2021-2022学年上海市复兴高级中学高一上学期10月月考数学试题（解析版）

2021-2022学年上海市复兴高级中学高一上学期10月月考数学试题

一、填空题

1．集合且，且，则____．

【答案】

【分析】根据题意先求出集合的具体取值，然后利用交集的定义即可求解.

【详解】因为集合且，且，

则，且且，

所以，

则有，

故答案为：.

2．已知集合，且，则实数的取值范围为____．

【答案】

【分析】数形结合，即可得到答案.

【详解】

根据，结合数轴可知，在的左侧或与之重合，故.

故答案为：.

3．已知方程的两根为，，则______.

【答案】

【分析】由方程易知，根据根与系数的关系写出、，由即可求值.

【详解】由题设知：，

∴，，

∴.

故答案为：.

4．已知正实数满足及，则中至少有一个小于1，用反证法证明该命题时，第一步是假设结论不成立，则____．

【答案】都不小于1

【分析】存在量词命题的否定为全称量词命题，写出答案即可.

【详解】至少有一个小于1的否定是都不小于1.

故答案为：都不小于1

5．已知条件，，且p是q的必要条件，则实数k的取值范围为_________．

【答案】

【分析】根据集合的包含关系得到关于的不等式组解出即可．

【详解】∴，

∴，解得，

故答案为：．

【点睛】结论点睛：一般可根据如下规则判断：

（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；

（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；

（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；

（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．

6．已知等式恒成立，其中为实数，则_____．

【答案】

【分析】方法一：将等式左边展开，比较系数可得答案；

方法二：令可得答案.

【详解】法一：，

所以；

法二：在中，令得.

故答案为：

7．已知集合，，则____．

【答案】

【分析】解分式不等式得到，得到，进而求出交集.

【详解】等价与，解得：或，

故或，

又，故，

所以．

故答案为：.

8．已知若关于的方程有实根，则的取值范围是______________．

【答案】

【详解】本题考查二次方程有关知识与绝对值不等式知识的综合应用；由于关于的二次方程有实根，那么即，而，从而，解得．

9．若不等式的解集中的整数有且仅有1，2，3，则的取值范围是_____

【答案】

【详解】由得

由整数有且仅有1，2，3知，解得

10．定义集合运算，集合，则集合所有元素之和为________

【答案】18

【分析】由题意可得，进而可得结果.

【详解】当

当

当

当

和为

故答案为：18

11．已知集合有整数解，非空集合满足条件：（1），（2）若，则，则所有这样的集合的个数为____．

【答案】

【分析】根据集合有整数解，结合韦达定理可求出集合，再由题目信息中集合满足的两个条件，得到集合中互为相反数的两个元素同属于集合或同不属于集合，即可求解.

【详解】因为的整数解只能是36的约数，

当方程的解为，36时，；当方程的解为，18时，；

当方程的解为，12时，；当方程的解为，9时，；

当方程的解为，6时，；当方程的解为1，时，；

当方程的解为2，时，；当方程的解为，时，；

当方程的解为，时，；

故集合

由非空集合满足条件：（1），（2）若，则，

即集合中互为相反数的两个元素同属于集合或同不属于集合，

得这样的集合共有个，

故答案为：.

12．已知集合，其中，，且．若正整数m、n∈A，且m+n=2 010(m>n)，则符合条件的正整数m有_______个．

【答案】662

【详解】依题意，知m、n是七进制中的四位数，而七进制四位数中最大的一个数为，最小的一个数为.

因为m+n=2010(m>n)，所以，1006≤m≤1667.

故符合条件的正整数m有1667-1006+1=662(个).

二、单选题

13．若集合中的元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是（    ）

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形

【答案】D

【分析】根据集合元素的互异性即可判断.

【详解】由题可知，集合中的元素是的三边长，

则，所以一定不是等腰三角形．

故选：D．

14．设集合，在上定义运算，其中为被4除的余数（其中，则满足关系式的的个数为（    ）

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】C

【分析】根据题目信息，在集合中取值验证即可.

【详解】当时，

当时，

当时，

当时，

则满足关系式的的个数为2个，

故选：C．

15．已知，则满足关于的方程的充要条件是

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】试题分析：满足关于的方程，则，

则处取得函数最小值，函数为二次函数，，所以满足关于的方程的充要条件是

【解析】充分条件与必要条件

点评：若则是的充分条件，是的必要条件

16．若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】分类讨论去绝对值求解.

【详解】（1）当或时，，

不等式为，

若不等式恒成立，必需

所以；

（2）当时，，

不等式为即，

（ⅰ）当时，不等式对任意恒成立，

（ⅱ）当时，

不等式恒成立即恒成立，

所以，解得，

（ⅲ）当时，

不等式恒成立即恒成立，

所以，解得

综上，实数的取值范围是

【点睛】本题考查绝对值不等式，含参数的二次不等式恒成立. 含参数的二次不等式恒成立通常有两种方法：1、根据二次函数的性质转化为不等式组；2、分离参数转化为求函数最值.

三、解答题

17．已知不等式：①，②，③．

(1)分别求出不等式①与②的解集；

(2)若同时满足①②的值也满足③，求实数的取值范围．

【答案】(1)，或

(2)

【分析】（1）解一元二次不等式和高次不等式即可求解；（2）根据不等式的解集包含，结合二次函数的性质即可求解.

【详解】（1）由①得，即，故解集为，

由②得，即，

解得解集或，

（2）或，

由题意得不等式的解集包含，

令，只需，

解得．

18．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下列横线中，求解下列问题．

设集合__________，集合．

（1）若集合B的子集有2个，求实数a的取值范围；

（2）若，求实数a的取值范围．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【答案】答案见解析

【分析】（1）依题意集合B元素个数为1，则，计算可得；

（2）分别求出集合，再由，则，即可得到不等式组，解得即可；

【详解】解：（1）∵集合B的子集有2个，∴集合B元素个数为1

∴

解得：

（2）选①

集合

集合

∵∴

显然有

要满足条件，必有：，解，即，所以解得或；

解，即，所以解得或；

综上可得

选②，

集合

∵∴

要满足条件，必有：解得；

选③解得

集合

∵∴

要满足条件，必有：解得；

19．选修4-5不等式选讲

设均为正数，且，证明：

（Ⅰ）若，则；

（Ⅱ）是的充要条件．

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析．

【详解】（Ⅰ）因为，，由题设，，得．因此．

（Ⅱ）（ⅰ）若，则．即．因为，所以，由（Ⅰ）得．

（ⅱ）若，则，即．因为，所以，于是．因此，综上，是的充要条件．

【解析】推理证明．

20．已知关于的不等式的解集为；

(1)若,求的取值范围；

(2)若存在两个不相等负实数，使得，求实数的取值范围；

(3)是否存在实数，满足：“对于任意，都有；对于任意的，都有”，若存在，求出的值，若不存在，说明理由．

【答案】(1)；

(2)；

(3)存在，3

【分析】（1）讨论二次项系数和不为0时，求出原不等式的解集为R时k的取值范围；

（2）若存在两个不相等负实数，使得，即和是方程的两根，由判别式及韦达定理求解即可；

（3）根据题意得出解集，讨论的取值，求出原不等式的解集，判断是否满足条件即可．

【详解】（1）解：当时，解得或，

当时，不等式化为1＞0，

∴时，解集为R，

当时，不等式化为，对任意实数x不等式不成立，

当时，，

解得：,

综上，的取值范围是；

（2）解：若存在两个不相等负实数，使得，

所以方程的两根分别为和,

所以，

解得：；

（3）解：根据题意，得出解集，；

当时，解得或，

时，不等式的解集为，满足条件；

时，1＞0恒成立，不满足条件；

当时，此时对应的一元二次不等式的解集形式不是的形式，不满足条件；

当时，此时对应的一元二次不等式的解集形式不是的形式，不满足条件；

综上，满足条件的值为3.

21．已知集合，其中，由中的元素构成两个相应的集合：

，．

其中是有序数对，集合和中的元素个数分别为和．

若对于任意的，总有，则称集合具有性质．

（Ⅰ）检验集合与是否具有性质并对其中具有性质的集合，写出相应的集合和．

（Ⅱ）对任何具有性质的集合，证明．

（Ⅲ）判断和的大小关系，并证明你的结论．

【答案】（Ⅰ）集合不具有性质，集合具有性质，相应集合，，集合，（Ⅱ）见解析（Ⅲ）

【详解】解：集合不具有性质．

集合具有性质，其相应的集合和是，

．

（II）证明：首先，由中元素构成的有序数对共有个．

因为，所以；

又因为当时，时，，所以当时，．

从而，集合中元素的个数最多为，

即．

（III）解：，证明如下：

（1）对于，根据定义，，，且，从而．

如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也至少有一个不成立．

故与也是的不同元素．

可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即，

（2）对于，根据定义，，，且，从而．如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也不至少有一个不成立，

故与也是的不同元素．

可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即，

由（1）（2）可知，．