高中数学北师大版 (2019)必修 第一册2.2 换底公式当堂达标检测题

【优质】2.2 换底公式-2练习

一．填空题

1．________；

2．计算(1)；

（2）

3．方程的解=______.

4．（且），，则______.

5．计算：         ，         ．

6．计算______.

7．已知a＞1，b＞1，若logab=3logba+2，ab=ba，则a+b=______．

8．方程的解为________.

9．计算：______，______．

10．计算：__________．

11．已知对数函数的图象过点M（9，2），则=______

12．设，称为整数的为“希望数”则在内所有“希望数”的个数为___________.

13．若，则______

14．若，则________．

15．若正数，满足，则__________.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】根据对数运算法则，可计算求得答案.

【详解】

原式.

故答案为：.

【点睛】

本题考查对数法则的运用，考查以10为底的常用对数值，考查基本运算求解能力，求解时要注意运算的简洁性.

2．【答案】（1）1；（2）-3

试题分析：【详解】

（1）原式＝

（2）原式=

【解析】

3．【答案】1

【解析】先应用对数运算法则把方程转化为，再化为，然后把作为一个整体，则方程可作为一元二次方程，从而可求解。

【详解】

原方程可化为，

∴，，

，，

∵，∴，。

故答案为：1。

【点睛】

本题考查解对数方程与指数方程。对数方程一般有两种：，，前者利用对数函数性质化为，后者利用换元法，设，化为一元二次方程。

4．【答案】

【解析】根据对数与指数的转化,用表示出,利用换底公式化简,代入等式后即可求得的值.

【详解】

（且）

由指数与对数的转化,可得

由换底公式化简可得

代入可得

即,则,因为且

所以

故答案为:

【点睛】

本题考查了指数与对数的转化,对数的运算与性质的应用,属于基础题.

5．【答案】

【解析】；.

考点：对数运算

6．【答案】22

【解析】先算出每一个对数式的值,再代入进行乘法和加减运算即可.

【详解】

故答案为：22

【点睛】

本题考查了对数式的运算,属于基础题.

7．【答案】4

【解析】设logab=x，x＞0；则logba=，因为logab=3logba+2，所以，x=+2，解得，x=-1（舍去）或x=3，结合ab=ba条件，即可解得a，b的值．

【详解】

解：设logab=x；则logba=，因为logab=3logba+2，

所以，x=+2，解得，x=-1或x=3；

由于a＞1，b＞1，x=logab＞0，所以x=3；

∴logab=3，∴a3=b；①，

又因为ab=ba，

所以ab=（a3）a=a3a；

∴b=3a；且a＞1，b＞1②，

由①②得，a=，b=3；

∴a+b=4．

故答案为：4．

【点睛】

本题考查对数的运算性质，换元的解题方法，是基础题．

8．【答案】0或3

【解析】将化简为:,求解即可求得答案.

【详解】

  可化简为:

令  ()

可得:  化简为: 即:

解得:

或   解得: 或

故答案为:或.

【点睛】

解对数方程时,要将方程化为同底数对数形式,利用真数相等求解方程,这是解本题的关键.

9．【答案】5    2 

【解析】根据指数式及对数运算性质进行运算即可得到结果．

【详解】

；

．

故答案为：5；2.

【点睛】

本题主要考查指数式的运算及对数式的运算，属基础题．

10．【答案】

【解析】原式=,故填.

11．【答案】-1

【解析】根据题意，设函数，将点M（9，2）代入，即可解出的值。再将代入的解析式，即可解出的值。

【详解】

设

则，解得

故答案为：-1.

【点睛】

本题主要考查设解析式法求函数的解析式以及对数函数求值问题。

12．【答案】

【解析】先由题意，得到，推出，令得到，再根据题意，得到，确定的取值个数，即可得出结果.

【详解】

因为，

所以，

令，则，其中；

因为，所以，所以；

又，一个对应一个，所以满足条件的共有个.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查对数的运算性质，熟记对数的运算法则，以及换底公式即可，属于常考题型.

13．【答案】1

【解析】由求得，，利用对数的运算法则化简即可.

【详解】

因为，

所以，

则，故答案为1.

【点睛】

本题主要考查对数的运算与性质，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于基础题.

14．【答案】0

【解析】根据对数运算法则可知，化简为，再求值.

【详解】

，

，

整理为：，

，

即或，

当时， ，故不成立，

当时，成立，，

.

故答案为：0

【点睛】

本题考查对数运算法则熟练应用，意在考查转化与化归和计算能力，属于基础题型.

15．【答案】1

【解析】先令，得到，，，代入所求式子即可求出结果.

【详解】

令，

所以，，，

因此.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查对数与指数幂的运算，熟记对数的运算性质以及指数幂的运算性质即可，属于常考题型.