数学必修 第一册4.1 函数的奇偶性测试题

【基础】4.1 函数的奇偶性-1同步练习

一．填空题

1．函数是定义在上的奇函数，当时，，则______．

2．定义在上的偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集是____________.

3．已知函数，若，则实数的取值范围为________．

4．写出一个在区间上单调递减的偶函数___________.

5．若偶函数的图像关于对称，当时，，则函数在上的零点个数是__________.

6．设f (x)是定义在R上周期为4的奇函数，若在区间[－2，0)∪(0，2]上，f (x)＝则f (2019)＝________.

7．函数（其中为有理数集）被称为狄利克雷函数，关于函数有如下四个命题：

①；

②函数是偶函数；

③任何非有理数都有函数的周期；

④存在三个点，，，使得为等边三角形，

其中真命题的是________．

8．已知函数，则是不等式成立的的取值范围是________.

9．设，若满足关于的方程恰有三个不同的实数解，则①___________，②___________.

10．已知函数的最大值为，最小值为，则等于___________.

11．已知奇函数的周期为2，且当时，，则的值为_______．

12．若函数 是周期为4的奇函数，且在上的解析式为 ，则 ___________

13．已知是定义在上的奇函数，当时，，则曲线在点处的切线方程为___________.

14．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减．若，，，则，，的大小关系为______．（用符号“”连接）

15．设函数为奇函数，则实数______

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】，又因为函数是奇函数，

.

故答案为：

2．【答案】或

【解析】由题意可知，函数是上的偶函数，且在上单调递增，，所以函数在上单调递减，，当，即时，，得，即，所以；当，即时，，得，即，所以不等式的解集是或.

故答案为：或.

3．【答案】

【解析】分析：判断出为偶函数，且在上单调递增，然后可得，解出即可.

详解：因为为偶函数，且在上单调递增

所以由可得，即

解得

故答案为：

4．【答案】(答案不唯一)

【解析】分析：根据函数的性质直接写出一个函数.

详解：由题可知：一个在区间上单调递减的偶函数，可以是

故答案为：(答案不唯一)

5．【答案】26

【解析】先确定函数周期，再根据周期作与图象，最后根据交点个数确定结果.

详解：因为偶函数的图像关于对称，

所以周期为3

因为当时，，

所以当时，，

因此当时，，

因为

所以当时，有一个交点；当时，有两个交点；当时，有两个交点；当时，有两个交点；当时，有两个交点；当时，有两个交点；当时，有两个交点；

从而当时，共有个交点；（原点不是交点）

根据偶函数对称性，当时，共有个交点；

故答案为：26

【点睛】

本题考查函数周期．偶函数性质．函数零点个数，考查数形结合思想方法，属基础题.

6．【答案】

【解析】分析：先根据f (x)是周期为4的奇函数，求得其解析式，再利用周期性求解.

详解：因为f (x)是奇函数，

所以，即 ，

解得 ，

又因为f (x)的周期为4，

所以 ，即 ，

解得 ，

所以 ，

所以，

故答案为：

7．【答案】②③④

【解析】分析：对于①：直接利用狄利克雷函数的定义验证；

对于②：直接利用偶函数的定义验证；

对于③：直接利用周期函数的定义验证；

对于④：取三个特殊点,进行验证.

详解：对于①：等0或1，均为有理数，所以成立；故①不正确.

对于②：若x为有理数，则-x为有理数，所以，

若x为无理数，则-x为无理数，所以；

即函数是偶函数；故②正确.

对于③：任意非有理数，即为无理数，则取一个非零有理数T，所以为无理数，所以,即T为函数的一个周期；故③正确.

对于④：取可得：

所以当时,恰好为等边三角形；故④正确.

故答案为：②③④

【点睛】

数学中的新定义题目解题策略：

(1)仔细阅读，理解新定义的内涵；

(2)根据新定义，对对应知识进行再迁移.

8．【答案】

【解析】分析：由奇偶性定义可判断出为偶函数，结合复合函数单调性的判断可得到在上单调递增，由偶函数性质知其在上单调递减，利用函数单调性可把不等式化为，解不等式即可求得结果.

详解：定义域为，，

为上的偶函数；

当时，单调递增，

设，，

在上单调递增，在上单调递增，

在上单调递增，又为偶函数，

在上单调递减；

由得：，即，解得：或，

不等式成立的的取值范围为.

故答案为：.

【点睛】

方法点睛：本题考查利用函数单调性和奇偶性求解函数不等式的问题，解决此类问题中，奇偶性和单调性的作用如下：

（1）奇偶性：统一不等式两侧符号，同时根据奇偶函数的对称性确定对称区间的单调性；

（2）单调性：将函数值的大小关系转化为自变量之间的大小关系.

9．【答案】0     

【解析】分析：首先设函数，得到函数是偶函数，从而有的值；因此方程必有一解为0，代入得，分和两种情况得出函数的单调性和最值，从而求得

详解：设函数，满足，

可知函数是偶函数，

，且，，，，即，

当时，，当且仅当时等号成立，

当时，在上单调递增，

， ，得

又在上递增，，即，，

.

故答案为：；

【点睛】

关键点点睛：本题考查函数与方程的综合知识，关键构造合适的函数，判断函数的单调性，奇偶性，最值，属于偏难习题，本题的关键一点是利用，求得，以及分两种情况讨论函数.

10．【答案】8

【解析】分析：对函数的解析式进行化简，构造奇函数，利用奇函数的性质进行求解即可.

详解：，，

因为，所以函数是奇函数，

因此，因此，

故答案为：8

【点睛】

关键点睛：本题的关键是化简函数的解析式，通过构造奇函数，利用奇函数的性质进行求解.

11．【答案】1

【解析】分析：由条件可得，然后可得答案.

详解：因为奇函数的周期为2，且当时，

所以

故答案为：1

12．【答案】

【解析】分析：通过函数的奇偶性以及函数的周期性，分析可得，，由函数的解析式可得与的值，将其相加即可得答案．

详解：根据题意，函数是周期为4的奇函数，

则，，

又由函数在，上的解析式为

则，，

则，

故答案为：

【点睛】

方法点睛：对于周期函数求值，一般要利用周期先把函数的自变量转化到已知函数的定义域内，再求值.

13．【答案】

【解析】分析：由奇函数的定义可得x＜0时f（x）的解析式，求得导数，可得切线的斜率，由点斜式方程可得所求切线方程．

详解：由是上的奇函数，

当x＜0时，,f（x）＝f（﹣x）＝，

则，可得，f（﹣1）＝0，

故在处的切线方程为y﹣0＝（x+1），即x-y+1＝0，

故答案为：．

14．【答案】

【解析】分析：利用偶函数将所有自变量变换到大于0进行比较，再利用函数单调性得到答案.

详解：因为函数是定义在R上的偶函数，

所以，，

由在上单调递减知，

故答案为：

【点睛】

关键点点睛：根据偶函数的性质，转化为上进行自变量的大小比较是解题的关键，属于中档题.

15．【答案】

【解析】函数的定义域是，是奇函数，，，根据，即，得，

当时，，，

满足函数是奇函数，所以.故答案为：