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2021-2022学年江苏省镇江市九年级（上）期中数学试卷 解析版
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这是一份2021-2022学年江苏省镇江市九年级（上）期中数学试卷 解析版，共30页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年江苏省镇江市九年级（上）期中数学试卷
一、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分）
1．（2分）若x（x﹣2）＝0，则x＝ ．
2．（2分）已知线段PQ＝2cm，以P为圆心，1.5cm为半径画圆，则点Q与⊙P的位置关系是点Q在 ．（填“圆内”、“圆外”或“圆上”）
3．（2分）已知一元二次方程x2﹣8x﹣c＝0有一个根为2，则c＝ ．
4．（2分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为DC延长线上一点，∠A＝65°，则∠BCE的度数为 °．
5．（2分）关于x的方程（m﹣2）x|m|+x﹣1＝0是一元二次方程，则m的值为 ．
6．（2分）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，⊙O的半径为5，AB＝5，则∠C的度数为 °．
7．（2分）已知圆弧所在圆的半径为12，所对的圆心角为60°，则这条弧的长度为 ．（结果保留π）
8．（2分）某小组同学每人给本组其他人员送一张新年贺卡，若全组共送贺卡20张，设这个小组的同学共有x人，根据题意可列方程： ．
9．（2分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D．若∠A＝30°，则∠D的度数为 °．
10．（2分）一个立体图形的三视图如图所示，根据图中数据求得这个立体图形的侧面积为 ．
11．（2分）按照如图所示方法三次折叠半径为1的圆形纸片，则图3中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
12．（2分）如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点为圆心的同心圆，小圆的半径为1，大圆的弦AB与小圆相切，且AB＝6，双曲线y＝与大圆恰有两个公共点M、N，则k＝ ．
二、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）用配方法解一元二次方程x2+3＝4x，下列配方正确的是（ ）
A．（x+2）2＝2 B．（x﹣2）2＝7 C．（x+2）2＝1 D．（x﹣2）2＝1
14．（3分）若⊙O的半径为4，圆心O到直线l的距离为5，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
15．（3分）如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，则∠ADE的度数为（ ）
A．40° B．36° C．32° D．30°
16．（3分）解方程（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4＝0时，我们可以将x﹣1看成一个整体，设x﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解得y1＝1，y2＝4．当y＝1时，即x﹣1＝1，解得x＝2；当y＝4时，即x﹣1＝4，解得x＝5，所以原方程的解为：x1＝2，x2＝5．则利用这种方法求得方程 （2x+5）2﹣4（2x+5）+3＝0的解为（ ）
A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝﹣2，x2＝3
C．x1＝﹣3，x2＝﹣1 D．x1＝﹣1，x2＝﹣2
17．（3分）如图，点A、B、C是⊙O上的点，且∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∠ACB的平分线交⊙O于D，下列4个判断：①⊙O的半径为5；②CD的长为7；③在BC弦所在直线上存在3个不同的点E，使得△CDE是等腰三角形；④在BC弦所在直线上存在2个不同的点F，使得△CDF是直角三角形；正确判断的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝分别与x轴、y轴相交于点A、B，点E、F分别是正方形OACD的边OD、AC上的动点，且DE＝AF，过原点O作OH⊥EF，垂足为H，连接HA、HB，则△HAB面积的最大值为（ ）
A． B．12 C．6+3 D．
三、解答题（本大题共有8小题，共78分）
19．（20分）解方程：
（1）x2+6x＝0；
（2）（y﹣1）2﹣4＝0；
（3）2x2﹣5x+1＝0；
（4）5x（x﹣3）＝2（x﹣3）．
20．（6分）已知关于x的一元二次方程kx2+kx+＝0有两个相等的实数根，求k的值，并求这个方程的根．
21．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）用直尺和圆规作⊙O，使圆心O在AC上，且⊙O与BC、AB都相切；（要求：不写作法，保留作图痕迹）
（2）若AC＝6，BC＝8，则⊙O的半径长为 ．
22．（7分）如图，AB为⊙O的直径，D、E在⊙O上，C是AB的延长线上一点，且∠CEB＝∠D．
（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠D＝35°，则∠C的度数为 °．
23．（7分）某小区2010年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2012年屋顶绿化面积要达到2880平方米．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是多少？
24．（10分）定义：我们将能完全覆盖某平面图形的圆称为该平面图形的覆盖面．其中，能完全覆盖平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．
例如：
（1）如图1，线段AB的最小覆盖圆就是以线段AB为直径的圆；
（2）如图2，Rt△ABC的最小覆盖圆就是以斜边AB为直径的圆．
【问题1】覆盖锐角三角形
如图3，在正方形网格中建立的平面直角坐标系中，△ABC的顶点A位于坐标原点，顶点B、C的坐标分别为（4，0）、（3，3）．则△ABC的最小覆盖圆的圆心坐标为 ；半径长为 ．
【问题2】覆盖钝角三角形
如图4，钝角△MNP中，MN＝4，∠MPN＝116°，则△MNP的最小覆盖圆的半径为 ．
【问题3】某地有四个村庄A，B，C，D（其位置如图5所示），现拟建一个5G网络信号中转站，为了使这四个村庄的居民都能接收到信号，且使中转站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），经过工程人员测量得到CD＝6km及图中相关各角度等数据，求四边形ABCD区域最小覆盖圆的半径．
25．（10分）数学课上老师提出问题：“在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝10，E是AB的中点，P是BC边上一点，以P为圆心，PE为半径作⊙P，当BP等于多少时，⊙P与矩形ABCD的边相切？”．
小明的思路是：解题应分类讨论，显然⊙P不可能与边AB及BC所在直线相切，只需讨论⊙P与边AD及CD相切两种情形．请你根据小明所画的图形解决下列问题：
（1）如图1，当⊙P与AD相切于点T时，求BP的长；
（2）如图2，当⊙P与CD相切时，
①求BP的长；
②若点Q从点B出发沿射线BC移动，连接AQ，M是AQ的中点，则在点Q的移动过程中，直接写出点M在⊙P内的路径长为 ．
26．（12分）在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，固定△ABC，将△ADE绕点A旋转一周，连接BE、CD相交于H，经过C、E、H三点作⊙O．
（1）如图1，求证：CE是⊙O的直径；
（2）若AB＝3，AD＝2，在△ADE旋转过程中，连接BD．
①点A恰好是△CEH的内心，如图2，求BD的长；
②当∠ABD最大时，直接写出△ACE的面积为 ．
2021-2022学年江苏省镇江市九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分）
1．（2分）若x（x﹣2）＝0，则x＝ 0或2 ．
【分析】由已知方程得到两个关于x的一元一次方程，解之即可．
【解答】解：∵x（x﹣2）＝0，
∴x＝0或x﹣2＝0，
解得x1＝0，x2＝2，
故答案为：0或2．
2．（2分）已知线段PQ＝2cm，以P为圆心，1.5cm为半径画圆，则点Q与⊙P的位置关系是点Q在 圆外 ．（填“圆内”、“圆外”或“圆上”）
【分析】根据点的圆的位置关系的判定方法进行判断．
【解答】解：∵⊙O的半径为1.5cm，PQ＝2cm，
∴2＞1.5，
∴点Q在圆外．
故答案为：圆外．
3．（2分）已知一元二次方程x2﹣8x﹣c＝0有一个根为2，则c＝ ﹣12 ．
【分析】将x＝2代入方程即可求出c的值．
【解答】解：将x＝2代入x2﹣8x﹣c＝0，得22﹣8×2﹣c＝0
解得c＝﹣12
故答案为：﹣12．
4．（2分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为DC延长线上一点，∠A＝65°，则∠BCE的度数为 65 °．
【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠BCD+∠A＝180°，根据邻补角的概念得到∠BCD+∠BCE＝180°，进而得出∠BCE＝∠A，得到答案．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BCD+∠A＝180°，
∵∠BCD+∠BCE＝180°，∠A＝65°，
∴∠BCE＝∠A＝65°，
故答案为：65．
5．（2分）关于x的方程（m﹣2）x|m|+x﹣1＝0是一元二次方程，则m的值为 ﹣2 ．
【分析】先根据一元二次方程的定义列出方程组，再求出m的值即可．
【解答】解：由题意可知：，解得：m＝﹣2．
6．（2分）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，⊙O的半径为5，AB＝5，则∠C的度数为 30 °．
【分析】根据等边三角形的性质求出∠AOB的度数，再根据圆周角定理求出∠C的度数．
【解答】解：∵⊙O的半径为5，AB＝5，
∴△AOB为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴∠C＝∠AOB＝30°，
故答案为：30．
7．（2分）已知圆弧所在圆的半径为12，所对的圆心角为60°，则这条弧的长度为 4π ．（结果保留π）
【分析】利用弧长的计算公式计算即可．
【解答】解：l＝＝4π，
故答案为：4π．
8．（2分）某小组同学每人给本组其他人员送一张新年贺卡，若全组共送贺卡20张，设这个小组的同学共有x人，根据题意可列方程： x（x﹣1）＝20 ．
【分析】设这个小组的同学共有x人，则每人需送出（x﹣1）张新年贺卡，根据全组共送贺卡20张，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设这个小组的同学共有x人，则每人需送出（x﹣1）张新年贺卡，
依题意得：x（x﹣1）＝20．
故答案为：x（x﹣1）＝20．
9．（2分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D．若∠A＝30°，则∠D的度数为 30 °．
【分析】连接OC，根据切线的性质定理得到∠OCD＝90°，根据三角形内角和定理求出∠D．
【解答】解：连接OC，
∵CD为⊙O的切线，
∴∠OCD＝90°，
由圆周角定理得，∠COD＝2∠A＝60°，
∴∠D＝90°﹣60°＝30°，
故答案为：30．
10．（2分）一个立体图形的三视图如图所示，根据图中数据求得这个立体图形的侧面积为 15π ．
【分析】从主视图以及左视图都为一个三角形，俯视图为一个圆形看，可以确定这个几何体为一个圆锥，由三视图可知圆锥的底面半径为3，高为4，故母线长为5，据此可以求得其侧面积．
【解答】解：由三视图可知圆锥的底面半径为3，高为4，所以母线长为5，
所以侧面积为πrl＝3×5π＝15π，
故答案为：15π．
11．（2分）按照如图所示方法三次折叠半径为1的圆形纸片，则图3中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
【分析】根据翻折变换求出OC＝OD＝，BC⊥OD，再解直角三角形得出BC和∠BOC，从而得出∠AOB，然后根据S阴影＝S△BOC+S扇形AOB，由三角形面积公式和扇形的面积公式计算即可．
【解答】解：如图：连接OB，
由题意可得：OD＝OB＝OA＝1，
∴OC＝OD＝，BC⊥OD，
∴BC＝＝，
∵cos∠BOC＝＝＝，
∴∠BOC＝60°，
∴∠AOB＝90°﹣60°＝30°，
∴S阴影＝S△BOC+S扇形AOB＝××+＝．
故答案为：．
12．（2分）如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点为圆心的同心圆，小圆的半径为1，大圆的弦AB与小圆相切，且AB＝6，双曲线y＝与大圆恰有两个公共点M、N，则k＝ ﹣5 ．
【分析】由垂径定理求得BD＝3，然后根据勾股定理求得OB，根据反比例函数和圆的对称性即可得到M、N在直线y＝﹣x，进而即可求得M的坐标，进一步求得k的值．
【解答】解：过O点作OD⊥AB于D，连接OB，
∵AB是大圆O的弦，
∴BD＝AB＝＝3，
∴OB＝＝＝，
由反比例函数与圆的对称性可知，M、N关于原点对称，
∴M、N在直线y＝﹣x上，
∵OM＝OB＝，
∴M（﹣，），
∵双曲线y＝与大圆恰有两个公共点M、N，
∴k＝﹣×＝5，
故答案为：﹣5．
二、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）用配方法解一元二次方程x2+3＝4x，下列配方正确的是（ ）
A．（x+2）2＝2 B．（x﹣2）2＝7 C．（x+2）2＝1 D．（x﹣2）2＝1
【分析】将方程常数项移到右边，未知项移到左边，然后两边都加上4，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．
【解答】解：x2+3＝4x，
整理得：x2﹣4x＝﹣3，
配方得：x2﹣4x+4＝4﹣3，即（x﹣2）2＝1．
故选：D．
14．（3分）若⊙O的半径为4，圆心O到直线l的距离为5，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
【分析】若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．
【解答】解：根据圆心到直线的距离5大于圆的半径4，则直线和圆相离．
故选：C．
15．（3分）如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，则∠ADE的度数为（ ）
A．40° B．36° C．32° D．30°
【分析】首先求得正五边形的中心角，然后利用圆周角定理求得答案即可．
【解答】解：如图：连接AO、EO，
在正五边形ABCDE中，∠AOE＝＝72°，
∴∠ADE＝∠AOE＝×72°＝36°，
故选：B．
16．（3分）解方程（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4＝0时，我们可以将x﹣1看成一个整体，设x﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解得y1＝1，y2＝4．当y＝1时，即x﹣1＝1，解得x＝2；当y＝4时，即x﹣1＝4，解得x＝5，所以原方程的解为：x1＝2，x2＝5．则利用这种方法求得方程 （2x+5）2﹣4（2x+5）+3＝0的解为（ ）
A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝﹣2，x2＝3
C．x1＝﹣3，x2＝﹣1 D．x1＝﹣1，x2＝﹣2
【分析】首先根据题意可以设y＝2x+5，方程可以变为 y2﹣4y+3＝0，然后解关于y的一元二次方程，接着就可以求出x．
【解答】解：（2x+5）2﹣4（2x+5）+3＝0，
设y＝2x+5，
方程可以变为 y2﹣4y+3＝0，
∴y1＝1，y2＝3，
当y＝1时，即2x+5＝1，解得x＝﹣2；
当y＝3时，即2x+5＝3，解得x＝﹣1，
所以原方程的解为：x1＝﹣2，x2＝﹣1．
故选：D．
17．（3分）如图，点A、B、C是⊙O上的点，且∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∠ACB的平分线交⊙O于D，下列4个判断：①⊙O的半径为5；②CD的长为7；③在BC弦所在直线上存在3个不同的点E，使得△CDE是等腰三角形；④在BC弦所在直线上存在2个不同的点F，使得△CDF是直角三角形；正确判断的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】①正确，利用勾股定理求出AB即可；
②正确，如图1中，过点D作DM⊥CA交CA的延长线于点M，DN⊥BC于N．证明四边形CMDN是正方形，求出CM，可得结论；
③错误，利用图象法，判断即可；
④正确，利用图象法判断即可．
【解答】解：如图1中，连接AB.
∵∠ACB＝90°，
∴AB是直径，
∴AB＝＝＝10，
∴⊙O的半径为5．故①正确，
如图1中，连接AD，BD，过点D作DM⊥CA交CA的延长线于点M，DN⊥BC于N．
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴＝，
∴AD＝BD，
∵∠M＝∠DNC＝90°，CD＝CD，
∴△CDM≌△CDN（AAS），
∴CM＝CN．DM＝DN，
∵∠M＝∠DNB＝90°，DA＝DB，
∴Rt△DMA≌Rt△DNB（HL），
∴AM＝BN，
∵∠M＝∠MAN＝∠DNC＝90°，
∴四边形CMDN是矩形，
∵DM＝DN，
∴四边形CMDN是正方形，
∴CD＝CM，
∵AC+CB＝CM﹣AM+CN+BN＝2CM＝14，
∴CM＝7，
∴CD＝7，故②正确，
如图2中，满足条件的点E有4个，故③错误，
如图3中，满足条件的点F有2个，故④正确，
故选：C．
18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝分别与x轴、y轴相交于点A、B，点E、F分别是正方形OACD的边OD、AC上的动点，且DE＝AF，过原点O作OH⊥EF，垂足为H，连接HA、HB，则△HAB面积的最大值为（ ）
A． B．12 C．6+3 D．
【分析】先证明ON＝CN，再证点H在以ON直径的圆上运动，则当点H在QM的延长线上时，点H到AB的距离最大，由相似三角形的性质可求MK，KQ的长，由三角形的面积公式可求解．
【解答】解：如图，连接AD，交EF于N，连接OC，取ON的中点M，连接MH，过点M作MQ⊥AB于Q，交AO于点K，作MP⊥OA与点P，
∵直线y＝分别与x轴、y轴相交于点A、B，
∴点A（4，0），点B（0，﹣3），
∴OB＝3，OA＝4，
∴AB＝＝＝5，
∵四边形ACDO是正方形，
∴OD∥AC，AO＝AC＝OD＝4，OC＝4，∠COA＝45°，
∴∠EDN＝∠NAF，∠DEN＝∠AFN，
又∵DE＝AF，
∴△DEN≌△AFN（ASA），
∴DN＝AN，EN＝NF，
∴点N是AD的中点，即点N是OC的中点，
∴ON＝NC＝2，
∵OH⊥EF，
∴∠OHN＝90°，
∴点H在以ON直径的圆上运动，
∴当点H在QM的延长线上时，点H到AB的距离最大，
∵点M是ON的中点，
∴OM＝MN＝，
∵MP⊥OP，∠COA＝45°，
∴OP＝MP＝1，
∴AP＝3，
∵∠OAB+∠OBA＝90°＝∠OAB+∠AKQ，
∴∠AKQ＝∠ABO＝∠MKP，
又∵∠AOB＝∠MPK＝90°，
∴△MPK∽△AOB，
∴，
∴，
∴MK＝，PK＝，
∴AK＝，
∵∠AKQ＝∠ABO，∠OAB＝∠KAQ，
∴△AKQ∽△ABO，
∴，
∴，
∴KQ＝，
∴QM＝KQ+MK＝+＝，
∴点H到AB的最大距离为+，
∴△HAB面积的最大值＝×5×（+）＝，
故选：D．
三、解答题（本大题共有8小题，共78分）
19．（20分）解方程：
（1）x2+6x＝0；
（2）（y﹣1）2﹣4＝0；
（3）2x2﹣5x+1＝0；
（4）5x（x﹣3）＝2（x﹣3）．
【分析】（1）利用分解因式求解即可；
（2）利用直接开平方法求解即可；
（3）利用公式法求解即可；
（4）利用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1）x2+6x＝0，
x（x+6）＝0，
∴x＝0或x+6＝0，
∴x1＝0，x2＝﹣6．
（2）（y﹣1）2﹣4＝0，
（y﹣1）2＝4，
∴y﹣1＝±2，
∴y1＝3，y2＝﹣1；
（3）2x2﹣5x+1＝0，
∵a＝2，b＝﹣5，c＝1，
∴Δ＝（﹣5）2﹣4×2×1＝17＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝．
（4）5x（x﹣3）＝2（x﹣3），
5x（x﹣3）﹣2（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（5x﹣2）＝0，
∴x﹣3＝0或5x﹣2＝0，
∴x1＝3，x2＝．
20．（6分）已知关于x的一元二次方程kx2+kx+＝0有两个相等的实数根，求k的值，并求这个方程的根．
【分析】若一元二次方程kx2+kx+＝0有两个相等的实数根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac＝0，建立关于k的方程，求出k的取值后，再解关于x的方程即可．
【解答】解：∵一元二次方程kx2+kx+＝0有两个相等的实数根，
∴k≠0且Δ＝k2﹣k＝0，
解得，k＝1，
∴关于x的一元二次方程是x2+x+＝0，
∴x1＝x2＝．
21．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）用直尺和圆规作⊙O，使圆心O在AC上，且⊙O与BC、AB都相切；（要求：不写作法，保留作图痕迹）
（2）若AC＝6，BC＝8，则⊙O的半径长为 ．
【分析】（1）作∠ABC的平分线，交AC于点O，再以点O为圆心、OC为半径作圆；
（2）记⊙O与AB的切点为D，连接OD，则OC＝OD，BC＝BD＝8，设OC＝OD＝r，则AO＝6﹣r，在Rt△AOD中，由AO2＝AD2+OD2列出关于r的方程求解即可．
【解答】解：（1）如图所示，⊙O即为所求．
（2）记⊙O与AB的切点为D，
连接OD，则OC＝OD，BC＝BD＝8，
设OC＝OD＝r，
则AO＝6﹣r，
∵AC＝6，BC＝8，
∴AB＝10，
∴AD＝2，
在Rt△AOD中，由AO2＝AD2+OD2得（6﹣r）2＝22+r2，
解得r＝，即⊙O的半径为，
故答案为：．
22．（7分）如图，AB为⊙O的直径，D、E在⊙O上，C是AB的延长线上一点，且∠CEB＝∠D．
（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠D＝35°，则∠C的度数为 20 °．
【分析】（1）连接OE，由圆周角定理证得∠EAB+∠EBA＝90°，由已知和等腰三角形的性质证得∠EAB＝∠CEB，∠OEB＝∠OBE，进而证得∠OEC＝90°，根据切线的判定定理即可证得CE与⊙O相切；
（2）先求出∠CEB＝∠EAB＝35°，进而求出∠EBA＝55°，再根据三角形外角的性质即可求出∠C．
【解答】（1）证明：连接OE，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠EAB+∠EBA＝90°，
∵∠EAB＝∠D，∠CEB＝∠D，
∴∠EAB＝∠CEB，
∵OE＝OB，
∴∠OEB＝∠OBE，
∴∠OEC＝∠OEB+∠CEB＝∠EAB+∠EBA＝90°，
∵OE是⊙O的半径，
∴CE与⊙O相切；
（2）解：由（1）知∠EAB+∠EBA＝90°，
∵∠EAB＝∠D＝35°，
∴∠EBA＝90°﹣35°＝55°，∠CEB＝∠D＝35°，
∵∠EBA＝∠CEB+∠C，
∴∠C＝∠EBA﹣∠CEB＝55°﹣35°＝20°，
故答案为：20．
23．（7分）某小区2010年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2012年屋顶绿化面积要达到2880平方米．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是多少？
【分析】设出这个增长率是x，根据已知条件找出等量关系列出方程，求出x的值，即可得出答案．
【解答】解：设这个增长率是x，根据题意得：
2000（1+x）2＝2880，
解得：x1＝20%，x2＝﹣220%（舍去）
答：这个增长率是20%．
24．（10分）定义：我们将能完全覆盖某平面图形的圆称为该平面图形的覆盖面．其中，能完全覆盖平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．
例如：
（1）如图1，线段AB的最小覆盖圆就是以线段AB为直径的圆；
（2）如图2，Rt△ABC的最小覆盖圆就是以斜边AB为直径的圆．
【问题1】覆盖锐角三角形
如图3，在正方形网格中建立的平面直角坐标系中，△ABC的顶点A位于坐标原点，顶点B、C的坐标分别为（4，0）、（3，3）．则△ABC的最小覆盖圆的圆心坐标为 （2，1） ；半径长为 ．
【问题2】覆盖钝角三角形
如图4，钝角△MNP中，MN＝4，∠MPN＝116°，则△MNP的最小覆盖圆的半径为 2 ．
【问题3】某地有四个村庄A，B，C，D（其位置如图5所示），现拟建一个5G网络信号中转站，为了使这四个村庄的居民都能接收到信号，且使中转站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），经过工程人员测量得到CD＝6km及图中相关各角度等数据，求四边形ABCD区域最小覆盖圆的半径．
【分析】【问题1】网格中找出AB和AC垂直平分线交点，再根据勾股定理求得半径；
【问题2】MN的中点是覆盖圆圆心，是半径；
【问题3】△ACD的外接圆就是四边形ABCD的最小覆盖圆．
【解答】【问题1】解：如图1，
AB和AC垂直平分线的交点在I（2，1），
OI＝＝，
故答案是（2，1），；
【问题2】解：如图2，
将M、N两点覆盖，到M、N最小距离是点O的位置，
即OM＝ON＝2，此时⊙O可以覆盖点P，
∴△MNP的最小覆盖圆的半径是2；
【问题3】解：如图3，
∵△ADC的最小覆盖圆可以将四边形ABCD覆盖，
∴四边形ABCD的最小覆盖圆是△ACD的外接圆，
作直径DE，连接CE，
∵＝，
∴∠E＝∠DAC＝60°，
∴CE＝＝＝＝4；
∴OD＝2，
即四边形ABCD的最小覆盖圆半径是2．
25．（10分）数学课上老师提出问题：“在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝10，E是AB的中点，P是BC边上一点，以P为圆心，PE为半径作⊙P，当BP等于多少时，⊙P与矩形ABCD的边相切？”．
小明的思路是：解题应分类讨论，显然⊙P不可能与边AB及BC所在直线相切，只需讨论⊙P与边AD及CD相切两种情形．请你根据小明所画的图形解决下列问题：
（1）如图1，当⊙P与AD相切于点T时，求BP的长；
（2）如图2，当⊙P与CD相切时，
①求BP的长；
②若点Q从点B出发沿射线BC移动，连接AQ，M是AQ的中点，则在点Q的移动过程中，直接写出点M在⊙P内的路径长为 9.6 ．
【分析】（1）连接PT，由⊙P与AD相切于点T，可得四边形ABPT是矩形，即得PT＝AB＝4＝PE，在Rt△BPE中，用勾股定理即得BP＝2；
（2）①由⊙P与CD相切，有PC＝PE，设BP＝x，则PC＝PE＝10﹣x，在Rt△BPE中，由勾股定理得x2+22＝（10﹣x）2，即可解得BP＝4.8；
②点M在⊙P内的路径为EM，过P作PN⊥EM于N，由EM是△ABQ的中位线，可得四边形BPNE是矩形，即知EN＝BP＝4.8，故EM＝2EN＝9.6．
【解答】解：（1）连接PT，如图：
∵⊙P与AD相切于点T，
∴∠ATP＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴四边形ABPT是矩形，
∴PT＝AB＝4＝PE，
∵E是AB的中点，
∴BE＝AB＝2，
在Rt△BPE中，BP＝＝＝2；
（2）①∵⊙P与CD相切，
∴PC＝PE，
设BP＝x，则PC＝PE＝10﹣x，
在Rt△BPE中，BP2+BE2＝PE2，
∴x2+22＝（10﹣x）2，
解得x＝4.8，
∴BP＝4.8；
②点Q从点B出发沿射线BC移动，M是AQ的中点，点M在⊙P内的路径为EM，过P作PN⊥EM于N，如图：
由题可知，EM是△ABQ的中位线，
∴EM∥BQ，
∴∠BEM＝90°＝∠B，
∵PN⊥EM，
∴∠PNE＝90°，EM＝2EN，
∴四边形BPNE是矩形，
∴EN＝BP＝4.8，
∴EM＝2EN＝9.6．
故答案为：9.6．
26．（12分）在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，固定△ABC，将△ADE绕点A旋转一周，连接BE、CD相交于H，经过C、E、H三点作⊙O．
（1）如图1，求证：CE是⊙O的直径；
（2）若AB＝3，AD＝2，在△ADE旋转过程中，连接BD．
①点A恰好是△CEH的内心，如图2，求BD的长；
②当∠ABD最大时，直接写出△ACE的面积为 ．
【分析】（1）先证明△CAD≌△BAE，从而∠ACD＝∠ABE，进而命题得证；
（2）在∠CHE＝90°基础上，点A是△CHE的内心时，推出∠CAE＝135°，从而得出∠DAB＝45°，解斜三角形ABD即可；
（3）作⊙A，AD为半径，当BD与⊙A相切时，∠ABD最大，此时求得BD的长，根据∠BAP＝∠DAE＝90°，得出∠PAE＝∠BAD，进而解直角三角形PAE，求得AC上的高，从而求出△ACE的面积．
【解答】（1）证明：如图1，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC+∠BAD＝∠DAE+∠BAD，
即：∠CAD＝∠BAE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△CAD≌△BAD（SAS），
∴∠CAD＝∠ABE，
∴点A、H、B、C共圆，
∴∠BHC＝∠CAB＝90°，
∴∠CHE＝90°，
∴CE是⊙O的直径；
（2）如图2，
由（1）知：∠CHE＝90°，
∴∠HCE+∠HEC＝90°，
∵点A是△CEH的内心，
∴CA平分∠HCE，AE平分∠HEC，
∴∠ACE＝，∠AEC＝∠HEC，
∴∠ACE+∠AEC＝（∠HCE+∠HEC）＝＝45°，
∴∠CAE＝180°﹣（∠ACE+∠AEC）＝180°﹣45°＝135°，
∵∠CAB＝∠BAD＝90°，
∴∠BAD＝360°﹣∠CAB﹣∠BAD﹣∠CAE＝45°，
作DG⊥AB于G，
∴AG＝DG＝AD•sin∠BAD＝2×＝2，
∴BG＝AB﹣AG＝3﹣2＝1，
∴BG＝＝＝；
（3）如图3，
以A为圆心，AD为半径作⊙A，
当BD与⊙A相切时，
∠ABD最大，
∴BD＝＝＝1，
∴sin∠BAD＝＝，
作EP⊥AC于P，
∵∠BAP＝∠DAE＝90°，
∴∠PAE＝∠BAD，
∴PE＝AE•sin∠PAE＝AE•sin∠BAD＝2×＝，
∴S△ACE＝AC•PE＝＝，
故答案是．
2021-2022学年江苏省镇江市九年级（上）期中数学试卷
一、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分）
1．（2分）若x（x﹣2）＝0，则x＝ ．
2．（2分）已知线段PQ＝2cm，以P为圆心，1.5cm为半径画圆，则点Q与⊙P的位置关系是点Q在 ．（填“圆内”、“圆外”或“圆上”）
3．（2分）已知一元二次方程x2﹣8x﹣c＝0有一个根为2，则c＝ ．
4．（2分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为DC延长线上一点，∠A＝65°，则∠BCE的度数为 °．
5．（2分）关于x的方程（m﹣2）x|m|+x﹣1＝0是一元二次方程，则m的值为 ．
6．（2分）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，⊙O的半径为5，AB＝5，则∠C的度数为 °．
7．（2分）已知圆弧所在圆的半径为12，所对的圆心角为60°，则这条弧的长度为 ．（结果保留π）
8．（2分）某小组同学每人给本组其他人员送一张新年贺卡，若全组共送贺卡20张，设这个小组的同学共有x人，根据题意可列方程： ．
9．（2分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D．若∠A＝30°，则∠D的度数为 °．
10．（2分）一个立体图形的三视图如图所示，根据图中数据求得这个立体图形的侧面积为 ．
11．（2分）按照如图所示方法三次折叠半径为1的圆形纸片，则图3中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
12．（2分）如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点为圆心的同心圆，小圆的半径为1，大圆的弦AB与小圆相切，且AB＝6，双曲线y＝与大圆恰有两个公共点M、N，则k＝ ．
二、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）用配方法解一元二次方程x2+3＝4x，下列配方正确的是（ ）
A．（x+2）2＝2 B．（x﹣2）2＝7 C．（x+2）2＝1 D．（x﹣2）2＝1
14．（3分）若⊙O的半径为4，圆心O到直线l的距离为5，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
15．（3分）如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，则∠ADE的度数为（ ）
A．40° B．36° C．32° D．30°
16．（3分）解方程（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4＝0时，我们可以将x﹣1看成一个整体，设x﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解得y1＝1，y2＝4．当y＝1时，即x﹣1＝1，解得x＝2；当y＝4时，即x﹣1＝4，解得x＝5，所以原方程的解为：x1＝2，x2＝5．则利用这种方法求得方程 （2x+5）2﹣4（2x+5）+3＝0的解为（ ）
A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝﹣2，x2＝3
C．x1＝﹣3，x2＝﹣1 D．x1＝﹣1，x2＝﹣2
17．（3分）如图，点A、B、C是⊙O上的点，且∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∠ACB的平分线交⊙O于D，下列4个判断：①⊙O的半径为5；②CD的长为7；③在BC弦所在直线上存在3个不同的点E，使得△CDE是等腰三角形；④在BC弦所在直线上存在2个不同的点F，使得△CDF是直角三角形；正确判断的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝分别与x轴、y轴相交于点A、B，点E、F分别是正方形OACD的边OD、AC上的动点，且DE＝AF，过原点O作OH⊥EF，垂足为H，连接HA、HB，则△HAB面积的最大值为（ ）
A． B．12 C．6+3 D．
三、解答题（本大题共有8小题，共78分）
19．（20分）解方程：
（1）x2+6x＝0；
（2）（y﹣1）2﹣4＝0；
（3）2x2﹣5x+1＝0；
（4）5x（x﹣3）＝2（x﹣3）．
20．（6分）已知关于x的一元二次方程kx2+kx+＝0有两个相等的实数根，求k的值，并求这个方程的根．
21．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）用直尺和圆规作⊙O，使圆心O在AC上，且⊙O与BC、AB都相切；（要求：不写作法，保留作图痕迹）
（2）若AC＝6，BC＝8，则⊙O的半径长为 ．
22．（7分）如图，AB为⊙O的直径，D、E在⊙O上，C是AB的延长线上一点，且∠CEB＝∠D．
（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠D＝35°，则∠C的度数为 °．
23．（7分）某小区2010年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2012年屋顶绿化面积要达到2880平方米．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是多少？
24．（10分）定义：我们将能完全覆盖某平面图形的圆称为该平面图形的覆盖面．其中，能完全覆盖平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．
例如：
（1）如图1，线段AB的最小覆盖圆就是以线段AB为直径的圆；
（2）如图2，Rt△ABC的最小覆盖圆就是以斜边AB为直径的圆．
【问题1】覆盖锐角三角形
如图3，在正方形网格中建立的平面直角坐标系中，△ABC的顶点A位于坐标原点，顶点B、C的坐标分别为（4，0）、（3，3）．则△ABC的最小覆盖圆的圆心坐标为 ；半径长为 ．
【问题2】覆盖钝角三角形
如图4，钝角△MNP中，MN＝4，∠MPN＝116°，则△MNP的最小覆盖圆的半径为 ．
【问题3】某地有四个村庄A，B，C，D（其位置如图5所示），现拟建一个5G网络信号中转站，为了使这四个村庄的居民都能接收到信号，且使中转站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），经过工程人员测量得到CD＝6km及图中相关各角度等数据，求四边形ABCD区域最小覆盖圆的半径．
25．（10分）数学课上老师提出问题：“在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝10，E是AB的中点，P是BC边上一点，以P为圆心，PE为半径作⊙P，当BP等于多少时，⊙P与矩形ABCD的边相切？”．
小明的思路是：解题应分类讨论，显然⊙P不可能与边AB及BC所在直线相切，只需讨论⊙P与边AD及CD相切两种情形．请你根据小明所画的图形解决下列问题：
（1）如图1，当⊙P与AD相切于点T时，求BP的长；
（2）如图2，当⊙P与CD相切时，
①求BP的长；
②若点Q从点B出发沿射线BC移动，连接AQ，M是AQ的中点，则在点Q的移动过程中，直接写出点M在⊙P内的路径长为 ．
26．（12分）在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，固定△ABC，将△ADE绕点A旋转一周，连接BE、CD相交于H，经过C、E、H三点作⊙O．
（1）如图1，求证：CE是⊙O的直径；
（2）若AB＝3，AD＝2，在△ADE旋转过程中，连接BD．
①点A恰好是△CEH的内心，如图2，求BD的长；
②当∠ABD最大时，直接写出△ACE的面积为 ．
2021-2022学年江苏省镇江市九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分）
1．（2分）若x（x﹣2）＝0，则x＝ 0或2 ．
【分析】由已知方程得到两个关于x的一元一次方程，解之即可．
【解答】解：∵x（x﹣2）＝0，
∴x＝0或x﹣2＝0，
解得x1＝0，x2＝2，
故答案为：0或2．
2．（2分）已知线段PQ＝2cm，以P为圆心，1.5cm为半径画圆，则点Q与⊙P的位置关系是点Q在 圆外 ．（填“圆内”、“圆外”或“圆上”）
【分析】根据点的圆的位置关系的判定方法进行判断．
【解答】解：∵⊙O的半径为1.5cm，PQ＝2cm，
∴2＞1.5，
∴点Q在圆外．
故答案为：圆外．
3．（2分）已知一元二次方程x2﹣8x﹣c＝0有一个根为2，则c＝ ﹣12 ．
【分析】将x＝2代入方程即可求出c的值．
【解答】解：将x＝2代入x2﹣8x﹣c＝0，得22﹣8×2﹣c＝0
解得c＝﹣12
故答案为：﹣12．
4．（2分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为DC延长线上一点，∠A＝65°，则∠BCE的度数为 65 °．
【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠BCD+∠A＝180°，根据邻补角的概念得到∠BCD+∠BCE＝180°，进而得出∠BCE＝∠A，得到答案．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BCD+∠A＝180°，
∵∠BCD+∠BCE＝180°，∠A＝65°，
∴∠BCE＝∠A＝65°，
故答案为：65．
5．（2分）关于x的方程（m﹣2）x|m|+x﹣1＝0是一元二次方程，则m的值为 ﹣2 ．
【分析】先根据一元二次方程的定义列出方程组，再求出m的值即可．
【解答】解：由题意可知：，解得：m＝﹣2．
6．（2分）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，⊙O的半径为5，AB＝5，则∠C的度数为 30 °．
【分析】根据等边三角形的性质求出∠AOB的度数，再根据圆周角定理求出∠C的度数．
【解答】解：∵⊙O的半径为5，AB＝5，
∴△AOB为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴∠C＝∠AOB＝30°，
故答案为：30．
7．（2分）已知圆弧所在圆的半径为12，所对的圆心角为60°，则这条弧的长度为 4π ．（结果保留π）
【分析】利用弧长的计算公式计算即可．
【解答】解：l＝＝4π，
故答案为：4π．
8．（2分）某小组同学每人给本组其他人员送一张新年贺卡，若全组共送贺卡20张，设这个小组的同学共有x人，根据题意可列方程： x（x﹣1）＝20 ．
【分析】设这个小组的同学共有x人，则每人需送出（x﹣1）张新年贺卡，根据全组共送贺卡20张，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设这个小组的同学共有x人，则每人需送出（x﹣1）张新年贺卡，
依题意得：x（x﹣1）＝20．
故答案为：x（x﹣1）＝20．
9．（2分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D．若∠A＝30°，则∠D的度数为 30 °．
【分析】连接OC，根据切线的性质定理得到∠OCD＝90°，根据三角形内角和定理求出∠D．
【解答】解：连接OC，
∵CD为⊙O的切线，
∴∠OCD＝90°，
由圆周角定理得，∠COD＝2∠A＝60°，
∴∠D＝90°﹣60°＝30°，
故答案为：30．
10．（2分）一个立体图形的三视图如图所示，根据图中数据求得这个立体图形的侧面积为 15π ．
【分析】从主视图以及左视图都为一个三角形，俯视图为一个圆形看，可以确定这个几何体为一个圆锥，由三视图可知圆锥的底面半径为3，高为4，故母线长为5，据此可以求得其侧面积．
【解答】解：由三视图可知圆锥的底面半径为3，高为4，所以母线长为5，
所以侧面积为πrl＝3×5π＝15π，
故答案为：15π．
11．（2分）按照如图所示方法三次折叠半径为1的圆形纸片，则图3中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
【分析】根据翻折变换求出OC＝OD＝，BC⊥OD，再解直角三角形得出BC和∠BOC，从而得出∠AOB，然后根据S阴影＝S△BOC+S扇形AOB，由三角形面积公式和扇形的面积公式计算即可．
【解答】解：如图：连接OB，
由题意可得：OD＝OB＝OA＝1，
∴OC＝OD＝，BC⊥OD，
∴BC＝＝，
∵cos∠BOC＝＝＝，
∴∠BOC＝60°，
∴∠AOB＝90°﹣60°＝30°，
∴S阴影＝S△BOC+S扇形AOB＝××+＝．
故答案为：．
12．（2分）如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点为圆心的同心圆，小圆的半径为1，大圆的弦AB与小圆相切，且AB＝6，双曲线y＝与大圆恰有两个公共点M、N，则k＝ ﹣5 ．
【分析】由垂径定理求得BD＝3，然后根据勾股定理求得OB，根据反比例函数和圆的对称性即可得到M、N在直线y＝﹣x，进而即可求得M的坐标，进一步求得k的值．
【解答】解：过O点作OD⊥AB于D，连接OB，
∵AB是大圆O的弦，
∴BD＝AB＝＝3，
∴OB＝＝＝，
由反比例函数与圆的对称性可知，M、N关于原点对称，
∴M、N在直线y＝﹣x上，
∵OM＝OB＝，
∴M（﹣，），
∵双曲线y＝与大圆恰有两个公共点M、N，
∴k＝﹣×＝5，
故答案为：﹣5．
二、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）用配方法解一元二次方程x2+3＝4x，下列配方正确的是（ ）
A．（x+2）2＝2 B．（x﹣2）2＝7 C．（x+2）2＝1 D．（x﹣2）2＝1
【分析】将方程常数项移到右边，未知项移到左边，然后两边都加上4，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．
【解答】解：x2+3＝4x，
整理得：x2﹣4x＝﹣3，
配方得：x2﹣4x+4＝4﹣3，即（x﹣2）2＝1．
故选：D．
14．（3分）若⊙O的半径为4，圆心O到直线l的距离为5，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
【分析】若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．
【解答】解：根据圆心到直线的距离5大于圆的半径4，则直线和圆相离．
故选：C．
15．（3分）如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，则∠ADE的度数为（ ）
A．40° B．36° C．32° D．30°
【分析】首先求得正五边形的中心角，然后利用圆周角定理求得答案即可．
【解答】解：如图：连接AO、EO，
在正五边形ABCDE中，∠AOE＝＝72°，
∴∠ADE＝∠AOE＝×72°＝36°，
故选：B．
16．（3分）解方程（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4＝0时，我们可以将x﹣1看成一个整体，设x﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解得y1＝1，y2＝4．当y＝1时，即x﹣1＝1，解得x＝2；当y＝4时，即x﹣1＝4，解得x＝5，所以原方程的解为：x1＝2，x2＝5．则利用这种方法求得方程 （2x+5）2﹣4（2x+5）+3＝0的解为（ ）
A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝﹣2，x2＝3
C．x1＝﹣3，x2＝﹣1 D．x1＝﹣1，x2＝﹣2
【分析】首先根据题意可以设y＝2x+5，方程可以变为 y2﹣4y+3＝0，然后解关于y的一元二次方程，接着就可以求出x．
【解答】解：（2x+5）2﹣4（2x+5）+3＝0，
设y＝2x+5，
方程可以变为 y2﹣4y+3＝0，
∴y1＝1，y2＝3，
当y＝1时，即2x+5＝1，解得x＝﹣2；
当y＝3时，即2x+5＝3，解得x＝﹣1，
所以原方程的解为：x1＝﹣2，x2＝﹣1．
故选：D．
17．（3分）如图，点A、B、C是⊙O上的点，且∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∠ACB的平分线交⊙O于D，下列4个判断：①⊙O的半径为5；②CD的长为7；③在BC弦所在直线上存在3个不同的点E，使得△CDE是等腰三角形；④在BC弦所在直线上存在2个不同的点F，使得△CDF是直角三角形；正确判断的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】①正确，利用勾股定理求出AB即可；
②正确，如图1中，过点D作DM⊥CA交CA的延长线于点M，DN⊥BC于N．证明四边形CMDN是正方形，求出CM，可得结论；
③错误，利用图象法，判断即可；
④正确，利用图象法判断即可．
【解答】解：如图1中，连接AB.
∵∠ACB＝90°，
∴AB是直径，
∴AB＝＝＝10，
∴⊙O的半径为5．故①正确，
如图1中，连接AD，BD，过点D作DM⊥CA交CA的延长线于点M，DN⊥BC于N．
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴＝，
∴AD＝BD，
∵∠M＝∠DNC＝90°，CD＝CD，
∴△CDM≌△CDN（AAS），
∴CM＝CN．DM＝DN，
∵∠M＝∠DNB＝90°，DA＝DB，
∴Rt△DMA≌Rt△DNB（HL），
∴AM＝BN，
∵∠M＝∠MAN＝∠DNC＝90°，
∴四边形CMDN是矩形，
∵DM＝DN，
∴四边形CMDN是正方形，
∴CD＝CM，
∵AC+CB＝CM﹣AM+CN+BN＝2CM＝14，
∴CM＝7，
∴CD＝7，故②正确，
如图2中，满足条件的点E有4个，故③错误，
如图3中，满足条件的点F有2个，故④正确，
故选：C．
18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝分别与x轴、y轴相交于点A、B，点E、F分别是正方形OACD的边OD、AC上的动点，且DE＝AF，过原点O作OH⊥EF，垂足为H，连接HA、HB，则△HAB面积的最大值为（ ）
A． B．12 C．6+3 D．
【分析】先证明ON＝CN，再证点H在以ON直径的圆上运动，则当点H在QM的延长线上时，点H到AB的距离最大，由相似三角形的性质可求MK，KQ的长，由三角形的面积公式可求解．
【解答】解：如图，连接AD，交EF于N，连接OC，取ON的中点M，连接MH，过点M作MQ⊥AB于Q，交AO于点K，作MP⊥OA与点P，
∵直线y＝分别与x轴、y轴相交于点A、B，
∴点A（4，0），点B（0，﹣3），
∴OB＝3，OA＝4，
∴AB＝＝＝5，
∵四边形ACDO是正方形，
∴OD∥AC，AO＝AC＝OD＝4，OC＝4，∠COA＝45°，
∴∠EDN＝∠NAF，∠DEN＝∠AFN，
又∵DE＝AF，
∴△DEN≌△AFN（ASA），
∴DN＝AN，EN＝NF，
∴点N是AD的中点，即点N是OC的中点，
∴ON＝NC＝2，
∵OH⊥EF，
∴∠OHN＝90°，
∴点H在以ON直径的圆上运动，
∴当点H在QM的延长线上时，点H到AB的距离最大，
∵点M是ON的中点，
∴OM＝MN＝，
∵MP⊥OP，∠COA＝45°，
∴OP＝MP＝1，
∴AP＝3，
∵∠OAB+∠OBA＝90°＝∠OAB+∠AKQ，
∴∠AKQ＝∠ABO＝∠MKP，
又∵∠AOB＝∠MPK＝90°，
∴△MPK∽△AOB，
∴，
∴，
∴MK＝，PK＝，
∴AK＝，
∵∠AKQ＝∠ABO，∠OAB＝∠KAQ，
∴△AKQ∽△ABO，
∴，
∴，
∴KQ＝，
∴QM＝KQ+MK＝+＝，
∴点H到AB的最大距离为+，
∴△HAB面积的最大值＝×5×（+）＝，
故选：D．
三、解答题（本大题共有8小题，共78分）
19．（20分）解方程：
（1）x2+6x＝0；
（2）（y﹣1）2﹣4＝0；
（3）2x2﹣5x+1＝0；
（4）5x（x﹣3）＝2（x﹣3）．
【分析】（1）利用分解因式求解即可；
（2）利用直接开平方法求解即可；
（3）利用公式法求解即可；
（4）利用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1）x2+6x＝0，
x（x+6）＝0，
∴x＝0或x+6＝0，
∴x1＝0，x2＝﹣6．
（2）（y﹣1）2﹣4＝0，
（y﹣1）2＝4，
∴y﹣1＝±2，
∴y1＝3，y2＝﹣1；
（3）2x2﹣5x+1＝0，
∵a＝2，b＝﹣5，c＝1，
∴Δ＝（﹣5）2﹣4×2×1＝17＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝．
（4）5x（x﹣3）＝2（x﹣3），
5x（x﹣3）﹣2（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（5x﹣2）＝0，
∴x﹣3＝0或5x﹣2＝0，
∴x1＝3，x2＝．
20．（6分）已知关于x的一元二次方程kx2+kx+＝0有两个相等的实数根，求k的值，并求这个方程的根．
【分析】若一元二次方程kx2+kx+＝0有两个相等的实数根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac＝0，建立关于k的方程，求出k的取值后，再解关于x的方程即可．
【解答】解：∵一元二次方程kx2+kx+＝0有两个相等的实数根，
∴k≠0且Δ＝k2﹣k＝0，
解得，k＝1，
∴关于x的一元二次方程是x2+x+＝0，
∴x1＝x2＝．
21．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）用直尺和圆规作⊙O，使圆心O在AC上，且⊙O与BC、AB都相切；（要求：不写作法，保留作图痕迹）
（2）若AC＝6，BC＝8，则⊙O的半径长为 ．
【分析】（1）作∠ABC的平分线，交AC于点O，再以点O为圆心、OC为半径作圆；
（2）记⊙O与AB的切点为D，连接OD，则OC＝OD，BC＝BD＝8，设OC＝OD＝r，则AO＝6﹣r，在Rt△AOD中，由AO2＝AD2+OD2列出关于r的方程求解即可．
【解答】解：（1）如图所示，⊙O即为所求．
（2）记⊙O与AB的切点为D，
连接OD，则OC＝OD，BC＝BD＝8，
设OC＝OD＝r，
则AO＝6﹣r，
∵AC＝6，BC＝8，
∴AB＝10，
∴AD＝2，
在Rt△AOD中，由AO2＝AD2+OD2得（6﹣r）2＝22+r2，
解得r＝，即⊙O的半径为，
故答案为：．
22．（7分）如图，AB为⊙O的直径，D、E在⊙O上，C是AB的延长线上一点，且∠CEB＝∠D．
（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠D＝35°，则∠C的度数为 20 °．
【分析】（1）连接OE，由圆周角定理证得∠EAB+∠EBA＝90°，由已知和等腰三角形的性质证得∠EAB＝∠CEB，∠OEB＝∠OBE，进而证得∠OEC＝90°，根据切线的判定定理即可证得CE与⊙O相切；
（2）先求出∠CEB＝∠EAB＝35°，进而求出∠EBA＝55°，再根据三角形外角的性质即可求出∠C．
【解答】（1）证明：连接OE，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠EAB+∠EBA＝90°，
∵∠EAB＝∠D，∠CEB＝∠D，
∴∠EAB＝∠CEB，
∵OE＝OB，
∴∠OEB＝∠OBE，
∴∠OEC＝∠OEB+∠CEB＝∠EAB+∠EBA＝90°，
∵OE是⊙O的半径，
∴CE与⊙O相切；
（2）解：由（1）知∠EAB+∠EBA＝90°，
∵∠EAB＝∠D＝35°，
∴∠EBA＝90°﹣35°＝55°，∠CEB＝∠D＝35°，
∵∠EBA＝∠CEB+∠C，
∴∠C＝∠EBA﹣∠CEB＝55°﹣35°＝20°，
故答案为：20．
23．（7分）某小区2010年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2012年屋顶绿化面积要达到2880平方米．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是多少？
【分析】设出这个增长率是x，根据已知条件找出等量关系列出方程，求出x的值，即可得出答案．
【解答】解：设这个增长率是x，根据题意得：
2000（1+x）2＝2880，
解得：x1＝20%，x2＝﹣220%（舍去）
答：这个增长率是20%．
24．（10分）定义：我们将能完全覆盖某平面图形的圆称为该平面图形的覆盖面．其中，能完全覆盖平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．
例如：
（1）如图1，线段AB的最小覆盖圆就是以线段AB为直径的圆；
（2）如图2，Rt△ABC的最小覆盖圆就是以斜边AB为直径的圆．
【问题1】覆盖锐角三角形
如图3，在正方形网格中建立的平面直角坐标系中，△ABC的顶点A位于坐标原点，顶点B、C的坐标分别为（4，0）、（3，3）．则△ABC的最小覆盖圆的圆心坐标为 （2，1） ；半径长为 ．
【问题2】覆盖钝角三角形
如图4，钝角△MNP中，MN＝4，∠MPN＝116°，则△MNP的最小覆盖圆的半径为 2 ．
【问题3】某地有四个村庄A，B，C，D（其位置如图5所示），现拟建一个5G网络信号中转站，为了使这四个村庄的居民都能接收到信号，且使中转站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），经过工程人员测量得到CD＝6km及图中相关各角度等数据，求四边形ABCD区域最小覆盖圆的半径．
【分析】【问题1】网格中找出AB和AC垂直平分线交点，再根据勾股定理求得半径；
【问题2】MN的中点是覆盖圆圆心，是半径；
【问题3】△ACD的外接圆就是四边形ABCD的最小覆盖圆．
【解答】【问题1】解：如图1，
AB和AC垂直平分线的交点在I（2，1），
OI＝＝，
故答案是（2，1），；
【问题2】解：如图2，
将M、N两点覆盖，到M、N最小距离是点O的位置，
即OM＝ON＝2，此时⊙O可以覆盖点P，
∴△MNP的最小覆盖圆的半径是2；
【问题3】解：如图3，
∵△ADC的最小覆盖圆可以将四边形ABCD覆盖，
∴四边形ABCD的最小覆盖圆是△ACD的外接圆，
作直径DE，连接CE，
∵＝，
∴∠E＝∠DAC＝60°，
∴CE＝＝＝＝4；
∴OD＝2，
即四边形ABCD的最小覆盖圆半径是2．
25．（10分）数学课上老师提出问题：“在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝10，E是AB的中点，P是BC边上一点，以P为圆心，PE为半径作⊙P，当BP等于多少时，⊙P与矩形ABCD的边相切？”．
小明的思路是：解题应分类讨论，显然⊙P不可能与边AB及BC所在直线相切，只需讨论⊙P与边AD及CD相切两种情形．请你根据小明所画的图形解决下列问题：
（1）如图1，当⊙P与AD相切于点T时，求BP的长；
（2）如图2，当⊙P与CD相切时，
①求BP的长；
②若点Q从点B出发沿射线BC移动，连接AQ，M是AQ的中点，则在点Q的移动过程中，直接写出点M在⊙P内的路径长为 9.6 ．
【分析】（1）连接PT，由⊙P与AD相切于点T，可得四边形ABPT是矩形，即得PT＝AB＝4＝PE，在Rt△BPE中，用勾股定理即得BP＝2；
（2）①由⊙P与CD相切，有PC＝PE，设BP＝x，则PC＝PE＝10﹣x，在Rt△BPE中，由勾股定理得x2+22＝（10﹣x）2，即可解得BP＝4.8；
②点M在⊙P内的路径为EM，过P作PN⊥EM于N，由EM是△ABQ的中位线，可得四边形BPNE是矩形，即知EN＝BP＝4.8，故EM＝2EN＝9.6．
【解答】解：（1）连接PT，如图：
∵⊙P与AD相切于点T，
∴∠ATP＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴四边形ABPT是矩形，
∴PT＝AB＝4＝PE，
∵E是AB的中点，
∴BE＝AB＝2，
在Rt△BPE中，BP＝＝＝2；
（2）①∵⊙P与CD相切，
∴PC＝PE，
设BP＝x，则PC＝PE＝10﹣x，
在Rt△BPE中，BP2+BE2＝PE2，
∴x2+22＝（10﹣x）2，
解得x＝4.8，
∴BP＝4.8；
②点Q从点B出发沿射线BC移动，M是AQ的中点，点M在⊙P内的路径为EM，过P作PN⊥EM于N，如图：
由题可知，EM是△ABQ的中位线，
∴EM∥BQ，
∴∠BEM＝90°＝∠B，
∵PN⊥EM，
∴∠PNE＝90°，EM＝2EN，
∴四边形BPNE是矩形，
∴EN＝BP＝4.8，
∴EM＝2EN＝9.6．
故答案为：9.6．
26．（12分）在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，固定△ABC，将△ADE绕点A旋转一周，连接BE、CD相交于H，经过C、E、H三点作⊙O．
（1）如图1，求证：CE是⊙O的直径；
（2）若AB＝3，AD＝2，在△ADE旋转过程中，连接BD．
①点A恰好是△CEH的内心，如图2，求BD的长；
②当∠ABD最大时，直接写出△ACE的面积为 ．
【分析】（1）先证明△CAD≌△BAE，从而∠ACD＝∠ABE，进而命题得证；
（2）在∠CHE＝90°基础上，点A是△CHE的内心时，推出∠CAE＝135°，从而得出∠DAB＝45°，解斜三角形ABD即可；
（3）作⊙A，AD为半径，当BD与⊙A相切时，∠ABD最大，此时求得BD的长，根据∠BAP＝∠DAE＝90°，得出∠PAE＝∠BAD，进而解直角三角形PAE，求得AC上的高，从而求出△ACE的面积．
【解答】（1）证明：如图1，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC+∠BAD＝∠DAE+∠BAD，
即：∠CAD＝∠BAE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△CAD≌△BAD（SAS），
∴∠CAD＝∠ABE，
∴点A、H、B、C共圆，
∴∠BHC＝∠CAB＝90°，
∴∠CHE＝90°，
∴CE是⊙O的直径；
（2）如图2，
由（1）知：∠CHE＝90°，
∴∠HCE+∠HEC＝90°，
∵点A是△CEH的内心，
∴CA平分∠HCE，AE平分∠HEC，
∴∠ACE＝，∠AEC＝∠HEC，
∴∠ACE+∠AEC＝（∠HCE+∠HEC）＝＝45°，
∴∠CAE＝180°﹣（∠ACE+∠AEC）＝180°﹣45°＝135°，
∵∠CAB＝∠BAD＝90°，
∴∠BAD＝360°﹣∠CAB﹣∠BAD﹣∠CAE＝45°，
作DG⊥AB于G，
∴AG＝DG＝AD•sin∠BAD＝2×＝2，
∴BG＝AB﹣AG＝3﹣2＝1，
∴BG＝＝＝；
（3）如图3，
以A为圆心，AD为半径作⊙A，
当BD与⊙A相切时，
∠ABD最大，
∴BD＝＝＝1，
∴sin∠BAD＝＝，
作EP⊥AC于P，
∵∠BAP＝∠DAE＝90°，
∴∠PAE＝∠BAD，
∴PE＝AE•sin∠PAE＝AE•sin∠BAD＝2×＝，
∴S△ACE＝AC•PE＝＝，
故答案是．
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