镇江市丹徒区2021-2022学年八年级3月月考数学试题（含解析）

镇江市丹徒区2021-2022学年八年级3月月考数学试题

一、填空题（本题共12小题，每空2分，共24分）

1. 如图，在△ABC中，∠CAB=70º，在同一平面内，将△ABC绕点逆时针旋转50º到△位置，则∠= _________度.

2. 平行四边形中，，则______度．

3. 矩形的两条对角线的夹角为60°，一条对角线与较短边的和为3，则较长边的长为____________．

4. 如图，平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，若AD=6，AC+BD=16，则△BOC的周长为_____．

5. 为了考察闵行区1万名九年级学生数学知识与能力测试的成绩，从中抽取50本试卷，每本试卷30份，那么样本容量是______．

6. 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作交AD于点E，若，，则DE的长为______．

7. 如图，在中，，，点在边上，以、为边作平行四边形，则的度数为____________．

8. 如图，菱形ABCD的边AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点F，连接DF．当时，则_____________．

9. 已知菱形ABCD的对角线交于点O，，，则菱形的高为_____________．

10. 如图，直线AB的解析式为y=x+4，与y轴交于点A，与x轴交于点B，点P为线段AB上的一个动点，作PE⊥y轴于点E，PF⊥x轴于点F，连接EF，则线段EF的最小值为_____．

11. 在四边形ABCD中，，M是BC上一点，且，点E从A出发以1cm/s的速度向D运动，点F从点B出发以2cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，当t的值为______________时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．

12. 如图，在中，，BD为AC边上的中线，过点C作于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取，连接BG、DF．若，，则CF的长为______________．

二、单项选择题（本题共7小题，每小题只有1个选项符合题意。每小题3分，共21分）

13. 下列几何图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A  B.  C.  D.

14. 下列调查适合作抽样调查的是（    ）

A. 了解镇江电视台某个栏目的收视率 B. 了解某甲型确诊病人同机乘客的健康状况

C. 了解某班每个学生家庭电脑的数量 D. “神七”载人飞船发射前对零部件的检查

15. 已知下列命题：①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②四条边相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是矩形；④一组对边平行的四边形是平行四边形；其中假命题有（    ）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

16. 如图，将绕点顺时针旋转角，得到，若点恰好在的延长线上，则等于（    ）

A.  B.  C.  D.

17. 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，如果ABC的周长比AOB的周长长10厘米，则矩形边AD的长是

A. 5厘米 B. 10厘米

C. 7.5厘米 D. 不能确定

18. 如图，在菱形ABCD中，∠A＝100°，E，F分别是边AB和BC中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC的度数是

A. 35° B. 45° C. 50° D. 55°

19. 如图，在中，BE平分∠ABC交AD于点E，CF平分∠BCD交AD于点F，若BE＝4，CF＝3，EF＝1，求AB为(   )

A. 3 B. 2.5 C. 3.5 D. 4

三、解答题（本大题共8小题，共75分）

20. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣4，3）、B（﹣3，1）、C（﹣1，3）．

（1）请按下列要求画图：

①将△ABC先向右平移4个单位长度、再向上平移2个单位长度，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；

②△A2B2C2与△ABC关于原点O成中心对称，画出△A2B2C2．

（2）在（1）中所得的△A1B1C1和△A2B2C2关于点M成中心对称，请直接写出对称中心M点的坐标．

21. 某校学生会为了解该校2860名学生喜欢球类活动情况，采取抽样调查的办法，从足球、乒乓球、篮球、排球等四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制成右边的两幅不完整的统计图（如图（1），图（2），要求每位同学只能选择一种自己喜欢的球类；图中用乒乓球、足球、排球、篮球代表喜欢这四种球类中的某一种球类的学生人数），请你根据图中提供的信息，解答下列问题：

（1）在这次研究中，一共调查了      名学生．

（2）喜欢排球的人数在扇形统计图中所占的圆心角是      度．

（3）补全频数分布折线统计图．

（4）估计该校喜欢排球的学生有多少人？

22. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F为对角线AC上两点，满足AE＝CF，且BE∥DF．

（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；

（2）若AB＝AC＝BE，∠ABE＝20°，求∠BAD的度数．

23. 如图，在四边形ABCD中，ADBC，AB= AD，∠BAD的平分线交BC于点E，连接DE．

（1）求证：四边形ABED是菱形．

（2）连接BD．若CE=2BE，AE=4，BD=6，则△CDE的面积是        ．

24. 如图,菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O,分别过点C. D作CE∥BD,DE∥AC，CE和DE交于点E.

（1）求证：四边形ODEC是矩形；

（2）当∠ADB=60°,AD=2时，求EA的长．

25. 如图，在中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过A点作交CB的延长线于点G．

（1）求证：；

（2）当满足什么条件时，四边形DEBF是菱形（不需要证明）

（3）请利用备用图分析，在（2）的条件下，若，，点M为BF的中点，当点P在BD边上运动时，求的最小值．

26. 如图1，在菱形中，，，的顶点与点A重合，两边分别与，重合．

（1）求的度数；

（2）如图2，将绕点A按逆时针方向旋转，两边分别与菱形的两边，相交于点E，F．

①试探究，的数量关系，并证明你的结论；

②连结，在旋转过程中，的周长是否发生改变？如果没有变化，请说明理由；如果有变化，请求出周长的最小值．

27. 将一矩形纸片OABC放在直角坐标系中，O为原点，C在x轴上，，．

（1）如图（1），在上取一点，将沿折叠，使点落在AB边上D点，求E点的坐标；

（2）如图（2），在OA、OC边上选取适当的点、F，将沿折叠，使点落在AB边上点，过作交于T点，交于G点，求证：；

（3）在（2）的条件下，若，使求出的值；

（4）在（2）的条件下，设，探求y与x之间的函数关系式，并指出变量x的取值范围．

答案与解析

一、填空题（本题共12小题，每空2分，共24分）

1. 如图，在△ABC中，∠CAB=70º，在同一平面内，将△ABC绕点逆时针旋转50º到△的位置，则∠= _________度.

【答案】200

【解析】

【分析】根据旋转的性质找到对应点、对应角进行解答．

【详解】∵△ABC绕点A逆时针旋转50°得到△AB′C′，

∴∠BAB′=50°，

又∵∠BAC=70°，

∴∠CAB′=∠BAC-∠BAB′=20°．

故答案是：20．

【点睛】本题考查旋转性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．要注意旋转的三要素：①定点--旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．

2. 平行四边形中，，则______度．

【答案】130

【解析】

【分析】根据平行四边形的性质可得，又有，可求又因为平行四边形的邻角互补，所以，，可求．

【详解】解：四边形为平行四边形，

，

又∵，

，

又，

．

故答案为：130

【点睛】此题主要考查：平行四边形的两组对角分别相等，平行四边形的邻角互补，掌握平行四边形的性质是解题的关键．

3. 矩形的两条对角线的夹角为60°，一条对角线与较短边的和为3，则较长边的长为____________．

【答案】

【解析】

【分析】根据四边形ABCD是矩形，得到OA=OC，OB=OD，AC=BD，推出OA=OB，根据等边三角形的判定得出△OAB是等边三角形，即可求出AB和对角线长，利用勾股定理即可求出长边的长．

【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，

∴OA=OC，OB=OD，AC=BD，

∴OA=OB，

∵∠AOB=60°，

∴△OAB是等边三角形，

∴AB=OB=OA=×3=1，

AC=BD=2．

∴BC=，

∴矩形长边的长等于，

故答案为：．

【点睛】本题主要考查对矩形的性质，等边三角形的性质和判定以及勾股定理等知识点的理解和掌握，能根据性质得到等边三角形OAB是解此题的关键，题型较好，难度适中．

4. 如图，平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，若AD=6，AC+BD=16，则△BOC的周长为_____．

【答案】14

【解析】

【分析】根据平行四边形的性质，三角形周长的定义即可解决问题．

【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC=6，OA=OC，OB=OD，

∵AC+BD=16，

∴OB+OC=8，

∴△BOC的周长=BC+OB+OC=6+8=14，

故答案为14．

【点睛】本题考查平行四边形的性质．三角形的周长等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

5. 为了考察闵行区1万名九年级学生数学知识与能力测试的成绩，从中抽取50本试卷，每本试卷30份，那么样本容量是______．

【答案】1500

【解析】

【分析】根据抽取的试卷的本数×每本试卷的份数即可得出答案．

【详解】 ，

∴样本容量是1500，

故答案为：1500．

【点睛】本题主要考查样本容量，掌握样本容量的概念是解题的关键．

6. 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作交AD于点E，若，，则DE的长为______．

【答案】3

【解析】

【分析】连接，由矩形的性质可得，，，，由，，可知垂直平分，则可得；设，则，在中，由勾股定理得关于的方程，求解即可．

【详解】解：连接，如图：

在矩形中，，，

，，，，

，

，

设，则，

在中，由勾股定理得：，

，

解得．

的长为3．

故答案为：3．

【点睛】本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质及勾股定理等知识点，数形结合、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．

7. 如图，在中，，，点在边上，以、为边作平行四边形，则的度数为____________．

【答案】70°

【解析】

【分析】根据等腰三角形的性质可求∠C，再根据平行四边形的性质可求∠E．

【详解】解：∵在△ABC中，∠A=40°，AB=AC，
∴∠C=（180°-40°）÷2=70°，
∵四边形BCDE是平行四边形，
∴∠E=70°．
故答案为：70°．

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是求出∠C的度数．

8. 如图，菱形ABCD的边AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点F，连接DF．当时，则_____________．

【答案】30°##30度

【解析】

【分析】连接BF，利用SAS判定△BCF≌△DCF，从而得到∠CBF=∠CDF，根据已知可得出∠CBF的度数，从而得∠CDF的度数．

【详解】解：如图，连接BF，

∵四边形ABCD是菱形，

∴CD=BC，∠DCF=∠BCF，

在△BCF和△DCF中，

，

∴△BCF≌△DCF（SAS），

∴∠CBF=∠CDF，

∵FE垂直平分AB，∠BAF=×100°=50°，

∴∠ABF=∠BAF=50°，

∵∠ABC=180°－100°=80°，∠CBF=80°－50°=30°，

∴∠CDF=30°．

故答案为：30°．

【点睛】本题考查全等三角形判定，菱形的性质，垂直平分线的性质，利用SAS判定△BCF≌△DCF是关键．

9. 已知菱形ABCD的对角线交于点O，，，则菱形的高为_____________．

【答案】cm

【解析】

【分析】根据菱形的性质求出OA、OB，再根据勾股定理求出AB，然后利用菱形的面积列式计算即可得解．

【详解】解：如图，DH为菱形ABCD的高，

在菱形ABCD中，AC=24cm，BD=10cm，

∴OA=AC=12cm，OB=BD=5cm，AC⊥BD，

在Rt△AOB中，AB==13cm，

∵DH⊥AB，

∴菱形ABCD的面积=AC•BD=AB•DH，

即×24×10=13•DH，

解得：DH=cm，

故答案为：cm．

【点睛】本题考查了菱形的对角线互相垂直平分的性质，勾股定理，根据菱形的面积的两种表示方法列出方程是解题的关键．

10. 如图，直线AB的解析式为y=x+4，与y轴交于点A，与x轴交于点B，点P为线段AB上的一个动点，作PE⊥y轴于点E，PF⊥x轴于点F，连接EF，则线段EF的最小值为_____．

【答案】

【解析】

【分析】在一次函数y=x+4中，分别令x=0， y=0，解相应方程，可求得A、B两点的坐标，由矩形的性质可知EF=OP，可知当OP最小时，则EF有最小值，由垂线段最短可知当OP⊥AB时，满足条件，根据直角三角形面积的不同表示方法可求得OP的长，即可求得EF的最小值．

【详解】解：∵一次函数y=x+4中，令x=0，则y=4，令y=0，则x=-3，

∴A（0，4），B（-3，0），

∵PE⊥y轴于点E，PF⊥x轴于点F，

∴四边形PEOF是矩形，且EF=OP，

∵O为定点，P在线段上AB运动，

∴当OP⊥AB时，OP取得最小值，此时EF最小，

∵A（0，4），点B坐标为（-3，0），

∴OA=4，O B=3，

由勾股定理得：AB==5，

∵AB·OP=AO·BO=2S△OAB，

∴OP=，

故答案为：．

【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特点，勾股定理、矩形的判定与性质、最值问题等，熟练掌握相关知识、确定出OP的最小值是解题的关键．

11. 在四边形ABCD中，，M是BC上一点，且，点E从A出发以1cm/s的速度向D运动，点F从点B出发以2cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，当t的值为______________时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．

【答案】s或4s

【解析】

【分析】分点F在线段BM上，F在线段CM上，两种情形列出方程即可．

【详解】解：①当点F在线段BM上，即0≤t＜2，AE=FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，

则有t=4-2t，

解得：t=；

②当F在线段CM上，即2≤t≤5，AE=FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，

则有t=2t-4，

解得：t=4，

综上所述，t=s或4s时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，

故答案为：s或4s．

【点睛】本题考查了平行四边形的判定等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．

12. 如图，在中，，BD为AC边上的中线，过点C作于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取，连接BG、DF．若，，则CF的长为______________．

【答案】

【解析】

【分析】首先可判断四边形BGFD是平行四边形，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得BD=FD，则可判断四边形BGFD是菱形，则GF=5，则AF=8，AC=10，在Rt△ACF中利用勾股定理可求出CF的值．

【详解】解：∵AG∥BD，BD=FG，

∴四边形BGFD是平行四边形，

∵CF⊥BD，

∴CF⊥AG，

又∵BD为AC边上的中线，∠ABC=90°，

∴BD=DF=AC，

∴四边形BGFD是菱形，

∴BD=DF=GF=BG=4，则AF=AG-GF=10-4=6，AC=2BD=8，

∵在Rt△ACF中，∠CFA=90°，

∴AF2+CF2=AC2，即62+CF2=82，

解得：CF=，

故答案为：．

【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、勾股定理及直角三角形的斜边中线的性质，解答本题的关键是判断出四边形BGFD是菱形．

二、单项选择题（本题共7小题，每小题只有1个选项符合题意。每小题3分，共21分）

13. 下列几何图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用轴对称图形和中心对称图形的特征进行判定．

【详解】解：A、即不是轴对称图形也不是中心对称图形，错误；

B、是轴对称图形但不是中心对称图形，错误；

C、是中心对称图形但不是轴对称图形，错误；

D、即是轴对称图形也是中心对称图形，正确；

故选择D．

【点睛】本题考查轴对称图形和中心对称图形的判定，掌握其定义是解决问题的关键．

14. 下列调查适合作抽样调查的是（    ）

A. 了解镇江电视台某个栏目的收视率 B. 了解某甲型确诊病人同机乘客的健康状况

C. 了解某班每个学生家庭电脑的数量 D. “神七”载人飞船发射前对零部件的检查

【答案】A

【解析】

【分析】普查结果准确，所以在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式，当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查．

【详解】解：A、了解义乌电视台“同年哥讲新闻”栏目的收视率，结果要求不是很高，就适合用抽样调查；

B、了解某甲型H1N1确诊病人同机乘客的健康状况，精确度要求高、事关重大，必须选用普查；

C、了解某班每个学生家庭电脑的数量，要求精确、难度相对不大、实验无破坏性，应选择普查方式；

D、“神七”载人飞船发射前对重要零部件的检查，精确度要求高、事关重大，往往也选用普查．

故选：A．

【点睛】本题考查了调查方式的选择，在抽取样本的过程中，既要使总体中的每个样本都有相等的机会被抽取到，又要注意样本的容量要适当；抽样调查是重要的收集数据的手段，具有花费少，省时的特点，还适应一些不宜使用全面调查的情况．

15. 已知下列命题：①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②四条边相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是矩形；④一组对边平行的四边形是平行四边形；其中假命题有（    ）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

【答案】B

【解析】

【分析】利用平行四边形及特殊的平行四边形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．

【详解】解：①对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，是真命题，不符合题意；

②四条边相等的四边形是菱形，正确，是真命题，不符合题意；

③对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，符合题意；

④两组对边平行的四边形是平行四边形，故原命题错误，是假命题，符合题意；

∴假命题有2个，

故选：B．

【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形及特殊的平行四边形的判定方法，难度不大．

16. 如图，将绕点顺时针旋转角，得到，若点恰好在的延长线上，则等于（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据旋转的性质和四边形的内角和是360º即可求解．

【详解】由旋转性质得：∠BAD=，∠ABC=∠ADE，

∵∠ABC+∠ABE=180º，

∴∠ADE+∠ABE=180º，

∵∠ABE+∠BED+∠ADE+∠BAD=360º，∠BAD=

∴∠BED=180º-，

故选：D．

【点睛】本题考查了旋转的性质、四边形的内角和是360º，熟练掌握旋转的性质是解答的关键．

17. 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，如果ABC的周长比AOB的周长长10厘米，则矩形边AD的长是

A. 5厘米 B. 10厘米

C. 7.5厘米 D. 不能确定

【答案】B

【解析】

【分析】由矩形的性质可知对角线互相平分且相等，所以△ABC的周长比△AOB的周长长10厘米，即为BC的长，又因为AD=BC，问题得解．

【详解】∵四边形ABCD是矩形，

∴AO=CO=DO=BO，AD=BC，

∵△ABC的周长=AB+AC+BC=AB+AO+OC+BC，△AOB的周长=AB+AO+BO，

又∵△ABC的周长比△AOB的周长长10厘米，

∴AB+AC+BC=AB+AO+OC+BC-（AB+AO+BO）=BC=10厘米，

∵AD=BC，

∴AD的长是10厘米，

故选B．

【点睛】本题考查了矩形的性质：①平行四边形的性质矩形都具有； ②对角线：矩形的对角线相等且互相平分，题目的难度不大，是中考常见题型．

18. 如图，在菱形ABCD中，∠A＝100°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC的度数是

A. 35° B. 45° C. 50° D. 55°

【答案】C

【解析】

【分析】延长EF交DC的延长线于H点．证明△BEF≌△CHF，得EF=FH．在Rt△PEH中，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得∠FPC=∠FHP=∠BEF．在等腰△BEF中易求∠BEF的度数．

【详解】解：延长EF交DC的延长线于H点．

∵在菱形ABCD中，∠A=100°，E，F分别是边AB和BC的中点，
∴∠B=80°，BE=BF．
∴∠BEF=（180°-80°）÷2=50°．
∵AB∥DC，

∴∠FHC=∠BEF=50°．
又∵BF=FC，∠B=∠FCH，
∴△BEF≌△CHF．
∴EF=FH．
∵EP⊥DC，
∴∠EPH=90°．
∴FP=FH，则∠FPC=∠FHP=∠BEF=50°．
故选C．

【点睛】此题考查了菱形的性质、全等三角形的判定方法、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点，综合性较强．如何作出辅助线是难点．

19. 如图，在中，BE平分∠ABC交AD于点E，CF平分∠BCD交AD于点F，若BE＝4，CF＝3，EF＝1，求AB为(   )

A. 3 B. 2.5 C. 3.5 D. 4

【答案】B

【解析】

【分析】根据已知条件证明AE=AB，DC=DF，过点E作EG//FC交BC延长线于点G，证明BE⊥EG，再利用勾股定理可得BG的长，进而可得AB的长．

【详解】解：如图，过点E作EG//FC交BC延长线于点G，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD//BC，

∴∠AEB=∠EBC，

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠EBC，

∴∠ABE=∠AEB，

∴AE=AB，

同理可证：DC=DF，

∵AB//DC，

∴∠ABC+∠DCB=180°，

∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，

∴∠EBC+∠FCB=×180°=90°，

∴BE⊥CF，

∵EG//FC，

∴BE⊥EG，

∵EF//CG，

∴四边形EFCG是平行四边形，

∴EG=FC，

在△BEG中，BE=4，EG=CF=3，根据勾股定理，得

BG= ＝5，

∵AB=AE=CD=DF，EF=CG=1，AD=BC，

∴BG=BC+CG=AE+DE+CG=AE+DF =2AB，

∴5=2AB，

∴AB=2.5．

故选：B．

【点睛】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线证明BE⊥EG．

三、解答题（本大题共8小题，共75分）

20. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣4，3）、B（﹣3，1）、C（﹣1，3）．

（1）请按下列要求画图：

①将△ABC先向右平移4个单位长度、再向上平移2个单位长度，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；

②△A2B2C2与△ABC关于原点O成中心对称，画出△A2B2C2．

（2）在（1）中所得的△A1B1C1和△A2B2C2关于点M成中心对称，请直接写出对称中心M点的坐标．

【答案】（1）①②作图见解析部分；（2）作图见解析部分，．

【解析】

【分析】（1）①利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；

②利用中心对称的性质分别作出，，的对应点，，即可；

（3）对应点连线的交点即为所求．

【详解】解：（1）①如图，△即为所求；

②如图，△即为所求；

（2）如图，点即为所求，，

故答案为：．

【点睛】本题考查作图旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，平移变换的性质，属于中考常考题型．

21. 某校学生会为了解该校2860名学生喜欢球类活动的情况，采取抽样调查的办法，从足球、乒乓球、篮球、排球等四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制成右边的两幅不完整的统计图（如图（1），图（2），要求每位同学只能选择一种自己喜欢的球类；图中用乒乓球、足球、排球、篮球代表喜欢这四种球类中的某一种球类的学生人数），请你根据图中提供的信息，解答下列问题：

（1）在这次研究中，一共调查了      名学生．

（2）喜欢排球的人数在扇形统计图中所占的圆心角是      度．

（3）补全频数分布折线统计图．

（4）估计该校喜欢排球的学生有多少人？

【答案】（1）100；（2）36；（3）见解析；（4）286

【解析】

【分析】（1）用乒乓球的人数除以其百分比即可得到调查的学生数；

（2）先计算出喜欢篮球的人数，得到喜欢排球的人数，根据公式计算喜欢排球的人数在扇形统计图中所占的圆心角度数；

（3）根据（2）的数据补全统计图；

（4）用学校的总人数乘以喜欢排球的比例即可得到答案．

【详解】解：调查的学生有（名），

故答案为：100；

（2）喜欢篮球的人数有（名），

喜欢排球的人数是100-30-20-40=10（名），

∴喜欢排球的人数在扇形统计图中所占的圆心角是，

故答案为：36；

（3）如图：

（4）该校喜欢排球的学生有（人）．

【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

22. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F为对角线AC上两点，满足AE＝CF，且BE∥DF．

（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；

（2）若AB＝AC＝BE，∠ABE＝20°，求∠BAD的度数．

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

【分析】（1）根据已知条件证明，进而根据一组对边平行且相等四边形是平行四边形即可得证；

（2）根据已知条件以及等腰三角形的性质，三角形内角和定理求得，，进而求得．

【详解】（1）AB∥CD，

，

BE∥DF，

，

又AE＝CF，

，

，

AB∥CD，

四边形是平行四边形．

（2），

，

，

，

四边形是平行四边形，

，

，

．

【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，三角形全等的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，证明四边形是平行四边形是解题的关键．

23. 如图，在四边形ABCD中，ADBC，AB= AD，∠BAD的平分线交BC于点E，连接DE．

（1）求证：四边形ABED是菱形．

（2）连接BD．若CE=2BE，AE=4，BD=6，则△CDE面积是        ．

【答案】（1）见解析；（2）12

【解析】

【分析】（1）先根据已知条件证明四边形ABED是平行四边形，再由AB= AD，即可得证；

（2）根据勾股定理先求得菱形的边长，在用等面积法求得的高，从而求得△CDE的面积

【详解】（1）∵AD∥BC

∴∠DAE=∠AEB

∵AE平分∠BAD

∴∠BAE=∠DAE

∴∠BAE=∠AEB

∴AB=BE

∵AB= AD

∴AD=BE

∵AD∥BC

即AD∥BE

∴四边形ABED是平行四边形

∵AB= AD

∴ABED是菱形

（2）如图，连接,,BD交于点，过点作于

四边形是菱形

,

CE=2BE，AE=4，BD=6，

菱形

12

故答案为：12

【点睛】本题考查了平行四边形的判定，菱形的性质与判定，勾股定理 ，求得的长是解题的关键．

24. 如图,菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O,分别过点C. D作CE∥BD,DE∥AC，CE和DE交于点E.

（1）求证：四边形ODEC是矩形；

（2）当∠ADB=60°,AD=2时，求EA的长．

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

【分析】（1）先证四边形ODEC是平行四边形，然后根据菱形的对角线互相垂直，得到∠DOC=90°，根据矩形的定义即可判定四边形ODEC是矩形．

（2）根据含30度角直角三角形的性质、勾股定理来求EA的长度即可．

【详解】（1）∵CE∥BD　　DE∥AC

∴四边形ODEC是平行四边形

又∵菱形ABCD

∴AC⊥BD

∴∠DOC=90°

∴四边形ODEC是矩形

（2）∵Rt△AOD中,∠ADO=60°

∴∠OAD=30°

∴OD=AD=

∴AO==3

∴AC=6

∵四边形ODEC是矩形

∴EC=OD=　　∠ACE=90°

∴AE==

【点睛】本题考查了平行四边形的判定、菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等，熟练掌握和灵活运用相关的性质定理与判定定理是解题的关键．

25. 如图，在中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过A点作交CB的延长线于点G．

（1）求证：；

（2）当满足什么条件时，四边形DEBF是菱形（不需要证明）

（3）请利用备用图分析，在（2）的条件下，若，，点M为BF的中点，当点P在BD边上运动时，求的最小值．

【答案】（1）见解析    （2）当∠ADB=90°时，四边形DEBF是菱形，证明见解析   

（3）

【解析】

【分析】（1）根据平行四边形的性质得到DF=BE，AB∥CD，根据平行四边形的判定定理证明四边形DEBF是平行四边形，根据平行四边形的性质证明结论；

（2）根据矩形的判定定理得到四边形AGBD是矩形，根据直角三角形的性质得到ED=EB，证明结论；

（3）连接EM交BD于P，根据轴对称的性质证明此时PF+PM的值最小，根据等边三角形的性质计算即可．

【小问1详解】

解：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，AB∥CD，

∵E、F分别为边AB、CD的中点，

∴DF=BE，又AB∥CD，

∴四边形DEBF是平行四边形，

∴DE∥BF；

【小问2详解】

当∠ADB=90°时，四边形DEBF是菱形．

理由：∵∠ADB=90°，又E为边AB的中点，

∴ED=EB，又四边形DEBF是平行四边形，

∴四边形DEBF是菱形；

【小问3详解】

连接EF，连接EM交BD于P，

∵四边形DEBF是菱形，

∴点E和点F关于BD轴对称，此时PF+PM的值最小，

∵四边形DEBF是菱形，∠DEB=120°，

∴∠EBF=60°，

∴△BEF是等边三角形，又BE=2，

∴EM=，即PF+PM的最小值为．

【点睛】本题属于四边形综合题，考查的是平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质，轴对称变换的性质以及等边三角形的性质的综合运用，掌握相关的判定定理和性质定理、正确作出辅助性是解题的关键．

26. 如图1，在菱形中，，，的顶点与点A重合，两边分别与，重合．

（1）求的度数；

（2）如图2，将绕点A按逆时针方向旋转，两边分别与菱形的两边，相交于点E，F．

①试探究，的数量关系，并证明你的结论；

②连结，在旋转过程中，的周长是否发生改变？如果没有变化，请说明理由；如果有变化，请求出周长的最小值．

【答案】（1）60°；（2）①CE＋CF=2，理由见详解；②的周长会发生改变，周长最小值=2+．

【解析】

【分析】（1）根据菱形的性质，可得∠BAD=120°，∠ABC=60°，进而即可求解；

（2）①先证明△ABC、△ACD都是等边三角形，再证明△BAE≌△CAF，可得BE＝CF，进而即可得到结论；②连接EF，可得是等边三角形，从而得周长=2+AE，即当AE最小时，周长最小，进而即可得到答案．

【详解】解：（1）在菱形中，，

∴∠BAD=120°，∠ABC=60°，

∴∠BAC=∠BAD=60°，即：=60°；

（2）①∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝BC＝CD＝DA．

∵∠B＝60°，

∴∠D＝60°，

∴△ABC、△ACD都是等边三角形，

∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACD＝∠B＝60°．

∵∠EAF＝=60°，

∴∠BAC＝∠EAF＝60°，

∴∠BAC−∠EAC＝∠EAF−∠EAC，即∠BAE＝∠CAF，

在△BAE和△CAF中，

，

∴△BAE≌△CAF（ASA），

∴BE＝CF，

∴CE＋CF＝CE＋BE= BC=AB=2；

②连接EF，

∵△BAE≌△CAF，

∴AE=AF，

∵∠EAF=60°，

∴是等边三角形，

∴EF=AE，

∵周长=CE+CF+EF=2+EF=2+AE，

∴的周长会发生改变，当AE最小时，周长最小，

∵AE⊥BC时，AE最小=BE= ×AB=××2=，

∴周长最小值=2+．

【点睛】此题是四边形综合题，考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．正确作出辅助线，构造等边三角形是解题的关键．

27. 将一矩形纸片OABC放在直角坐标系中，O为原点，C在x轴上，，．

（1）如图（1），在上取一点，将沿折叠，使点落在AB边上的D点，求E点的坐标；

（2）如图（2），在OA、OC边上选取适当的点、F，将沿折叠，使点落在AB边上点，过作交于T点，交于G点，求证：；

（3）在（2）的条件下，若，使求出的值；

（4）在（2）的条件下，设，探求y与x之间的函数关系式，并指出变量x的取值范围．

【答案】（1）   

（2）见解析    （3）   

（4），2≤x≤6

【解析】

【分析】（1）先根据折叠的性质得出DC=OC=10，利用勾股定理求出BD=8，在Rt△AED中，由勾股定理列出方程，求出OE的长，进而求出点E的坐标；

（2）先由折叠的性质得出∠D′E′F=∠OE′F，由平行线的性质得出∠OE′F=∠D′TE′，可推出∠D′E′F=∠D′TE′，根据等角对等边得到D′T=D′E′=OE′，即可证明；

（3）根据勾股定理得出AD′2+AE′2=D′E′2，解之即可；

（4）由T（x，y），表示出相应线段，利用勾股定理得出AD′2+AE′2=D′E′2，整理可得y与x的函数关系式，当E′F恰好平分∠OAB时，AD′最大即x最大，再结合（1）中的最小情况，可得x的范围．

【小问1详解】

解：如图（1），∵将△EOC沿EC折叠，使O点落在AB边上的D点，

∴DC=OC=10．

在Rt△BCD中，∵∠B=90°，BC=OA=6，DC=10，

∴BD==8，

在Rt△AED中，∵∠DAE=90°，AD=2，DE=OE，AE=6-OE，

∴DE2=AD2+AE2，即OE2=22+（6-OE）2，

解得 OE=，

∴E点的坐标为（0，）；

【小问2详解】

证明：如图（2），∵将△E′OF沿E′F折叠，使O点落在AB边上D′点，

∴∠D′E′F=∠OE′F，D′E′=OE′，

∵D′G∥AO，

∴∠OE′F=∠D′TE′，

∴∠D′E′F=∠D′TE′，

∴D′T=D′E′=OE′，

∴TG=AE′；

【小问3详解】

∵T（3，m），

∴AD'=3，D'T=D'E'=OE'=6-m，

∴AE'=m，

在Rt△AD'E'中，D'E'2=AD'2+AE'2，

∴m2+9=（6-m）2，

∴m=；

【小问4详解】

∵T（x，y），

∴AD′=x，TG=AE′=y，D′T=D′E′=OE′=6-y．

在Rt△AD′E′中，∵∠D′AE′=90°，

∴AD′2+AE′2=D′E′2，即x2+y2=（6-y）2，

整理，得，

结合（1）可得AD′=OG=2时，x最小，从而x≥2，

当E′F恰好平分∠OAB时，AD′最大即x最大，

此时G点与F点重合，四边形AOFD′为正方形，即x最大为6，从而x≤6，

故自变量x的取值范围是2≤x≤6．

【点睛】本题是四边形综合题，考查了图形的翻折变换，矩形的性质，勾股定理，平行线的性质，等腰三角形的判定，函数解析式的求法等知识，综合性较强，主要运用数形结合的思想方法．