2022-2023 数学浙教版新中考精讲精练 考点10函数与平面直角坐标系

考点10函数与平面直角坐标系

考点总结

1．平面直角坐标系的概念及点的坐标特征：

(1)各象限内点的坐标特征如图所示．

(2)点到坐标轴或坐标原点的距离：点P(x，y)到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|，到坐标原点的距离为．

(3)特殊点的坐标特征：点P(x，y)在x轴上为(x，0)，在y轴上为(0，y)．若在第一、三象限的角平分线上，则x＝y；若在第二、四象限的角平分线上，则x＋y＝0．

(4)坐标系内点的对称及平移：

将点P(x，y)向左(或右)平移a(a＞0)个单位，得对应点为(x－a，y)或(x＋a，y)．向上(或下)平移b(b＞0)个单位，得对应点为(x，y＋b)或(x，y－b)．

(5)平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征：

①平行于x轴的直线上，所有点的  纵  坐标相等．

②平行于y轴的直线上，所有点的  横  坐标相等．

2．函数与图象：

(1)函数的定义：

一般地，在某个变化过程中，设有两个变量x，y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值，那么就说y是x的函数，x叫做自变量．

(2)函数自变量的取值范围：

由表达式给出的函数，自变量的取值范围应使表达式有意义．对于实际意义的函数，自变量的取值范围还应使实际问题有意义．

(3)函数的三种表示方法：

①解析法；②列表法；③图象法．

(4)函数图象的画法：

①列表；②描点；③连线．

真题演练

一、单选题

1．（2021·浙江舟山·一模）如图是棋盘的一部分，建立适当的平面直角坐标系，已知棋子“车”的坐标为（-2,1），棋子“马”的坐标为（3，-1），则棋子“炮”的坐标为（   ）

A．（1，1） B．（2，1） C．（2，2） D．（3，1）

【答案】B

【分析】

直接利用已知点坐标建立平面直角坐标系进而得出答案．

【详解】

解：根据棋子“车”的坐标为（-2,1），建立如下平面直角坐标系：

∴棋子“炮”的坐标为（2，1），

故答案为：B．

2．（2021·浙江·杭州市十三中教育集团（总校）二模）在平面直角坐标系中，对于点，若，则称点为“同号点”．下列函数的图象不存在“同号点”的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

根据题意可知图象经过第一和第三象限的函数都是满足条件的，由此分析判断即可．

【详解】

解：由题意，图象经过第一和第三象限的函数都是满足条件的，
函数的图象在二四象限，不满足条件，
故选：C．

3．（2021·浙江滨江·三模）以方程组的解为坐标，点在（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【分析】

此题可解出的、的值，然后根据、的值可以判断出该点在何象限内．

【详解】

解：，

①②得，，

解得，．

把代入①得，，

解得．

，，根据各象限内点的坐标特点可知，

点在平面直角坐标系中的第一象限．

故选：A．

4．（2021·浙江义乌·一模）在平面直角坐标系中，位于第三象限的点是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

根据点坐标与象限的特征解题，各象限的点坐标的符号特征为：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限，轴上点的特征是纵坐标为0，轴上点的坐标特征是横坐标为0．

【详解】

解：A.在轴上，故A错误；

B.在第四象限，故B错误；

C.在第三象限，故C正确；

D.在第二象限，故D错误，

故选：C．

5．（2021·浙江杭州·三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点D在y轴上，且A（﹣3，0），B（2，b），则b的值为（　　）

A．3 B．2 C．﹣3 D．﹣2

【答案】C

【分析】

作BM⊥x轴于M．只要证明△DAO≌△ABM，推出OA＝BM，AM＝OD，由A（﹣3，0），B（2，b），推出OA＝3，可得b＝．

【详解】

解：作BM⊥x轴于M．

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD＝AB，∠DAB＝90°，

∴∠DAO+∠BAM＝90°，∠BAM+∠ABM＝90°，

∴∠DAO＝∠ABM，

∵∠AOD＝∠AMB＝90°，

在△DAO和△ABM中，

，

∴△DAO≌△ABM（AAS），

∴BM＝OA，

∵A（，0），B（2，b），

∴BM＝OA＝3，

∴b＝．

故选：C．

6．（2021·浙江杭州·二模）已知点E（x0，yo），点F（x2．y2），点M（x1，y1）是线段EF的中点，则x1＝，y1＝．在平面直角坐标系中有三个点A（1，﹣1），B（﹣1，﹣1），C（0，1），点P（0，2）关于点A的对称点P1（即P，A，P1三点共线，且PA＝P1A），P1关于点B的对称点P2，P2关于点C的对称点P3，…按此规律继续以A，B，C三点为对称点重复前面的操作．依次得到点P4，P5，P6…，则点P2020的坐标是（　　）

A．（4，0） B．（﹣2，2） C．（2，﹣4） D．（﹣4，2）

【答案】B

【分析】

根据题意可得前6个点的坐标，即可发现规律每6个点一组为一个循环，根据2020÷6=336…4，进而可得点P2020的坐标．

【详解】

解：∵A（1，﹣1），B（﹣1，﹣1），C（0，1），

点P（0，2）关于点A的对称点P1，

∴，，

解得x＝2，y＝﹣4，

所以点P1（2，﹣4）；

同理：

P1关于点B的对称点P2，

所以P2（﹣4，2）

P2关于点C的对称点P3，

所以P3（4，0），

P4（﹣2，﹣2），

P5（0，0），

P6（0，2），

…，

发现规律：

每6个点一组为一个循环，

∴2020÷6＝336…4，

所以点P2020的坐标是（﹣2，﹣2）．

故选：B．

7．（2021·浙江宁波·二模）在平面直角坐标系中，点，则点P不可能在（   ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【分析】

根据坐标平面内点的坐标特征逐项分析即可.

【详解】

A. 若点在第一象限，则有：   

，

解之得

m>1，

∴点P可能在第一象限；

B. 若点在第二象限，则有：   

，

解之得

不等式组无解，

∴点P不可能在第二象限；

C. 若点在第三象限 ，则有：  

，

解之得

m<1，

∴点P可能在第三象限；

D. 若点在第四象限，则有：

，

解之得

0<m<1，

∴点P可能在第四象限；

故选B.

8．（2021•阳谷县校级模拟）小刘下午5点30分放学匀速步行回家，途中路过鲜花店为过生日的妈妈选购了一束鲜花，6点20分到家，已知小刘家距学校3千米，下列图象中能大致表示小刘离学校的距离S（千米）与离校的时间t（分钟）之的关系的是（　　）

A． B． 

C． D．

【答案】解：∵小刘家距学校3千米，

∴离校的距离随着时间的增大而增大，

∵路过鲜花店为过生日的妈妈选购了一束鲜花，

∴中间有一段离家的距离不再增大，离校50分钟后离校的距离最大，即3千米．

综合以上C符合，

故选：C．

9．（2021秋•下城区期末）已知点A的坐标为（a+1，3﹣a），下列说法正确的是（　　）

A．若点A在y轴上，则a＝3 

B．若点A在一三象限角平分线上，则a＝1 

C．若点A到x轴的距离是3，则a＝±6 

D．若点A在第四象限，则a的值可以为﹣2

【答案】解：A．若点A在y轴上，则a+1＝0，解得a＝﹣1，故本选项错误；

B．若点A在一三象限角平分线上，则a+1＝3﹣a，解得a＝1，故本选项正确；

C．若点A到x轴的距离是3，则|3﹣a|＝3，解得a＝6或0，故本选项错误；

D．若点A在第四象限，则a+1＞0，且3﹣a＜0，解得a＞3，故a的值不可以为﹣2；

故选：B．

10．（2021秋•市中区期末）点M在第二象限，距离x轴5个单位长度，距离y轴3个单位长度，则M点的坐标为（　　）

A．（5，﹣3） B．（﹣5，3） C．（3，﹣5） D．（﹣3，5）

【答案】解：∵点P位于第二象限，

∴点的横坐标为负数，纵坐标为正数，

∵点距离x轴5个单位长度，距离y轴3个单位长度，

∴点的坐标为（﹣3，5）．

故选：D．

二、填空题

11．（2021·浙江宁波·中考真题）在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点，我们把点称为点A的“倒数点”．如图，矩形的顶点C为，顶点E在y轴上，函数的图象与交于点A．若点B是点A的“倒数点”，且点B在矩形的一边上，则的面积为_________．

【答案】或

【分析】

根据题意，点B不可能在坐标轴上，可对点B进行讨论分析：①当点B在边DE上时；②当点B在边CD上时；分别求出点B的坐标，然后求出的面积即可．

【详解】

解：根据题意，

∵点称为点的“倒数点”，

∴，，

∴点B不可能在坐标轴上；

∵点A在函数的图像上，

设点A为，则点B为，

∵点C为，

∴，

①当点B在边DE上时；

点A与点B都在边DE上，

∴点A与点B的纵坐标相同，

即，解得：，

经检验，是原分式方程的解；

∴点B为，

∴的面积为：；

②当点B在边CD上时；

点B与点C的横坐标相同，

∴，解得：，

经检验，是原分式方程的解；

∴点B为，

∴的面积为：；

故答案为：或．

12．（2021·浙江苍南·模拟预测）如图，直线：交轴于点，为轴正半轴上一点，轴交直线于点，，交于点，记的面积为，的面积为，当时，的长为______．

【答案】6

【分析】

设点B的坐标为，再表示出点点的坐标，求解的坐标，再根据可以得到然后即可求得点B的横坐标，从而可以得到OB的长．

【详解】

解：设点B的坐标为，

∵直线：，

∴当x=0时，y=b， 即点A的坐标为（0，b），

∵

∴ 即

∴

解得（舍去），

∴OB=6，

故答案为：6．

13．（2021·浙江金东·一模）如图，动点P从(0，3)出发，沿所示的方向运动，每当碰到矩形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2021次碰到矩形的边时，点P的坐标为_____．

【答案】（1，4）

【分析】

根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2021除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可．

【详解】

解： 如图，

经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），反射角等于入射角，等于45°，

∵P从(0，3)出发，∴第一次反弹的碰触点为（3,0），第二次反弹的碰触点为（7,4），第三次反弹的碰触点为（8,3），第四次反弹的碰触点为（5,0），第五次反弹的碰触点为（1,4），第六次反弹的碰触点为（0,3），依次循环，

∵2021÷6=336…5，

∴当点P第2021次碰到矩形的边时为第336个循环组的第5次反弹，

点P的坐标为（1，4）．

故答案为：（1，4）．

14．（2021·浙江·杭州育才中学二模）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（﹣3，3），点B在x轴上，若△OAB是直角三角形（O为原点），则线段AB上任意一点可表示为_______________．

【答案】(-3，y)，(0≤y≤3)或(y-6，y)，(0≤y≤3)

【分析】

分两种情况：①当AB⊥OB时，②当AB⊥OA时，解答即可．

【详解】

分两种情况：

①当AB⊥OB时，∠ABO=90º，

此时AB=OB，点B的坐标是(-3，0)，

∴∆ABO为等腰直角三角形，

∵点P为线段AB上任意一点，

∴P点的横坐标为-3，

∴线段AB上任意一点可表示为(-3，y)，(0≤y≤3)；

②当AB⊥OA时，∠OAB=90º，

此时AB=OA，∆OAB为等腰直角三角形，点B的坐标是(-6，0)，

设直线AB的解析式为y=k(x+b)(k≠0)，

经过A点(-3，3)，代入y=k(x+b)得到3=k(-3+6)，解得：k=1，

∴直线AB的解析式为：y=x+6，

∴线段AB上任意一点可表示为(y-6，y)，(0≤y≤3)；

综上：当∠ABO=90º，线段AB上任意一点可表示为(-3，y)，(0≤y≤3)；

当∠OAB=90º，线段AB上任意一点可表示为(y-6，y)，(0≤y≤3)；

故答案为：(-3，y)，(0≤y≤3)或(y-6，y)，(0≤y≤3)．

15．（2021·浙江杭州·一模）不透明的盒子中装有除标号外完全相同的4个小球，小球上分别标有数-4，-2，3，5．从盒子中随机抽取一个小球，数记为，再从剩下的球中随机抽取一个小球，数记为，则使得点在第四象限的概率为______．

【答案】

【分析】

画树状图展示所有12种等可能的结果，找出点在第四象限的结果数，然后根据概率公式求解．

【详解】

解：画树状图为：

共有12种等可能的结果，其中点在第四象限的结果数为1，

所以使得点在第四象限的概率=．

故答案为：．

三、解答题

16．（2021·浙江鹿城·二模）在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的平行四边形为整点平行四边形．如图，已知整点，，请在所给网格区域内按要求画以A，B，C，D为顶点的整点平行四边形．

（1）在图1中画出点C，D，使点C的横、纵坐标之和等于点D的横、纵坐标之和的3倍；

（2）在图2中画出点C，D，使点C的横、纵坐标之积等于点D的横、纵坐标之积的2倍．

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【分析】

（1）设点坐标为,点坐标为，根据已知条件，求出与的关系，从而求得点、点；

（2）设点坐标为,点坐标为，根据已知条件，求出点之间的关系，从而求得点、点．

【详解】

解：（1）设点坐标为,点坐标为

∵点C的横、纵坐标之和等于点D的横、纵坐标之和的3倍

∴

即

令，解得

点坐标为,点坐标为，在图中标记出格点，连接、、、即可；

（2）设点坐标为,点坐标为

∵C的横、纵坐标之积等于点D的横、纵坐标之积的2倍

∴

又∵A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形

∴（以为边）

解得

令，解得

∴点坐标为,点坐标为，在图中标记出格点，连接、、、即可；

17．（2021春•温州期中）如图1，在菱形ABCD中，动点P从点C出发，沿C﹣A﹣D运动至终点D．设点P的运动路程为x（cm），△BCP的面积为y（cm2）．若y与x的函数图象如图2所示，则图中a的值为　　．

【分析】从图2知，AC＝5，AD＝2a，在△ABC中利用S△ABC＝AC×BH＝5×BH＝4a，求得BH＝，最后在Rt△HBC中，利用勾股定理即可求解．

【答案】解：从图2知，AC＝5，AD＝2a，

当点P在点A时，此时，y＝4a＝S△BCP＝S△ABC，

此时，AB＝BC＝AD＝2a，

即△ABC为等腰三角形，

过点B作BH⊥AC于点H，则CH＝AH＝AC＝，

在△ABC中，S△ABC＝AC×BH＝5×BH＝4a，解得BH＝，

在Rt△HBC中，BC2＝BH2+CH2，即（2a）2＝（）2+（）2，

解得a＝（舍去负值），

故答案为．