广东省惠州市惠阳区翰林实验学校2022-2023学年八年级下学期开学数学试卷

2022-2023学年广东省惠州市惠阳区翰林实验学校八年级（下）开学数学试卷

一、单选题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。

1．下列条件中，不能判断一个三角形是直角三角形的是（　　）

A．三个角的比是2：3：5 

B．三条边a，b，c满足关系a2＝b2﹣c2 

C．三条边的比是2：4：5 

D．三边长分别为1，2，

2．下列分式中，最简分式是（　　）

A． B． C． D．

3．若一个三角形的两边长分别是3和5，则第三边的长可能是（　　）

A．1 B．2 C．7 D．8

4．下列计算正确的是（　　）

A．a•a2＝a2 B．（a2）3＝a5 

C．a+a2＝a3 D．（ab2）2＝a2b4

5．在下列“禁毒”、“和平”、“志愿者”、“节水”这四个标志中，属于轴对称图形的是（　　）

A． B． 

C． D．

6．如图，已知PA与⊙O相切于点A，点B为⊙上一点，∠AOB＝120°，过点B作BC⊥PA于点C，BC交⊙O于点D，连接AB．已知OA＝2，则图中阴影部分的面积是（　　）

A． B． C．π D．

7．尺规作图作∠AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D，再分别以点C，D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP．由作法得△OCP≌△ODP的根据是（　　）

A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS

8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，若△ADE的周长等于12，则AB的长是（　　）

A．6 B．10 C．12 D．24

9．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD的延长线上，点F在线段AB上，依次连接EB、EC、FC，当点F从点B出发向点A运动时（点F不与B，A重合），△CHE的面积与△BFH的面积差的变化情况是（　　）

A．先变小，再变大 B．一直不变 

C．一直变小 D．一直变大

10．如图，一次函数y＝﹣x+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象相交于A、B两点，与x轴，y轴分别相交于C、D两点，连接OA、OB，过点A作AE⊥x轴于点E，交OB于点F，设点A的横坐标为m，若S△OAF+S四边形EFBC＝4，则m的值为（　　）

A．1 B． C．2 D．4

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。

11．三角形的两边长分别为2cm和3cm，则此三角形第三边的长可以是 　   　cm（写出一个符合条件的即可）．

12．在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝2∠C，则∠C为　   　度．

13．2x3﹣8x的公因式是 　   　．

14．若代数式有意义，则x的取值范围是 　   　．

15．如图，已知∠1+∠2+∠3+∠4＝280°，那么∠5的度数为 　   　．

16．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝8，DE＝2，AB＝5，则AC长是 　   　．

17．如图，等腰△ABC的底边BC＝20，面积为160，点F是BC边上的一个动点，EG是腰AC的垂直平分线，若点D在EG上运动，则CD+DF的最小值为 　   　．

三、解答题：第18，19，20小题6分，第21，22，23小题8分，第24，25小题10分。

18．先化简，再求代数式（）•（a﹣1）的值，其中a＝2cos30°﹣1．

19．先化简，再求值：÷（x+1﹣），其中x＝﹣2．

20．如图，AC与BD交于点E，且AC＝DB，AB＝DC．求证：∠A＝∠D．

21．为丰富师生的体育文化生活，某中学决定组建足球社团，学校在商场购进A、B两种品牌的足球，购买A品牌足球花费了2000元，购买B品牌足球花费了2500元，且购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍，已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花30元，问购买一个B品牌的足球花费多少钱？

22．先化简，再求值：，其中整数x满足不等式﹣1≤x≤2．

23．如图，已知∠AOC＝∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E．求证：△OPD≌△OPE．

24．如果△ABC的三边长a，b，c满足等式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca＝0，试判断此△ABC的形状并写出你的判断依据．

25．如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且∠BAE＝∠DAF．求证：AE＝AF．

参考答案

一、单选题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。

1．下列条件中，不能判断一个三角形是直角三角形的是（　　）

A．三个角的比是2：3：5 

B．三条边a，b，c满足关系a2＝b2﹣c2 

C．三条边的比是2：4：5 

D．三边长分别为1，2，

【分析】根据三角形的内角和定理、勾股定理的逆定理逐项判断即可得．

解：A、设这个三角形的三个角分别为2x，3x，5x，

由三角形的内角和定理得：2x+3x+5x＝180°，

解得x＝18°，

则5x＝90°，

所以这个三角形是直角三角形，此项不符题意；

B、由a2＝b2﹣c2得：a2+c2＝b2，所以这个三角形是直角三角形，此项不符题意；

C、设这个三角形的三条边分别为2a，4a，5a（a＞0），

因为（2a）2+（4a）2＝20a2≠（5a）2，

所以这个三角形不是直角三角形，此项符合题意；

D、因为，所以这个三角形是直角三角形，此项不符题意；

故选：C．

【点评】本题考查了三角形的内角和定理、勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．

2．下列分式中，最简分式是（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据最简分式的概念求解即可．

解：A、该分式的分子、分母中含有公因式3，不是最简分式，故此选项不符合题意；

B、该分式的分子、分母中含有公因式（a+b），不是最简分式，故此选项不符合题意；

C、该分式的分子、分母中含有公因式（a+1），不是最简分式，故此选项不符合题意；

D、是最简分式，故此选项符合题意；

故选：D．

【点评】本题主要考查最简分式，掌握定义：一个分式的分子与分母没有公因式时叫最简分式是解题的关键．

3．若一个三角形的两边长分别是3和5，则第三边的长可能是（　　）

A．1 B．2 C．7 D．8

【分析】根据三角形的三边关系求得第三边的取值范围解答即可．

解：设第三边长x．

根据三角形的三边关系，得2＜x＜8．

故选：C．

【点评】本题主要考查三角形三边关系的知识点，此题比较简单，注意三角形的三边关系．

4．下列计算正确的是（　　）

A．a•a2＝a2 B．（a2）3＝a5 

C．a+a2＝a3 D．（ab2）2＝a2b4

【分析】利用同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则，合并同类项的法则对各项进行运算即可．

解：A、a•a2＝a3，故A不符合题意；

B、（a2）3＝a6，故B不符合题意；

C、a与a2不属于同类项，不能合并，故C不符合题意；

D、（ab2）2＝a2b4，故D符合题意；

故选：D．

【点评】本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，合并同类项，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

5．在下列“禁毒”、“和平”、“志愿者”、“节水”这四个标志中，属于轴对称图形的是（　　）

A． B． 

C． D．

【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可．

解：A、不是轴对称图形，故选项错误；

B、是轴对称图形，故选项正确；

C、不是轴对称图形，故选项错误；

D、不是轴对称图形，故选项错误．

故选：B．

【点评】本题考查的是轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．

6．如图，已知PA与⊙O相切于点A，点B为⊙上一点，∠AOB＝120°，过点B作BC⊥PA于点C，BC交⊙O于点D，连接AB．已知OA＝2，则图中阴影部分的面积是（　　）

A． B． C．π D．

【分析】连接OD，求出∠AOD＝∠BOD＝60°，由于点O和点A到BD的距离相等，△ABD的面积与△OBD的面积相同，从而可知阴影部分面积为扇形OBD的面积．

解：连接OD，

∵PA为⊙O的切线，

∴OA⊥PA，

∵BC⊥PA，

∴∠OAP＝∠BCA＝90°，

∴OA∥BC，

∴∠AOB+∠OBC＝180°，

∵∠AOB＝120°，

∴∠OBC＝60°，

∵OB＝OD，

∴△OBD是等边三角形，

∴∠BOD＝60°，

∵OA∥BC，

∴点O和点A到BD的距离相等，

∴S△ABD＝S△OBD，

∴S阴影＝S扇形OBD，

∴S阴影＝．

故选：B．

【点评】本题考查了平行线的性质与判定，等边三角形的性质，切线的性质等知识，熟练掌握切线的性质是解题的关键．

7．尺规作图作∠AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D，再分别以点C，D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP．由作法得△OCP≌△ODP的根据是（　　）

A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS

【分析】认真阅读作法，从角平分线的作法得出△OCP与△ODP的两边分别相等，加上公共边相等，于是两个三角形符合SSS判定方法要求的条件，答案可得．

解：∵以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D，即OC＝OD；

以点C，D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，即CP＝DP；

在△OCP和△ODP中，

，

∴△OCP≌△ODP（SSS）．

故选：D．

【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角

8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，若△ADE的周长等于12，则AB的长是（　　）

A．6 B．10 C．12 D．24

【分析】由角平分线的性质可得CD＝ED，即可得AC＝BC＝BE结合三角形的周长即可得△ADE的周长＝AC+AE＝AB，进而可求解AB的长．

解：∵BD平分∠ABC，∠C＝90°，DE⊥AB，

∴CD＝ED，

∴BC＝BE，

∵AC＝BC，

∴AC＝BE，

∵△ADE的周长等于12，

∴△ADE的周长为AD+ED+AE＝AC+AE＝BE+AE＝AB＝12．

故选：C．

【点评】本题主要考查角平分线的性质，等腰直角三角形，求得△ADE的周长＝AB是解题的关键．

9．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD的延长线上，点F在线段AB上，依次连接EB、EC、FC，当点F从点B出发向点A运动时（点F不与B，A重合），△CHE的面积与△BFH的面积差的变化情况是（　　）

A．先变小，再变大 B．一直不变 

C．一直变小 D．一直变大

【分析】利用平行四边形的性质和关系式△CHE的面积与△BFH的面积差＝（S△CHE+S△BHC）﹣（S△BFH+S△BHC）＝﹣S△BFC，结合三角形与平行四边形的面积公式解答即可．

解：设平行四边形BC边上的高为h，

∴S平行四边形ABCD＝BC•h．

∵，

∴．

过点F作FM⊥BC，如图，

∴BC•FM．

∵△CHE的面积与△BFH的面积差

＝（S△CHE+S△BHC）﹣（S△BFH+S△BHC）

＝﹣S△BFC，

又∵点F从点B出发向点A运动时FM逐渐增大，

∴△CHE的面积与△BFH的面积差的变化情况是一直变小，

故选：C．

【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形与平行四边形的面积公式，利用等式的性质将△CHE的面积与△BFH的面积差转化为（S△CHE+S△BHC）﹣（S△BFH+S△BHC）解答是解题的关键．

10．如图，一次函数y＝﹣x+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象相交于A、B两点，与x轴，y轴分别相交于C、D两点，连接OA、OB，过点A作AE⊥x轴于点E，交OB于点F，设点A的横坐标为m，若S△OAF+S四边形EFBC＝4，则m的值为（　　）

A．1 B． C．2 D．4

【分析】作AM⊥OD于M，BN⊥OC于N．记△AOF面积为S，则△OEF面积为2﹣S，四边形EFBC面积为4﹣S，△OBC和△OAD面积都是6﹣2S，△ADM面积为4﹣2S＝2（2﹣S），所以S△ADM＝2S△OEF，推出EF＝AM＝NB，得点B坐标（2m，）代入直线解析式即可解决问题．

解：作AM⊥OD于M，BN⊥OC于N．

∵一次函数y＝﹣x+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象都是关于直线y＝x对称，

∴AD＝BC，OD＝OC，DM＝AM＝BN＝CN，记△AOF面积为S，

则△OEF面积为2﹣S，四边形EFBC面积为4﹣S，△OBC和△OAD面积都是6﹣2S，△ADM面积为4﹣2S＝2（2﹣S），

∴S△ADM＝2S△OEF，

由对称性可知AD＝BC，OD＝OC，∠ODC＝∠OCD＝45°，△AOM≌△BON，AM＝NB＝DM＝NC，

∴EF＝AM＝NB，

∴EF是△OBN的中位线，

∴N（2m，0），

∴点B坐标（2m，）代入直线y＝﹣x+m+，

∴＝﹣2m+m+，整理得到m2＝2，

∵m＞0，

∴m＝．

故选：B．

【点评】本题考查反比例函数与一次函数图象的交点、对称等知识，解题的关键是利用对称性得到很多相等的线段，学会设参数解决问题．

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。

11．三角形的两边长分别为2cm和3cm，则此三角形第三边的长可以是 　2（答案不唯一）　cm（写出一个符合条件的即可）．

【分析】已知两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可求出第三边长的范围，再确定答案即可．

解：设第三边的长度为xcm，由题意得：

3﹣2＜x＜2+3，

即：1＜x＜5，

∴可以是2cm（答案不唯一），

故答案为：2（答案不唯一）．

【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．

12．在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝2∠C，则∠C为　30　度．

【分析】根据直角三角形的性质和三角形的内角和解答即可．

解：在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝2∠C，

∴2∠C+∠C＝90°，

∴∠C＝30°，

故答案为：30．

【点评】此题考查直角三角形的性质，关键是根据直角三角形的两个锐角互余解答．

13．2x3﹣8x的公因式是 　2x　．

【分析】确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．

解：2x3﹣8x的公因式是2x．

故答案为：2x．

【点评】本题主要考查了公因式，多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式．

14．若代数式有意义，则x的取值范围是 　x＞﹣4　．

【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．

解：由题意得：x+4＞0，

解得：x＞﹣4，

故答案为：x＞﹣4．

【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．

15．如图，已知∠1+∠2+∠3+∠4＝280°，那么∠5的度数为 　80°　．

【分析】根据多边形的外角和是360°即可得出答案．

解：∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝360°，

∠1+∠2+∠3+∠4＝280°，

∴∠5＝360°﹣280°＝80°．

故答案为：80°．

【点评】本题考查了多边形的内角与外角，掌握多边形的外角和是360°是解题的关键．

16．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝8，DE＝2，AB＝5，则AC长是 　3　．

【分析】根据角平分线性质求出DF，根据三角形面积公式求出△ABD的面积，求出△ADC面积，即可求出答案．

解：过D作DF⊥AC于F，

∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE＝DF＝2，

∵S△ADB＝AB×DE＝×5×2＝5，

∵△ABC的面积为8，

∴△ADC的面积为8﹣5＝3，

∴AC×DF＝3，

∴AC×2＝3，

∴AC＝3，

故答案为：3．

【点评】本题考查了角平分线性质，三角形的面积的应用，解此题的关键是求出DF长和△ADC的面积．

17．如图，等腰△ABC的底边BC＝20，面积为160，点F是BC边上的一个动点，EG是腰AC的垂直平分线，若点D在EG上运动，则CD+DF的最小值为 　16　．

【分析】如图作AH⊥BC于H，连接AD．由EG垂直平分线段AC，推出DA＝DC，推出DF+DC＝AD+DF，可得当A、D、F共线时，DF+DC的值最小，最小值就是线段AF的长．

解：如图作AH⊥BC于H，连接AD．

∵EG垂直平分线段AC，

∴DA＝DC，

∴DF+DC＝AD+DF，

∴当A、D、F共线时，DF+DC的值最小，最小值就是线段AF的长，

∵•BC•AH＝160，

∴AH＝16，

根据垂线段最短，

∴当AF＝AH时AF最小，

∴CD+DF的值最小为16．

故答案为：16．

【点评】本题考查轴对称﹣最短问题、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用轴对称，解决最短问题，属于中考常考题型．

三、解答题：第18，19，20小题6分，第21，22，23小题8分，第24，25小题10分。

18．先化简，再求代数式（）•（a﹣1）的值，其中a＝2cos30°﹣1．

【分析】先计算括号内的减法，然后计算括号外的乘法，再将a的值代入化简后的式子计算即可．

解：（）•（a﹣1）

＝•（a﹣1）

＝，

当a＝2cos30°﹣1＝2×﹣1＝﹣1时，原式＝＝．

【点评】本题考查分式的化简求值、特殊角的三角函数值，解答本题的关键是明确分式减法和乘法的运算法则．

19．先化简，再求值：÷（x+1﹣），其中x＝﹣2．

【分析】将原式括号中各项通分并利用同分母分式的减法法则计算，整理后再利用平方差公式分解因式，然后利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，即可得到原式的值．

解：÷（x+1﹣）

＝÷[﹣]

＝÷

＝×

＝

当x＝﹣2时，

原式＝＝．

【点评】此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找出公因式，约分时，分式的分子分母出现多项式，应将多项式分解因式后再约分．

20．如图，AC与BD交于点E，且AC＝DB，AB＝DC．求证：∠A＝∠D．

【分析】首先连接BC，由AC＝DB，AB＝DC，利用SSS，即可证得△ABC≌△DCB，继而可证得：∠A＝∠D．

【解答】证明：连接BC，

在△ABC和△DCB中，

，

∴△ABC≌△DCB（SSS），

∴∠A＝∠D．

【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．

21．为丰富师生的体育文化生活，某中学决定组建足球社团，学校在商场购进A、B两种品牌的足球，购买A品牌足球花费了2000元，购买B品牌足球花费了2500元，且购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍，已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花30元，问购买一个B品牌的足球花费多少钱？

【分析】设一个A品牌的足球需x元，则一个B品牌的足球需（x+30）元，根据购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍列出方程解答即可；

解：设购买一个A品牌的足球需要x元，则购买一个B品牌的足球需要（x+30）元，

依题意得：，

解得：x＝20，

经检验，x＝20是原方程的解，且符合题意，

∴x+30＝50．

答：购买一个A品牌的足球需要20元，购买一个B品牌的足球需要50元．

【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍，正确列出分式方程．

22．先化简，再求值：，其中整数x满足不等式﹣1≤x≤2．

【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出x的值，代入计算即可求出值．

解：原式＝÷

＝÷

＝÷

＝•

＝，

∵整数x满足不等式﹣1≤x≤2

又∵由分式有意义，x≠﹣1，x≠0，x≠1，

∴x＝2，

∴原式＝．

【点评】本题主要考查分式的化简求值、不等式的解集，根据分式有意义的条件判断出x的取值是解题的关键．

23．如图，已知∠AOC＝∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E．求证：△OPD≌△OPE．

【分析】根据垂直的定义得到∠ODP＝∠OEP＝90°，即可利用AAS证明△OPD≌△OPE．

【解答】证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，

∴∠ODP＝∠OEP＝90°，

∵∠AOC＝∠BOC，

∴∠DOP＝∠EOP，

在△OPD和△OPE中，

，

∴△OPD≌△OPE（AAS）．

【点评】此题考查全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．

24．如果△ABC的三边长a，b，c满足等式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca＝0，试判断此△ABC的形状并写出你的判断依据．

【分析】先将等式变形为2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca＝0，结合完全平方公式可得（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＝0，得出a，b，c之间的关系，进而得出三角形的形状．

解：△ABC是等边三角形．理由如下：

由a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca＝0可得，

2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca＝0，

∴（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2bc+c2）+（a2﹣2ca+c2）＝0，即（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＝0，

∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，a﹣c＝0，

∴a＝b＝c，

∴△ABC是等边三角形．

【点评】本题考查了因式分解的运用，等边三角形的判定及性质的运用，非负数和为0的定理的运用．

25．如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且∠BAE＝∠DAF．求证：AE＝AF．

【分析】根据菱形的性质可得∠B＝∠D，AB＝AD，再证明△ABE≌△ADF，可得结论．

【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴∠B＝∠D，AB＝AD，

在△ABE和△ADF中，

，

∴△ABE≌△ADF（ASA），

∴AE＝AF．

【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用菱形的性质是本题的关键．