二次函数y＝x2+2x﹣1的图象沿x轴向右平移2个单位长度，得到的函数表达式是（　　）
A．y＝（x+3）2﹣2 B．y＝（x+3）2+2 C．y＝（x﹣1）2+2 D．y＝（x﹣1）2﹣2
【分析】根据题目中的函数解析式，可以先化为顶点式，然后再根据左加右减的方法进行解答即可得到平移后的函数解析式．
【解答】解：∵y＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2，
∴二次函数y＝x2+2x﹣1的图象沿x轴向右平移2个单位长度，得到的函数表达式是：y＝（x+1﹣2）2﹣2＝（x﹣1）2﹣2，
故选：D．
4．如图，已知△OAB是正三角形，OC⊥OA，OC＝OA．将△OAB绕点O按逆时针方向旋转，使得OB与OC重合，得到△OCD，则旋转的角度是（　　）

A．150° B．120° C．90° D．60°
【分析】根据等边三角形的性质求出∠BOA，根据垂直求出∠AOC，求出∠BOC即可．
【解答】解：∵△OAB是正三角形，
∴∠BOA＝60°，
∵OC⊥OA，
∴∠AOC＝90°，
∴∠BOC＝∠BOA+∠AOC＝60°+90°＝150°，
即旋转角是150°，
故选：A．
5．某品牌网上专卖店1月份的营业额为50万元，已知第一季度的总营业额共600万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（　　）
A．50（1+x）2＝600 B．50[1+（1+x）+（1+x）2]＝600
C．50+50×3x＝600 D．50+50×2x＝600
【分析】先得到二月份的营业额，三月份的营业额，等量关系为：一月份的营业额+二月份的营业额+三月份的营业额＝600万元，把相关数值代入即可．
【解答】解：∵一月份的营业额为50万元，平均每月增长率为x，
∴二月份的营业额为50×（1+x），
∴三月份的营业额为50×（1+x）×（1+x）＝50×（1+x）2，
∴可列方程为50+50×（1+x）+50×（1+x）2＝600，
即50[1+（1+x）+（1+x）2]＝600．
故选：B．
6．下列四个命题：
①等边三角形是中心对称图形；
②在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；
③三角形有且只有一个外接圆；
④垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧．
其中真命题的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据等边三角形的性质即可得出等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，即可判断①；举出反例，即可判断②；根据三角形的外接圆的定义即可判断③；根据垂径定理即可判断④．
【解答】解：∵等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，
∴①是假命题；
如图，∠C和∠D都对弦AB，但∠C和∠D不相等，即②是假命题；
三角形有且只有一个外接圆，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，即③是真命题；
垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧，即④是真命题．
故选：B．

7．如图，AB是⊙O的直径，若∠BAC＝36°，则∠ADC的度数为（　　）

A．36° B．45° C．54° D．72°
【分析】如图，连接BC．求出∠ABC即可解决问题．
【解答】解：如图，连接BC．

∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝54°，
∴∠ADC＝∠ABC＝54°，
故选：C．
8．如图，AB为⊙O直径，BC＝8，AC＝6，CD平分∠ACB，则AD＝（　　）

A．5 B．6 C．5 D．2
【分析】连接OD，由圆周角定理可得∠ACB＝90°，利用勾股定理可求解AB的长，由角平分线的定义可得，即可得△AOD为等腰直角三角形，进而可求解AD的长．
【解答】解：连接OD，

∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB＝90°，
∵BC＝8，AC＝6，
∴AB＝10，
∴OA＝OD＝5，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴，
即D为的中点，
∴∠AOD＝90°，
∴AD＝，
故选：C．
9．已知二次函数y＝3（x﹣a）2的图象上，当x＞2时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（　　）
A．a＜2 B．a≥2 C．a≤2 D．a≤﹣2
【分析】根据二次函数的性质，利用二次函数的对称轴不大于2列式计算即可得解．
【解答】解：二次函数y＝3（x﹣a）2的对称轴为直线x＝a，
∵当x＞a时，y的值随x值的增大而增大，
∴a≤2．
故选：C．
10．如图，函数y＝ax2﹣2x+1和y＝ax﹣a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可．
【解答】解：A、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝ax2﹣2x+1的图象应该开口向下，故选项错误；
B、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x＝﹣＞0，故选项正确；
C、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x＝﹣＞0，和x轴的正半轴相交，故选项错误；
D、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，故选项错误．
故选：B．
11．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴正半轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x＝2，且OA＝OC，则下列结论：①abc＞0；②9a+3b+c＜0；③c＞﹣1；④若ax2+bx+c＞0，则1≤x≤3，其中所有正确的结论是（　　）

A．①③ B．②③ C．②④ D．①④​​​​
【分析】由抛物线的开口方向得到a＞0，由抛物线的对称轴方程得到b＝﹣4a＜0，由抛物线与y轴的交点位置得c＜0，则可对①进行判断，再利用x＝3时，y＞0可对②进行判断；接着利用OA＝OC＜1得到﹣c＜1，则可对③进行判断；由于抛物线与x轴的一个交点在（0，0）与（1，0）之间，另一个交点在（3，0）与（4，0）之间，则结合函数图象可对④进行判断．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2，
∴b＝﹣4a＜0，
∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，所以①正确；
∵x＝3时，y＞0，
∴9a+3b+c＞0，所以②错误；
∵OA＝OC，
而OA＜1，
∴﹣c＜1，
∴c＞﹣1，所以③正确；
∵抛物线与x轴的一个交点在（0，0）与（1，0）之间，另一个交点在（3，0）与（4，0）之间，
∴④错误．
故选：A．
12．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D，E是斜边上BC上两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论：
①BF⊥BC；②△AED≌△AEF；③BE+DC＝DE；④BE2+DC2＝DE2
其中正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】①根据旋转的性质得BF＝DC、∠FBA＝∠C、∠BAF＝∠CAD，由∠ABC+∠C＝90°知∠ABC+∠FBA＝90°，即可判断①；
②由∠BAC＝90°、∠DAE＝45°知∠BAE+∠CAD＝∠DAE＝45°，继而可得∠EAF＝∠EAD，可判断②；
③由BF＝DC、EF＝DE，根据BE+BF＞EF可判断③；
④根据BE2+BF2＝EF2可判断④．
【解答】解：∵△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，
∴△ADC≌△AFB，
∴BF＝DC，∠FBA＝∠C，∠BAF＝∠CAD，
又∵∠ABC+∠C＝90°，
∴∠ABC+∠FBA＝90°，即∠FBC＝90°，
∴BF⊥BC，故①正确；

∵∠BAC＝90°，∠DAE＝45°，
∴∠BAE+∠CAD＝∠DAE＝45°，
∴∠BAE+∠BAF＝∠DAE＝45°，即∠EAF＝∠EAD，
在△AED和△AEF中，
∵，
∴△AED≌△AEF，故②正确；

∵BF＝DC，
∴BE+DC＝BE+BF，
∵△AED≌△AEF，
∴EF＝DE，
在△BEF中，∵BE+BF＞EF，
∴BE+DC＞DE，故③错误，


∵∠FBC＝90°，
∴BE2+BF2＝EF2，
∵BF＝DC、EF＝DE，
∴BE2+DC2＝DE2，正确；
故选：C．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．在平面直角坐标系中，点P（1，1﹣a）与点Q（b+1，5）关于原点对称，ab＝　﹣12　．
【分析】直接利用关于原点对称点的性质，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y），进而得出答案．
【解答】解：∵点P（1，1﹣a）与点Q（b+1，5）关于原点对称，
∴b+1+1＝0，1﹣a+5＝0，
解得：b＝﹣2，a＝6，
∴ab＝6×（﹣2）＝﹣12．
故答案为：﹣12．
14．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为 　k＜3且k≠0　．
【分析】根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义得到k≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4k＝12﹣4k＞0，解不等式即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴k≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4k＝12﹣4k＞0，
解得k＜3且k≠0，
故答案为：k＜3且k≠0．
15．设点（﹣2，y1），（1，y2），（2，y3）是抛物线y＝﹣x2﹣2x+a﹣1上的三点，则y1、y2、y3的大小关系为 　y1＞y2＞y3　．
【分析】由抛物线解析式可得抛物线的开口方向及对称轴，由点到对称轴距离的大小关系求解．
【解答】解：∵y＝﹣x2﹣2x+a﹣1，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，
∵﹣1﹣（﹣2）＜1﹣（﹣1）＜2﹣（﹣1），
∴y1＞y2＞y3．
故答案为：y1＞y2＞y3．
16．飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y＝60t﹣．在飞机着陆滑行中，最后4s滑行的距离是　24　m．
【分析】由于飞机着陆，不会倒着跑，所以当y取得最大值时，t也取得最大值，求得t的取值范围即可，结合取值范围求得最后4s滑行的距离．
【解答】解：当y取得最大值时，飞机停下来，
则y＝60t﹣1.5t2＝﹣1.5（t﹣20）2+600，
此时t＝20，飞机着陆后滑行600米才能停下来．
因此t的取值范围是0≤t≤20；
即当t＝16时，y＝576，
所以600﹣576＝24（米）
故答案是：24．
17．在直径为1000毫米的圆柱形油罐内装进一些油，其横截面如图．油面宽AB＝600毫米，如果再注入一些油后，油面宽变为800毫米，此时油面上升了 　100毫米或700　毫米．

【分析】过点O作OF⊥AB于点G，交⊙O于点G，连接OA，由垂径定理即可求得AF的长，再由勾股定理求得OF的长，然后分两种情况，①当油面CD在圆心O的下方时，②当CD在圆心O上方时，由垂径定理和勾股定理分别求出油面上升的高度即可．
【解答】解：如图，过O作OF⊥AB交AB于F，交圆O于G，连接OA，
∴AF＝AB＝300（毫米），
∵直径MN＝1000毫米，
∴OA＝OG＝500毫米，
在Rt△OAF中，由勾股定理得：OF＝＝＝400（毫米），
油面宽变为800毫米时，存在两种情况：
①当油面CD在圆心O的下方时，连接OC，
∵OE⊥CD，
∴CE＝CD＝400（毫米），
∴OE＝＝＝300（毫米），
∴EF＝OF﹣OE＝400﹣300＝100（毫米）；
②当油面CD在圆心O上方时，同理可得油面上升的高度为：400+300＝700（毫米）；
综上所述，如果再注入一些油后，油面宽变为800毫米，此时油面上升了100毫米或700毫米，
故答案为：100毫米或700．

18．如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝4．将△AOB沿x轴依次以点A、B、O为旋转中心顺时针旋转，分别得到图②、图③、…，则旋转得到的第13个三角形的直角顶点的坐标为　（48，0）　．

【分析】利用勾股定理得到AB的长度，结合图形可求出图③的直角顶点的坐标；根据图形不难发现，每3个图形为一个循环组依次循环，且下一组的第一个图形与上一组的最后一个图形的直角顶点重合．
【解答】解：∵∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝4，
∴AB＝＝5，
根据图形，每3个图形为一个循环组，3+5+4＝12，
所以，第13个三角形的直角顶点在x轴上，横坐标为12×4＝48，
所以，第13个三角形的直角顶点的坐标为（48，0），
故答案为：（48，0）．
三、解答题（共78分）
19．（10分）解下列方程．
（1）x2﹣2x﹣2＝0
（2）3x（x﹣2）＝x﹣2
【分析】（1）利用配方法求解可得；
（2）利用因式分解法求解可得．
【解答】解：（1）∵x2﹣2x﹣2＝0，
∴x2﹣2x＝2，
∴x2﹣2x+1＝2+1，即（x﹣1）2＝3，
则x﹣1＝±，
∴x1＝1+，x2＝1﹣；

（2）∵3x（x﹣2）＝x﹣2，
∴3x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，
则（x﹣2）（3x﹣1）＝0，
∴x﹣2＝0或3x﹣1＝0，
解得x1＝2，x2＝．
20．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC的两边AB，AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5．当△ABC是等腰三角形时，求k的值．
【分析】（1）计算判别式的值得到Δ＝1＞0．然后根据判别式的意义得到结论；
（2）利用因式分解法解方程得到∴x1＝k，x2＝k+1，AB、AC的长为k、k+1，讨论当AB＝BC时，即 k＝5；当AC＝BC时，k+1＝5，解得 k＝4．
【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（k2+k）＝1＞0．
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：∵由 x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0，得（x﹣k）[x﹣（k+1）]＝0，
∴x1＝k，x2＝k+1．
即AB、AC的长为k、k+1，
当AB＝BC时，即 k＝5，满足三角形构成条件；
当AC＝BC时，k+1＝5，解得 k＝4，满足三角形构成条件．
综上所述，k＝4 或 k＝5．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（﹣1，﹣2），B（﹣2，﹣4），C（﹣4，﹣1）．
（1）△ABC关于原点对称的△A1B1C1，请画出△A1B1C1，并写出A1的坐标；
（2）把△ABC绕原点O逆时针旋转90°，得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2，写出B2的坐标，并求点A在此旋转过程中走过的路径的长．

【分析】（1）利用中心对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）将点A、B分别绕点C逆时针旋转90°得到对应点，再首尾顺次连接即可得．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，A1的坐标（1，2）；
（2）如图，△A2B2C2即为所求，B2的坐标（﹣1，1），点A在此旋转过程中走过的路径的长＝＝π．

22．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，∠CAB＝90°，以点A为圆心，以AB的长为半径作⊙A，交BC边于点E，交AC于点F，连接DE．
（1）求证：DE与⊙A相切；
（2）若∠ABC＝60°，AB＝4，求阴影部分的面积．

【分析】（1）证明：连接AE，根据平行四边形的性质得到AD＝BC，AD∥BC，求得∠DAE＝∠AEB，根据全等三角形的性质得到∠DEA＝∠CAB，得到DE⊥AE，于是得到结论；
（2）根据已知条件得到△ABE是等边三角形，求得AE＝BE，∠EAB＝60°，得到∠CAE＝∠ACB，得到CE＝BE，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接AE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AE＝AB，
∴∠AEB＝∠ABC，
∴∠DAE＝∠ABC，
∴△AED≌△BAC（SAS），
∴∠DEA＝∠CAB，
∵∠CAB＝90°，
∴∠DEA＝90°，
∴DE⊥AE，
∵AE是⊙A的半径，
∴DE与⊙A相切；
（2）解：∵∠ABC＝60°，AB＝AE＝4，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE＝BE，∠EAB＝60°，
∵∠CAB＝90°，
∴∠CAE＝90°﹣∠EAB＝90°﹣60°＝30°，∠ACB＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°，
∴∠CAE＝∠ACB，
∴AE＝CE，
∴CE＝BE，
∴S△ABC＝AB•AC＝＝8，
∴S△ACE＝S△ABC＝＝4，
∵∠CAE＝30°，AE＝4，
∴S扇形AEF＝＝＝，
∴S阴影＝S△ACE﹣S扇形AEF＝4﹣．

23．（12分）某商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每周可卖出180件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每周就会少卖出5件，但每件售价不能高于50元，设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每周的销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）每件商品的售价为多少元时，每周可获得最大利润？最大利润是多少？
（3）每件商品的售价定为多少元时，每周的利润恰好是2145元？
【分析】（1）根据销售利润＝每件的利润×销售数量，构建函数关系即可．
（2）利用二次函数的性质即可解决问题．
（3）列出方程，解方程即可解决问题．
【解答】解：（1）由题意得：
y＝（40+x﹣30）（180﹣5x）＝﹣5x2+130x+1800（0≤x≤10）

（2）对称轴：x＝﹣＝﹣＝13，
∵13＞10，a＝﹣5＜0，
∴在对称轴左侧，y随x增大而增大，
∴当x＝10时，y最大值＝﹣5×102+130×10+1800＝2600，
∴售价＝40+10＝50元
答：当售价为50元时，可获得最大利润2600元．

（3）由题意得：﹣5x2+130x+1800＝2145
解之得：x＝3或23（不符合题意，舍去）
∴售价＝40+3＝43元．
答：售价为43元时，每周利润为2145元．
24．（12分）如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y＝﹣x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到墙面OB的水平距离为3m，到地面OA的距离为m．

（1）求该抛物线对应的函数解析式，并计算出拱顶D到地面OA的距离．
（2）一辆货车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货运汽车能否安全通过？
（3）在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少？
【分析】（1）先确定B点和C点坐标，然后利用待定系数法可以求出抛物线表达式．再利用配方法确定顶点D的坐标，即可得到点D到地面OA的距离；
（2）由于抛物线的对称轴为直线x＝6，而隧道内设双向行车道，车宽为4m，则货运汽车最外侧与地面OA的交点为（2，0）或（10，0）．接下来通过计算自变量为2和10时对应的函数值，再把函数值与6进行大小比较，即可作出判断；
（3）由于抛物线开口向下，可知函数值越大，对称点之间的距离越小，于是计算函数值为8时所对应的自变量的值，即可得到两排灯的水平距离最小值．
【解答】解：（1）根据题意得B（0，4），C（3，）．
把B（0，4），C（3，）代入y＝﹣x2+bx+c，得
，
解得．
所以抛物线的函数解析式为y＝﹣x2+2x+4．
配方，得y＝﹣（x﹣6）2+10，
于是可得点D的坐标为（6，10）．
所以拱顶D到地面OA的距离为10m；
（2）由题意得货运汽车最外侧与地面OA的交点为（2，0）或（10，0），
当x＝2或x＝10时，y＝＞6，
所以这辆货车能安全通过；
（3）令y＝8，则﹣（x﹣6）2+10＝8，
解得x1＝6+2，x2＝6﹣2，
于是有x1﹣x2＝4，
即两排灯的水平距离最小是4m．
25．（14分）如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M．
（1）求抛物线的解析式和对称轴；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），可利用两点式法设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣5），代入A（0，4）即可求得函数的解析式，则可求得抛物线的对称轴；
（2）点A关于对称轴的对称点A′的坐标为（6，4），连接BA′交对称轴于点P，连接AP，此时△PAB的周长最小，可求出直线BA′的解析式，即可得出点P的坐标．
（3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．设N点的横坐标为t，此时点N（t，t2﹣t+4）（0＜t＜5），再求得直线AC的解析式，即可求得NG的长与△ACN的面积，由二次函数最大值的问题即可求得答案．
【解答】解：（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣5），
把点A（0，4）代入上式得：a＝，
∴y＝（x﹣1）（x﹣5）＝x2﹣x+4＝（x﹣3）2﹣，
∴抛物线的对称轴是：直线x＝3；
（2）存在，P点坐标为（3，）．
理由如下：
∵点A（0，4），抛物线的对称轴是直线x＝3，
∴点A关于对称轴的对称点A′的坐标为（6，4）
如图1，连接BA′交对称轴于点P，连接AP，此时△PAB的周长最小．

设直线BA′的解析式为y＝kx+b，
把A′（6，4），B（1，0）代入得，
解得，
∴y＝x﹣，
∵点P的横坐标为3，
∴y＝×3﹣＝，
∴P（3，）．
（3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．
设N点的横坐标为t，此时点N（t，t2﹣t+4）（0＜t＜5），
如图2，过点N作NG∥y轴交AC于G；作AD⊥NG于D，

由点A（0，4）和点C（5，0）可求出直线AC的解析式为：y＝﹣x+4，
把x＝t代入得：y＝﹣t+4，则G（t，﹣t+4），
此时：NG＝﹣t+4﹣（t2﹣t+4）＝﹣t2+4t，
∵AD+CF＝CO＝5，
∴S△ACN＝S△ANG+S△CGN＝AD×NG+NG×CF＝NG•OC＝×（﹣t2+4t）×5＝﹣2t2+10t＝﹣2（t﹣）2+，
∴当t＝时，△CAN面积的最大值为，
由t＝，得：y＝t2﹣t+4＝﹣3，
∴N（，﹣3）．