浙江省杭州市高级中学2023-2024学年高一上学期期中联考数学试题含答案

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考生须知：
1.本卷满分150分，考试时间120分钟；
2.答题前，在答题卷密封区内填写班级、考试号和姓名；
3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；
4.考试结束后，只需上交答题卷.
选择题部分（共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 命题“，”的否定是（ ）
A. “，”B. “，”
C. “，”D. “，”
【答案】B
【解析】
【分析】根据全称命题的否定为特称命题即可得答案.
【详解】解：命题“，”的否定为：，.
故选：B.
2. 小明有50元钱去买水果，他发现如果买1kg阳光玫瑰和750g涌泉密桔则钱不够，若买1.2kg阳光玫瑰和400g涌泉蜜桔则钱有余，设800g阳光玫瑰与1.4kg涌泉蜜桔的价格分别为，（单位：元），则（ ）
A. B. C. D. ，大小无法比较
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意转化为根据约束条件作出可行域，然后采用平移直线法求解出目标函数的最大值，可得答案.
【详解】设每千克阳光玫瑰元，每千克涌泉密桔元，根据提可得
，，
作出可行域，
由图可知，当直线经过点时，此时有最大值，
由解得，
所以，
由于点不满足，
所以.
故选：A.
3. 下列方程中不能用二分法求近似解的为（ ）
A. B.
C D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用二分法的定义一一判定即可.
【详解】根据二分法的要求，在上，有才能用二分法，
对于A，显然在定义域上单调递增，且，
可以使用二分法，故A错误；
对于B，在定义域上连续，
有，可以使用二分法，故B错误；
对于C，在定义域上连续，
且有，
可以使用二分法，故C错误；
对于D，，
且只有一个零点，故不可以使用二分法，故D正确.
故选：D
4. 函数的值域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】，设，，计算得到答案.
【详解】，
设，则，
故函数的值域为.
故选：C
5. 函数的图象可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由排除D；由排除C；由排除B，即得答案.
【详解】解：因为，
，，故排除D；
又因为，，故排除C；
又因为，
，
所以，
即，
符合题意的只有A，故排除B.
故选：A.
6. 已知集合，集合，则“且”是“”成立的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.
【详解】因为集合，集合，且，
所以 且，反之也成立，
故选：C
7. 已知且，则的最小值为（ ）
A. B. C. 4D.
【答案】B
【解析】
【分析】变换，代入计算得到答案.
【详解】设，，，，，，
解得，即，
故.
当且仅当，即，时等号成立，
故选：B
8. 已知，若满足，则取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】画出函数图像，，设，得到，利用均值不等式计算得到答案.
【详解】，
画出函数图像，如图所示，设，则
，，，
，，
当且仅当，即时等号成立，故，
故选：C.
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 已知集合，，则（ ）
A. 集合有8个子集B. 集合中有6个元素
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】求出集合的子集判断A，求出集合判断B，并集运算判断C，根据集合关系判断D.
【详解】集合的子集为：共8个，所以选项A正确；
由集合，所以，
所以集合中有5个元素，所以选项B错误；
由及知，所以选项C正确；
因为，但是，所以不成立，所以选项D错误.
故选：AC.
10. 一元二次不等式的解集为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据不等式性质确定且，再依次判断每个选项得到答案.
【详解】不等式的解集为，故且，即，
对选项A：，正确；
对选项B：，错误；
对选项C：，正确；
对选项D：，正确.
故选：ACD
11. 已知，，，则下列不等式可能成立为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】AB选项，可举出实例；CD选项，由得到，从而结合函数单调性得到，故，D错误，不妨设，比较出，，C正确.
【详解】A选项，若，则，，，
则，A正确；
B选项，若，则，，，
则，B正确；
CD选项，由定义域可知，，故成立时，
则必有，
此时，
由于，故在上单调递增，故，
又在R上单调递减，故，
故，即，所以，D错误，
下面比较与的大小，
不妨设，此时，
因为，所以，故，
故，
又，因为，所以，
满足，则成立，C正确；
故选：ABC
【点睛】比较指数式，对数式的大小关系，需要结合指数函数，对数函数的单调性，利用中间值比较，或画出函数图象，数形结合进行求解.
12. 已知定义在上的函数的图象为一条连续不断的曲线，且关于点与对称，则（ ）
A. 存在非零实数使B. 函数必存零点
C. 存在实数使D. 存在实数使
【答案】BC
【解析】
【分析】确定函数关于直线对称，举反例得到AD错误，取两点确定对称点在轴上下， B正确，根据函数的连续性得到C正确，得到答案.
【详解】函数图象为一条连续不断的曲线，且关于点与对称，
点与点关于直线对称，故关于直线对称
对选项A：取，满足条件，不是周期函数，错误；
对选项B：取，，关于对称点在轴上方；
取，，关于对称点在轴下方；
函数连续，故函数必存零点，正确；
对选项C：取上一点，若，成立，
若，则关于的对称点为，两点在异侧，函数连续，
故存在实数使，正确；
对选项D：取，满足条件，当时，无解，错误；
故选：BC.
非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13. 已知幂函数是偶函数，则________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可得，进而求解得或，进而根据偶函数的定义验证即可.
【详解】因为函数是幂函数，
所以，解得或，
当时，的定义域为，不符合题意；
当时，的定义域为，
且，则为偶函数，符合题意.
综上所述，.
故答案为：.
14. 计算：________.
【答案】
【解析】
【分析】利用对数的运算法则直接计算即可.
【详解】.
故答案为：
15. 已知定义在上的函数满足，则函数的解析式________.
【答案】
【解析】
【分析】根据已知把换成，建立方程组求解.
【详解】因为，把换成有：，
联立，解得.
故答案为：
16. 已知实数，满足，，则________.
【答案】4
【解析】
【分析】构造同源函数，根据函数的单调性可得，即可得解.
【详解】由，得，
即，即
又，即，
设函数，
所以在上单调递增，
又，
即，
所以，
所以，
故答案为：.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知集合，.
（1）求集合；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）化简不等式为，根据一元二次不等式的解法求解即可；
（2）先求得集合，再根据包含关系求解即可.
【小问1详解】
由，即，
化简得，即，
所以.
【小问2详解】
由，即或，
即或，
所以或，
由，得或，
解得或，
所以实数的取值范围为.
18. 已知，是方程的实数解.
（1）若，，求的最小值；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）5 （2）
【解析】
【分析】（1）利用基本不等式求解即可；
（2）利用不等式的性质求解即可.
【小问1详解】
由是方程的实数解得，又，
所以，
当且仅当即时，取到最小值5.
【小问2详解】
记，则由，得，
解得，故.
19. 已知函数为偶函数.
（1）求实数的值；
（2）求不等式的解集.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据偶函数的定义列式求解即可；
（2）根据函数的单调性及偶函数性质得，然后利用绝对值定义结合对数函数不等式求解即可.
【小问1详解】
由得，
所以，化简得，即，解得.
【小问2详解】
函数由与及
函数在上单调递增，且，
由对勾函数性质知上单调递增，又在定义域上增，
故由复合函数单调性法则知在上单调递增，
又函数为偶函数，所以由不等式可得，
所以或，所以或，
所以不等式的解集为.
20. 通货膨胀率被定义为物价总水平的增长率，已知某件商品2015年10月的定价为21.5，而该商品2023年10月的定价为22.8.该商品的增长率恰与某地区的物价总水平的增长率一致.
（1）求该地区2015年至2023年的年平均通货膨胀率；
（2）资金的增长率被称为名义利率，以欧文·费雪（Irving Fisher）（20世纪一位伟大的货币经济学家）命名的费雪方程式给出了关于实际利率的定义，费雪方程式表明名义利率等于实际利率加上通货膨胀率.已知某银行三年期定期存款的利率如下图所示（银行定期年利率为单利，三年存款的利息=本金*年利率*3）.
图中数据见下表：
（i）求该存款2020年至2023年的实际年平均利率（精确到）；
（ii）若在2015年至2023年间该存款以同样的年利率（3.8500%，单利）存五年定期，则其实际年平均利率与三年定期相比是大还是小?（只写出结论，不要求证明）
参考数据：，，，，，，，
【答案】20.
21. （i）；（ii）五年期实际年平均利率小
【解析】
【分析】（1）设年平均通货膨胀率为，列式计算可得解；
（2）设名义年平均利率为，由题意列式得出的值，进而求出实际年平均利率得解.
【小问1详解】
设年平均通货膨胀率为，由，
解得，故年平均通货膨胀率为.
【小问2详解】
（i）设名义年平均利率为，由，解得，
，故实际年平均利率约为.
（ii）五年期实际年平均利率小.
由，解得，，
故五年期实际年平均利率比三年期小.
21. 已知函数.
（1）求函数的单调递减区间；
（2）若，使不等式对恒成立，求的最小值及的最小值.
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）考虑和两种情况，根据二次函数性质得到答案.
（2）考虑和两种情况，分离常数，题目转化为恒成立问题，计算参数范围，再计算函数的最值得到答案.
【小问1详解】
，
当时，，单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
函数的单调递减区间是.
【小问2详解】
①当时，对恒成立得，
，在上单调递增，，故；
取，
对恒成立，即，
在上单调递增，，故；
②当时，对恒成立，则，
，故，取，
对恒成立，，，
当且仅当时等号成立，故；
③当时，对恒成立，则，
在上单调递增，，故，取；
对恒成立，，故，
故.
取，解得，
时，；时，；
综上所述：，
画出函数图像，如图所示：
根据图像知：.
22. 定义1：通常我们把一个以集合作为元素的集合称为族（cllectin）.
定义2：集合上的一个拓扑（tplgy）乃是的子集为元素的一个族，它满足以下条件：（1）和在中；（2）的任意子集的元素的并在中；（3）的任意有限子集的元素的交在中.
（1）族，族，判断族与族是否为集合的拓扑；
（2）设有限集为全集
（i）证明：；
（ii）族为集合上的一个拓扑，证明：由族所有元素的补集构成的族为集合上的一个拓扑.
【答案】（1）都是集合的拓扑
（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据集合的拓扑定义判断即可；
（2）（i）根据集合的拓扑定义证明充要性即可；
（ii）结合（i）的结论，根据集合的拓扑定义证明.
【小问1详解】
族，都是集合的拓扑.
【小问2详解】
（i）设，则，
故存在整数使，因此，得.
设，则存在整数使，故，
因此，得
（ii）因为，，所以，；
设为的任意子集，则，
，
因为，故；
，
因为，故.
【点睛】方法点睛：解决集合创新型问题的方法：（1）紧扣定义，首项分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题本质弄清楚，并能够运用到具体的解题过程中；（2）用好集合性质，集合性质时破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在关键之处用好集合的性质.
存入日
存期
到期日
起息日
年利就
操作员
流水号
20201021
36月
20231021
20201021
3.8500%
22628
583081