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2022-2023学年广东省惠州市惠阳区黄埔实验学校九年级（下）开学数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年广东省惠州市惠阳区黄埔实验学校九年级（下）开学数学试卷（含解析），共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省惠州市惠阳区黄埔实验学校九年级（下）开学数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若m，n是一元二次方程x2−2x−1=0的两个不同实数根，则代数式m2−m+n的值是( )
A. −1 B. 3 C. −3 D. 1
2. 下列方程是关于x的一元二次方程的是( )
A. x2+1x=1 B. ax2+bx+c=0
C. (x+1)(x+2)=1 D. 3x2−2xy−5y=0
3. 从正面观察如图的两个立体图形，得到的平面图形是( )
A. B. C. D.
4. 如图，点E，点F分别在菱形ABCD的边AB，AD上，且AE=DF，BF交DE于点G，延长BF交CD的延长线于H，若HFDF=2，则HFBG的值为( )
A. 23 B. 712 C. 12 D. 512
5. 如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为( )
A. 54 B. 52 C. 53 D. 65
6. 已知x=2是关于x的方程x2−(m+4)x+4m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则△ABC的周长为( )
A. 6 B. 8 C. 10 D. 8或10
7. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4.点D为边AC上的动点，作菱形DEFG，使点E、F在边AB上，点G在边BC上．若这样的菱形能作出2个，则AD的取值范围是( )
A. 3637
A. 12或2
B. 12或8
C. 2或6
D. 2或8
9. 如图，在矩形ABCD中，AB= 2，E是BC的中点，若AE⊥BD于点F，M是DF的中点，连接CM、AM，则下列正确的结论是( )
①FC=CD;
②∠DBC=∠FAM;
③EF=12CM;
④矩形ABCD的面积是2．
A. ①②③ B. ②③④ C. ①②③④ D. ①④
10. 如图，已知E，F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF与DE交于点M，O为BD的中点，则下列结论：
①∠AME=90°；②∠BAF=∠EDB；③∠BMO=90°；④MD=2AM=4EM；⑤AM=23MF.其中正确结论的是( )
A. ①③④ B. ②④⑤ C. ①③④⑤ D. ①③⑤
二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）
11. 一个三角形的两边分别为1和2，另一边是方程x2−5x+6=0的解，则这个三角形的周长是______．
12. 一元二次方程x2+4x=0的一根为x=0，另一根为______．
13. 小明和小红在阳光下行走，小明身高1.75米，他的影长2.0米，小红比小明矮7厘米，此刻小红的影长是______米．
14. 方程组3x+1+3y−1=2x+y=26的解是______．
15. 两个反比例函数y=3x，y=6x在第一象限内的图象如图所示．点P1，P2，P3、…、P2007在反比例函数y=6x上，它们的横坐标分别为x1、x2、x3、…、x2007，纵坐标分别是1，3，5…共2007个连续奇数，过P1，P2，P3、…、P2007分别作y轴的平行线，与y=3x的图象交点依次为Q1(x1′,y1′)、Q1(x2′,y2′)、…、Q2(x2007′,y2007′)，则|P2007Q2007|=______．
16. 有一张矩形纸片ABCD，AD=9，AB=12，将纸片折叠使A、C两点重合，那么折痕长是______ ．
17. 如图，直线l经过正方形ABCD的顶点A，先分别过此正方形的顶点B、D作BE⊥l于点E、DF⊥l于点F.然后再以正方形对角线的交点O为端点，引两条相互垂直的射线分别与AD，CD交于G，H两点.若EF=2 5，S△ABE=2，则线段GH长度的最小值是______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共62.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. (本小题6.0分)
已知a2=b3=c4．
(1)求a+b+cb．
(2)若2a+b+2c=−30，求a，b，c的值．
19. (本小题6.0分)
(2x2+3x)2−4(2x2+3x)−5=0．
20. (本小题6.0分)
如图，矩形OABC顶点A(8,0)、C(0,6)，直线y=kx−1分别交BA、OA于点D、E，且D为BA中点．
(1)求k的值及此时△EAD的面积；
(2)现向矩形内随机投飞镖，求飞镖落在△EAD内的概率．(若投在边框上则重投)
21. (本小题8.0分)
已知在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB≥AC，D、E分别为AC、BC边上的点(不包括端点)，且DCBE=ACBC=m，连结AE，过点D作DM⊥AE，垂足为点M，延长DM交AB于点F．
(1)如图1，过点E作EH⊥AB于点H，连结DH．
①求证：四边形DHEC是平行四边形；
②若m= 22，求证：AE=DF；
(2)如图2，若m=35，求DFAE的值．
22. (本小题8.0分)
如图，直线y=3x−5与反比例函数y=k−1x的图象相交于A(2,m)，B(n,−6)两点，连接OA，OB．
(1)求k和n的值；
(2)求△AOB的面积．
23. (本小题8.0分)
如图，在正方形ABCD中，边长为4，∠MDN=90°，将∠MDN绕点D旋转，其中DM边分别与射线BA、直线AC交于E、Q两点，DN边与射线BC交于点F；连接EF，且EF与直线AC交于点P．
(1)如图1，点E在线段AB上时，①求证：AE=CF；②求证：DP垂直平分EF；
(2)当AE=1时，求PQ的长．
24. (本小题10.0分)
如图1，正方形ABCD的边长为6cm，点F从点B出发，沿射线AB方向以1cm/秒的速度移动，点E从点D出发，向点A以1cm/秒的速度移动(不到点A).设点E，F同时出发移动t秒．
(1)在点E，F移动过程中，连接CE，CF，EF，则△CEF的形状是______ ，始终保持不变；
(2)如图2，连接EF，设EF交BD移动M，当t=2时，求AM的长；
(3)如图3，点G，H分别在边AB，CD上，且GH=3 5cm，连接EF，当EF与GH的夹角为45°，求t的值．
25. (本小题10.0分)
已知：菱形ABCD，点E在线段BC上，连接DE，点F在线段AB上，连接CF、DF，CF与DE交于点G，将菱形ABCD沿DF翻折，点A恰好落在点G上．
(1)求证：CD=CF；
(2)设∠CED=x，∠DCF=y，求y与x的函数关系式；(不要求写出自变量的取值范围)
(3)在(2)的条件下，当x=45°时，以CD为底边作等腰△CDK，顶角顶点K在菱形ABCD的内部，连接GK，若GK//CD，CD=4时，求线段KG的长．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵m是一元二次方程x2−2x−1=0的根，
∴m2−2m−1=0，
∴m2−2m=1，
∴m2−m+n=m2−2m+m+n=1+m+n，
∵m、n是一元二次方程x2−2x−1=0的两个根，
∴m+n=2，
∴m2−m+n=1+2=3．
故选：B．
先根据一元二次方程的解的定义得到m2−2m−1=0，则m2−2m=1，于是原式可化简为m2−2m+m+n=1+m+n，然后根据根与系数的关系得到m+n=2，再利用整体代入的方法计算．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca.也考查了一元二次方程的解．
2.【答案】C
【解析】解：A、分母上有未知数，不是整式方程，故本选项错误；
B、a=0且b≠0时，是关于x的一元一次方程，故本选项错误；
C、整理为x2+3x+2=0，是关于x的一元二次方程，故本选项正确；
D、是二元二次方程，故本选项错误．
故选：C．
根据一元二次方程必须满足两个条件：(1)未知数的最高次数是2；(2)二次项系数不为0，对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0(且a≠0).特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
3.【答案】A
【解析】
【分析】
此题主要考查了认识立体图形，关键是掌握从不同方向看得到的图形．
根据从正面看得到的图形，可得答案．
【解答】
解：从正面看左边是一个长方形，右边是一个正方形，
故选A．
4.【答案】B
【解析】解：设DF=m，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，DC//AB，
∴DH//AB，
∴△HDF∽△BAF，
∴AFDF=BFHF=ABHD，
又∵HFDF=2，
∴AFDF=BFHF=ABHD=12，
∴AF=2m，
又∵HB=HF+BF，
∴HF=13⋅HB，
又∵AD=AF+DF，
∴AD=AB=3m，
∴DH=32m，
又∵AE=DF，
∴AE=m，
又∵BE=AB−AE，
∴BE=2m，
又∵DH//BE，
∴△DHG∽△EBG，
∴HGGB=DHBE=32m2m=34，
∴GBHB=47，
∴GB=47HB，
∴HFBG=13⋅HB47⋅HB=712，
故选：B．
由菱形的性质得AD=AB，DC//AB，根据DH//AB，DH//BE分别得△HDF∽△BAF，△DHG∽△EBG，其性质与线段的和差求出HF=13⋅HB，GB=47HB，最后计算HFBG的值为712．
本题综合考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，线段的和差等相关知识点，重点掌握相似三角形的判定与性质，难点是根据比例的应用．
5.【答案】D
【解析】
【分析】
本题综合运用了勾股定理的逆定理、矩形的判定及性质、直角三角形的性质．要能够把要求的线段的最小值转换为便于分析其最小值的线段．根据勾股定理的逆定理可以证明∠BAC=90°；根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，则AM=12EF，要求AM的最小值，即求EF的最小值；根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形AEPF是矩形，根据矩形的对角线相等，得EF=AP，则EF的最小值即为AP的最小值，根据垂线段最短，知：AP的最小值即等于直角三角形ABC斜边上的高．
【解答】
解：∵在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，
∴AB2+AC2=BC2，
即∠BAC=90°．
又∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF=AP．
∵M是EF的中点，
∴AM=12EF=12AP．
因为AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即等于3×45=125，
∴AM的最小值是65．
故选D．
6.【答案】C
【解析】解：把x=2代入方程x2−(m+4)x+4m=0得4−2(m+4)+4m=0，解得m=2，
方程化为x2−6x+8=0，解得x1=4，x2=2，
因为2+2=4，
所以三角形三边为4、4、2，
所以△ABC的周长为10．
故选：C．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了三角形三边的关系．
先利用一元二次方程解的定义把x=2代入方程x2−(m+4)x+4m=0得m=2，则方程化为x2−6x+8=0，然后解方程后利用三角形三边的关系确定三角形的三边，最后就是三角形的周长．
7.【答案】B
【解析】解：如图1中，当四边形DEFG是正方形时，设正方形的边长为x．
在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AB=5，BC=4，
∴AC= AB2−BC2= 52−42=3，
则CD=35x，AD=54x，
∵AD+CD=AC，
∴35x+54x=3，
∴x=6037，
∴CD=35x=3637，
观察图象可知：0≤CD<3637时，菱形的个数为0．
如图2中，当四边形DAEG是菱形时，设菱形的边长为m．
∵DG//AB，
∴CDAC=DGAB，
∴3−m3=m5，
解得m=158，
∴CD=3−158=98，
如图3中，当四边形DEBG是菱形时，设菱形的边长为n．
∵DG//AB，
∴CGCB=DGAB，
∴4−n4=n5，
∴n=209，
∴CG=4−209=169，
∴CD= (209)2−(169)2=43，
观察图象可知：当0≤CD<3637或43
本题考查相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，作图−复杂作图等知识，解题的关键是学会寻找特殊位置解决问题，属于中考常考题型，题目有一定难度．
8.【答案】D
【解析】解：∵P1N//y轴，P2N//x轴，
∴P1的横坐标为m，P2的纵坐标为n，
而点P1，P2是反比例函数图象y=4x上任意两点，
∴P1(m,4m)，P2(4n,n)，
∴NP1=4m−n，NP2=4n−m，
∴(4m−n)(4n−m)=2，
整理得(mn)2−10mn+16=0，解得mn=2或mn=8，
∵点N(m,n)在反比例函数y=kx的图象上，
∴k=mn，
∴k=2或8．
故选D．
由P1N//y轴，P2N//x轴得到P1的横坐标为m，P2的纵坐标为n，再根据反比例函数图象上点的坐标特征得P1(m,4m)，P2(4n,n)，则NP1=4m−n，NP2=4n−m，所以(4m−n)(4n−m)=2，解关于mn的一元二次方程得mn=2或mn=8，加上点N(m,n)在反比例函数y=kx的图象上，则k=mn，于是可得k=2或8．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=kx(k为常数，k≠0)的图象是双曲线，图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
9.【答案】A
【解析】
【分析】
本题是相似形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
通过证明△ADF∽△EBF，可得DF=2BF，由三角形中位线定理可得EF//CM，EF=12CM，通过证明CM是DF的垂直平分线，可得CF=CD，由直角三角形的性质和全等三角形的性质可得∠DBC=∠FAM，通过证明△BCD∽△CMD，可得CDBD=DMCD，可求BD的长，由勾股定理可求BC的长，即可求矩形ABCD的面积．
【解答】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD= 2，AD=BC，AD//CB，
∵E是BC的中点，M是DF的中点，
∴BC=2BE=2EC，DF=2FM=2DM，
∵AD//BC，
∴△ADF∽△EBF，
∴BEAD=BFDF=12，
∴DF=2BF，
∴BF=FM=DM，
∵BE=EC，BF=FM，
∴EF//CM，EF=12CM，故③符合题意，
∴∠BFE=∠BMC=90°，
∵FM=MD，
∴CM是DF的垂直平分线，
∴CF=CD，故①符合题意，
∵∠ABD+∠DBC=∠ABC=90°，∠ABD+∠BAF=90°，
∴∠DBC=∠BAF，
在△ABF和△AMF中
BF=FM∠AFB=∠AFD=90°AF=AF
∴△ABF≌△AMF(SAS)
∴∠BAF=∠FAM，
∴∠DBC=∠FAM，故②符合题意，
∵∠BDC=∠BDC，∠DCB=∠DMC，
∴△BCD∽△CMD，
∴CDBD=DMCD，
∴CD2=BD⋅DM=3DM2=2，
∴DM= 63，
∴BD=3DM= 6，
∴BC= BD2−CD2= 6−2=2，
∴矩形ABCD的面积=AB×BC=2 2，故④不合题意，
综上所述，正确的结论是①②③
故选：A．
10.【答案】C
【解析】解：在正方形ABCD中，AB=BC=AD，∠ABC=∠BAD=90°，
∵E、F分别为边AB，BC的中点，
∴AE=BF=12BC，
在△ABF和△DAE中，
AE=BF∠ABC=∠BADAB=AD，
∴△ABF≌△DAE(SAS)，
∴∠BAF=∠ADE，
∵∠BAF+∠DAF=∠BAD=90°，
∴∠ADE+∠DAF=∠BAD=90°，
∴∠AMD=180°−(∠ADE+∠DAF)=180°−90°=90°，
∴∠AME=180°−∠AMD=180°−90°=90°，故①正确；
∵DE是△ABD的中线，
∴∠ADE≠∠EDB，
∴∠BAF≠∠EDB，故②错误；
∵∠BAD=90°，AM⊥DE，
∴△AED∽△MAD∽△MEA，
∴AMEM=MDAM=ADAE=2，
∴AM=2EM，MD=2AM，
∴MD=2AM=4EM，故④正确；
设正方形ABCD的边长为2a，则BF=a，
在Rt△ABF中，AF= AB2+BF2= 5a，
∵∠BAF=∠MAE，∠ABC=∠AME=90°，
∴△AME∽△ABF，
∴AMAB=AEAF，
即AM2a=a 5a，
解得AM=2 55a，
∴MF=AF−AM= 5a−2 55a=3 55a，
∴AM=23MF，故⑤正确；
如图，过点M作MN⊥AB于N，
则MNBF=ANAB=AMAF，
即MNa=AN2a=2 55a 5a，
解得MN=25a，AN=45a，
∴NB=AB−AN=2a−45a=65a，
根据勾股定理，BM= BN2+MN2=2 105a，
过点M作GH//AB，过点O作OK⊥GH于K，
则OK=a−25a=35a，MK=65a−a=15a，
在Rt△MKO中，MO= MK2+OK2= 105a，
根据正方形的性质，BO=2a× 22= 2a，
∵BM2+MO2=(2 105a)2+( 105a)2=2a2，
BO2=( 2a)2=2a2，
∴BM2+MO2=BO2，
∴△BMO是直角三角形，∠BMO=90°，故③正确；
综上所述，正确的结论有①③④⑤共4个．
故选：C．
根据正方形的性质可得AB=BC=AD，∠ABC=∠BAD=90°，再根据中点定义求出AE=BF，然后利用“边角边”证明△ABF和△DAE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BAF=∠ADE，然后求出∠ADE+∠DAF=∠BAD=90°，从而求出∠AMD=90°，再根据邻补角的定义可得∠AME=90°，从而判断①正确；根据中线的定义判断出∠ADE≠∠EDB，然后求出∠BAF≠∠EDB，判断出②错误；根据直角三角形的性质判断出△AED、△MAD、△MEA三个三角形相似，利用相似三角形对应边成比例可得AMEM=MDAM=ADAE=2，然后求出MD=2AM=4EM，判断出④正确，设正方形ABCD的边长为2a，利用勾股定理列式求出AF，再根据相似三角形对应边成比例求出AM，然后求出MF，消掉a即可得到AM=23MF，判断出⑤正确；过点M作MN⊥AB于N，求出MN、NB，然后利用勾股定理列式求出BM，过点M作GH//AB，过点O作OK⊥GH于K，然后求出OK、MK，再利用勾股定理列式求出MO，根据正方形的性质求出BO，然后利用勾股定理逆定理判断出∠BMO=90°，从而判断出③正确．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，勾股定理逆定理的应用，综合性较强，难度较大，仔细分析图形并作出辅助线构造出直角三角形与相似三角形是解题的关键．
11.【答案】5
【解析】解：∵x2−5x+6=0，
∴(x−2)(x−3)=0，
解得：x1=2，x2=3，
∵一个三角形的两边分别为1和2，
∴另一边是2，
∴这个三角形的周长是：1+2+2=5．
故答案为：5．
首先利用因式分解法求得方程x2−5x+6=0的解，然后由一个三角形的两边分别为1和2，可求得另一边的长，继而求得这个三角形的周长．
此题考查了因式分解法解一元二次方程与等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
12.【答案】x=−4
【解析】解：∵a=1，b=4，且一元二次方程x2+4x=0的一根为x=0，
∴方程的另一根为x=−ba−0=−41−0=−4．
故答案为：x=−4．
根据方程的两根之和等于−ba及方程的一个根为x=0，即可求出方程的另一根为x=−4．
本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于−ba，两根之积等于ca”是解题的关键．
13.【答案】1.92
【解析】解：根据题意知，小红的身高为175−7=168(厘米)，
设小红的影长为x厘米
则175200=168x，
解得：x=192，
∴小红的影长为1.92米，
故答案为：1.92．
在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．
此题主要考查了平行投影，把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出的影长，体现了方程的思想．
14.【答案】x2=−2y2=28和x1=26y1=0
【解析】解：设x+1=a，y−1=b，则原方程可变为3a+3b=2①a+b=26②，
由②式又可变化为(3a+3b)(3a2−3ab+3b2)=26，
把①式代入得(3a2−3ab+3b2)=13，这又可以变形为(3a+3b)2−33ab=13，
再代入又得−33ab=9，
解得ab=−27，
又因为a+b=26，
所以解这个方程组得a=27b=−1或a=−1b=27，
于是(1)x+1=27y−1=−1，解得x=26y=0；
(2)x+1=−1y−1=27，解得x=−2y=28．
故答案为x1=26y1=0和x2=−2y2=28．
根据式子特点，设x+1=a，y−1=b，然后利用换元法将原方程组转化为关于a、b的方程组，再换元为关于x、y的方程组解答．
本题主要考查解无理方程的知识点，去掉根号把无理式化成有理方程是解题的关键，需要同学们仔细掌握．
15.【答案】40132
【解析】解：由题意可知：P2007的坐标是(Px2007,4013)，
又∵P2007在y=6x上，
∴Px2007=64013．
而Qx2007(即Px2007)在y=3x上，所以Qy2007=3Qx2007=364013=40132，
∴|P2007Q2007|=|Py2007−Qy2007|=|4013−40132|=40132．
故答案为：40132．
要求出|P2007Q2007|的值，就要先求|Qy2007−Py2007|的值，因为纵坐标分别是1，3，5…，共2007个连续奇数，其中第2007个奇数是2×2007−1=4013，所以P2007的坐标是(Px2007,4013)，那么可根据P点都在反比例函数y=6x上，可求出此时Px2007的值，那么就能得出P2007的坐标，然后将P2007的横坐标代入y=3x中即可求出Qy2007的值．那么|P2007Q2007|=|Qy2007−Py2007|，由此可得出结果．
本题的关键是找出P点纵坐标的规律，以这个规律为基础求出P2007的横坐标，进而求出Q2007的值，从而可得出所求的结果．
16.【答案】454
【解析】解：如图，由勾股定理易得AC=15，设AC的中点为E，折线FG与AB交于F，(折线垂直平分对角线AC)，AE=7.5．
∵∠AEF=∠B=90°，∠EAF是公共角，
∴△AEF∽△ABC，
∴EFAE=BCAB=912．
∴EF=22.54．
∴折线长=2EF=454．
故答案为454．
首先由勾股定理求出AC的长，设AC的中点为E，折线与AB交于F.然后求证△AEF∽△ABC求出EF的长．
本题综合考查了矩形的性质，勾股定理，相似，全等等知识点．
17.【答案】 6
【解析】解：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠BAE+∠DAF=90°，
∵DF⊥l，
∴∠DAF+∠ADF=90°，
∴∠BAE=∠ADF，
在△ABE和△DAF中，
∠BAE=∠ADF∠AFD=∠BEA=90°AB=AD，
∴△ABE≌△DAF(AAS)，
∴BE=AF，
设AE=x，BE=y，
∵EF=2 5，S△ABE=2，
∴x+y=2 512xy=2，
消掉y并整理得，x2−2 5x+4=0，
解得x1= 5−1，x2= 5+1，
当x1= 5−1，y1= 5+1，
当x2= 5+1，y2= 5−1，
∴由勾股定理得，AB= ( 5−1)2+( 5+1)2=2 3，
在正方形ABCD中，∠OAG=∠ODH=45°，OA=OD，∠AOD=90°，
∴∠AOG+∠DOG=90°，
∵OG⊥OH，
∴∠DOH+∠DOG=90°，
∴∠AOG=∠DOH，
在△AOG和△DOH中，
∠AOG=∠DOHOA=OD∠OAG=∠ODH，
∴△AOG≌△DOH(ASA)，
∴OG=OH，
∴△OGH是等腰直角三角形，
由垂线段最短可得，OH⊥CD时OH最短，GH也最短，
此时，GH的最小值为 2×2 32= 6．
故答案为： 6．
根据正方形的性质可得AB=AD，∠BAD=90°，然后利用同角的余角相等求出∠BAE=∠ADF，再利用“角角边”证明△ABE和△DAF全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=AF，设AE=x，BE=y，然后列出方程组求出x、y的值，再利用勾股定理列式求出正方形的边长AB，根据正方形的对角线平分一组对角可得∠OAG=∠ODH=45°，根据同角的余角相等求出∠AOG=∠DOH，然后利用“角边角”证明△AOG和△DOH全等，根据全等三角形对应边相等可得OG=OH，判断出△OGH是等腰直角三角形，再根据垂线段最短和等腰直角三角形的性质可得OH⊥CD时GH最短，然后求解即可．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，难点在于多次证明三角形全等并判断出GH长度最小时的情况．
18.【答案】解：(1)设a2=b3=c4=k，
则a=2k，b=3k，c=4k，
所以a+b+cb=2k+3k+4k3k=9k3k=3；
(2)∵由(1)得：2×2k+3k+2×4k=−30，
解得：k=−2，
∴a=−4，b=−6，c=−8．
【解析】(1)设a2=b3=c4=k，得出a=2k，b=3k，c=4k，再代入计算即可；
(2)根据(1)先求出k的值，再代入a=2k，b=3k，c=4k，求出a，b，c的值即可．
本题主要考查的是比例的性质，设出a、b、c的值是解题的关键．
19.【答案】解：(2x2+3x)2−4(2x2+3x)−5=0，
[(2x2+3x)−5][(2x2+3x)+1]=0，
(2x+5)(x−1)(2x+1)(x+1)=0，
x1=−52,x2=1,x3=−12,x4=−1．
【解析】把(2x2+3x)看作一个整体，利用十字相乘分解因式，即可求解．
本题主要考查解一元二次方程，掌握十字相乘分解因式是关键．
20.【答案】解：(1)∵矩形OABC顶点A(8,0)、C(0,6)，
∴B(8,6)，
∵D为BA中点，
∴D(8,3)，AD=3，
把点D(8,3)代入y=kx−1得
k=12；
令y=0，得x=2，
∴E(2,0)，
∴OE=2，AE=6，
∴S△EAD=12×6×3=9；
(2)由(1)得S矩形AOCB=6×8=48，
∴P=948=316．
【解析】(1)由矩形的性质和已知条件“D为BA中点”易求点D的坐标，把点D的坐标代入直线方程可以求得k的值；然后把y=0代入函数解析式易求点E的坐标，所以OE=2，AE=6.由三角形的面积公式来求△EAD的面积；
(2)飞镖落在△EAD内的概率=S△EADS四边形OABC，据此计算即可．
此题综合考查了待定系数法求一次函数的解析式，三角形面积的计算依据概率的求法．求得点D、E的坐标是解题的关键点．
21.【答案】解：(1)①证明：∵EH⊥AB，∠BAC=90°，
∴EH//CA，
∴△BHE∽△BAC，
∴BEBC=HEAC，
∵DCBE=ACBC，
∴BEBC=DCAC，
∴HEAC=DCAC，
∴HE=DC，
∵EH//DC，
∴四边形DHEC是平行四边形；
②∵ACBC= 22，∠BAC=90°，
∴AC=AB，
∵DCBE= 22，HE=DC，
∴HEBE= 22，
∵∠BHE=90°，
∴BH=HE，
∵HE=DC，
∴BH=CD，
∴AH=AD，
∵DM⊥AE，EH⊥AB，
∴∠EHA=∠AMF=90°，
∴∠HAE+∠HEA=∠HAE+∠AFM=90°，
∴∠HEA=∠AFD，
∵∠EHA=∠FAD=90°，
∴△HEA≌△AFD，
∴AE=DF；
(2)如图2，过点E作EG⊥AB于G，
∵CA⊥AB，
∴EG//CA，
∴△EGB∽△CAB，
∴EGCA=BEBC，
∴EGBE=CABC=35，
∵CDBE=35，
∴EG=CD，
设EG=CD=3x，AC=3y，
∴BE=5x，BC=5y，
∴BG=4x，AB=4y，
∵∠EGA=∠AMF=90°，
∴∠GEA+∠EAG=∠EAG+∠AFM，
∴∠AFM=∠AEG，
∵∠FAD=∠EGA=90°，
∴△FAD∽△EGA，
∴DFAE=ADAG=3y−3x4y−4x=34
【解析】(1)①先判断出△BHE∽△BAC，进而判断出HE=DC，即可得出结论；
②先判断出AC=AB，BH=HE，再判断出∠HEA=∠AFD，即可得出结论；
(2)先判断出△EGB∽△CAB，进而求出CD：BE=3：5，再判断出∠AFM=∠AEG进而判断出△FAD∽△EGA，即可得出结论．
此题是相似形综合题，主要考查了平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，判断出∠HEA=∠AFD是解本题的关键．
22.【答案】解：(1)∵点B(n,−6)在直线y=3x−5上，
∴−6=3n−5，
解得：n=−13，
∴B(−13,−6)，
∵反比例函数y=k−1x的图象过点B，
∴k−1=−13×(−6)，
解得：k=3；
(2)设直线y=3x−5分别与x轴、y轴交于C、D，
当y=0时，3x−5=0，x=53，
即OC=53，
当x=0时，y=−5，
即OD=5，
∵A(2,m)在直线y=3x−5上，
∴m=3×2−5=1，
即A(2,1)，
∴△AOB的面积S=S△BOD+S△COD+S△AOC=12×13×5+12×53×5+12×53×1=356．
【解析】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数与一次函数的交点问题、函数图象上点的坐标特征等知识点，能求出反比例函数的解析式是解此题的关键．
(1)先求出B点的坐标，再代入反比例函数解析式求出即可；
(2)先求出直线与x轴、y轴的交点坐标，再求出即可．
23.【答案】(1)①证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴DA=DC，∠ADC=∠DAE=∠DCF=90°，
∴∠ADC=∠MDN=90°，
∴∠ADE=∠CDF，
∴△ADE≌△CDE(ASA)，
∴AE=CF．
②∵△ADE≌△CDF(ASA)，
∴DE=DF，∵∠MDN=90°，
∴∠DEF=45°，
∵∠DAC=45°，
∴∠DAQ=∠PEQ，∵∠AQD=∠EQP，
∴△AQD∽△EQP，
∴AQQE=DQPQ，
∴AQDQ=EQPQ，∵∠AQE=∠PQD，
∴△AQE∽△DQP，
∴∠QDP=∠QAE=45°，
∴∠DPE=90°，
∴DP⊥EF，∵DE=DF，
∴PE=PF，
∴DP垂直平分线段EF．
(2)解：
①当点E在线段AB上时，作QH⊥AD于H，QG⊥AB于G．
在Rt△ADE中，DE= AD2+AE2= 17，
∵∠QAH=∠QAG=45°，
∴HQ=QG=AG=AH，设QH=x，
∵12·4·x+12·1·x=12·1·4，
∵x=45，
∴AQ=45 2，DQ= DH2+HQ2=45 17，EQ= 175，
∵△AQD∽△EQP，
∴AQ⋅PQ=DQ⋅EQ，
∴PQ=4 175⋅ 1754 25=17 210．
②当点E在BA的延长线上时，作QH⊥AD于H，QG⊥AB于G．
在Rt△ADE中，DE= AD2+AE2= 17，
∵∠QAH=∠QAG=45°，
∴HQ=QG=AG=AH，设QH=x，
∵12×4×x−12×1×x=12×1×4，
∵x=43，
∴AQ=4 23，DQ= DH2+HQ2=4 173，EQ= 173，
∵△AQD∽△EQP，
∴AQ⋅PQ=DQ⋅EQ，
∴PQ=4 173⋅ 1734 23=17 26．
综上所述，PQ的长为17 210或17 26．
【解析】(1)①只要证明△ADE≌△CDE(ASA)即可解决问题；
②利用相似三角形的性质证明∠PDQ=45°即可解决问题；
(2)①当点E在线段AB上时，作QH⊥AD于H，QG⊥AB于G.由△AQD∽△EQP，可知AQ⋅PQ=DQ⋅EQ，想办法求出AQ，EQ，DQ即可解决问题；②当点E在BA的延长线上时，作QH⊥AD于H，QG⊥AB于G，方法类似．
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形和相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
24.【答案】等腰直角三角形
【解析】解：(1)等腰直角三角形．理由如下：
如图1，在正方形ABCD中，DC=BC，∠D=∠ABC=90°．
依题意得：DE=BF=t．
在△CDE与△CBF中，
DC=BC∠D=∠CBFDE=BF，
∴△CDE≌△CBF(SAS)，
∴CF=CE，∠DCE=∠BCF，
∴∠ECF=∠BCF+∠BCE=∠DCE+∠BCE=∠BCD=90°，
∴△CEF是等腰直角三角形．
故答案是：等腰直角三角形．
(2)如图2，过点E作EN//AB，交BD于点N，则∠NEM=∠BFM．
∴∠END=∠ABD=∠EDN=45°，
∴EN=ED=BF．
在△EMN与△FMB中，
∠NME=∠BMF∠NEM=∠BFMEN=BF，
∴△EMN≌△FMB(AAS)，
∴EM=FM．
∵Rt△AEF中，AE=4，AF=8，
∴ AE2+AF2=EF= 42+82=4 5，
∴AM=12EF=2 5；
(3)如图3，连接CE，CF，设EF与GH交于P．
由(1)得∠CFE=45°，又∠EPQ=45°，
∴GH//CF，
又∵AF//DC，
∴四边形GFCH是平行四边形，
∴CF=GH=3 5，
在Rt△CBF中，得BF= CF2−BC2= 45−36=3，
∴t=3．
(1)通过证明△CDE≌△CBF得到CF=CE，∠DCE=∠BCF，则易推知△CEF是等腰直角三角形；
(2)过点E作EN//AB，交BD于点N，∠END=∠ABD=∠EDN=45°，EN=ED=BF.可证△EMN≌△FMB，则其对应边相等：EM=FM.所以在Rt△AEF中，由勾股定理求得EF的长度，则AM=12EF；
(3)如图3，连接CE，CF，设EF与GH交于P.购进平行四边形GFCH，则其对边相等：CF=GH=3 5.所以在Rt△CBF中，由勾股定理得到：BF= CF2−BC2=3，故t=3．
本题考查了四边形综合题．解题过程中，涉及到了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用．解答该类题目时，要巧妙的作出辅助线，构建几何模型，利用特殊的四边形的性质(或者全等三角形的性质)得到相关线段间的数量关系，从而解决问题．
25.【答案】(1)证明：如图1中，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB//CD，
∴∠AFD=∠CDF，
由翻折的性质可知，∠AFD=∠DFC，
∴∠CDF=∠DFC，
∴CD=CF．
(2)解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD，AD//BC，
∴∠ADE=∠DEC，
由翻折的性质可知，AD=DG，∠ADF=∠FDG，
∴∠FDG=12∠DEC=12x，
∴DG=DC，
∴∠DGC=∠DCG=y，
∵CF=CD，
∴∠CFD=12(180°−y)，
∵∠DGC=∠GFD+∠FDG，
∴y=12(180°−y)+12x，
∴y=13x+60°．
(3)解：如图2中，过点K作KH⊥CD于H，过点G作GT⊥CD于T．
∵x=45°，
∴y=13×45°+60°=75°，
∵DG=DC=4，
∴∠DCG=∠DGC=75°，
∴∠GDT=30°，
∵GT⊥CD，
∴∠GTD=90°，
∴GT=12DG=2，DT= 3GT=2 3，
∵GK⊥CD，
∴∠KGT+∠GTH=180°，
∴∠KGT=∠GTH=90°，
∵KH⊥CD，KD=KC，
∴DH=CH=2，∠KHT=90°，
∴四边形GTHK是矩形，
∴GK=TH=DT−DH=2 3−2．
【解析】(1)欲证明CD=CF，只要证明∠CDF=∠CFD．
(2)由题意∠FDG=12x，∠DFC=12(180°−y)，证明∠DGC=∠DCF=y，利用三角形的外角的性质解决问题即可．
(3)如图2中，过点K作KH⊥CD于H，过点G作GT⊥CD于T.则四边形GTHK是矩形，想办法求出DT，DH即可解决问题．
本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，翻折变换，等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考压轴题．
2022-2023学年广东省惠州市惠阳区黄埔实验学校九年级（下）开学数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若m，n是一元二次方程x2−2x−1=0的两个不同实数根，则代数式m2−m+n的值是( )
A. −1 B. 3 C. −3 D. 1
2. 下列方程是关于x的一元二次方程的是( )
A. x2+1x=1 B. ax2+bx+c=0
C. (x+1)(x+2)=1 D. 3x2−2xy−5y=0
3. 从正面观察如图的两个立体图形，得到的平面图形是( )
A. B. C. D.
4. 如图，点E，点F分别在菱形ABCD的边AB，AD上，且AE=DF，BF交DE于点G，延长BF交CD的延长线于H，若HFDF=2，则HFBG的值为( )
A. 23 B. 712 C. 12 D. 512
5. 如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为( )
A. 54 B. 52 C. 53 D. 65
6. 已知x=2是关于x的方程x2−(m+4)x+4m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则△ABC的周长为( )
A. 6 B. 8 C. 10 D. 8或10
7. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4.点D为边AC上的动点，作菱形DEFG，使点E、F在边AB上，点G在边BC上．若这样的菱形能作出2个，则AD的取值范围是( )
A. 3637
A. 12或2
B. 12或8
C. 2或6
D. 2或8
9. 如图，在矩形ABCD中，AB= 2，E是BC的中点，若AE⊥BD于点F，M是DF的中点，连接CM、AM，则下列正确的结论是( )
①FC=CD;
②∠DBC=∠FAM;
③EF=12CM;
④矩形ABCD的面积是2．
A. ①②③ B. ②③④ C. ①②③④ D. ①④
10. 如图，已知E，F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF与DE交于点M，O为BD的中点，则下列结论：
①∠AME=90°；②∠BAF=∠EDB；③∠BMO=90°；④MD=2AM=4EM；⑤AM=23MF.其中正确结论的是( )
A. ①③④ B. ②④⑤ C. ①③④⑤ D. ①③⑤
二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）
11. 一个三角形的两边分别为1和2，另一边是方程x2−5x+6=0的解，则这个三角形的周长是______．
12. 一元二次方程x2+4x=0的一根为x=0，另一根为______．
13. 小明和小红在阳光下行走，小明身高1.75米，他的影长2.0米，小红比小明矮7厘米，此刻小红的影长是______米．
14. 方程组3x+1+3y−1=2x+y=26的解是______．
15. 两个反比例函数y=3x，y=6x在第一象限内的图象如图所示．点P1，P2，P3、…、P2007在反比例函数y=6x上，它们的横坐标分别为x1、x2、x3、…、x2007，纵坐标分别是1，3，5…共2007个连续奇数，过P1，P2，P3、…、P2007分别作y轴的平行线，与y=3x的图象交点依次为Q1(x1′,y1′)、Q1(x2′,y2′)、…、Q2(x2007′,y2007′)，则|P2007Q2007|=______．
16. 有一张矩形纸片ABCD，AD=9，AB=12，将纸片折叠使A、C两点重合，那么折痕长是______ ．
17. 如图，直线l经过正方形ABCD的顶点A，先分别过此正方形的顶点B、D作BE⊥l于点E、DF⊥l于点F.然后再以正方形对角线的交点O为端点，引两条相互垂直的射线分别与AD，CD交于G，H两点.若EF=2 5，S△ABE=2，则线段GH长度的最小值是______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共62.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. (本小题6.0分)
已知a2=b3=c4．
(1)求a+b+cb．
(2)若2a+b+2c=−30，求a，b，c的值．
19. (本小题6.0分)
(2x2+3x)2−4(2x2+3x)−5=0．
20. (本小题6.0分)
如图，矩形OABC顶点A(8,0)、C(0,6)，直线y=kx−1分别交BA、OA于点D、E，且D为BA中点．
(1)求k的值及此时△EAD的面积；
(2)现向矩形内随机投飞镖，求飞镖落在△EAD内的概率．(若投在边框上则重投)
21. (本小题8.0分)
已知在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB≥AC，D、E分别为AC、BC边上的点(不包括端点)，且DCBE=ACBC=m，连结AE，过点D作DM⊥AE，垂足为点M，延长DM交AB于点F．
(1)如图1，过点E作EH⊥AB于点H，连结DH．
①求证：四边形DHEC是平行四边形；
②若m= 22，求证：AE=DF；
(2)如图2，若m=35，求DFAE的值．
22. (本小题8.0分)
如图，直线y=3x−5与反比例函数y=k−1x的图象相交于A(2,m)，B(n,−6)两点，连接OA，OB．
(1)求k和n的值；
(2)求△AOB的面积．
23. (本小题8.0分)
如图，在正方形ABCD中，边长为4，∠MDN=90°，将∠MDN绕点D旋转，其中DM边分别与射线BA、直线AC交于E、Q两点，DN边与射线BC交于点F；连接EF，且EF与直线AC交于点P．
(1)如图1，点E在线段AB上时，①求证：AE=CF；②求证：DP垂直平分EF；
(2)当AE=1时，求PQ的长．
24. (本小题10.0分)
如图1，正方形ABCD的边长为6cm，点F从点B出发，沿射线AB方向以1cm/秒的速度移动，点E从点D出发，向点A以1cm/秒的速度移动(不到点A).设点E，F同时出发移动t秒．
(1)在点E，F移动过程中，连接CE，CF，EF，则△CEF的形状是______ ，始终保持不变；
(2)如图2，连接EF，设EF交BD移动M，当t=2时，求AM的长；
(3)如图3，点G，H分别在边AB，CD上，且GH=3 5cm，连接EF，当EF与GH的夹角为45°，求t的值．
25. (本小题10.0分)
已知：菱形ABCD，点E在线段BC上，连接DE，点F在线段AB上，连接CF、DF，CF与DE交于点G，将菱形ABCD沿DF翻折，点A恰好落在点G上．
(1)求证：CD=CF；
(2)设∠CED=x，∠DCF=y，求y与x的函数关系式；(不要求写出自变量的取值范围)
(3)在(2)的条件下，当x=45°时，以CD为底边作等腰△CDK，顶角顶点K在菱形ABCD的内部，连接GK，若GK//CD，CD=4时，求线段KG的长．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵m是一元二次方程x2−2x−1=0的根，
∴m2−2m−1=0，
∴m2−2m=1，
∴m2−m+n=m2−2m+m+n=1+m+n，
∵m、n是一元二次方程x2−2x−1=0的两个根，
∴m+n=2，
∴m2−m+n=1+2=3．
故选：B．
先根据一元二次方程的解的定义得到m2−2m−1=0，则m2−2m=1，于是原式可化简为m2−2m+m+n=1+m+n，然后根据根与系数的关系得到m+n=2，再利用整体代入的方法计算．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca.也考查了一元二次方程的解．
2.【答案】C
【解析】解：A、分母上有未知数，不是整式方程，故本选项错误；
B、a=0且b≠0时，是关于x的一元一次方程，故本选项错误；
C、整理为x2+3x+2=0，是关于x的一元二次方程，故本选项正确；
D、是二元二次方程，故本选项错误．
故选：C．
根据一元二次方程必须满足两个条件：(1)未知数的最高次数是2；(2)二次项系数不为0，对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0(且a≠0).特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
3.【答案】A
【解析】
【分析】
此题主要考查了认识立体图形，关键是掌握从不同方向看得到的图形．
根据从正面看得到的图形，可得答案．
【解答】
解：从正面看左边是一个长方形，右边是一个正方形，
故选A．
4.【答案】B
【解析】解：设DF=m，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，DC//AB，
∴DH//AB，
∴△HDF∽△BAF，
∴AFDF=BFHF=ABHD，
又∵HFDF=2，
∴AFDF=BFHF=ABHD=12，
∴AF=2m，
又∵HB=HF+BF，
∴HF=13⋅HB，
又∵AD=AF+DF，
∴AD=AB=3m，
∴DH=32m，
又∵AE=DF，
∴AE=m，
又∵BE=AB−AE，
∴BE=2m，
又∵DH//BE，
∴△DHG∽△EBG，
∴HGGB=DHBE=32m2m=34，
∴GBHB=47，
∴GB=47HB，
∴HFBG=13⋅HB47⋅HB=712，
故选：B．
由菱形的性质得AD=AB，DC//AB，根据DH//AB，DH//BE分别得△HDF∽△BAF，△DHG∽△EBG，其性质与线段的和差求出HF=13⋅HB，GB=47HB，最后计算HFBG的值为712．
本题综合考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，线段的和差等相关知识点，重点掌握相似三角形的判定与性质，难点是根据比例的应用．
5.【答案】D
【解析】
【分析】
本题综合运用了勾股定理的逆定理、矩形的判定及性质、直角三角形的性质．要能够把要求的线段的最小值转换为便于分析其最小值的线段．根据勾股定理的逆定理可以证明∠BAC=90°；根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，则AM=12EF，要求AM的最小值，即求EF的最小值；根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形AEPF是矩形，根据矩形的对角线相等，得EF=AP，则EF的最小值即为AP的最小值，根据垂线段最短，知：AP的最小值即等于直角三角形ABC斜边上的高．
【解答】
解：∵在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，
∴AB2+AC2=BC2，
即∠BAC=90°．
又∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF=AP．
∵M是EF的中点，
∴AM=12EF=12AP．
因为AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即等于3×45=125，
∴AM的最小值是65．
故选D．
6.【答案】C
【解析】解：把x=2代入方程x2−(m+4)x+4m=0得4−2(m+4)+4m=0，解得m=2，
方程化为x2−6x+8=0，解得x1=4，x2=2，
因为2+2=4，
所以三角形三边为4、4、2，
所以△ABC的周长为10．
故选：C．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了三角形三边的关系．
先利用一元二次方程解的定义把x=2代入方程x2−(m+4)x+4m=0得m=2，则方程化为x2−6x+8=0，然后解方程后利用三角形三边的关系确定三角形的三边，最后就是三角形的周长．
7.【答案】B
【解析】解：如图1中，当四边形DEFG是正方形时，设正方形的边长为x．
在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AB=5，BC=4，
∴AC= AB2−BC2= 52−42=3，
则CD=35x，AD=54x，
∵AD+CD=AC，
∴35x+54x=3，
∴x=6037，
∴CD=35x=3637，
观察图象可知：0≤CD<3637时，菱形的个数为0．
如图2中，当四边形DAEG是菱形时，设菱形的边长为m．
∵DG//AB，
∴CDAC=DGAB，
∴3−m3=m5，
解得m=158，
∴CD=3−158=98，
如图3中，当四边形DEBG是菱形时，设菱形的边长为n．
∵DG//AB，
∴CGCB=DGAB，
∴4−n4=n5，
∴n=209，
∴CG=4−209=169，
∴CD= (209)2−(169)2=43，
观察图象可知：当0≤CD<3637或43
本题考查相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，作图−复杂作图等知识，解题的关键是学会寻找特殊位置解决问题，属于中考常考题型，题目有一定难度．
8.【答案】D
【解析】解：∵P1N//y轴，P2N//x轴，
∴P1的横坐标为m，P2的纵坐标为n，
而点P1，P2是反比例函数图象y=4x上任意两点，
∴P1(m,4m)，P2(4n,n)，
∴NP1=4m−n，NP2=4n−m，
∴(4m−n)(4n−m)=2，
整理得(mn)2−10mn+16=0，解得mn=2或mn=8，
∵点N(m,n)在反比例函数y=kx的图象上，
∴k=mn，
∴k=2或8．
故选D．
由P1N//y轴，P2N//x轴得到P1的横坐标为m，P2的纵坐标为n，再根据反比例函数图象上点的坐标特征得P1(m,4m)，P2(4n,n)，则NP1=4m−n，NP2=4n−m，所以(4m−n)(4n−m)=2，解关于mn的一元二次方程得mn=2或mn=8，加上点N(m,n)在反比例函数y=kx的图象上，则k=mn，于是可得k=2或8．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=kx(k为常数，k≠0)的图象是双曲线，图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
9.【答案】A
【解析】
【分析】
本题是相似形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
通过证明△ADF∽△EBF，可得DF=2BF，由三角形中位线定理可得EF//CM，EF=12CM，通过证明CM是DF的垂直平分线，可得CF=CD，由直角三角形的性质和全等三角形的性质可得∠DBC=∠FAM，通过证明△BCD∽△CMD，可得CDBD=DMCD，可求BD的长，由勾股定理可求BC的长，即可求矩形ABCD的面积．
【解答】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD= 2，AD=BC，AD//CB，
∵E是BC的中点，M是DF的中点，
∴BC=2BE=2EC，DF=2FM=2DM，
∵AD//BC，
∴△ADF∽△EBF，
∴BEAD=BFDF=12，
∴DF=2BF，
∴BF=FM=DM，
∵BE=EC，BF=FM，
∴EF//CM，EF=12CM，故③符合题意，
∴∠BFE=∠BMC=90°，
∵FM=MD，
∴CM是DF的垂直平分线，
∴CF=CD，故①符合题意，
∵∠ABD+∠DBC=∠ABC=90°，∠ABD+∠BAF=90°，
∴∠DBC=∠BAF，
在△ABF和△AMF中
BF=FM∠AFB=∠AFD=90°AF=AF
∴△ABF≌△AMF(SAS)
∴∠BAF=∠FAM，
∴∠DBC=∠FAM，故②符合题意，
∵∠BDC=∠BDC，∠DCB=∠DMC，
∴△BCD∽△CMD，
∴CDBD=DMCD，
∴CD2=BD⋅DM=3DM2=2，
∴DM= 63，
∴BD=3DM= 6，
∴BC= BD2−CD2= 6−2=2，
∴矩形ABCD的面积=AB×BC=2 2，故④不合题意，
综上所述，正确的结论是①②③
故选：A．
10.【答案】C
【解析】解：在正方形ABCD中，AB=BC=AD，∠ABC=∠BAD=90°，
∵E、F分别为边AB，BC的中点，
∴AE=BF=12BC，
在△ABF和△DAE中，
AE=BF∠ABC=∠BADAB=AD，
∴△ABF≌△DAE(SAS)，
∴∠BAF=∠ADE，
∵∠BAF+∠DAF=∠BAD=90°，
∴∠ADE+∠DAF=∠BAD=90°，
∴∠AMD=180°−(∠ADE+∠DAF)=180°−90°=90°，
∴∠AME=180°−∠AMD=180°−90°=90°，故①正确；
∵DE是△ABD的中线，
∴∠ADE≠∠EDB，
∴∠BAF≠∠EDB，故②错误；
∵∠BAD=90°，AM⊥DE，
∴△AED∽△MAD∽△MEA，
∴AMEM=MDAM=ADAE=2，
∴AM=2EM，MD=2AM，
∴MD=2AM=4EM，故④正确；
设正方形ABCD的边长为2a，则BF=a，
在Rt△ABF中，AF= AB2+BF2= 5a，
∵∠BAF=∠MAE，∠ABC=∠AME=90°，
∴△AME∽△ABF，
∴AMAB=AEAF，
即AM2a=a 5a，
解得AM=2 55a，
∴MF=AF−AM= 5a−2 55a=3 55a，
∴AM=23MF，故⑤正确；
如图，过点M作MN⊥AB于N，
则MNBF=ANAB=AMAF，
即MNa=AN2a=2 55a 5a，
解得MN=25a，AN=45a，
∴NB=AB−AN=2a−45a=65a，
根据勾股定理，BM= BN2+MN2=2 105a，
过点M作GH//AB，过点O作OK⊥GH于K，
则OK=a−25a=35a，MK=65a−a=15a，
在Rt△MKO中，MO= MK2+OK2= 105a，
根据正方形的性质，BO=2a× 22= 2a，
∵BM2+MO2=(2 105a)2+( 105a)2=2a2，
BO2=( 2a)2=2a2，
∴BM2+MO2=BO2，
∴△BMO是直角三角形，∠BMO=90°，故③正确；
综上所述，正确的结论有①③④⑤共4个．
故选：C．
根据正方形的性质可得AB=BC=AD，∠ABC=∠BAD=90°，再根据中点定义求出AE=BF，然后利用“边角边”证明△ABF和△DAE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BAF=∠ADE，然后求出∠ADE+∠DAF=∠BAD=90°，从而求出∠AMD=90°，再根据邻补角的定义可得∠AME=90°，从而判断①正确；根据中线的定义判断出∠ADE≠∠EDB，然后求出∠BAF≠∠EDB，判断出②错误；根据直角三角形的性质判断出△AED、△MAD、△MEA三个三角形相似，利用相似三角形对应边成比例可得AMEM=MDAM=ADAE=2，然后求出MD=2AM=4EM，判断出④正确，设正方形ABCD的边长为2a，利用勾股定理列式求出AF，再根据相似三角形对应边成比例求出AM，然后求出MF，消掉a即可得到AM=23MF，判断出⑤正确；过点M作MN⊥AB于N，求出MN、NB，然后利用勾股定理列式求出BM，过点M作GH//AB，过点O作OK⊥GH于K，然后求出OK、MK，再利用勾股定理列式求出MO，根据正方形的性质求出BO，然后利用勾股定理逆定理判断出∠BMO=90°，从而判断出③正确．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，勾股定理逆定理的应用，综合性较强，难度较大，仔细分析图形并作出辅助线构造出直角三角形与相似三角形是解题的关键．
11.【答案】5
【解析】解：∵x2−5x+6=0，
∴(x−2)(x−3)=0，
解得：x1=2，x2=3，
∵一个三角形的两边分别为1和2，
∴另一边是2，
∴这个三角形的周长是：1+2+2=5．
故答案为：5．
首先利用因式分解法求得方程x2−5x+6=0的解，然后由一个三角形的两边分别为1和2，可求得另一边的长，继而求得这个三角形的周长．
此题考查了因式分解法解一元二次方程与等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
12.【答案】x=−4
【解析】解：∵a=1，b=4，且一元二次方程x2+4x=0的一根为x=0，
∴方程的另一根为x=−ba−0=−41−0=−4．
故答案为：x=−4．
根据方程的两根之和等于−ba及方程的一个根为x=0，即可求出方程的另一根为x=−4．
本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于−ba，两根之积等于ca”是解题的关键．
13.【答案】1.92
【解析】解：根据题意知，小红的身高为175−7=168(厘米)，
设小红的影长为x厘米
则175200=168x，
解得：x=192，
∴小红的影长为1.92米，
故答案为：1.92．
在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．
此题主要考查了平行投影，把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出的影长，体现了方程的思想．
14.【答案】x2=−2y2=28和x1=26y1=0
【解析】解：设x+1=a，y−1=b，则原方程可变为3a+3b=2①a+b=26②，
由②式又可变化为(3a+3b)(3a2−3ab+3b2)=26，
把①式代入得(3a2−3ab+3b2)=13，这又可以变形为(3a+3b)2−33ab=13，
再代入又得−33ab=9，
解得ab=−27，
又因为a+b=26，
所以解这个方程组得a=27b=−1或a=−1b=27，
于是(1)x+1=27y−1=−1，解得x=26y=0；
(2)x+1=−1y−1=27，解得x=−2y=28．
故答案为x1=26y1=0和x2=−2y2=28．
根据式子特点，设x+1=a，y−1=b，然后利用换元法将原方程组转化为关于a、b的方程组，再换元为关于x、y的方程组解答．
本题主要考查解无理方程的知识点，去掉根号把无理式化成有理方程是解题的关键，需要同学们仔细掌握．
15.【答案】40132
【解析】解：由题意可知：P2007的坐标是(Px2007,4013)，
又∵P2007在y=6x上，
∴Px2007=64013．
而Qx2007(即Px2007)在y=3x上，所以Qy2007=3Qx2007=364013=40132，
∴|P2007Q2007|=|Py2007−Qy2007|=|4013−40132|=40132．
故答案为：40132．
要求出|P2007Q2007|的值，就要先求|Qy2007−Py2007|的值，因为纵坐标分别是1，3，5…，共2007个连续奇数，其中第2007个奇数是2×2007−1=4013，所以P2007的坐标是(Px2007,4013)，那么可根据P点都在反比例函数y=6x上，可求出此时Px2007的值，那么就能得出P2007的坐标，然后将P2007的横坐标代入y=3x中即可求出Qy2007的值．那么|P2007Q2007|=|Qy2007−Py2007|，由此可得出结果．
本题的关键是找出P点纵坐标的规律，以这个规律为基础求出P2007的横坐标，进而求出Q2007的值，从而可得出所求的结果．
16.【答案】454
【解析】解：如图，由勾股定理易得AC=15，设AC的中点为E，折线FG与AB交于F，(折线垂直平分对角线AC)，AE=7.5．
∵∠AEF=∠B=90°，∠EAF是公共角，
∴△AEF∽△ABC，
∴EFAE=BCAB=912．
∴EF=22.54．
∴折线长=2EF=454．
故答案为454．
首先由勾股定理求出AC的长，设AC的中点为E，折线与AB交于F.然后求证△AEF∽△ABC求出EF的长．
本题综合考查了矩形的性质，勾股定理，相似，全等等知识点．
17.【答案】 6
【解析】解：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠BAE+∠DAF=90°，
∵DF⊥l，
∴∠DAF+∠ADF=90°，
∴∠BAE=∠ADF，
在△ABE和△DAF中，
∠BAE=∠ADF∠AFD=∠BEA=90°AB=AD，
∴△ABE≌△DAF(AAS)，
∴BE=AF，
设AE=x，BE=y，
∵EF=2 5，S△ABE=2，
∴x+y=2 512xy=2，
消掉y并整理得，x2−2 5x+4=0，
解得x1= 5−1，x2= 5+1，
当x1= 5−1，y1= 5+1，
当x2= 5+1，y2= 5−1，
∴由勾股定理得，AB= ( 5−1)2+( 5+1)2=2 3，
在正方形ABCD中，∠OAG=∠ODH=45°，OA=OD，∠AOD=90°，
∴∠AOG+∠DOG=90°，
∵OG⊥OH，
∴∠DOH+∠DOG=90°，
∴∠AOG=∠DOH，
在△AOG和△DOH中，
∠AOG=∠DOHOA=OD∠OAG=∠ODH，
∴△AOG≌△DOH(ASA)，
∴OG=OH，
∴△OGH是等腰直角三角形，
由垂线段最短可得，OH⊥CD时OH最短，GH也最短，
此时，GH的最小值为 2×2 32= 6．
故答案为： 6．
根据正方形的性质可得AB=AD，∠BAD=90°，然后利用同角的余角相等求出∠BAE=∠ADF，再利用“角角边”证明△ABE和△DAF全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=AF，设AE=x，BE=y，然后列出方程组求出x、y的值，再利用勾股定理列式求出正方形的边长AB，根据正方形的对角线平分一组对角可得∠OAG=∠ODH=45°，根据同角的余角相等求出∠AOG=∠DOH，然后利用“角边角”证明△AOG和△DOH全等，根据全等三角形对应边相等可得OG=OH，判断出△OGH是等腰直角三角形，再根据垂线段最短和等腰直角三角形的性质可得OH⊥CD时GH最短，然后求解即可．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，难点在于多次证明三角形全等并判断出GH长度最小时的情况．
18.【答案】解：(1)设a2=b3=c4=k，
则a=2k，b=3k，c=4k，
所以a+b+cb=2k+3k+4k3k=9k3k=3；
(2)∵由(1)得：2×2k+3k+2×4k=−30，
解得：k=−2，
∴a=−4，b=−6，c=−8．
【解析】(1)设a2=b3=c4=k，得出a=2k，b=3k，c=4k，再代入计算即可；
(2)根据(1)先求出k的值，再代入a=2k，b=3k，c=4k，求出a，b，c的值即可．
本题主要考查的是比例的性质，设出a、b、c的值是解题的关键．
19.【答案】解：(2x2+3x)2−4(2x2+3x)−5=0，
[(2x2+3x)−5][(2x2+3x)+1]=0，
(2x+5)(x−1)(2x+1)(x+1)=0，
x1=−52,x2=1,x3=−12,x4=−1．
【解析】把(2x2+3x)看作一个整体，利用十字相乘分解因式，即可求解．
本题主要考查解一元二次方程，掌握十字相乘分解因式是关键．
20.【答案】解：(1)∵矩形OABC顶点A(8,0)、C(0,6)，
∴B(8,6)，
∵D为BA中点，
∴D(8,3)，AD=3，
把点D(8,3)代入y=kx−1得
k=12；
令y=0，得x=2，
∴E(2,0)，
∴OE=2，AE=6，
∴S△EAD=12×6×3=9；
(2)由(1)得S矩形AOCB=6×8=48，
∴P=948=316．
【解析】(1)由矩形的性质和已知条件“D为BA中点”易求点D的坐标，把点D的坐标代入直线方程可以求得k的值；然后把y=0代入函数解析式易求点E的坐标，所以OE=2，AE=6.由三角形的面积公式来求△EAD的面积；
(2)飞镖落在△EAD内的概率=S△EADS四边形OABC，据此计算即可．
此题综合考查了待定系数法求一次函数的解析式，三角形面积的计算依据概率的求法．求得点D、E的坐标是解题的关键点．
21.【答案】解：(1)①证明：∵EH⊥AB，∠BAC=90°，
∴EH//CA，
∴△BHE∽△BAC，
∴BEBC=HEAC，
∵DCBE=ACBC，
∴BEBC=DCAC，
∴HEAC=DCAC，
∴HE=DC，
∵EH//DC，
∴四边形DHEC是平行四边形；
②∵ACBC= 22，∠BAC=90°，
∴AC=AB，
∵DCBE= 22，HE=DC，
∴HEBE= 22，
∵∠BHE=90°，
∴BH=HE，
∵HE=DC，
∴BH=CD，
∴AH=AD，
∵DM⊥AE，EH⊥AB，
∴∠EHA=∠AMF=90°，
∴∠HAE+∠HEA=∠HAE+∠AFM=90°，
∴∠HEA=∠AFD，
∵∠EHA=∠FAD=90°，
∴△HEA≌△AFD，
∴AE=DF；
(2)如图2，过点E作EG⊥AB于G，
∵CA⊥AB，
∴EG//CA，
∴△EGB∽△CAB，
∴EGCA=BEBC，
∴EGBE=CABC=35，
∵CDBE=35，
∴EG=CD，
设EG=CD=3x，AC=3y，
∴BE=5x，BC=5y，
∴BG=4x，AB=4y，
∵∠EGA=∠AMF=90°，
∴∠GEA+∠EAG=∠EAG+∠AFM，
∴∠AFM=∠AEG，
∵∠FAD=∠EGA=90°，
∴△FAD∽△EGA，
∴DFAE=ADAG=3y−3x4y−4x=34
【解析】(1)①先判断出△BHE∽△BAC，进而判断出HE=DC，即可得出结论；
②先判断出AC=AB，BH=HE，再判断出∠HEA=∠AFD，即可得出结论；
(2)先判断出△EGB∽△CAB，进而求出CD：BE=3：5，再判断出∠AFM=∠AEG进而判断出△FAD∽△EGA，即可得出结论．
此题是相似形综合题，主要考查了平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，判断出∠HEA=∠AFD是解本题的关键．
22.【答案】解：(1)∵点B(n,−6)在直线y=3x−5上，
∴−6=3n−5，
解得：n=−13，
∴B(−13,−6)，
∵反比例函数y=k−1x的图象过点B，
∴k−1=−13×(−6)，
解得：k=3；
(2)设直线y=3x−5分别与x轴、y轴交于C、D，
当y=0时，3x−5=0，x=53，
即OC=53，
当x=0时，y=−5，
即OD=5，
∵A(2,m)在直线y=3x−5上，
∴m=3×2−5=1，
即A(2,1)，
∴△AOB的面积S=S△BOD+S△COD+S△AOC=12×13×5+12×53×5+12×53×1=356．
【解析】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数与一次函数的交点问题、函数图象上点的坐标特征等知识点，能求出反比例函数的解析式是解此题的关键．
(1)先求出B点的坐标，再代入反比例函数解析式求出即可；
(2)先求出直线与x轴、y轴的交点坐标，再求出即可．
23.【答案】(1)①证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴DA=DC，∠ADC=∠DAE=∠DCF=90°，
∴∠ADC=∠MDN=90°，
∴∠ADE=∠CDF，
∴△ADE≌△CDE(ASA)，
∴AE=CF．
②∵△ADE≌△CDF(ASA)，
∴DE=DF，∵∠MDN=90°，
∴∠DEF=45°，
∵∠DAC=45°，
∴∠DAQ=∠PEQ，∵∠AQD=∠EQP，
∴△AQD∽△EQP，
∴AQQE=DQPQ，
∴AQDQ=EQPQ，∵∠AQE=∠PQD，
∴△AQE∽△DQP，
∴∠QDP=∠QAE=45°，
∴∠DPE=90°，
∴DP⊥EF，∵DE=DF，
∴PE=PF，
∴DP垂直平分线段EF．
(2)解：
①当点E在线段AB上时，作QH⊥AD于H，QG⊥AB于G．
在Rt△ADE中，DE= AD2+AE2= 17，
∵∠QAH=∠QAG=45°，
∴HQ=QG=AG=AH，设QH=x，
∵12·4·x+12·1·x=12·1·4，
∵x=45，
∴AQ=45 2，DQ= DH2+HQ2=45 17，EQ= 175，
∵△AQD∽△EQP，
∴AQ⋅PQ=DQ⋅EQ，
∴PQ=4 175⋅ 1754 25=17 210．
②当点E在BA的延长线上时，作QH⊥AD于H，QG⊥AB于G．
在Rt△ADE中，DE= AD2+AE2= 17，
∵∠QAH=∠QAG=45°，
∴HQ=QG=AG=AH，设QH=x，
∵12×4×x−12×1×x=12×1×4，
∵x=43，
∴AQ=4 23，DQ= DH2+HQ2=4 173，EQ= 173，
∵△AQD∽△EQP，
∴AQ⋅PQ=DQ⋅EQ，
∴PQ=4 173⋅ 1734 23=17 26．
综上所述，PQ的长为17 210或17 26．
【解析】(1)①只要证明△ADE≌△CDE(ASA)即可解决问题；
②利用相似三角形的性质证明∠PDQ=45°即可解决问题；
(2)①当点E在线段AB上时，作QH⊥AD于H，QG⊥AB于G.由△AQD∽△EQP，可知AQ⋅PQ=DQ⋅EQ，想办法求出AQ，EQ，DQ即可解决问题；②当点E在BA的延长线上时，作QH⊥AD于H，QG⊥AB于G，方法类似．
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形和相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
24.【答案】等腰直角三角形
【解析】解：(1)等腰直角三角形．理由如下：
如图1，在正方形ABCD中，DC=BC，∠D=∠ABC=90°．
依题意得：DE=BF=t．
在△CDE与△CBF中，
DC=BC∠D=∠CBFDE=BF，
∴△CDE≌△CBF(SAS)，
∴CF=CE，∠DCE=∠BCF，
∴∠ECF=∠BCF+∠BCE=∠DCE+∠BCE=∠BCD=90°，
∴△CEF是等腰直角三角形．
故答案是：等腰直角三角形．
(2)如图2，过点E作EN//AB，交BD于点N，则∠NEM=∠BFM．
∴∠END=∠ABD=∠EDN=45°，
∴EN=ED=BF．
在△EMN与△FMB中，
∠NME=∠BMF∠NEM=∠BFMEN=BF，
∴△EMN≌△FMB(AAS)，
∴EM=FM．
∵Rt△AEF中，AE=4，AF=8，
∴ AE2+AF2=EF= 42+82=4 5，
∴AM=12EF=2 5；
(3)如图3，连接CE，CF，设EF与GH交于P．
由(1)得∠CFE=45°，又∠EPQ=45°，
∴GH//CF，
又∵AF//DC，
∴四边形GFCH是平行四边形，
∴CF=GH=3 5，
在Rt△CBF中，得BF= CF2−BC2= 45−36=3，
∴t=3．
(1)通过证明△CDE≌△CBF得到CF=CE，∠DCE=∠BCF，则易推知△CEF是等腰直角三角形；
(2)过点E作EN//AB，交BD于点N，∠END=∠ABD=∠EDN=45°，EN=ED=BF.可证△EMN≌△FMB，则其对应边相等：EM=FM.所以在Rt△AEF中，由勾股定理求得EF的长度，则AM=12EF；
(3)如图3，连接CE，CF，设EF与GH交于P.购进平行四边形GFCH，则其对边相等：CF=GH=3 5.所以在Rt△CBF中，由勾股定理得到：BF= CF2−BC2=3，故t=3．
本题考查了四边形综合题．解题过程中，涉及到了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用．解答该类题目时，要巧妙的作出辅助线，构建几何模型，利用特殊的四边形的性质(或者全等三角形的性质)得到相关线段间的数量关系，从而解决问题．
25.【答案】(1)证明：如图1中，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB//CD，
∴∠AFD=∠CDF，
由翻折的性质可知，∠AFD=∠DFC，
∴∠CDF=∠DFC，
∴CD=CF．
(2)解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD，AD//BC，
∴∠ADE=∠DEC，
由翻折的性质可知，AD=DG，∠ADF=∠FDG，
∴∠FDG=12∠DEC=12x，
∴DG=DC，
∴∠DGC=∠DCG=y，
∵CF=CD，
∴∠CFD=12(180°−y)，
∵∠DGC=∠GFD+∠FDG，
∴y=12(180°−y)+12x，
∴y=13x+60°．
(3)解：如图2中，过点K作KH⊥CD于H，过点G作GT⊥CD于T．
∵x=45°，
∴y=13×45°+60°=75°，
∵DG=DC=4，
∴∠DCG=∠DGC=75°，
∴∠GDT=30°，
∵GT⊥CD，
∴∠GTD=90°，
∴GT=12DG=2，DT= 3GT=2 3，
∵GK⊥CD，
∴∠KGT+∠GTH=180°，
∴∠KGT=∠GTH=90°，
∵KH⊥CD，KD=KC，
∴DH=CH=2，∠KHT=90°，
∴四边形GTHK是矩形，
∴GK=TH=DT−DH=2 3−2．
【解析】(1)欲证明CD=CF，只要证明∠CDF=∠CFD．
(2)由题意∠FDG=12x，∠DFC=12(180°−y)，证明∠DGC=∠DCF=y，利用三角形的外角的性质解决问题即可．
(3)如图2中，过点K作KH⊥CD于H，过点G作GT⊥CD于T.则四边形GTHK是矩形，想办法求出DT，DH即可解决问题．
本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，翻折变换，等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考压轴题．
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