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广东省惠州市惠阳区黄埔实验学校2022-2023学年九年级下学期开学数学练习
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这是一份广东省惠州市惠阳区黄埔实验学校2022-2023学年九年级下学期开学数学练习，共31页。
1．（3分）若一元二次方程2x2﹣4x+1＝0的两个根为x1、x2，则x1•x2是（ ）
A．1B．﹣1C．2D．
2．（3分）下列方程中，一元二次方程共有（ ）
①3x2+x＝20；②2x2﹣3xy+4＝0；③x2﹣＝4；④x2﹣3x＝4；⑤x2﹣+3＝0．
A．2个B．3个C．4个D．5个
3．（3分）下列几何图形中为圆柱体的是（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）如图，已知菱形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O，点M，N分别是边BC，CD上的动点，∠BAC＝∠MAN＝60°，连接MN，OM，则下列结论错误的是（ ）
A．△AMN是等边三角形
B．MN的最小值是
C．当MN最小时，S△CMN＝S菱形ABCD
D．当OM⊥BC时，OA2＝DN•AB
5．（3分）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为（ ）
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6．（3分）已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m＝0的一个根，并且等腰三角形ABC的腰和底边长恰好是这个方程的两个根，则△ABC的周长为（ ）
A．10B．14C．10或14D．8或10
7．（3分）如图，在Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D，E分别在BC、AB边上，连接DE，将△BDE沿DE翻折，使点B落在点F的位置，连接AF，若四边形BEFD是菱形，则AF的长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．（3分）在反比例函数图象上的点为（ ）
A．（1，3）B．（﹣1，﹣3）C．（3，﹣1）D．（﹣3，﹣1）
9．（3分）如图所示，点P是边长为2的正方形ABCD的对角线BD上的动点，过点P分别作PE⊥BC于点E，PF⊥DC于点F，连接AP并延长，交射线BC于点H，交射线DC于点M，连接EF交AH于点G，当点P在BD上运动时（不包括B、D两点），以下结论中：①MF＝MC；②AP＝EF；③AH⊥EF；④AP2＝PM•PH；⑤EF的最小值是．其中正确结论有（ ）
A．2 个B．3 个C．4 个D．5 个
10．（3分）如图，边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别在AD、AB上（点E不与点D重合），DE＝AF，DF、CE交于点G，则AG的取值范围是（ ）
A．﹣1≤AG＜2B．﹣1≤AG＜2C．1≤AG＜2D．﹣1≤AG＜2
二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）
11．（4分）一个三角形的两边长为3和5，第三边长为方程x2﹣5x+6＝0的根，则这个三角形的周长为 ．
12．（4分）已知m、n是一元二次方程x2+x﹣2023＝0的两个实数根，则代数式2m2+n2+m的值等于 ．
13．（4分）在阳光下，身高1.6m的小林在地面上的影长为2m，在同一时刻，测得学校的旗杆在地面上的影长为10m，则旗杆的高度为 m．
14．（4分）方程的根是 ．
15．（4分）如图，已知△OP1A1、△A1P2A2、△A2P3A3、…均为等腰直角三角形，直角顶点P1、P2、P3、…在函数（x＞0）图象上，点A1、A2、A3、…在x轴的正半轴上，则点P2010的横坐标为 ．
16．（4分）如图，长方形ABCD中，BC＝2，DC＝1，如果将该长方形沿对角线折叠，使点C落在点C′处，那么图中重叠部分的面积是 ．
17．（4分）如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于点G．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG的周长为 ．
三．解答题（共8小题，满分62分）
18．（6分）如果＝＝＝k（b+d+f≠0），且a+c+e＝3（b+d+f）．求k的值．
19．（6分）3x2﹣（x﹣2）2＝5．
20．（6分）杨成家住宅面积为90平方米，其中大卧室18平方米，客厅30平方米．小卧室15平方米，厨房14平方米，大卫生间9平方米，小卫生间4平方米．如果一只小猫在该住宅内地面上任意跑．求：
（1）P（在客厅捉到小猫）；
（2）P（在小卧室捉到小猫）；
（3）P（在卫生间捉到小猫）；
（4）P（不在卧室捉到小猫）．
21．（8分）数学课上，老师出示了一道题目：如图1，在△ABC中，AB＝AC，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC，试探究线段AE、BD、AB、BC之间存在的数量关系，并说明理由．
（1）[猜想证明]线段AE、BD、AB、BC的关系是．请补全下列证明思路；
如图1：过点E作EF∥BC交AC于点F，则∠FEC＝∠ECD，
∵ED＝EC，
∴∠EDB＝∠ECD，
∴∠EDB＝∠FEC，
∵∠ABC＝∠EDB+∠DEB，∠ACB＝∠ECF+∠ECD．
又∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠DEB＝∠ECF．
∴△DBE≌ （ASA），
∴BD＝EF，
∴△AEF∽ ．
∴＝ ，
∴＝ ，
∴．
（2）[变式拓展]
如图2，在△ABC中，AB＝AC，点E在BA的延长线上，点D在直线BC上，且ED＝EC．请你在图2中补齐图形．并探索（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出完整的证明；若不成立，请直接写出新的结论．
22．（8分）如图，已知A（﹣4，），B（﹣1，m）是一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝图象的两个交点，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D．
（1）求m的值及一次函数解析式；
（2）P是线段AB上的一点，连接PC、PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．
23．（8分）如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD＝CF，BD⊥CF成立．
（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD＝CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G．
①求证：BD⊥CF；
②当AB＝4，AD＝时，求线段BG的长．
24．（10分）如图，在边长为16的菱形ABCD中，AC、BD为对角线，∠BCD＝60°，点E、F分别是边AB、边BC上的动点，连接DE、DF、EF．
（1）当点E、点F分别是边AB，边BC的中点时．
①求证：△DEF是等边三角形；
②若点G是对角线AC上的动点，连接EG，FG，则直接写出EG+FG的最小值为 ；
（2）若点H是对角线AC上的动点，连接EH、FH，则直接写出EH+FH的最小值为 ；
（3）若AE＝BF＝4，EF交BD于点K，点P、点Q分别是线段DE、线段DF上的动点，连接KQ、PQ，则直接写出KQ+PQ的最小值为 ．
25．（10分）将一个直角三角形纸片OAB放置在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（2，0），点B在第一象限，∠OAB＝90°，∠B＝30°，点P在边OB上（点P不与点O，B重合）．
（Ⅰ）如图①，当OP＝1时，求点P的坐标；
（Ⅱ）折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并与x轴的正半轴相交于点Q，且OQ＝OP，点O的对应点为O'，设OP＝t．
①如图②，若折叠后△O'PQ与△OAB重叠部分为四边形，O'P，O'Q分别与边AB相交于点C，D，试用含有t的式子表示O'D的长，并直接写出t的取值范围；
②若折叠后△O'PQ与△OAB重叠部分的面积为S，当1≤t≤3时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）若一元二次方程2x2﹣4x+1＝0的两个根为x1、x2，则x1•x2是（ ）
A．1B．﹣1C．2D．
【答案】D
【解答】解：∵一元二次方程2x2﹣4x+1＝0的两个根为x1、x2，
∴x1•x2＝，
故选：D．
2．（3分）下列方程中，一元二次方程共有（ ）
①3x2+x＝20；②2x2﹣3xy+4＝0；③x2﹣＝4；④x2﹣3x＝4；⑤x2﹣+3＝0．
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【解答】解：①3x2+x＝20，④x2﹣3x＝4，⑤x2﹣+3＝0符合一元二次方程的定义；
②2x2﹣3xy+4＝0中含有两个未知数，不是一元二次方程；
③x2﹣＝4不是整式方程，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程；
综上所述，一元二次方程共有3个．
故选：B．
3．（3分）下列几何图形中为圆柱体的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：选项A是圆台，B是圆锥，C是圆柱，D是三棱柱．
故选：C．
4．（3分）如图，已知菱形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O，点M，N分别是边BC，CD上的动点，∠BAC＝∠MAN＝60°，连接MN，OM，则下列结论错误的是（ ）
A．△AMN是等边三角形
B．MN的最小值是
C．当MN最小时，S△CMN＝S菱形ABCD
D．当OM⊥BC时，OA2＝DN•AB
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CB＝AD＝CD，AB∥CD，AC⊥BD，OA＝OC，
∴∠BAC＝∠ACD＝60°，
∴△ABC和△ADC都是等边三角形，
∴∠ABM＝∠ACN＝60°，AB＝AC，
∵∠MAN＝60°，
∴∠BAM＝∠CAN＝60°﹣∠CAM，
∴△BAM≌△CAN（ASA），
∵AM＝AN，
∴△AMN是等边三角形，
故选项A正确；
当AM⊥BC 时，AM的值最小，此时MN的值也最小，
∵∠AMB＝90°，∠ABM＝60°，AB＝2，
∴MN＝AM＝AB•sin60°＝2×＝，
∴MN的最小值是，
故选项B错误；
∵AM⊥BC 时，MN的值最小，此时BM＝CM，
∴CN＝BM＝CB＝CD，
∴DN＝CN，
∴MN∥BD，
∴△CMN∽△CBD，
∴＝＝＝，
∴S△CMN＝S△CBD，
∵S△CBD＝S菱形ABCD，
∴S△CMN＝×S菱形ABCD＝S菱形ABCD，
故选项C正确；
∵CB＝CD，BM＝CN，
∴CB﹣BM＝CD﹣CN，
∴CM＝DN，
∵OM⊥BC，
∴∠CMO＝∠COB＝90°，
∵∠OCM＝∠BCO，
∴△OCM∽△BCO，
∴＝，
∴OC2＝CM•CB，
∴OA2＝DN•AB，
故选项D正确，
故选：B．
5．（3分）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为（ ）
A．2B．2.2C．2.4D．2.5
【答案】C
【解答】解：∵在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，
∴AB2+AC2＝BC2，
即∠BAC＝90°．
又∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF＝AP．
因为AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即2.4，
∴EF的最小值为2.4，
故选：C．
6．（3分）已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m＝0的一个根，并且等腰三角形ABC的腰和底边长恰好是这个方程的两个根，则△ABC的周长为（ ）
A．10B．14C．10或14D．8或10
【答案】B
【解答】解：∵2是关于x的方程x2﹣2mx+3m＝0的一个根，
∴把x＝2代入方程整理得：4﹣4m+3m＝0，
∴解得m＝4，
∴原方程为：x2﹣8x+12＝0，
∴方程的两个根分别是2，6，
又∵等腰三角形ABC的腰和底边长恰好是这个方程的两个根，
∴若2是等腰三角形ABC的腰长，则2+2＝4＜6构不成三角形，
∴等腰三角形ABC的腰长为6，底边长为2，
∴三角形ABC的周长为：6+6+2＝14，
故选：B．
7．（3分）如图，在Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D，E分别在BC、AB边上，连接DE，将△BDE沿DE翻折，使点B落在点F的位置，连接AF，若四边形BEFD是菱形，则AF的长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解答】解：如图，连接BF交ED于点O，设EF与AC交于点G，
∵四边形BEFD是菱形，
∴BF平分∠ABC，
∴点F在∠ABC的平分线上运动，
∴当AF⊥BF时，AF的长最小．
在菱形BEFD中，BF⊥ED，OB＝OF，EF∥BC，
∴EO∥AF，
∴△BEO∽△BAF，
∴＝＝＝，
∴BE＝AB＝AE．
在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝5，
∴BE＝AE＝2.5，
∵AF⊥BF．
∴EF＝2.5，
∵EF∥BC，
∴△AGE∽△ACB，
∴＝＝＝，∠AGE＝∠ACB＝90°，
∴EG＝BC＝1.5，AG＝AC＝2，
∴GF＝EF﹣EG＝1．
∵∠AGF＝∠AGE＝90°，
∴AF＝＝＝．
故选：A．
8．（3分）在反比例函数图象上的点为（ ）
A．（1，3）B．（﹣1，﹣3）C．（3，﹣1）D．（﹣3，﹣1）
【答案】C
【解答】解：∵反比例函数的比例系数为﹣3，
∴在该反比例函数上的点的横纵坐标的积为﹣3，
A、1×3＝3，不符合题意；
B、﹣1×（﹣3）＝3，不符合题意；
C、3×（﹣1）＝﹣3，符合题意；
D、﹣3×（﹣1）＝3，不符合题意；
故选：C．
9．（3分）如图所示，点P是边长为2的正方形ABCD的对角线BD上的动点，过点P分别作PE⊥BC于点E，PF⊥DC于点F，连接AP并延长，交射线BC于点H，交射线DC于点M，连接EF交AH于点G，当点P在BD上运动时（不包括B、D两点），以下结论中：①MF＝MC；②AP＝EF；③AH⊥EF；④AP2＝PM•PH；⑤EF的最小值是．其中正确结论有（ ）
A．2 个B．3 个C．4 个D．5 个
【答案】C
【解答】解：①因为当点P与BD中点重合时，CM＝0，显然FM≠CM，故①不合题意；
②如图，连接PC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝45°，且BP＝BP，
∴△ABP≌△CBP（SAS）
∴AP＝CP，
∵PE⊥BC，PF⊥DC，∠BCD＝90°，
∴四边形PECF是矩形，
∴EF＝PC，
∴EF＝AP，
故②符合题意；
③∵AP＝PC，AD＝CD，PD＝PD，
∴△APD≌△CPD（SSS）
∴∠DAP＝∠DCP，
∵AD∥BC，
∴∠DAP＝∠H，
∴∠DCP＝∠H，
∵PE＝CF，∠PEC＝∠FCE＝90°，EC＝EC，
∴△PEC≌△FCE（SAS）
∴∠PCE＝∠FEC，
∵∠PCF+∠PCE＝∠FCE＝90°，
∴∠H+∠FEC＝90°，
∴∠EGH＝90°，
∴AH⊥EF，
故③符合题意；
④．∵AD∥BH，
∴∠DAP＝∠H，
∵∠DAP＝∠PCM，
∴∠PCM＝∠H，
∵∠CPM＝∠HPC，
∴△CPM∽△HPC，
∴，
∴CP2＝PM•PH，且AP＝PC，
∴AP2＝PM•PH；
故④符合题意；
⑤∵EF＝AP，
∴AP取最小值时，EF有最小值，
∴当AP⊥BD时，AP有最小值，
此时：∵AB＝AD＝2，∠BAD＝90°，AP⊥BD，
∴BD＝2，AP＝BD＝，
∴EF的最小值为，
故⑤符合题意，
故选：C．
10．（3分）如图，边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别在AD、AB上（点E不与点D重合），DE＝AF，DF、CE交于点G，则AG的取值范围是（ ）
A．﹣1≤AG＜2B．﹣1≤AG＜2C．1≤AG＜2D．﹣1≤AG＜2
【答案】D
【解答】解：∵AD＝DC，∠EDC＝∠FAD，DE＝AF，
∴△DEC≌△AFD（SAS）．
∴∠DCE＝ADF．
∵∠DCE+∠DEC＝90°，
∴∠ADF+∠DEC＝90°，即∠DGE＝90°＝∠DGC．
所以点G运动的轨迹在以DC为直径的圆上的一段弧，圆心在DC中点O处．
当A、G、O三点共线时，AG最短，如图所示．
此时AO＝＝＝，OG＝DC＝1，
所以AG＝AO﹣OG＝﹣1．
因为点E不与点D重合，所以AG＜2．
所以﹣1≤AG＜2．
故选：D．
二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）
11．（4分）一个三角形的两边长为3和5，第三边长为方程x2﹣5x+6＝0的根，则这个三角形的周长为 11 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：x2﹣5x+6＝0
（x﹣3）（x﹣2）＝0，
解得：x1＝3，x2＝2，
∵一个三角形的两边长为3和5，
∴第三边长的取值范围是：2＜x＜8，
则第三边长为：3，
∴这个三角形的周长为：11．
故答案为：11．
12．（4分）已知m、n是一元二次方程x2+x﹣2023＝0的两个实数根，则代数式2m2+n2+m的值等于 6070 ．
【答案】6070．
【解答】解：根据题意，得m2+m﹣2023＝0，
∴m2+m＝2023，
∵m+n＝﹣1，mn＝﹣2023，
∴2m2+n2+m
＝m2+n2+m2+m
＝（m+n）2﹣2mn+（m2+m）
＝1+4046+2023
＝6070．
故答案为：6070．
13．（4分）在阳光下，身高1.6m的小林在地面上的影长为2m，在同一时刻，测得学校的旗杆在地面上的影长为10m，则旗杆的高度为 8 m．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设旗杆的高度为xm．
根据在同一时刻身高与影长成比例可得：＝，
解得：x＝8．
故答案为：8．
14．（4分）方程的根是 x＝ ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵，
∴x2﹣1＝1，
∴x2＝2，
∴x＝±，
经检验 x＝±是原方程的根，
∴x＝±．
故答案为：x＝±．
15．（4分）如图，已知△OP1A1、△A1P2A2、△A2P3A3、…均为等腰直角三角形，直角顶点P1、P2、P3、…在函数（x＞0）图象上，点A1、A2、A3、…在x轴的正半轴上，则点P2010的横坐标为 2（+） ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：分别过P1、P2、P3作x轴的垂线，垂足为H1、H2、H3，
则△OP1H1，△A1P2H2，△A2P3H3为等腰直角三角形，
设OH1＝P1H1＝a，则a2＝4，
解得a＝2（舍去负值），即P1的横坐标为2，
设A1H2＝P2H2＝b，则（4+b）b＝4，
解得b＝2（﹣1+）（舍去负值），即P2的横坐标为4+b＝2（1+），
设A2H3＝P3H3＝c，则（2a+2b+c）c＝4，即（4+c）c＝4，
解得c＝2（﹣+）（舍去负值），
即P3的横坐标为2a+2b+c＝2（+），
…P2010的横坐标为2（+）．
故答案为：2（+）．
16．（4分）如图，长方形ABCD中，BC＝2，DC＝1，如果将该长方形沿对角线折叠，使点C落在点C′处，那么图中重叠部分的面积是 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设C′E的长x，∵长方形沿对角线折叠，
∴∠C′BD＝∠CBD，
∵BD为长方形ABCD的对角线，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴∠C′BD＝∠ADB，BE＝DE＝2﹣x，
在Rt△C′DE中，DE2＝C′E2+C′D2，
即（2﹣x）2＝x2+1，
解得：x＝，
S阴影＝S△BC′D﹣S△C′DE＝×2×1﹣××1＝．
故答案为：．
17．（4分）如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于点G．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG的周长为 +3 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，
∴阴影部分的面积为×9＝6，
∴空白部分的面积为9﹣6＝3，
由CE＝DF，BC＝CD，∠BCE＝∠CDF＝90°，可得△BCE≌△CDF，
∴△BCG的面积与四边形DEGF的面积相等，均为×3＝，
∠CBE＝∠DCF，
∵∠DCF+∠BCG＝90°，
∴∠CBG+∠BCG＝90°，即∠BGC＝90°，
设BG＝a，CG＝b，则ab＝，
又∵a2+b2＝32，
∴a2+2ab+b2＝9+6＝15，
即（a+b）2＝15，
∴a+b＝，即BG+CG＝，
∴△BCG的周长＝+3，
故答案为：+3．
三．解答题（共8小题，满分62分）
18．（6分）如果＝＝＝k（b+d+f≠0），且a+c+e＝3（b+d+f）．求k的值．
【答案】3．
【解答】解：∵a+c+e＝3（b+d+f），
∴k＝＝＝3．
故答案为：3．
19．（6分）3x2﹣（x﹣2）2＝5．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：3x2﹣x2+4x﹣4﹣5＝0
2x2+4x﹣9＝0
∵a＝2，b＝4，c＝﹣9，
△＝16+72＝88＞0，
∴x＝
∴x1＝，x2＝．
20．（6分）杨成家住宅面积为90平方米，其中大卧室18平方米，客厅30平方米．小卧室15平方米，厨房14平方米，大卫生间9平方米，小卫生间4平方米．如果一只小猫在该住宅内地面上任意跑．求：
（1）P（在客厅捉到小猫）；
（2）P（在小卧室捉到小猫）；
（3）P（在卫生间捉到小猫）；
（4）P（不在卧室捉到小猫）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）P（在客厅捉到小猫）的概率为＝；
（2）P（在小卧室捉到小猫）的概率为＝；
（3）P（在卫生间捉到小猫）的概率为＝；
（4）P（不在卧室捉到小猫）的概率为＝＝＝．
21．（8分）数学课上，老师出示了一道题目：如图1，在△ABC中，AB＝AC，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC，试探究线段AE、BD、AB、BC之间存在的数量关系，并说明理由．
（1）[猜想证明]线段AE、BD、AB、BC的关系是．请补全下列证明思路；
如图1：过点E作EF∥BC交AC于点F，则∠FEC＝∠ECD，
∵ED＝EC，
∴∠EDB＝∠ECD，
∴∠EDB＝∠FEC，
∵∠ABC＝∠EDB+∠DEB，∠ACB＝∠ECF+∠ECD．
又∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠DEB＝∠ECF．
∴△DBE≌ △EFC （ASA），
∴BD＝EF，
∴△AEF∽ △ABC ．
∴＝ ，
∴＝ ，
∴．
（2）[变式拓展]
如图2，在△ABC中，AB＝AC，点E在BA的延长线上，点D在直线BC上，且ED＝EC．请你在图2中补齐图形．并探索（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出完整的证明；若不成立，请直接写出新的结论．
【答案】（1）△EFC，△ABC，，；
（2）（1）中结论成立，理由见解答．
【解答】（1）证明：如图1，过点E作EF∥BC交AC于点F，则∠FEC＝∠ECD，
∵ED＝EC，
∴∠EDB＝∠ECD，
∴∠EDB＝∠FEC，
∵∠ABC＝∠EDB+∠DEB，∠ACB＝∠ECF+∠ECD．
又∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠DEB＝∠ECF．
∴△DBE≌△EFC（ASA），
∴BD＝EF，
∴△AEF∽△ABC．
∴＝，
∴＝，
∴，
故答案为：△EFC，△ABC，，；
（2）（1）中的结论仍然成立；
如图2，过点A作AH∥BC交EC于点H，
∴∠HAC＝∠ACB，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠HAC＝∠ABC，
∵ED＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD，
∵∠EDC＝∠ABC+∠BED，∠ECD＝∠ACB+∠ECA，
∴∠BED＝∠ECA，
∴△AHC∽△BDE，
∴，
∴AH•BE＝AC•BD，
∵AH∥BC，
∴△AEH∽△BEC，
∴，
∴AF•BE＝AE•BC，
∴AC•BD＝AE•BC，
∵AB＝AC，
∴．
22．（8分）如图，已知A（﹣4，），B（﹣1，m）是一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝图象的两个交点，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D．
（1）求m的值及一次函数解析式；
（2）P是线段AB上的一点，连接PC、PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝的图象过点（﹣4，），
∴n＝﹣4×＝﹣2，
∵点B（﹣1，m）也在该反比例函数的图象上，
∴﹣1•m＝﹣2，∴m＝2；
设一次函数的解析式为y＝kx+b，
由y＝kx+b的图象过点A（﹣4，），B（﹣1，2），则
，解得，
∴一次函数的解析式为y＝x+；
（2）连接PC、PD，如图，设P（x，x+），
∵△PCA和△PDB面积相等，
∴×（x+4）＝×|﹣1|×（2﹣x﹣），
解得：x＝﹣，y＝x+＝，
∴P点坐标是（﹣，）．
23．（8分）如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD＝CF，BD⊥CF成立．
（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD＝CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G．
①求证：BD⊥CF；
②当AB＝4，AD＝时，求线段BG的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】解（1）BD＝CF成立．
理由：∵△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，
∴AB＝AC，AD＝AF，∠BAC＝∠DAF＝90°，
∵∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC，∠CAF＝∠DAF﹣∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
∴△BAD≌△CAF（SAS）．
∴BD＝CF．
（2）①证明：设BG交AC于点M．
∵△BAD≌△CAF（已证），
∴∠ABM＝∠GCM．
∵∠BMA＝∠CMG，
∴△BMA∽△CMG．
∴∠BGC＝∠BAC＝90°．
∴BD⊥CF．
②过点F作FN⊥AC于点N．
∵在正方形ADEF中，AD＝DE＝，
∴AE＝＝2，
∴AN＝FN＝AE＝1．
∵在等腰直角△ABC 中，AB＝4，
∴CN＝AC﹣AN＝3，BC＝＝4．
∴在Rt△FCN中，tan∠FCN＝＝．
∴在Rt△ABM中，tan∠ABM＝＝tan∠FCN＝．
∴AM＝AB＝．
∴CM＝AC﹣AM＝4﹣＝，BM＝＝＝．
∵△BMA∽△CMG，
∴．
∴．
∴CG＝．
∴在Rt△BGC中，BG＝＝．
24．（10分）如图，在边长为16的菱形ABCD中，AC、BD为对角线，∠BCD＝60°，点E、F分别是边AB、边BC上的动点，连接DE、DF、EF．
（1）当点E、点F分别是边AB，边BC的中点时．
①求证：△DEF是等边三角形；
②若点G是对角线AC上的动点，连接EG，FG，则直接写出EG+FG的最小值为 16 ；
（2）若点H是对角线AC上的动点，连接EH、FH，则直接写出EH+FH的最小值为 8 ；
（3）若AE＝BF＝4，EF交BD于点K，点P、点Q分别是线段DE、线段DF上的动点，连接KQ、PQ，则直接写出KQ+PQ的最小值为 2 ．
【答案】（1）①证明见解析过程；
②16；
（2）8；
（3）2．
【解答】证明：（1）①∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝16，∠BCD＝∠BAD＝60°，
∴△ABD，△BCD是等边三角形，
∵点E、点F分别是边AB，边BC的中点，
∴∠ADE＝∠BDE＝∠BDF＝∠CDF＝30°，AE＝BE＝BF＝CF＝8，DE＝AE＝8，DF＝CF＝8，
∴DF＝DF，∠EDF＝60°，
∴△DEF是等边三角形；
②∵四边形ABCD是菱形，
∴AC平分∠BCD，
如图1，作点F关于AC的对称点N，连接GN，则FG＝GN，
∴EG+FG＝EG+GN，
∴点E，点G，点N三点共线时，EG+FG的最小值为EN，
∵点F，点N关于AC对称，
∴CN＝CF＝BC＝CD，
∴DN＝CN＝AE＝BE，
又∵AB∥CD，
∴四边形AEND是平行四边形，
∴EN＝AD＝16，
故答案为：16；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC平分∠BCD，
如图2，作点F关于AC的对称点N，连接HN，则FH＝HN，
∴EH+FH＝EH+HN，
∴点E，点H，点N三点共线且EN⊥CD时，EH+FH的最小值为EN，
此时EN＝8，
∴EH+FH的最小值为8；
（3）如图3，过点D作DN⊥BC于N，作点K关于DF的对称点H，连接DH，HF，QH，
∴KQ＝HQ，∠BDF＝∠HDF，KD＝HD，
∴PQ+KQ＝PQ+QH，
∴当点H，点Q，点P三点共线，且HP⊥DE时，PQ+KQ有最小值，
∵四边形ABCD是菱形，∠BCD＝60°，
∴∠A＝∠BCD＝60°，AD＝CD＝BC＝AB，
∴△ABD，△BCD是等边三角形，
∴AD＝BD＝16，∠ADB＝∠DBC＝60°，
又∵AE＝BF，
∴△ADE≌△BDF（SAS），
∴DE＝DF，∠ADE＝∠BDF，
∴ADB＝∠EDF＝60°，
∴△EDF是等边三角形，
∴∠EFD＝60°，
∵DN⊥BC，△BDC是等边三角形，
∴BN＝NC＝8，∠BDN＝30°，
∴DN＝BN＝8，
∵FN＝BN﹣BF＝4，
∴DF＝＝＝4，
∵∠EFD＝∠DBC＝60°，∠BDF＝∠KDF，
∴△BDF∽△FDK，
∴，
∴，
∴DK＝13，
∴DH＝13，
∵∠DFN＝∠DBC+∠BDF＝60°+∠BDF，∠EDH＝∠EDF+∠FDH＝60°+∠BDF，
∴∠DFN＝∠EDH，
又∵∠HPD＝∠DNF，
∴△DPH∽△FND，
∴，
∴，
∴PH＝2，
∴PQ+KQ的最小值为2．
25．（10分）将一个直角三角形纸片OAB放置在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（2，0），点B在第一象限，∠OAB＝90°，∠B＝30°，点P在边OB上（点P不与点O，B重合）．
（Ⅰ）如图①，当OP＝1时，求点P的坐标；
（Ⅱ）折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并与x轴的正半轴相交于点Q，且OQ＝OP，点O的对应点为O'，设OP＝t．
①如图②，若折叠后△O'PQ与△OAB重叠部分为四边形，O'P，O'Q分别与边AB相交于点C，D，试用含有t的式子表示O'D的长，并直接写出t的取值范围；
②若折叠后△O'PQ与△OAB重叠部分的面积为S，当1≤t≤3时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（Ⅰ）如图①中，过点P作PH⊥OA于H．
∵∠OAB＝90°，∠B＝30°，
∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°，
∴∠OPH＝90°﹣60°＝30°，
∵OP＝1，
∴OH＝OP＝，PH＝OP•cs30°＝，
∴P（，）．
（Ⅱ）①如图②中，
由折叠可知，△O′PQ≌△OPQ，
∴OP＝O′P，OQ＝O′Q，
∵OP＝OQ＝t，
∴OP＝OQ＝O′P＝O′Q，
∴四边形OPO′Q是菱形，
∴QO′∥OB，
∴∠ADQ＝∠B＝30°，
∵A（2，0），
∴OA＝2，QA＝2﹣t，
在Rt△AQD中，DQ＝2QA＝4﹣2t，
∴O′D＝O′Q﹣QD＝3t﹣4，
∴＜t＜2．
②当点O′落在AB上时，重叠部分是△PQO′，此时t＝，S＝×（）2＝，
当＜t≤2时，重叠部分是四边形PQDC，S＝t2﹣（3t﹣4）2＝﹣t2+3t﹣2，
当t＝﹣＝时，S有最大值，最大值＝，
当t＝1时，S＝，当t＝3时，S＝××＝，
综上所述，≤S≤．
1．（3分）若一元二次方程2x2﹣4x+1＝0的两个根为x1、x2，则x1•x2是（ ）
A．1B．﹣1C．2D．
2．（3分）下列方程中，一元二次方程共有（ ）
①3x2+x＝20；②2x2﹣3xy+4＝0；③x2﹣＝4；④x2﹣3x＝4；⑤x2﹣+3＝0．
A．2个B．3个C．4个D．5个
3．（3分）下列几何图形中为圆柱体的是（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）如图，已知菱形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O，点M，N分别是边BC，CD上的动点，∠BAC＝∠MAN＝60°，连接MN，OM，则下列结论错误的是（ ）
A．△AMN是等边三角形
B．MN的最小值是
C．当MN最小时，S△CMN＝S菱形ABCD
D．当OM⊥BC时，OA2＝DN•AB
5．（3分）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为（ ）
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6．（3分）已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m＝0的一个根，并且等腰三角形ABC的腰和底边长恰好是这个方程的两个根，则△ABC的周长为（ ）
A．10B．14C．10或14D．8或10
7．（3分）如图，在Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D，E分别在BC、AB边上，连接DE，将△BDE沿DE翻折，使点B落在点F的位置，连接AF，若四边形BEFD是菱形，则AF的长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．（3分）在反比例函数图象上的点为（ ）
A．（1，3）B．（﹣1，﹣3）C．（3，﹣1）D．（﹣3，﹣1）
9．（3分）如图所示，点P是边长为2的正方形ABCD的对角线BD上的动点，过点P分别作PE⊥BC于点E，PF⊥DC于点F，连接AP并延长，交射线BC于点H，交射线DC于点M，连接EF交AH于点G，当点P在BD上运动时（不包括B、D两点），以下结论中：①MF＝MC；②AP＝EF；③AH⊥EF；④AP2＝PM•PH；⑤EF的最小值是．其中正确结论有（ ）
A．2 个B．3 个C．4 个D．5 个
10．（3分）如图，边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别在AD、AB上（点E不与点D重合），DE＝AF，DF、CE交于点G，则AG的取值范围是（ ）
A．﹣1≤AG＜2B．﹣1≤AG＜2C．1≤AG＜2D．﹣1≤AG＜2
二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）
11．（4分）一个三角形的两边长为3和5，第三边长为方程x2﹣5x+6＝0的根，则这个三角形的周长为 ．
12．（4分）已知m、n是一元二次方程x2+x﹣2023＝0的两个实数根，则代数式2m2+n2+m的值等于 ．
13．（4分）在阳光下，身高1.6m的小林在地面上的影长为2m，在同一时刻，测得学校的旗杆在地面上的影长为10m，则旗杆的高度为 m．
14．（4分）方程的根是 ．
15．（4分）如图，已知△OP1A1、△A1P2A2、△A2P3A3、…均为等腰直角三角形，直角顶点P1、P2、P3、…在函数（x＞0）图象上，点A1、A2、A3、…在x轴的正半轴上，则点P2010的横坐标为 ．
16．（4分）如图，长方形ABCD中，BC＝2，DC＝1，如果将该长方形沿对角线折叠，使点C落在点C′处，那么图中重叠部分的面积是 ．
17．（4分）如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于点G．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG的周长为 ．
三．解答题（共8小题，满分62分）
18．（6分）如果＝＝＝k（b+d+f≠0），且a+c+e＝3（b+d+f）．求k的值．
19．（6分）3x2﹣（x﹣2）2＝5．
20．（6分）杨成家住宅面积为90平方米，其中大卧室18平方米，客厅30平方米．小卧室15平方米，厨房14平方米，大卫生间9平方米，小卫生间4平方米．如果一只小猫在该住宅内地面上任意跑．求：
（1）P（在客厅捉到小猫）；
（2）P（在小卧室捉到小猫）；
（3）P（在卫生间捉到小猫）；
（4）P（不在卧室捉到小猫）．
21．（8分）数学课上，老师出示了一道题目：如图1，在△ABC中，AB＝AC，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC，试探究线段AE、BD、AB、BC之间存在的数量关系，并说明理由．
（1）[猜想证明]线段AE、BD、AB、BC的关系是．请补全下列证明思路；
如图1：过点E作EF∥BC交AC于点F，则∠FEC＝∠ECD，
∵ED＝EC，
∴∠EDB＝∠ECD，
∴∠EDB＝∠FEC，
∵∠ABC＝∠EDB+∠DEB，∠ACB＝∠ECF+∠ECD．
又∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠DEB＝∠ECF．
∴△DBE≌ （ASA），
∴BD＝EF，
∴△AEF∽ ．
∴＝ ，
∴＝ ，
∴．
（2）[变式拓展]
如图2，在△ABC中，AB＝AC，点E在BA的延长线上，点D在直线BC上，且ED＝EC．请你在图2中补齐图形．并探索（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出完整的证明；若不成立，请直接写出新的结论．
22．（8分）如图，已知A（﹣4，），B（﹣1，m）是一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝图象的两个交点，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D．
（1）求m的值及一次函数解析式；
（2）P是线段AB上的一点，连接PC、PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．
23．（8分）如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD＝CF，BD⊥CF成立．
（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD＝CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G．
①求证：BD⊥CF；
②当AB＝4，AD＝时，求线段BG的长．
24．（10分）如图，在边长为16的菱形ABCD中，AC、BD为对角线，∠BCD＝60°，点E、F分别是边AB、边BC上的动点，连接DE、DF、EF．
（1）当点E、点F分别是边AB，边BC的中点时．
①求证：△DEF是等边三角形；
②若点G是对角线AC上的动点，连接EG，FG，则直接写出EG+FG的最小值为 ；
（2）若点H是对角线AC上的动点，连接EH、FH，则直接写出EH+FH的最小值为 ；
（3）若AE＝BF＝4，EF交BD于点K，点P、点Q分别是线段DE、线段DF上的动点，连接KQ、PQ，则直接写出KQ+PQ的最小值为 ．
25．（10分）将一个直角三角形纸片OAB放置在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（2，0），点B在第一象限，∠OAB＝90°，∠B＝30°，点P在边OB上（点P不与点O，B重合）．
（Ⅰ）如图①，当OP＝1时，求点P的坐标；
（Ⅱ）折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并与x轴的正半轴相交于点Q，且OQ＝OP，点O的对应点为O'，设OP＝t．
①如图②，若折叠后△O'PQ与△OAB重叠部分为四边形，O'P，O'Q分别与边AB相交于点C，D，试用含有t的式子表示O'D的长，并直接写出t的取值范围；
②若折叠后△O'PQ与△OAB重叠部分的面积为S，当1≤t≤3时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）若一元二次方程2x2﹣4x+1＝0的两个根为x1、x2，则x1•x2是（ ）
A．1B．﹣1C．2D．
【答案】D
【解答】解：∵一元二次方程2x2﹣4x+1＝0的两个根为x1、x2，
∴x1•x2＝，
故选：D．
2．（3分）下列方程中，一元二次方程共有（ ）
①3x2+x＝20；②2x2﹣3xy+4＝0；③x2﹣＝4；④x2﹣3x＝4；⑤x2﹣+3＝0．
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【解答】解：①3x2+x＝20，④x2﹣3x＝4，⑤x2﹣+3＝0符合一元二次方程的定义；
②2x2﹣3xy+4＝0中含有两个未知数，不是一元二次方程；
③x2﹣＝4不是整式方程，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程；
综上所述，一元二次方程共有3个．
故选：B．
3．（3分）下列几何图形中为圆柱体的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：选项A是圆台，B是圆锥，C是圆柱，D是三棱柱．
故选：C．
4．（3分）如图，已知菱形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O，点M，N分别是边BC，CD上的动点，∠BAC＝∠MAN＝60°，连接MN，OM，则下列结论错误的是（ ）
A．△AMN是等边三角形
B．MN的最小值是
C．当MN最小时，S△CMN＝S菱形ABCD
D．当OM⊥BC时，OA2＝DN•AB
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CB＝AD＝CD，AB∥CD，AC⊥BD，OA＝OC，
∴∠BAC＝∠ACD＝60°，
∴△ABC和△ADC都是等边三角形，
∴∠ABM＝∠ACN＝60°，AB＝AC，
∵∠MAN＝60°，
∴∠BAM＝∠CAN＝60°﹣∠CAM，
∴△BAM≌△CAN（ASA），
∵AM＝AN，
∴△AMN是等边三角形，
故选项A正确；
当AM⊥BC 时，AM的值最小，此时MN的值也最小，
∵∠AMB＝90°，∠ABM＝60°，AB＝2，
∴MN＝AM＝AB•sin60°＝2×＝，
∴MN的最小值是，
故选项B错误；
∵AM⊥BC 时，MN的值最小，此时BM＝CM，
∴CN＝BM＝CB＝CD，
∴DN＝CN，
∴MN∥BD，
∴△CMN∽△CBD，
∴＝＝＝，
∴S△CMN＝S△CBD，
∵S△CBD＝S菱形ABCD，
∴S△CMN＝×S菱形ABCD＝S菱形ABCD，
故选项C正确；
∵CB＝CD，BM＝CN，
∴CB﹣BM＝CD﹣CN，
∴CM＝DN，
∵OM⊥BC，
∴∠CMO＝∠COB＝90°，
∵∠OCM＝∠BCO，
∴△OCM∽△BCO，
∴＝，
∴OC2＝CM•CB，
∴OA2＝DN•AB，
故选项D正确，
故选：B．
5．（3分）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为（ ）
A．2B．2.2C．2.4D．2.5
【答案】C
【解答】解：∵在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，
∴AB2+AC2＝BC2，
即∠BAC＝90°．
又∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF＝AP．
因为AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即2.4，
∴EF的最小值为2.4，
故选：C．
6．（3分）已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m＝0的一个根，并且等腰三角形ABC的腰和底边长恰好是这个方程的两个根，则△ABC的周长为（ ）
A．10B．14C．10或14D．8或10
【答案】B
【解答】解：∵2是关于x的方程x2﹣2mx+3m＝0的一个根，
∴把x＝2代入方程整理得：4﹣4m+3m＝0，
∴解得m＝4，
∴原方程为：x2﹣8x+12＝0，
∴方程的两个根分别是2，6，
又∵等腰三角形ABC的腰和底边长恰好是这个方程的两个根，
∴若2是等腰三角形ABC的腰长，则2+2＝4＜6构不成三角形，
∴等腰三角形ABC的腰长为6，底边长为2，
∴三角形ABC的周长为：6+6+2＝14，
故选：B．
7．（3分）如图，在Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D，E分别在BC、AB边上，连接DE，将△BDE沿DE翻折，使点B落在点F的位置，连接AF，若四边形BEFD是菱形，则AF的长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解答】解：如图，连接BF交ED于点O，设EF与AC交于点G，
∵四边形BEFD是菱形，
∴BF平分∠ABC，
∴点F在∠ABC的平分线上运动，
∴当AF⊥BF时，AF的长最小．
在菱形BEFD中，BF⊥ED，OB＝OF，EF∥BC，
∴EO∥AF，
∴△BEO∽△BAF，
∴＝＝＝，
∴BE＝AB＝AE．
在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝5，
∴BE＝AE＝2.5，
∵AF⊥BF．
∴EF＝2.5，
∵EF∥BC，
∴△AGE∽△ACB，
∴＝＝＝，∠AGE＝∠ACB＝90°，
∴EG＝BC＝1.5，AG＝AC＝2，
∴GF＝EF﹣EG＝1．
∵∠AGF＝∠AGE＝90°，
∴AF＝＝＝．
故选：A．
8．（3分）在反比例函数图象上的点为（ ）
A．（1，3）B．（﹣1，﹣3）C．（3，﹣1）D．（﹣3，﹣1）
【答案】C
【解答】解：∵反比例函数的比例系数为﹣3，
∴在该反比例函数上的点的横纵坐标的积为﹣3，
A、1×3＝3，不符合题意；
B、﹣1×（﹣3）＝3，不符合题意；
C、3×（﹣1）＝﹣3，符合题意；
D、﹣3×（﹣1）＝3，不符合题意；
故选：C．
9．（3分）如图所示，点P是边长为2的正方形ABCD的对角线BD上的动点，过点P分别作PE⊥BC于点E，PF⊥DC于点F，连接AP并延长，交射线BC于点H，交射线DC于点M，连接EF交AH于点G，当点P在BD上运动时（不包括B、D两点），以下结论中：①MF＝MC；②AP＝EF；③AH⊥EF；④AP2＝PM•PH；⑤EF的最小值是．其中正确结论有（ ）
A．2 个B．3 个C．4 个D．5 个
【答案】C
【解答】解：①因为当点P与BD中点重合时，CM＝0，显然FM≠CM，故①不合题意；
②如图，连接PC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝45°，且BP＝BP，
∴△ABP≌△CBP（SAS）
∴AP＝CP，
∵PE⊥BC，PF⊥DC，∠BCD＝90°，
∴四边形PECF是矩形，
∴EF＝PC，
∴EF＝AP，
故②符合题意；
③∵AP＝PC，AD＝CD，PD＝PD，
∴△APD≌△CPD（SSS）
∴∠DAP＝∠DCP，
∵AD∥BC，
∴∠DAP＝∠H，
∴∠DCP＝∠H，
∵PE＝CF，∠PEC＝∠FCE＝90°，EC＝EC，
∴△PEC≌△FCE（SAS）
∴∠PCE＝∠FEC，
∵∠PCF+∠PCE＝∠FCE＝90°，
∴∠H+∠FEC＝90°，
∴∠EGH＝90°，
∴AH⊥EF，
故③符合题意；
④．∵AD∥BH，
∴∠DAP＝∠H，
∵∠DAP＝∠PCM，
∴∠PCM＝∠H，
∵∠CPM＝∠HPC，
∴△CPM∽△HPC，
∴，
∴CP2＝PM•PH，且AP＝PC，
∴AP2＝PM•PH；
故④符合题意；
⑤∵EF＝AP，
∴AP取最小值时，EF有最小值，
∴当AP⊥BD时，AP有最小值，
此时：∵AB＝AD＝2，∠BAD＝90°，AP⊥BD，
∴BD＝2，AP＝BD＝，
∴EF的最小值为，
故⑤符合题意，
故选：C．
10．（3分）如图，边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别在AD、AB上（点E不与点D重合），DE＝AF，DF、CE交于点G，则AG的取值范围是（ ）
A．﹣1≤AG＜2B．﹣1≤AG＜2C．1≤AG＜2D．﹣1≤AG＜2
【答案】D
【解答】解：∵AD＝DC，∠EDC＝∠FAD，DE＝AF，
∴△DEC≌△AFD（SAS）．
∴∠DCE＝ADF．
∵∠DCE+∠DEC＝90°，
∴∠ADF+∠DEC＝90°，即∠DGE＝90°＝∠DGC．
所以点G运动的轨迹在以DC为直径的圆上的一段弧，圆心在DC中点O处．
当A、G、O三点共线时，AG最短，如图所示．
此时AO＝＝＝，OG＝DC＝1，
所以AG＝AO﹣OG＝﹣1．
因为点E不与点D重合，所以AG＜2．
所以﹣1≤AG＜2．
故选：D．
二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）
11．（4分）一个三角形的两边长为3和5，第三边长为方程x2﹣5x+6＝0的根，则这个三角形的周长为 11 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：x2﹣5x+6＝0
（x﹣3）（x﹣2）＝0，
解得：x1＝3，x2＝2，
∵一个三角形的两边长为3和5，
∴第三边长的取值范围是：2＜x＜8，
则第三边长为：3，
∴这个三角形的周长为：11．
故答案为：11．
12．（4分）已知m、n是一元二次方程x2+x﹣2023＝0的两个实数根，则代数式2m2+n2+m的值等于 6070 ．
【答案】6070．
【解答】解：根据题意，得m2+m﹣2023＝0，
∴m2+m＝2023，
∵m+n＝﹣1，mn＝﹣2023，
∴2m2+n2+m
＝m2+n2+m2+m
＝（m+n）2﹣2mn+（m2+m）
＝1+4046+2023
＝6070．
故答案为：6070．
13．（4分）在阳光下，身高1.6m的小林在地面上的影长为2m，在同一时刻，测得学校的旗杆在地面上的影长为10m，则旗杆的高度为 8 m．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设旗杆的高度为xm．
根据在同一时刻身高与影长成比例可得：＝，
解得：x＝8．
故答案为：8．
14．（4分）方程的根是 x＝ ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵，
∴x2﹣1＝1，
∴x2＝2，
∴x＝±，
经检验 x＝±是原方程的根，
∴x＝±．
故答案为：x＝±．
15．（4分）如图，已知△OP1A1、△A1P2A2、△A2P3A3、…均为等腰直角三角形，直角顶点P1、P2、P3、…在函数（x＞0）图象上，点A1、A2、A3、…在x轴的正半轴上，则点P2010的横坐标为 2（+） ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：分别过P1、P2、P3作x轴的垂线，垂足为H1、H2、H3，
则△OP1H1，△A1P2H2，△A2P3H3为等腰直角三角形，
设OH1＝P1H1＝a，则a2＝4，
解得a＝2（舍去负值），即P1的横坐标为2，
设A1H2＝P2H2＝b，则（4+b）b＝4，
解得b＝2（﹣1+）（舍去负值），即P2的横坐标为4+b＝2（1+），
设A2H3＝P3H3＝c，则（2a+2b+c）c＝4，即（4+c）c＝4，
解得c＝2（﹣+）（舍去负值），
即P3的横坐标为2a+2b+c＝2（+），
…P2010的横坐标为2（+）．
故答案为：2（+）．
16．（4分）如图，长方形ABCD中，BC＝2，DC＝1，如果将该长方形沿对角线折叠，使点C落在点C′处，那么图中重叠部分的面积是 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设C′E的长x，∵长方形沿对角线折叠，
∴∠C′BD＝∠CBD，
∵BD为长方形ABCD的对角线，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴∠C′BD＝∠ADB，BE＝DE＝2﹣x，
在Rt△C′DE中，DE2＝C′E2+C′D2，
即（2﹣x）2＝x2+1，
解得：x＝，
S阴影＝S△BC′D﹣S△C′DE＝×2×1﹣××1＝．
故答案为：．
17．（4分）如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于点G．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG的周长为 +3 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，
∴阴影部分的面积为×9＝6，
∴空白部分的面积为9﹣6＝3，
由CE＝DF，BC＝CD，∠BCE＝∠CDF＝90°，可得△BCE≌△CDF，
∴△BCG的面积与四边形DEGF的面积相等，均为×3＝，
∠CBE＝∠DCF，
∵∠DCF+∠BCG＝90°，
∴∠CBG+∠BCG＝90°，即∠BGC＝90°，
设BG＝a，CG＝b，则ab＝，
又∵a2+b2＝32，
∴a2+2ab+b2＝9+6＝15，
即（a+b）2＝15，
∴a+b＝，即BG+CG＝，
∴△BCG的周长＝+3，
故答案为：+3．
三．解答题（共8小题，满分62分）
18．（6分）如果＝＝＝k（b+d+f≠0），且a+c+e＝3（b+d+f）．求k的值．
【答案】3．
【解答】解：∵a+c+e＝3（b+d+f），
∴k＝＝＝3．
故答案为：3．
19．（6分）3x2﹣（x﹣2）2＝5．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：3x2﹣x2+4x﹣4﹣5＝0
2x2+4x﹣9＝0
∵a＝2，b＝4，c＝﹣9，
△＝16+72＝88＞0，
∴x＝
∴x1＝，x2＝．
20．（6分）杨成家住宅面积为90平方米，其中大卧室18平方米，客厅30平方米．小卧室15平方米，厨房14平方米，大卫生间9平方米，小卫生间4平方米．如果一只小猫在该住宅内地面上任意跑．求：
（1）P（在客厅捉到小猫）；
（2）P（在小卧室捉到小猫）；
（3）P（在卫生间捉到小猫）；
（4）P（不在卧室捉到小猫）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）P（在客厅捉到小猫）的概率为＝；
（2）P（在小卧室捉到小猫）的概率为＝；
（3）P（在卫生间捉到小猫）的概率为＝；
（4）P（不在卧室捉到小猫）的概率为＝＝＝．
21．（8分）数学课上，老师出示了一道题目：如图1，在△ABC中，AB＝AC，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC，试探究线段AE、BD、AB、BC之间存在的数量关系，并说明理由．
（1）[猜想证明]线段AE、BD、AB、BC的关系是．请补全下列证明思路；
如图1：过点E作EF∥BC交AC于点F，则∠FEC＝∠ECD，
∵ED＝EC，
∴∠EDB＝∠ECD，
∴∠EDB＝∠FEC，
∵∠ABC＝∠EDB+∠DEB，∠ACB＝∠ECF+∠ECD．
又∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠DEB＝∠ECF．
∴△DBE≌ △EFC （ASA），
∴BD＝EF，
∴△AEF∽ △ABC ．
∴＝ ，
∴＝ ，
∴．
（2）[变式拓展]
如图2，在△ABC中，AB＝AC，点E在BA的延长线上，点D在直线BC上，且ED＝EC．请你在图2中补齐图形．并探索（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出完整的证明；若不成立，请直接写出新的结论．
【答案】（1）△EFC，△ABC，，；
（2）（1）中结论成立，理由见解答．
【解答】（1）证明：如图1，过点E作EF∥BC交AC于点F，则∠FEC＝∠ECD，
∵ED＝EC，
∴∠EDB＝∠ECD，
∴∠EDB＝∠FEC，
∵∠ABC＝∠EDB+∠DEB，∠ACB＝∠ECF+∠ECD．
又∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠DEB＝∠ECF．
∴△DBE≌△EFC（ASA），
∴BD＝EF，
∴△AEF∽△ABC．
∴＝，
∴＝，
∴，
故答案为：△EFC，△ABC，，；
（2）（1）中的结论仍然成立；
如图2，过点A作AH∥BC交EC于点H，
∴∠HAC＝∠ACB，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠HAC＝∠ABC，
∵ED＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD，
∵∠EDC＝∠ABC+∠BED，∠ECD＝∠ACB+∠ECA，
∴∠BED＝∠ECA，
∴△AHC∽△BDE，
∴，
∴AH•BE＝AC•BD，
∵AH∥BC，
∴△AEH∽△BEC，
∴，
∴AF•BE＝AE•BC，
∴AC•BD＝AE•BC，
∵AB＝AC，
∴．
22．（8分）如图，已知A（﹣4，），B（﹣1，m）是一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝图象的两个交点，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D．
（1）求m的值及一次函数解析式；
（2）P是线段AB上的一点，连接PC、PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝的图象过点（﹣4，），
∴n＝﹣4×＝﹣2，
∵点B（﹣1，m）也在该反比例函数的图象上，
∴﹣1•m＝﹣2，∴m＝2；
设一次函数的解析式为y＝kx+b，
由y＝kx+b的图象过点A（﹣4，），B（﹣1，2），则
，解得，
∴一次函数的解析式为y＝x+；
（2）连接PC、PD，如图，设P（x，x+），
∵△PCA和△PDB面积相等，
∴×（x+4）＝×|﹣1|×（2﹣x﹣），
解得：x＝﹣，y＝x+＝，
∴P点坐标是（﹣，）．
23．（8分）如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD＝CF，BD⊥CF成立．
（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD＝CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G．
①求证：BD⊥CF；
②当AB＝4，AD＝时，求线段BG的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】解（1）BD＝CF成立．
理由：∵△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，
∴AB＝AC，AD＝AF，∠BAC＝∠DAF＝90°，
∵∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC，∠CAF＝∠DAF﹣∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
∴△BAD≌△CAF（SAS）．
∴BD＝CF．
（2）①证明：设BG交AC于点M．
∵△BAD≌△CAF（已证），
∴∠ABM＝∠GCM．
∵∠BMA＝∠CMG，
∴△BMA∽△CMG．
∴∠BGC＝∠BAC＝90°．
∴BD⊥CF．
②过点F作FN⊥AC于点N．
∵在正方形ADEF中，AD＝DE＝，
∴AE＝＝2，
∴AN＝FN＝AE＝1．
∵在等腰直角△ABC 中，AB＝4，
∴CN＝AC﹣AN＝3，BC＝＝4．
∴在Rt△FCN中，tan∠FCN＝＝．
∴在Rt△ABM中，tan∠ABM＝＝tan∠FCN＝．
∴AM＝AB＝．
∴CM＝AC﹣AM＝4﹣＝，BM＝＝＝．
∵△BMA∽△CMG，
∴．
∴．
∴CG＝．
∴在Rt△BGC中，BG＝＝．
24．（10分）如图，在边长为16的菱形ABCD中，AC、BD为对角线，∠BCD＝60°，点E、F分别是边AB、边BC上的动点，连接DE、DF、EF．
（1）当点E、点F分别是边AB，边BC的中点时．
①求证：△DEF是等边三角形；
②若点G是对角线AC上的动点，连接EG，FG，则直接写出EG+FG的最小值为 16 ；
（2）若点H是对角线AC上的动点，连接EH、FH，则直接写出EH+FH的最小值为 8 ；
（3）若AE＝BF＝4，EF交BD于点K，点P、点Q分别是线段DE、线段DF上的动点，连接KQ、PQ，则直接写出KQ+PQ的最小值为 2 ．
【答案】（1）①证明见解析过程；
②16；
（2）8；
（3）2．
【解答】证明：（1）①∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝16，∠BCD＝∠BAD＝60°，
∴△ABD，△BCD是等边三角形，
∵点E、点F分别是边AB，边BC的中点，
∴∠ADE＝∠BDE＝∠BDF＝∠CDF＝30°，AE＝BE＝BF＝CF＝8，DE＝AE＝8，DF＝CF＝8，
∴DF＝DF，∠EDF＝60°，
∴△DEF是等边三角形；
②∵四边形ABCD是菱形，
∴AC平分∠BCD，
如图1，作点F关于AC的对称点N，连接GN，则FG＝GN，
∴EG+FG＝EG+GN，
∴点E，点G，点N三点共线时，EG+FG的最小值为EN，
∵点F，点N关于AC对称，
∴CN＝CF＝BC＝CD，
∴DN＝CN＝AE＝BE，
又∵AB∥CD，
∴四边形AEND是平行四边形，
∴EN＝AD＝16，
故答案为：16；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC平分∠BCD，
如图2，作点F关于AC的对称点N，连接HN，则FH＝HN，
∴EH+FH＝EH+HN，
∴点E，点H，点N三点共线且EN⊥CD时，EH+FH的最小值为EN，
此时EN＝8，
∴EH+FH的最小值为8；
（3）如图3，过点D作DN⊥BC于N，作点K关于DF的对称点H，连接DH，HF，QH，
∴KQ＝HQ，∠BDF＝∠HDF，KD＝HD，
∴PQ+KQ＝PQ+QH，
∴当点H，点Q，点P三点共线，且HP⊥DE时，PQ+KQ有最小值，
∵四边形ABCD是菱形，∠BCD＝60°，
∴∠A＝∠BCD＝60°，AD＝CD＝BC＝AB，
∴△ABD，△BCD是等边三角形，
∴AD＝BD＝16，∠ADB＝∠DBC＝60°，
又∵AE＝BF，
∴△ADE≌△BDF（SAS），
∴DE＝DF，∠ADE＝∠BDF，
∴ADB＝∠EDF＝60°，
∴△EDF是等边三角形，
∴∠EFD＝60°，
∵DN⊥BC，△BDC是等边三角形，
∴BN＝NC＝8，∠BDN＝30°，
∴DN＝BN＝8，
∵FN＝BN﹣BF＝4，
∴DF＝＝＝4，
∵∠EFD＝∠DBC＝60°，∠BDF＝∠KDF，
∴△BDF∽△FDK，
∴，
∴，
∴DK＝13，
∴DH＝13，
∵∠DFN＝∠DBC+∠BDF＝60°+∠BDF，∠EDH＝∠EDF+∠FDH＝60°+∠BDF，
∴∠DFN＝∠EDH，
又∵∠HPD＝∠DNF，
∴△DPH∽△FND，
∴，
∴，
∴PH＝2，
∴PQ+KQ的最小值为2．
25．（10分）将一个直角三角形纸片OAB放置在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（2，0），点B在第一象限，∠OAB＝90°，∠B＝30°，点P在边OB上（点P不与点O，B重合）．
（Ⅰ）如图①，当OP＝1时，求点P的坐标；
（Ⅱ）折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并与x轴的正半轴相交于点Q，且OQ＝OP，点O的对应点为O'，设OP＝t．
①如图②，若折叠后△O'PQ与△OAB重叠部分为四边形，O'P，O'Q分别与边AB相交于点C，D，试用含有t的式子表示O'D的长，并直接写出t的取值范围；
②若折叠后△O'PQ与△OAB重叠部分的面积为S，当1≤t≤3时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（Ⅰ）如图①中，过点P作PH⊥OA于H．
∵∠OAB＝90°，∠B＝30°，
∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°，
∴∠OPH＝90°﹣60°＝30°，
∵OP＝1，
∴OH＝OP＝，PH＝OP•cs30°＝，
∴P（，）．
（Ⅱ）①如图②中，
由折叠可知，△O′PQ≌△OPQ，
∴OP＝O′P，OQ＝O′Q，
∵OP＝OQ＝t，
∴OP＝OQ＝O′P＝O′Q，
∴四边形OPO′Q是菱形，
∴QO′∥OB，
∴∠ADQ＝∠B＝30°，
∵A（2，0），
∴OA＝2，QA＝2﹣t，
在Rt△AQD中，DQ＝2QA＝4﹣2t，
∴O′D＝O′Q﹣QD＝3t﹣4，
∴＜t＜2．
②当点O′落在AB上时，重叠部分是△PQO′，此时t＝，S＝×（）2＝，
当＜t≤2时，重叠部分是四边形PQDC，S＝t2﹣（3t﹣4）2＝﹣t2+3t﹣2，
当t＝﹣＝时，S有最大值，最大值＝，
当t＝1时，S＝，当t＝3时，S＝××＝，
综上所述，≤S≤．
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