北师大版 (2019)必修 第一册第四章 对数运算和对数函数3 对数函数3.1 对数函数的概念课后作业题

【精选】3.1 对数函数的概念-1练习

一．填空题

1．已知函数 （，且）．若的反函数的图像经过点，则_____________．

2．已知定义在上的函数满足：，当时，，则等于___________.

3．已知，且．若函数有最大值，则关于x的不等式的解集为_________．

4．若函数的反函数的图象经过点，则___________.

5．若是函数的一个零点，是函数的一个零点，已知函数，则关于的方程的解集是___________.

6．设，已知，，则________．

7．若，则函数的定义域为______．

8．函数的反函数为，__________.

9．已知常数，若函数反函数的图象经过点，则________

10．函数是定义域为的奇函数，当时，，则__________．

11．已知函数有最小值，则的取值范围为__________．

12．若函数的单调递减区间是，则___________.

13．为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念．星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，星星就越暗．到了1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m1﹣m2＝2.5（lgE2﹣lgE1），其中星等为mk的星的亮度为Ek（k＝1，2）．已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，则“心宿二”的亮度大约是“天津四”的_____倍．（结果精确到0.01.当|x|较小时，10x≈1+2.3x+2.7x2）

14．已知函数的反函数为 ，则 ___________．

15．给出以下几个不等式：

①；②；③；④．

其中不等式中成立序号为______．

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】分析：函数与其反函数图象关于直线对称，则在已知函数图象上，代入求解.

详解：与其反函数图象关于直线对称，的反函数的图像经过点，

则的图像经过点，所以，

 即，解得.

故答案为：.

【点睛】

函数与其反函数的图象关于直线对称.

2．【答案】

【解析】分析：根据题意，得出，得到是最小正周期为2的周期函数，从而算出，由时，，结合，算出，即可得到所求的函数值.

详解：，

，可得是最小正周期为2的周期函数，

，

，即，

因此，

，

而，

所以，

故答案为：.

3．【答案】

【解析】分析：由复合函数单调性可确定在上单调递减，在上单调递增；由函数有最大值可知单调递减，得到；根据对数函数单调性可将不等式化为，解不等式求得结果.

详解：，定义域为

在上单调递减，在上单调递增

有最大值，需在上单调递减，

由，得，解得：

不等式的解集为

故答案为：

【点睛】

关键点点睛：本题考查根据函数单调性求解函数不等式，涉及到复合函数单调性的求解．根据函数有最值求解参数范围等知识，解题的关键是通过复合函数的单调性确定函数有最值时，对数的底数所处的范围，再利用对数函数的单调性解不等，考查学生的转化能力与运算求解能力，属于中档题.

4．【答案】

【解析】分析：由条件可知函数过点，代入后即可求得的值.

详解：根据反函数的定义可知，函数的反函数的图象经过点，

则函数经过点，

所以，解得.

故答案为：.

5．【答案】

【解析】分析：根据题中条件，得到分别是直线与函数？函数图象交点的横坐标的值，再由和图象关于对称，求出，进而可求出对应方程的解.

详解：依题意，是方程的解，是方程的解，

因此分别是直线与函数？函数图象交点的横坐标的值，

又和图象关于对称，则由，所以，

则方程，即为，解得或

故答案为：.

【点睛】

关键点点睛：

求解本题的关键在于根据互为反函数的两函数的对称性求出；先由题中条件，将题中条件转化为分别是直线与函数？函数图象交点的横坐标的值，再由与互为反函数，即可求出.

6．【答案】

【解析】因为，，

所以，，解得，，

所以，

所以，即.

故答案为：.

7．【答案】

【解析】分析：利用对数的运算性质，求得，得到函数，结合对数函数的性质，即可求解.

详解：因为，所以，

所以函数满足，解得，

即函数的定义域为．

故答案为：．

8．【答案】

【解析】分析：根据互为反函数的函数间的关系，求反函数值问题可转化为原函数求自变量求解.

详解：由的反函数为，

令，

解得，

所以

故答案为：

9．【答案】0

【解析】分析：根据题中条件，得到的图象经过点，进而可求出结果.

详解：因为函数反函数的图象经过点，

所以的图象经过点，则，所以.

故答案为：.

10．【答案】

【解析】因为是定义域为的奇函数，且当时，，

所以．故答案为：-2

11．【答案】

【解析】当时，的最小值为．

当时，要使存在最小值，必有，解得．

，．

故答案为：.

12．【答案】0或1

【解析】分析：根据方程两根的大小．正负性，结合对数复合型函数单调性的性质进行求解即可.

详解：，当时，显然符合题意；当时，因为，所以的单调递减区间为，由，得或2，均不合题意；当时，因为，所以的单调递减区间为，由，得(舍去)或1.综上，或1.

故答案为：0或1

【点睛】

关键点睛：对两根的大小．正负性分类讨论是解题的关键.

13．【答案】1.26

【解析】分析：令“心宿二”的星等m1＝1.00，“天津四“的星等m2＝1.25，根据题中关系，代入方程，即可求得的值，代入公式，即可求得答案.

详解：由题意，两颗星的星等与亮度满足：m1﹣m2＝2.5（lgE2﹣lgE1），

令“心宿二”的星等m1＝1.00，“天津四“的星等m2＝1.25，

则m2﹣m1＝2.5（lgE1﹣lgE2）＝1.25﹣1.00＝0.25，

所以lgE1﹣lgE2＝，即，

所以，

则”心宿二“的亮度大约是”天津四“的1.26倍，

故答案为：1.26.

14．【答案】

【解析】分析：求出反函数，，将代入即可求解.

详解：函数的反函数是，

，

互换，，得，

则.

故答案为：.

15．【答案】②③④

【解析】分析：利用幂函数的单调性可判断①的正误；利用对数函数的单调性结合作差法．基本不等式可判断②的正误；利用函数的单调性可判断③的正误；利用对数函数可判断④的正误.

详解：对于①，，①错误；

对于②，

，

所以， ，②正确；

对于③，令，其中，则，

令，其中，则，

所以，函数在上单调递减，当时，，则，

所以，函数在上单调递减，

因为，则，即，故，③正确；

对于④，设，其中，则，

当时，，即函数在上单调递减，

所以，，即，所以，，因此，，④正确.

故答案为：②③④.

【点睛】

思路点睛：解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个：

（1）判断各个数值所在的区间；

（2）利用函数的单调性直接解答.

数值比较多的比较大小问题也也可以利用两种方法的综合应用.