北师大版（2019）必修第一册3-1不等式的性质课堂作业含答案1

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【精品】3.1 不等式的性质-2课堂练习一．填空题1．已知，且，则的最小值为______．2．已知正数，满足，则的最小值为______．3．对于直角三角形的研究，中国早在商朝时期商高就提出了“勾三股四玄五”勾股定理的特例，而西方直到公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯才提出并证明了勾股定理如果一个直角三角形的斜边长等于5，那么这个直角三角形面积的最大值等于______．4．若．为实数, 且, 则的最小值为__________．5．已知，，且满足，则的最小值为__________．6．已知1≤a≤2，3≤b≤6，则3a﹣2b的取值范围为_____．7．如图，点在的边上，且，，，则的最大值为________．8．已知，且，则的最大值为________.9．若，则的最小值为_____．10．已知，且，，则的最小值为______，的最小值为______..11．在实数集中定义一种运算“”，具有性质：（1）对任意；（2）对任意；（3）对任意 .则函数的最小值为________．12．若，则的最小值为______．13．已知x＞0，y＞0，且x+y＝6，则的最大值为_____14．已知正项等比数列满足，若存在两项，，使得，则的最小值为________．15．若正实数满足，则的最小值为______．
参考答案与试题解析1．【答案】4.【解析】直接利用代数式的恒等变换和利用均值不等式的应用求出结果．【详解】∵，∴，∴，当且仅当，时取等号，故答案为：4.【点睛】本题考查的知识要点：代数式的恒等变换，均值不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．2．【答案】24【解析】给乘展开后利用基本不等式即可.【详解】因为，（）（）=（6+6+），故答案为24.【点睛】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．【答案】【解析】设直角三角形的斜边为c，直角边分别为a，b，根据勾股定理，以及基本不等式的性质进行求解即可．【详解】设直角三角形的斜边为c，直角边分别为a，b，由题意知，则，则三角形的面积，，，则三角形的面积，当且仅当a=b=取等即这个直角三角形面积的最大值等于，故答案为：．【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，考查三角形面积的计算，利用基本不等式的性质结合勾股定理，三角形的面积公式是解决本题的关键．4．【答案】6【解析】因为，所以，当且仅当时取等．考点：均值不等式求最值．【方法点睛】均值不等式（）求最值：①使用条件“一正．二定．三相等”．"一正"是指；“二定”是指a与b的和为定值或积为定值；“三相等”等号成立的条件成立．当形式上看似能用均值不等式求最值，但等号成立的条件不成立，则应利用函数的单调性求最值．如：，利用函数在定义域内单调递增求最值．5．【答案】16【解析】将所求式子变为，整理为符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得结果.【详解】∵，∴,故答案为16.【点睛】本题考查基本不等式求解和的最小值的问题，关键是构造出符合基本不等式的形式，从而得到结果，属于常规题型.6．【答案】【解析】由不等式的性质进行求解即可．【详解】∵1≤a≤2，3≤b≤6，∴3≤3a≤6，﹣12≤﹣2b≤﹣6，由不等式运算的性质得﹣9≤3a﹣2b≤0，即3a﹣2b的取值范围为[﹣9，0].故答案为：[﹣9，0]【点睛】本题考查了不等式性质的应用，根据不等式的性质是解决本题的关键，属于基础题．7．【答案】【解析】先计算出的值，利用可得，两边平方后整理可得，设，则，利用基本不等式可求的最大值.【详解】因为，所以因为，所以即，整理得到，两边平方后有，所以即，整理得到，设，所以，因为，所以，，当且仅当，时等号成立，故填.【点睛】三角形中可根据点分线段成比例得到向量之间的关系，从而得到所考虑的边的长度之间的关系.三角形中关于边的和的最值问题，可通过基本不等式来求，必要时需代数变形构造所需的目标代数式.8．【答案】【解析】由xy﹣z＝0，得x＝，结合，得x＞2，再解待求式的倒数的取值范围即可．【详解】∵xy﹣z＝0，∴xy＝z，即x＝，∵，∴x＞2，∴令t＝，∴，当且仅当取等号，∴的最大值是．故答案为：．【点睛】本题重点考查基本不等式及其应用，不等式的基本性质等知识，属于中档题．9．【答案】【解析】由基本不等式，可得到，然后利用，可得到最小值，要注意等号取得的条件。【详解】由题意，，当且仅当时等号成立，所以，当且仅当时取等号，所以当时，取得最小值．【点睛】利用基本不等式求最值必须具备三个条件：①各项都是正数；②和（或积）为定值；③等号取得的条件。10．【答案】      【解析】利用消去，利用二次函数的性质可求的最小值，利用基本不等式可求的最小值．【详解】因为，所以，因，故．，当时，有最小值且为．，故，当且仅当时等号成立，故的最小值为．综上，填，．【点睛】求多元函数的最值，常见的方法有消元法．基本不等式法或线性规划等．消元法要注意变元范围的传递．应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.11．【答案】【解析】通过赋值法，可得到一般性的结论，对解析式化简，然后即可求得最小值。【详解】因为在（3）中，对任意，令，代入得由（1）中可得由（2）中，化简可得所以因为由基本不等式可得所以最小值为3【点睛】本题考查了新定义的运算，考查了函数式的化简求值，基本不等式的用法，属于难题。 12．【答案】8【解析】根据基本不等式求最值.【详解】因为，所以, 当且仅当时取等号,即的最小值为8.【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.13．【答案】2【解析】由题意结合均值不等式的结论和对数的运算法则确定的最大值即可.【详解】，，且；，当且仅当时取等号；；；的最大值为2.故答案为：2.【点睛】本题主要考查对数的运算法则，均值不等式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14．【答案】4【解析】由可得，然后由 可得所求最小值．【详解】由得，又，∴，解得．∴．∵，∴，∴，∴ ，当且仅当时等号成立．故答案为：4.【点睛】运用基本不等式求最值时，要注意使用的条件，即“一正．二定．三相等”，且三个条件缺一不可．当条件不满足时，需要利用“拆”．“凑”等方法进行适当的变形，使之满足能使用不等式的形式．考查知识间的综合运用，属于基础题．15．【答案】【解析】由得，将转化为，整理，利用基本不等式即可求解。【详解】因为，所以.所以当且仅当，即：时，等号成立。所以的最小值为.【点睛】本题主要考查了构造法及转化思想，考查基本不等式的应用及计算能力，属于基础题。