2022-2023 数学浙教版新中考精讲精练 考点12一次函数的应用及综合问题

考点12一次函数的应用及综合问题

考点总结

1．一元一次方程kx＋b＝0与一次函数y＝kx＋b的关系：一元一次方程kx＋b＝0的解是一次函数y＝kx＋b在y＝0时所对应的x的值．

2．一元一次不等式kx＋b>0(或kx＋b<0)与一次函数y＝kx＋b的关系：一元一次不等式kx＋b>0(或kx＋b<0)的解即为一次函数y＝kx＋b在y>0(或y<0)时所对应的x的取值范围．

3．二元一次方程组与一次函数图象的关系：二元一次方程组的解即为一次函数y＝k1x＋b1与一次函数y＝k2x＋b2的图象的交点坐标．

4.一次函数在现实生活中有着广泛的应用，在解答一次函数的应用题时，应从给定的信息中抽象出一次函数关系，理清哪个是自变量，哪个是自变量的函数，确定出一次函数，再利用一次函数的图象与性质求解，同时要注意自变量的取值范围．解题时常用到建模思想和函数思想．

真题演练

一、单选题

1．（2021·浙江新昌·一模）如图，一次函数与y轴相交于点，与轴相交于点，在直线上取一点（点不与，重合），过点作轴，垂足为点，连结，若的面积恰好为，则满足条件的点有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】C

【分析】

设p(t，2t+3)，则Q(t，0)，分三种情况分析解答：当p在第一象限时，当p在第二象限时，当p在第三象限时．

【详解】

解：一次函数，令x=0，则y=3；令y=0，则0=2x+3，解得x=，

∴A(0，3)，B(，0)，

设p(t，2t+3)，则Q(t，0)，

当p在第一象限时，

，

∴，解得t=（负值舍去），

∴2t+3=，

∴P(，)；

当p在第二象限时，

∴=，解得t= -，

∴2t+3=，

∴P(-，)；

当p在第三象限时，

，

∴=，解得t=（正值舍去），

∴2t+3=，

∴P(，)；

综上所述，P点的坐标共3个，

故选C．

2．（2021·浙江吴兴·一模）某天，甲、乙两车同时从A地出发，驶向终点B地，途中乙车由于出现故障，停车修理了一段时间，修理完毕后，乙车加快了速度匀速驶向B地；甲车从A地到B地速度始终保持不变，乙车的速度始终小于甲车的速度．甲、乙两车之间的距离与两车出发时间的函数图象如图所示．下列说法：①甲到达B地（终点）时，乙车距离终点还有；②故障排除前，乙的速度为；③线段所在直线的解析式；④当时，甲、乙两人之间相距60千米．其中说法正确的序号是（    ）

A．③④ B．②③ C．①②③ D．②③④

【答案】B

【分析】

①根据图象知，甲到达B地时，甲乙两车距离最大即可判断；②由图象可求出故障排除后乙车的速度为，设排除故障前乙车的速度为，甲车的速度为，根据题意可得方程，求解即可；③先计算出m的值，再求出点P的坐标，最后运用待定系数法求出线段PQ所在直线解析式 即可；④代入求值进行判断即可得到答案．

【详解】

解：①甲到达B地时，甲乙两车距离最大，即y最大，y=90，

故乙车距终点90km，故①错误；

②排除故障后、乙车的速度为：

排除故障前乙车的速度为，甲车的速度为，

由题意和函数图象可知，故障前甲车2h比乙车多行驶了40km

乙车故障修理了

故

解得，

所以，排除故障前乙车的速度为，故②正确；

③

∴

设直线的解析式为：，代入，，则有：

解得，

∴线段所在直线的解析式，故③正确；

④

当时，

当时，， 故④错误，

故选B．

3．（2021·浙江上虞·一模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，半径为2的与轴的负半轴交于点，点是 上一动点，点为弦的中点，直线与 轴、轴分别交于点，，则面积的最小值为（ ）

A．5 B．6 C． D．

【答案】D

【分析】

连接，根据点为弦的中点，可得点在以为直径的圆上，以 为直径作，过点作直线于 ，交 于，则上到直线上最短的距离是 ，则可得 即的面积最小，根据一次函数的性质，求得， 根据勾股定理可得 ，再根据的半径为2，可知， ， ，由等积法可求得，，根据可求得面积最小是．

【详解】

解：连接，如图，

点为弦的中点，

，

，

点在以为直径的圆上，

以为直径作，过点作直线于，交于，

则上到直线上最短的距离是，

此时，即的面积最小，

当时，，则 ，

当时，，

解得，则，

，

，

∵的半径为2，

∴，

，

由等积法可知：

∴

∴，

∴，

即的面积最小是，

故选：．

4．（2021·浙江南浔·一模）如图，已知在平面直角坐标系中，点是函数图象上的两动点，且点的横坐标是，点的横坐标是，将点，点之间的函数图象记作图型，把图型沿直线进行翻折，得到图型，若图型与轴有交点时，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

先由AB关于l对称直线和x轴相交得到x轴关于直线l对称的直线也与AB相交，作x轴关于直线l对称直线l1，即其在中，然后再求出C、D点的坐标，求出OD的长，设l1的解析式为y=k（x-6），作DE⊥l1，可得OE=3，然后运用点与直线的距离求得k，最后再代入分段函数即可求得m的取值范围．

【详解】

解：∵AB关于l对称直线和x轴相交

∴x轴关于直线l对称的直线也与AB相交

作x轴关于直线l对称直线l1，即其在中

当y=0时，x=6，即C（6，0）

在l中，当x=0时，y=3,即OD=3

设l1的解析式为y=k（x-6），作DE⊥l1

∵x轴和直线l1关于直线l对称

∴OD=OE=3

∴D到l1的距离d= ，解得k=

∴l1：y=x+8

由题意可知：x+8=-2x+10,x+8=x,解得x=3，x=

∴交点的横坐标为3和

∵交点在l上

∴3≤m≤或3≤m+1≤，即．

故选A．

5．（2021·浙江鄞州·一模）如图，点A是二次函数y＝x2图象上的一点，且位于第一象限，点B是直线y＝﹣x上一点，点B′与点B关于原点对称，连接AB，AB′，若△ABB′为等边三角形，则点A的坐标是（    ）

A．（，） B．（，） C．（1，） D．（，）

【答案】B

【分析】

连接OA，作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，根据题意∠ABO＝60°，AO⊥BB′，即可得到tan∠ABO＝＝，设A（m，m2），通过证得△AOM∽△OBN，得到B（﹣m2，m），代入直线y＝﹣x即可得到关于m的方程，解方程即可求得A的坐标．

【详解】

解：连接OA，作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，

∵点B′与点B关于原点对称，

∴OB＝OB′，

∵△ABB′为等边三角形，

∴∠ABO＝60°，AO⊥BB′，

∴∠BON+∠AOM＝90°，tan∠ABO＝=，

∴＝，

∵∠BON+∠OBN＝90°，

∴∠AOM＝∠OBN，

∵∠BNO＝∠AMO＝90°，

∴△AOM∽△OBN，

∴＝，

设A（m，m2），

∴OM＝m，AM＝m2，

∴BN＝m，ON＝m2，

∵点A在第一象限内，

∴B（﹣m2，m），

∵点B是直线y＝﹣x上一点，

∴m＝﹣•（﹣m2），

解得m＝或m＝0（舍去），

当m＝时，m2=

∴A（，），

故选：B．

6．（2021·浙江杭州·一模）已知两地相距3千米，小黄从地到地，平均速度为4千米/小时，若用表示行走的时间（小时），表示余下的路程（千米），则关于的函数解析式是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】

根据路程=速度×时间，容易知道y与x的函数关系式．

【详解】

解：根据题意得：

全程需要的时间为：（小时），

∴

故选D．

7．（2021·浙江·模拟预测）新龟兔赛跑的故事：龟兔从同一地点同时出发后，兔子很快把乌龟远远甩在后头．骄傲自满的兔子觉得自己遥遥领先，就躺在路边呼呼大睡起来．当它一觉醒来，发现乌龟已经超过它，于是奋力直追，最后同时到达终点．用S1、S2分别表示乌龟和兔子赛跑的路程，t为赛跑时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】

分别分析乌龟和兔子随时间变化它们的路程变化情况，即直线的斜率的变化．问题便可解答．

【详解】

对于乌龟，其运动过程可分为两段：从起点到终点乌龟没有停歇，其路程不断增加；最后同时到达终点，可排除B，D选项

对于兔子，其运动过程可分为三段：据此可排除A选项

开始跑得快，所以路程增加快；中间睡觉时路程不变；醒来时追赶乌龟路程增加快．

故选：C

二、填空题

8．（2021·浙江拱墅·二模）A城有种农机30台，B城有该农机40台，现要将这些农机全部运往C，D两乡，调运任务承包给某运输公司．已知C乡需要农机34台，D乡需要农机36台，从A城往C，D两乡运送农机的费用分别为250元/台和200元/台，从B城往C，D两乡运送农机的费用分别为150元/台和240元/台．设A城运往C乡该农机x台，运送全部农机的总费用为W元，则W关于x的函数关系式为_______________．

【答案】

【分析】

因为A城运往C乡x台农机，则A城运往D乡（30﹣x）台农机，B城运往C乡（34﹣x）台农机，B城运往D乡[40﹣（34﹣x）]台农机，就可以得到关系式．

【详解】

解：由题意得：因为A城运往C乡x台农机，则A城运往D乡（30﹣x）台农机，B城运往C乡（34﹣x）台农机，B城运往D乡[40﹣（34﹣x）]台农机

W＝250x+200（30﹣x）+150（34﹣x）+240[40﹣（34﹣x）]

＝140x+12540，

故答案为：W＝140x+12540．

9．（2021·浙江桐乡·一模）如图，已知一次函数的图像分别与轴，轴相交于点，，是直线上一点，当时，点的坐标是______．

【答案】或

【分析】

根据题意在函数图象上做出可能存在的点的位置，做出OD⊥AB于点D，利用勾股定理结合三角函数求出相应的，再设出点C坐标求解即可．

【详解】

与轴，轴相交于点，，

∴A（5，0），B（0，），

∴ ，

，

∴，

如图：作OD⊥AB于点D，

∴，

∴ ，

∵，

∴，

∴，

又∵点C在直线上，

∴设C（t，），

代入，

解得：t=3或-1，

∴点C坐标为或．

故答案为：或

10．（2021·浙江·温州绣山中学二模）如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点．C是线段AB上一点，于点D，于点E，，则点C的坐标为___________．

【答案】

【分析】

根据题意易得四边形CDOE是矩形，设CD=x，则OD=2x，进而可得，然后代入一次函数解析式进行求解即可．

【详解】

解：∵，，

∴，

∵∠AOB=90°，

∴四边形CDOE是矩形，

∴OE=CD，

∵，

∴，

设CD=x，则OD=2x，

∴点，

代入一次函数得：，解得：，

∴点C的坐标为；

故答案为．

11．（2021·浙江苍南·模拟预测）如图，直线：交轴于点，为轴正半轴上一点，轴交直线于点，，交于点，记的面积为，的面积为，当时，的长为______．

【答案】6

【分析】

设点B的坐标为，再表示出点点的坐标，求解的坐标，再根据可以得到然后即可求得点B的横坐标，从而可以得到OB的长．

【详解】

解：设点B的坐标为，

∵直线：，

∴当x=0时，y=b， 即点A的坐标为（0，b），

∵

∴ 即

∴

解得（舍去），

∴OB=6，

故答案为：6．

12．（2021·浙江宁波·模拟预测）如图，平面直角坐标系xOy中，在反比例函数（k＞0，x＞0）的图象上取点A，连接OA，与的图象交于点B，过点B作BC∥x轴交函数的图象于点C，过点C作CE∥y轴交函数的图象于点E，连接AC，OC，BE，OC与BE交于点F，则＝____．

【答案】

【分析】

设点C的坐标为（，）则求出E，B，的坐标，从而得出BC，CE的长度，得出直线OC，直线OB的解析式，进而求出直线BE的解析式，然后求出点F的坐标，将直线OB的解析式与反比例函数y= 联立方程组，求出点A的坐标，从而计算SΔCEF，SΔABC ，即可计算出比值．

【详解】

设C的坐标为(，)

由CE∥ y轴，可知点C，点E的横坐标相等，

则点E的坐标为（，），B的坐标为（，）

∴BC=，CE=，

设直线OC的解析式为y=k2x，将点C(，)代入得，

k2=

所以直线OC的解析式为①，

设直线OB的解析式为y=k3x，将点B( ， )代入得，

k3=

所以直线OB的解析式为③，

设直线BE的坐标为y=k1x+b1，将B，E的坐标代入得，

，解得 ,
 

∴，

联立①②，得 ，

，

SΔABC=，

将③与联立得，，

解得：，，

所以A（，）

所以ΔABC以BC为边的高为：

所以
 

故答案为：．

三、解答题

13．（2021·浙江台州·中考真题）电子体重科读数直观又便于携带，为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R1， R1与踏板上人的质量m之间的函数关系式为R1＝km＋b（其中k，b为常数，0≤m≤120），其图象如图1所示；图2的电路中，电电压恒为8伏，定值电阻R0的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为U0 ，该读数可以换算为人的质量m，

温馨提示：

①导体两端的电压U，导体的电阻R，通过导体的电流I，满足关系式I＝；

②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压．

（1）求k，b的值；

（2）求R1关于U0的函数解析式；

（3）用含U0的代数式表示m；

（4）若电压表量程为0~6伏，为保护电压表，请确定该电子体重秤可称的最大质量．

【答案】（1）；（2）；I（3）；（4）该电子体重秤可称的最大质量为115千克．

【分析】

（1）根据待定系数法，即可求解；

（2）根据“串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压”，列出等式，进而即可求解；

（3）由R1＝m＋240，，即可得到答案；

（4）把时，代入，进而即可得到答案．

【详解】

解：（1）把（0，240），（120，0）代入R1＝km＋b，得，解得：；

（2）∵，

∴；

（3）由（1）可知：，

∴R1＝m＋240，

又∵，

∴=m＋240，即：；

（4）∵电压表量程为0~6伏，

∴当时，

答：该电子体重秤可称的最大质量为115千克．

14．（2021·浙江金华·中考真题）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在直线上，过点B作AB的垂线，过原点O作直线l的垂线，两垂线相交于点C．

（1）如图，点B，C分别在第三、二象限内，BC与AO相交于点D．

①若，求证：．

②若，求四边形的面积．

（2）是否存在点B，使得以为顶点的三角形与相似？若存在，求OB的长；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）①见解析；②；（2）存在，，4，9，1

【分析】

（1）①等腰三角形等角对等边，则，根据等角的余角相等和对顶角相等，得到，根据等角对等边，即可证明；

②添加辅助线，过点A作于点H，根据直线l的解析式和角的关系，分别求出线段AB、BC、OB、OC的长，则；

（2）分多钟情况进行讨论：①当点C在第二象限内，时；②当点C在第二象限内，时；③当点C在第四象限内，时．

【详解】

解：（1）①证明：如图1，

∵，∴．

∴，∴．

而，

∴．

∵，∴．

∴，

∴．

②如图1，过点A作于点H．由题意可知，

在中，．设，．

∵，∴，解得．

∴．

∵，

∴，

∴

∴．

∵，

∴，

∴，

：

∴．

（2）过点A作于点H，则有．

①如图2，当点C在第二象限内，时，设

∵，∴．

又∵，

∴．

∵，

∴，

∴，

∴，∴，

∴，整理得，解得．

∴．

②如图3，当点C在第二象限内，时，延长交于点G，

则，∴．

又∵，

∴，

而，

∴，

∴

③当点C在第四象限内，时，与相交于点E，则有．

(a)如图4，点B在第三象限内．

在中，，∴

∴，

又∵，

∴，

而

∴，

∴

∴，

∴，

∴

(b)如图5，点B在第一象限内．

在中

∴，∴．

又∵，

∴

而，∴

∴

∴，

∴，

∴

综上所述，的长为，4，9，1．

15．（2021·浙江绍兴·中考真题）I号无人机从海拔10m处出发，以10m/min的速度匀速上升，II号无人机从海拔30m处同时出发，以a（m/min）的速度匀速上升，经过5min两架无人机位于同一海拔高度b（m）．无人机海拔高度y（m）与时间x（min）的关系如图．两架无人机都上升了15min．

（1）求b的值及II号无人机海拔高度y（m）与时间x（min）的关系式．

（2）问无人机上升了多少时间，I号无人机比II号无人机高28米．

【答案】（1）；（2）无人机上升12min，I号无人机比II号无人机高28米

【分析】

（1）直接利用I号无人机从海拔10m处出发，以10m/min的速度匀速上升，求出其5分钟后的高度即可；
（2）将I号无人机的高度表达式减去II号无人机高度表达式，令其值为28，求解即可．

【详解】

解：（1）．

设，

将，代入得：

，

∴；

．

（2）令，

解得，满足题意；

无人机上升12min，I号无人机比II号无人机高28米．

16．（2021·浙江丽水·中考真题）李师傅将容量为60升的货车油箱加满后，从工厂出发运送一批物资到某地．行驶过程中，货车离目的地的路程s（千米）与行驶时间t（小时）的关系如图所示（中途休息、加油的时间不计．当油箱中剩余油量为10升时，货车会自动显示加油提醒．设货车平均耗油量为0.1升/千米，请根据图象解答下列问题：

（1）直接写出工厂离目的地的路程；

（2）求s关于t的函数表达式；

（3）当货车显示加油提醒后，问行驶时间t在怎样的范围内货车应进站加油？

【答案】（1）工厂离目的地的路程为880千米；（2）；（3）．

【分析】

（1）根据图象直接得出结论即可；

（2）根据图象，利用待定系数法求解函数表达式即可；再求出油量为

（3）分别求出余油量为10升和0升时行驶的路程，根据函数表达式求出此时的t值，即可求得t的范围．

【详解】

解：（1）由图象，得时，，

答：工厂离目的地的路程为880千米．

（2）设，将和分别代入表达式，

得，解得，

∴s关于t的函数表达式为．

（3）当油箱中剩余油量为10升时，（千米），

，解得（小时）．

当油箱中剩余油量为0升时，（千米），

，解得（小时）．

随t的增大而减小，

的取值范围是．

17．（2021·浙江宁波·中考真题）某通讯公司就手机流量套餐推出三种方案，如下表：

A，B，C三种方案每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（兆）之间的函数关系如图所示．

（1）请直接写出m，n的值．

（2）在A方案中，当每月使用的流量不少于1024兆时，求每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（兆）之间的函数关系式．

（3）在这三种方案中，当每月使用的流量超过多少兆时，选择C方案最划算？

【答案】（1）；（2）；（3）当每月使用的流量超过3772兆时，选择C方案最划算

【分析】

（1）m的值可以从图象上直接读取，n的值可以根据方案A和方案B的费用差和流量差相除求得；

（2）直接运用待定系数法求解即可；

（3）计算出方案C的图象与方案B的图象的交点表示的数值即可求解．

【详解】

解：（1）

．

（2）设函数表达式为，

把，代入，得

，

解得，

∴y关于x的函数表达式．

（注：x的取值范围对考生不作要求）

（3）（兆）．

由图象得，当每月使用的流量超过3772兆时，选择C方案最划算．

18．（2021·浙江温州·中考真题）某公司生产的一种营养品信息如下表．已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍，用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1千克．

（1）问甲、乙两种食材每千克进价分别是多少元？

（2）该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完．

①问每日购进甲、乙两种食材各多少千克？

②已知每日其他费用为2000元，且生产的营养品当日全部售出．若A的数量不低于B的数量，则A为多少包时，每日所获总利润最大？最大总利润为多少元？

【答案】（1）甲、乙两种食材每千克进价分别为40元、20元；（2）①每日购进甲食材400千克，乙食材100千克；②当为400包时，总利润最大．最大总利润为2800元

【分析】

（1）设乙食材每千克进价为元，根据用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1千克列分式方程即可求解；

（2）①设每日购进甲食材千克，乙食材千克．根据每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完，利用进货总金额为180000元，含铁量一定列出二元一次方程组即可求解；

②设为包，根据题意，可以得到每日所获总利润与m的函数关系式，再根据A的数量不低于B的数量，可以得到m的取值范围，从而可以求得总利润的最大值．

【详解】

解：（1）设乙食材每千克进价为元，则甲食材每千克进价为元，

由题意得，解得．

经检验，是所列方程的根，且符合题意．

（元）．

答：甲、乙两种食材每千克进价分别为40元、20元．

（2）①设每日购进甲食材千克，乙食材千克．

由题意得，解得

答：每日购进甲食材400千克，乙食材100千克．

②设为包，则为包．

记总利润为元，则

．

的数量不低于的数量，

，．

，随的增大而减小。

当时，的最大值为2800元．

答：当为400包时，总利润最大．最大总利润为2800元．