2020-2021学年江苏省苏州市相城区陆慕高级中学高一（下）期中数学试卷

2020-2021学年江苏省苏州市相城区陆慕高级中学高一（下）期中数学试卷

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．

1．（5分）下列命题：

①钝角是第二象限的角；

②小于的角是锐角；

③第一象限的角一定不是负角；

④第二象限的角一定大于第一象限的角；

⑤手表时针走过2小时，时针转过的角度为；

⑥若，则是第四象限角．

其中正确的命题的个数是　　

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2．（5分）若为虚数单位，复数满足，则的最大值为　　

A． B． C． D．

3．（5分）已知函数，为其图象的对称中心，，是该图象上相邻的最高点和最低点，若，则的单调递增区间是　　

A．， B．， 

C．， D．，

4．（5分）欧拉是瑞士著名数学家，他首先发现：为自然对数的底数，为虚数单位），此结论被称为“欧拉公式”，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系．根据欧拉公式可知，　　

A．1 B．0 C． D．

5．（5分）甲船在湖中岛的正南处，，甲船以的速度向正北方航行，同时乙船从岛出发，以的速度向北偏东方向驶去，则行驶半小时，两船的距离是　　

A． B． C． D．

6．（5分）已知，，且，，则的值是　　

A． B． C． D．

7．（5分）在中，角，，所以对的边分别为，，，若，的面积为，，则　　

A． B． C．或 D．或3

8．（5分）已知中，，，，为所在平面内一点，且满足，则的值为　　

A． B． C．1 D．4

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，选错或不答的得0分．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．

9．（5分）已知复数的实部与虚部之和为，则的取值可能为　　

A． B． C． D．

10．（5分）在中，．若，则等于　　

A． B． C．2 D．3

11．（5分）甲，乙两楼相距，从乙楼底仰望甲楼顶的仰角为，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为，则下列说法正确的有　　

A．甲楼的高度为 B．甲楼的高度为 

C．乙楼的高度为 D．乙楼的高度为

12．（5分）已知函数，则下列说法正确的是　　

A．最小正周期是 B．是偶函数 

C．是的一条对称轴 D．在上递增

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．

13．（5分）定义运算，则符合条件的复数对应的点在第　　象限．

14．（5分）在中，，，若，，则的取值范围为　　．

15．（5分）若函数的图象关于点对称，则实数　　．

16．（5分）在中，角，，的对边，，为三个连续偶数，且，则　　，最大角的余弦值为　　．

四、解答题：本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知，向量，．

（1）若向量与平行，求的值；

（2）若向量与的夹角为锐角，求的取值范围．

18．（12分）已知函数的图象关于直线对称，且图象相邻两个最高点的距离为．

（1）求和的值；

（2）若，求的值．

19．（12分）角，，的对边分别是，，，且．

（1）若，，求的值；

（2）求的取值范围．

20．（12分）在锐角中，角，，的对边分别为，，，已知．

（1）若，，求；

（2）求的取值范围；

21．（12分）在平面直角坐标系中，为坐标原点，、、三点满足．

（1）求证：、、三点共线；

（2）已知、，，，的最小值为5，求实数的值．

22．（12分）如图，某登山队在山脚处测得山顶的仰角为，沿倾斜角为（其中的斜坡前进后到达处，休息后继续行驶到达山顶．

（1）求山的高度；

（2）现山顶处有一塔从点到的登山途中，队员在点处测得塔的视角为若点处高度，则为何值时，视角最大？

2020-2021学年江苏省苏州市相城区陆慕高级中学高一（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．

1．【解答】解：钝角是大于小于的角，显然钝角是第二象限角，

故①正确；

锐角是大于小于的角，而小于的角也可能是负角，

故②错误；

例如显然是第一象限角，

故③错误；

是第二象限角，是第一象限角，而，

故④错误；

时针转过的角是负角，

故⑤错误；

因为，所以，是第四象限角，

故⑥正确．

综上，①⑥正确．

故选：．

2．【解答】解：复数满足，即，

即复数对应的点到点的距离满足，

设，

则的最大值，

故选：．

3．【解答】解：函数，为其图象的对称中心，

，，

，是该图象上相邻的最高点和最低点，若，，，．

令，求得，

故的单调递增区间是，，，

故选：．

4．【解答】解：根据，

可知．

故选：．

5．【解答】解：如图所示，，，，

中，由余弦定理得，，

所以．

故选：．

6．【解答】解：因为，，且，，

所以，

则，

因为，，且，，

所以，，，，

故．

故选：．

7．【解答】解：因为：，，

所以：，

又的面积为，解得，

又，

所以，，可得，

所以由余弦定理，可得，或．

故选：．

8．【解答】解：中，，，，为所在平面内一点，且满足，

设的中点为，的中点为，则，

，

为线段的靠近的三等分点，

，

故选：．

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，选错或不答的得0分．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．

9．【解答】解：复数的实部与虚部之和为，

，

化为：，

解得：，或，

，

或．

故选：．

10．【解答】解：，

，

又，

，即，

化简得，即

解之得或．

①若，结合为三角形的内角，可得，

，

，

因此，由三角函数的定义得；

②若，由正弦定理得，

所以．

综上所述，的值为或3．

故选：．

11．【解答】解：如图所示，中，，，，，

中，，，，，

由正弦定理得，

所以．

故选：．

12．【解答】解：函数．

对于：函数的最小正周期为，故正确；

对于：函数，函数为偶函数，故正确；

对于：当时，，故函数的对称中心为，故错误；

对于：由于，所以，函数在该区间上单调递增，故正确；

故选：．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．

13．【解答】解：定义运算，则符合条件，

可得，

即，

所以复数对应的点，对应点在第二象限，

故答案为：二．

14．【解答】解：，，

，

，，

，

，

，

，

又（当且仅当时，等号成立），

，

解得：，

（当且仅当时，等号成立），

的取值范围为，，

故答案为：，．

15．【解答】解：函数的图象关于点对称，

所以，解得．

故答案为：3．

16．【解答】解：不妨设，，，

因为，

由正弦定理得，，即，

故，

又，

解得，

故，，，

．

故答案为：8；．

四、解答题：本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．【解答】解：（1）依题意，，，，

又，得，即，

解得或1；

（2）与的夹角为锐角，则且与不平行，

即，即，解得，

由（1）知，当时，与平行，，

综上的取值范围，，．

18．【解答】解：（1）因为的图象上相邻两个最高点的距离为，

所以的最小正周期，从而，

又因为的图象关于直线对称，所以，，

因为，得，所以．

（2）由（1）得，所以．

由，得，

所以．

因此．

19．【解答】解：（1），

，

，即．

，，

，即．

，．

（2）．

，

．

的取值范围是．

20．【解答】解：（1）由，得，

则，即，

由余弦定理，得，

即，解得或．

当时，，则，即为钝角（舍，

故符合．

（2）由（1）得，所以，

则，

为锐角三角形，，，

，即，

则，

即，

故的取值范围是．

21．【解答】解：（1）

，

又与有公共点，故、、三点共线．

（2），，

，，

故，，．

从而

，

关于的二次函数的对称轴为，

，，，又区间，的中点为．

①当，即时，当时，．

由得或，又，；

②当，即时，当时，，

由得，又，．

综上所述：的值为或．

22．【解答】解：（1）法一：因为，是锐角，所以，，

所以，

在中，过作，垂足为．

因为，

所以．

在中，．

所以山的高度为．

法二：过作于点，过作于点，

在中，，，所以，，

所以，．

设，在直角中，，，，所以，

因为，所以．

所以山的高度为．

（2）过点作于，因为，所以，

因为在上，，所以，，

所以，，

所以，，，

令，，所以，

则，

当且仅当，即时，

即时取得最大值．

所以，当时，视角最大．

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日期：2021/8/3 15:57:21；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394