镇江市镇江新区2021-2022学年八年级3月月考数学试题（含解析）

镇江市镇江新区2021-2022学年八年级3月月考数学试题

一、选择题

1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（  ）

A.  B.  C.  D.

2. 袋中有形状、大小、质地完全一样的3个红球和2个白球，下列说法正确的是（　　）

A. 从中随机抽出一个球，一定是红球

B. 从袋中抽出一个球后，再从袋中抽出一个球，出现红球或白球的概率一样大

C. 从袋中随机抽出2个球，出现都是红球的概率为

D. 从袋中抽出2个球，出现颜色不同的球的概率是

3. 下面关于平行四边形的说法中，不正确的是（    ）

A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形

B. 有一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形

C. 有一组对边相等，一组对角相等四边形是平行四边形

D. 有两组对角相等的四边形是平行四边形

4. 如图，线段与线段关于点对称，若点、、，则点的坐标为（  ）

A.  B.  C.  D.

5. 如图所示，在平面直角坐标系中，A（0，0），B（2，0），是等腰直角三角形且，把绕点B顺时针旋转180°，得到，把绕点C顺时针旋转180°，得到，依此类推，得到的等腰直角三角形的直角顶点的坐标为（    ）

A. （4043，－1） B. （4043，1） C. （2022，－1） D. （2022，1）

6. 如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC=60°，AB=BC，连接OE，下列结论：①∠CAD=30°；②S▱ABCD=AB•AC；③OB=AB；④OE=BC，成立的个数有（　　）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

二、填空题

7. 对“神舟十三”的零部件检查的调查适合用______（填“普查”或“抽样调查”）．

8. 用反证法证明某一命题的结论“”时，应假设___________．

9. “a是实数，|a|≥0”这一事件是_____ 事件．

10. 一组数据，其中最大值170，最小值是147，对这组数据进行整理时，组距是4，则分成_____组合适．

11. 为了了解八年级名学生的期中数学考试情况，从中抽取了名学生的数学成绩进行统计．给出下列判断：这种调查方式为抽样调查；名学生是总体；每名学生的期中数学考试成绩是个体；从中抽取的名学生是总体的一个样本；样本容量是其中正确的有______填序号．

12. 某校有40人参加全国数学竞赛，把他们成绩分为6组，第一至第四组的频数分别为10，5，7，6，第五组的频率是0.20．则第六组的频率是__．

13. 一个装有红豆和黄豆共计颗的瓶子，现将瓶中豆子充分摇匀，再从瓶中取出颗豆子时，发现其中有颗红豆，根据实验估计该瓶装有红豆大约_________颗．

14. 如图，中，，将绕点顺时针旋转后，得到，且在边上，则的度数为__________．

15. 如图，平行四边形中，和的平分线交于E、F两点，则的长是__________．

16. 如图，是以对角线为边的等边三角形，点与点关于轴对称．若点的坐标是，则点的坐标是_____．

17. 如图，在四边形中ADBC，，，，点为上一点，，点从出发以的速度向运动，点从出发以的速度向运动，两点同时出发，当点运动到点时，点也随之停止运动．当运动时间为秒时，以、、、四个点为顶点的四边形为平行四边形，则的值是______．

18. 在▱ABCD中，AD=BD，BE是AD边上的高，∠EBD=20°，则∠A的度数为_________．

三、解答题

19. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上．

（1）将△ABC向右平移6个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；

（2）画出△ABC关于点O的中心对称图形△A2B2C2；

（3）若将△A1B1C1绕某一点旋转可得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标：_________．

20. 央视热播节目“朗读者”激发了学生的阅读兴趣．某校为满足学生的阅读需求，欲购进一批学生喜欢的图书，学校组织学生会成员随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学生须从“文史类、社科类、小说类、生活类”中选择自己喜欢的一类，根据调查结果绘制了统计图（未完成），请根据图中信息，解答下列问题：

（1）此次共调查了　   　名学生；

（2）将条形统计图补充完整；

（3）图2中“小说类”所在扇形的圆心角为　   　度；

（4）若该校共有学生2500人，估计该校喜欢“社科类”书籍的学生人数．

21. 一个不透明的袋中装有黄球、黑球和红球共个，它们除颜色外都相同，其中红球有个，且经过试验发现摸出一个球为黄球的频率接近．

（1）求袋中有多少个黑球；

（2）现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后使从袋中摸出一个球是黄球的概率达到，问至少取出了多少个黑球？

22. 已知：如图，在▱ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，且BE＝DF

求证：AC、EF互相平分．

23. 如图，四边形ABCD中，点E在AD上，且EA＝EB，∠ADB＝∠CBD＝90°，∠AEB＋∠C＝180°，求证：

（1）四边形BCDE是平行四边形．

（2）若AB＝，DB＝4，求四边形ABCD的面积．

24. 如图，在四边形ABCD中，ADBC，对角线AC、BD交于点O，且AO=OC，过点O作EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F．

（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；

（2）连接BE，若∠BAD=100°，∠DBF=2∠ABE，求∠ABE的度数．

25. 如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AC=12cm，点E从点A出发沿AB以每秒1cm速度向点B运动，同时点D从点C出发沿CA以每秒2cm的速度向点A运动，运动时间为t秒（0＜t＜6），过点D作DF⊥BC于点F．

（1）试用含t的式子表示AE、AD的长；

（2）如图，在D、E运动的过程中，四边形AEFD是平行四边形，请说明理由；

（3）连接DE，当t为何值时，△DEF为直角三角形？

答案与解析

一、选择题

1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（  ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【详解】解：A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；

B.不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；

C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；

D.是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；

故选：D．

【点睛】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．

2. 袋中有形状、大小、质地完全一样3个红球和2个白球，下列说法正确的是（　　）

A. 从中随机抽出一个球，一定是红球

B. 从袋中抽出一个球后，再从袋中抽出一个球，出现红球或白球的概率一样大

C. 从袋中随机抽出2个球，出现都是红球的概率为

D. 从袋中抽出2个球，出现颜色不同的球的概率是

【答案】D

【解析】

【分析】先求出随机事件所有情况数,再求出对应的事件发生的情况数,根据概率=所求情况数与总情况数之比进行依次解答.

【详解】解：A．从中随机抽出一个球,不一定是红球,故此选项不合题意；

B．从袋中抽出一个球后,再从袋中抽出一个球,出现红球或白球的概率不相同,故此选项不合题意；

C．从袋中随机抽出2个球,出现都是红球的概率为 ,故此选项不合题意；

D．从袋中抽出2个球,出现颜色不同的球的概率是,故此选项符合题意；

故选：D．

【点睛】本题主要考查概率的定义,熟练掌握概念的定义和概率计算公式是解决本题的关键.

3. 下面关于平行四边形的说法中，不正确的是（    ）

A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形

B. 有一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形

C. 有一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形

D. 有两组对角相等的四边形是平行四边形

【答案】C

【解析】

【分析】根据平行四边形的判定分别对各个选项进行判断即可．

【详解】A、∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，
∴选项A不符合题意；
B、∵有一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，
∴选项B不符合题意；
C、∵有一组对边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形，
∴选项C符合题意；
D、∵有两组对角相等的四边形是平行四边形，
∴选项D不符合题意；
故选：C．

【点睛】本题考查了平行四边形的判定；熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．

4. 如图，线段与线段关于点对称，若点、、，则点的坐标为（  ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由点、关于点对称，先求出点的坐标，再根据关于某点对称的点的特点，求出点的坐标．

【详解】解：∵、关于点对称，

，，

∴点的坐标为．

设点，

∵，

∴，，

∴，，

∴．

故选：B．

【点睛】本题考查了旋转对称，掌握“点关于点的对称点是”是解决本题的关键．

5. 如图所示，在平面直角坐标系中，A（0，0），B（2，0），是等腰直角三角形且，把绕点B顺时针旋转180°，得到，把绕点C顺时针旋转180°，得到，依此类推，得到的等腰直角三角形的直角顶点的坐标为（    ）

A. （4043，－1） B. （4043，1） C. （2022，－1） D. （2022，1）

【答案】A

【解析】

【分析】过点P1作P1M⊥x轴于M，先分别求出点P1、P2、P3、P4的坐标并找出横纵坐标的变化规律，然后归纳出点Pn的坐标，即可求出结论．

【详解】解：过点P1作P1M⊥x轴于M，

∵, ，是等腰直角三角形且，P1M⊥x轴，

∴AM=BM=，

∴AM为的中点，

在中，，AM为的中点，

∴P1M==1，

∴点P1的坐标为（1,1）其中横坐标为：2×1－1, 纵坐标为：，

同理可得点P2的坐标为（3,-1）其中横坐标为： 纵坐标为： ，

点P3的坐标为（5,1）其中横坐标为：2×3－1, 纵坐标为： ，

点P4的坐标为（7,-1）其中横坐标为：2×4－1, 纵坐标为：，

∴点Pn的坐标为，

∴点的坐标为，

即 ．

故选：A．

【点睛】此题考查的是探索坐标规律题，掌握等腰直角三角形的性质、找出横纵坐标的变化规律并归纳公式是解决此题的关键．

6. 如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC=60°，AB=BC，连接OE，下列结论：①∠CAD=30°；②S▱ABCD=AB•AC；③OB=AB；④OE=BC，成立的个数有（　　）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

【答案】C

【解析】

【分析】由四边形ABCD是平行四边形，得到∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，根据AE平分∠BAD，得到∠BAE=∠EAD=60°推出△ABE是等边三角形，由于AB=BC，得到AE=BC，得到△ABC是直角三角形，于是得到∠CAD=30°，故①正确；由于AC⊥AB，得到S▱ABCD=AB•AC，故②正确，根据AB=BC，OB=BD，且BD＞BC，得到AB＜OB，故③错误；根据三角形的中位线定理得到OE=AB，于是得到OE=BC，故④正确．

【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，

∵AE平分∠BAD，

∴∠BAE=∠EAD=60°

∴△ABE是等边三角形，

∴AE=AB=BE，

∵AB=BC，

∴AE=BC，

∴∠BAC=90°，

∴∠CAD=30°，故①正确；

∵AC⊥AB，

∴S▱ABCD=AB•AC，故②正确，

∵AB=BC，OB=BD，且BD＞BC，

∴AB＜OB，故③错误；

∵CE=BE，CO=OA，

∴OE=AB，

∴OE=BC，故④正确．

故选C．

【点睛】此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质以及等边三角形的判定与性质．注意证得△ABE是等边三角形，OE是△ABC的中位线是关键．

二、填空题

7. 对“神舟十三”的零部件检查的调查适合用______（填“普查”或“抽样调查”）．

【答案】普查

【解析】

【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似进行判断．

【详解】解：对“神舟十三”的零部件检查的调查适合用普查，

故答案为：普查．

【点睛】此题考查全面调查与抽样调查，关键是根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似进行判断．

8. 用反证法证明某一命题的结论“”时，应假设___________．

【答案】

【解析】

【分析】根据反证法的步骤，得出a>b的反面是即可．

【详解】解：反证法证明“a > b”时，应先假设．

故答案为： ．

【点睛】本题考查反证法，解此题的关键是掌握反证法的一般思路及解题步骤．

9. “a是实数，|a|≥0”这一事件是_____ 事件．

【答案】必然

【解析】

【详解】对于任意实数，由绝对值的非负性可知，成立，故为必然事件．

10. 一组数据，其中最大值是170，最小值是147，对这组数据进行整理时，组距是4，则分成_____组合适．

【答案】6

【解析】

【分析】求出最大值与最小值的差，再根据组距、组数、最大值与最小值的差的关系进行计算即可．

【详解】解：（170-147）÷4≈6（组），

故答案为：6．

【点睛】本题考查频数分布表，调查收集数据的过程与方法，掌握组距、组数、最大值与最小值的差之间的关系是正确计算的前提．

11. 为了了解八年级名学生的期中数学考试情况，从中抽取了名学生的数学成绩进行统计．给出下列判断：这种调查方式为抽样调查；名学生是总体；每名学生的期中数学考试成绩是个体；从中抽取的名学生是总体的一个样本；样本容量是其中正确的有______填序号．

【答案】

【解析】

【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．

【详解】解：为了了解八年级名学生的期中数学考试情况，从中抽取了名学生的数学成绩进行统计．

这种调查方式是抽样调查，故正确；

名学生的期中数学考试成绩是总体，故错误；

每名学生的期中数学考试成绩是个体，故正确；

从中抽取的名学生的期中数学考试成绩是总体的一个样本，故错误；

样本容量是，故正确．

故答案为：．

【点睛】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．

12. 某校有40人参加全国数学竞赛，把他们的成绩分为6组，第一至第四组的频数分别为10，5，7，6，第五组的频率是0.20．则第六组的频率是__．

【答案】01

【解析】

【分析】先求出第五组的频数是8，从而求出第六组的频数，最后求出第六组的频率即可解答．

【详解】解：由题意得：40×0.2=8，

∴第五组的频数是8，

∴40-10-5-7-6-8=4，

∴4÷40=0.1，

∴第六组的频率是：0.1，

故答案为：0.1．

【点睛】本题考查了频率与频数，熟练掌握频率等于频数÷总次数是解题关键．

13. 一个装有红豆和黄豆共计颗的瓶子，现将瓶中豆子充分摇匀，再从瓶中取出颗豆子时，发现其中有颗红豆，根据实验估计该瓶装有红豆大约_________颗．

【答案】50

【解析】

【分析】根据频数与总数的关系列方程200：x=80：20，解方程即可．

【详解】解：设根据实验估计该瓶装有红豆大约x颗，

∵将瓶中豆子充分摇匀，再从瓶中取出颗豆子时，发现其中有颗红豆，

∴200：x=80：20，

解得x=50，

该瓶装有红豆大约50颗．

故答案为50．

【点睛】本题考查频数，总数，以及频率之间关系，用样本的百分比含量估计总体中的数量，列比例式，解一元一次方程是解题关键．

14. 如图，中，，将绕点顺时针旋转后，得到，且在边上，则的度数为__________．

【答案】##46度

【解析】

【分析】由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可得，即可求解．

【详解】解：∵将绕点顺时针旋转，，

∴，，

∴，

∴

，

∴的度数为．

故答案为：．

【点睛】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质．理解和掌握旋转的性质是解题的关键．

15. 如图，平行四边形中，和的平分线交于E、F两点，则的长是__________．

【答案】2

【解析】

【分析】由平行四边形的两组对边互相平行，AE平分∠BAD，可以推出∠BAE＝∠AEB，则BE＝AB＝4；同理可得，CF＝CD＝4．而EF＝BF＋CF−BC，由此可以求出EF长．

详解】解：∵AE平分∠BAD，

∴∠BAE＝∠DAE，

又∵AD∥CB，

∴∠AEB＝∠DAE，

∴∠BAE＝∠AEB，

则BE＝AB＝4；

同理可得，CF＝CD＝4，

∴EF＝BE＋CF−BC＝BE＋CF−AD＝4＋4−6＝2．

故答案为：2．

【点睛】此题主要了角平分线的定义、平行四边形的性质、平行线的性质等知识，关键是要找出线段之间的关系EF＝BE＋CF−BC．

16. 如图，是以的对角线为边的等边三角形，点与点关于轴对称．若点的坐标是，则点的坐标是_____．

【答案】（5，0）

【解析】

【分析】设和轴交于，由对称性可知，再根据等边三角形的性质可知，根据勾股定理即可求出的长，进而求出和的长，所以可求，又因为在轴上，纵坐标为0，问题得解．

【详解】解：点与点关于轴对称，点的坐标是，

的坐标为，，

，，

是以的对角线为边的等边三角形，

，

，

，

，

，

点的坐标是，

故答案为：．

【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质、点关于轴对称的特点以及勾股定理的运用，解题的关键是综合应用以上知识点．

17. 如图，在四边形中ADBC，，，，点为上一点，，点从出发以的速度向运动，点从出发以的速度向运动，两点同时出发，当点运动到点时，点也随之停止运动．当运动时间为秒时，以、、、四个点为顶点的四边形为平行四边形，则的值是______．

【答案】

【解析】

【分析】分两种情形列出方程即可解决问题．

【详解】解：当点在线段上，时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，

则有，解得，

当在线段上，时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，

则有，解得不合题意舍去，

综上所述，时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形．

故答案为：．

【点睛】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是学会构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．

18. 在▱ABCD中，AD=BD，BE是AD边上的高，∠EBD=20°，则∠A的度数为_________．

【答案】55°或35°．

【解析】

【详解】试题分析：①若E在AD上，如图，∵BE是AD边上的高，∠EBD=20°，∴∠ADB=90°﹣20°=70°，∵AD=BD，∴∠DAB=∠ABD=55°；

②若E在AD的延长线上，如图，∵BE是AD边上的高，∠EBD=20°，∴∠EDB=90°﹣20°=70°，∵AD=BD，∴∠DAB=∠ABD=35°．故答案为55°或35°．

考点：1．平行四边形的性质；2．分类讨论．

三、解答题

19. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上．

（1）将△ABC向右平移6个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；

（2）画出△ABC关于点O的中心对称图形△A2B2C2；

（3）若将△A1B1C1绕某一点旋转可得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标：_________．

【答案】（1）见解析    （2）见解析   

（3）

【解析】

【分析】（1）先根据平移的定义分别画出点，再顺次连接即可得；

（2）先根据中心对称的定义分别画出点，再顺次连接即可得；

（3）先根据平移的性质、中心对称的性质求出点的坐标，再求出它们的中点的坐标判断出与是关于中点的中心对称图形，由此即可得．

【小问1详解】

解：如图，即为所求．

【小问2详解】

解：如图，即为所求．

【小问3详解】

解：由图可知，点的坐标分别为，，

，，

即，，

的中点的坐标均为，

与是以点为对称中心的中心对称图形，

则所求的旋转中心的坐标为，

故答案为：．

【点睛】本题考查了平移作图、画中心对称图形、求旋转中心的坐标，熟练掌握平移和中心对称图形的画法是解题关键．

20. 央视热播节目“朗读者”激发了学生的阅读兴趣．某校为满足学生的阅读需求，欲购进一批学生喜欢的图书，学校组织学生会成员随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学生须从“文史类、社科类、小说类、生活类”中选择自己喜欢的一类，根据调查结果绘制了统计图（未完成），请根据图中信息，解答下列问题：

（1）此次共调查了　   　名学生；

（2）将条形统计图补充完整；

（3）图2中“小说类”所在扇形的圆心角为　   　度；

（4）若该校共有学生2500人，估计该校喜欢“社科类”书籍的学生人数．

【答案】（1）200；（2）补图见解析；（3）126；（4）300人

【解析】

【分析】（1）由76÷38%，可得总人数；

（2）结合扇形图，分别求出人数，再画图；

（3）先算社科类百分比，再求小说百分比，再求对应圆心角；

（4）用社科类百分比×2500可得．

【详解】解：（1）此次共调查的人数人；

（2）生活类的人数人，

小说类的人数为人，

补全图形，如下图：

（3）由样本数据可知喜欢“社科类”书籍的学生人数占了总人数的12%，

故答案为：126

（4）由样本数据可知喜欢“社科类”书籍的学生人数占了总人数的12%，

∴该校共有学生2500人，估计该校喜欢“社科类”书籍的学生人数：

2500×12%=300人．

故：该校喜欢“社科类”书籍的学生人数约为300人.

【点睛】本题考查了扇形统计图，条形统计图，用样本估计总体，解题关键是从统计图获取信息．

21. 一个不透明的袋中装有黄球、黑球和红球共个，它们除颜色外都相同，其中红球有个，且经过试验发现摸出一个球为黄球的频率接近．

（1）求袋中有多少个黑球；

（2）现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后使从袋中摸出一个球是黄球的概率达到，问至少取出了多少个黑球？

【答案】（1）袋中有个黑球   

（2）至少取出个黑球

【解析】

【分析】（1）由一个不透明的袋中装有黄球、黑球和红球共个，经过试验发现摸出一个球为黄球的频率接近，求出黄球的个数，再用总数减去黄球、黑球的个数，即为黑球的个数；

（2首先设取出个黑球，根据搅拌均匀后使从袋中摸出一个球是黄球的概率达到，列出方程，解方程即可求得答案．

【小问1详解】

解：黄球有个，

黑球有个．

答：袋中有个黑球；

【小问2详解】

解：设取出个黑球，根据题意得

，

解得．

答：至少取出个黑球．

【点睛】本题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比，掌握概率公式是解题的关键．

22. 已知：如图，在▱ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，且BE＝DF

求证：AC、EF互相平分．

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】连接AE、CF，证明四边形AECF为平行四边形即可得到AC、EF互相平分．

【详解】解：连接AE、CF，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AD//BC，AD﹦BC，

又∵DF﹦BE，

∴AF﹦CE，

又∵AF//CE，

∴四边形AECF为平行四边形，

∴AC、EF互相平分．

【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，正确添加辅助线是解题关键．

23. 如图，四边形ABCD中，点E在AD上，且EA＝EB，∠ADB＝∠CBD＝90°，∠AEB＋∠C＝180°，求证：

（1）四边形BCDE是平行四边形．

（2）若AB＝，DB＝4，求四边形ABCD的面积．

【答案】（1）见解析；（2）22

【解析】

【分析】（1）∠ADB＝∠CBD＝90°，得到DE∥CB，再根据∠AEB＋∠BED＝180°，可求∠C＝∠BED得出∠CDB＝∠EBD，进而得到BE∥CD即可求解；

（2）由（1）得可推出BC＝DE，根据勾股定理求出AD，设DE＝x，则EA＝8－x，根据勾股定理得到DE2＋DB2＝EB2，求出BC＝DE，S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BDC即可求解．

【详解】解：（1）∵∠ADB＝∠CBD＝90°，

∴DE∥CB

∵∠AEB＋∠C＝180°，

又 ∵∠AEB＋∠BED＝180°

∴∠C＝∠BED

∴∠CDB＝∠EBD

∴BE∥CD，   

∴四边形BEDC是平行四边形

（2）∵四边形BEDC是平行四边形．

∴BC＝DE   在Rt△ABD中，由勾股定理得AD＝8.

设DE＝x，则EA＝8－x，

∴EB＝EA＝8－x．在Rt△BDE中，由勾股定理得 DE2＋DB2＝EB2，

∴x2＋42＝（8－x）2.解得x＝3.

∴BC＝DE＝3

∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BDC＝AD·DB＋DB·BC＝16＋6＝22.

【点睛】此题考查的是平行四边形的性质和判定以及勾股定理的应用，掌握平行四边形的性质和判定以及勾股定理是解题的关键．

24. 如图，在四边形ABCD中，ADBC，对角线AC、BD交于点O，且AO=OC，过点O作EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F．

（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；

（2）连接BE，若∠BAD=100°，∠DBF=2∠ABE，求∠ABE的度数．

【答案】（1）见解析    （2）16°

【解析】

【分析】（1）通过ADBC，AO=OC，证明△AOD≌△COB（ASA），推出AD＝CB，结合ADBC，即可证明四边形ABCD为平行四边形；

（2）设∠ABE＝x，先证EF为BD的垂直平分线，推出BE＝DE，再利用平行线性质、等腰三角形的性质证明∠EBD＝∠EDB＝∠DBF＝2x，即可求解．

【小问1详解】

证明：∵ADBC，

，

又∵AO=OC，

∴△AOD≌△COB（ASA），

∴AD＝CB，

又∵ADBC，

∴四边形ABCD为平行四边形；

【小问2详解】

解：设∠ABE＝x，则∠DBF＝2x，

由（1）得：四边形ABCD为平行四边形，

∴OB＝OD，

∵EF⊥BD，

∴EF为BD的垂直平分线，

∴BE＝DE，

∴∠EBD＝∠EDB，

∵ADBC，

∴∠EDB＝∠DBF，

∴∠EBD＝∠EDB＝∠DBF＝2x，

∵∠BAD+∠ABE+∠EBD+∠EDB＝180°，

∴100°+x+2x+2x＝180°，

解得：x＝16°，

即∠ABE＝16°．

【点睛】本题考查平行线的性质、平行四边形的判定和性质、垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，结合题意综合运用上述知识是解题的关键．

25. 如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AC=12cm，点E从点A出发沿AB以每秒1cm的速度向点B运动，同时点D从点C出发沿CA以每秒2cm的速度向点A运动，运动时间为t秒（0＜t＜6），过点D作DF⊥BC于点F．

（1）试用含t的式子表示AE、AD的长；

（2）如图，在D、E运动的过程中，四边形AEFD是平行四边形，请说明理由；

（3）连接DE，当t为何值时，△DEF为直角三角形？

【答案】（1）AE=t，AD=12-2t；   

（2）见解析    （3）当t=3秒或t=秒时，△DEF为直角三角形．

【解析】

【分析】（1）根据题意直接表示出来即可；

（2）由“在直角三角形中，30度角所对的直角边是斜边的一半”求得DF=t，又AE=t，则DF=AE；而由垂直得到AB∥DF，即“四边形AEFD的对边平行且相等”，由此得四边形AEFD是平行四边形；

（3）①显然∠DFE＜90°；

②如图（1），当∠EDF=90°时，四边形EBFD为矩形，此时 AE=AD，根据题意，列出关于t的方程，通过解方程来求t的值；

③如图（2），当∠DEF=90°时，此时∠ADE=90°-∠A=30°，此时AD=AE，根据题意，列出关于t的方程，通过解方程来求t的值．

【小问1详解】

解：由题意得AE=t，AD=12-2t；

【小问2详解】

解：∵DF⊥BC，∠C=30°，

∴DF=CD=×2t=t，

∵AE=t，

∴DF=AE，

∵∠ABC=90°，DF⊥BC，

∴DF∥AE，

∴四边形AEFD是平行四边形；

小问3详解】

解：①显然∠DFE＜90°；

②如图（1），当∠EDF=90°时，四边形EBFD为矩形，

此时 AE=AD，

∴t=（12-2t），

∴t=3；

③如图（2），当∠DEF=90°时，此时∠ADE=90°，

∴∠AED=90°-∠A=30°，

∴AD=AE，

∴12-2t=t，

∴t=，

综上：当t=3秒或t=秒时，△DEF为直角三角形．

【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，平行四边形的判定与性质．另外，解题时，需要分类讨论．