2022-2023 数学鲁教版新中考精讲精练 考点10 反比例函数

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考点10 反比例函数
考点总结
一、反比例函数的概念
1．反比例函数的概念：一般地，函数（k是常数，k≠0）叫做反比例函数．反比例函数的解析式也可以写成的形式．自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数．
2．反比例函数（k是常数，k0）中x，y的取值范围
自变量x和函数值y的取值范围都是不等于0的任意实数．
二、反比例函数的图象和性质
1．反比例函数的图象与性质
（1）图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．
（2）性质：当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小．
当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．
表达式
（k是常数，k≠0）
k
k>0
k<0
大致图象


所在象限
第一、三象限
第二、四象限
增减性
在每个象限内，y随x的增大而减小
在每个象限内，y随x的增大而增大
2．反比例函数图象的对称性
反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=x和y=-x，对称中心为原点．
3．注意
（1）画反比例函数图象应多取一些点，描点越多，图象越准确，连线时，要注意用平滑的曲线连接各点．
（2）随着|x|的增大，双曲线逐渐向坐标轴靠近，但永不与坐标轴相交，因为反比例函数中x≠0且y≠0．
（3）反比例函数的图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象限内的增减情况．当k>0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k>0时，y随x的增大而减小．同样，当k<0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大．
三、反比例函数解析式的确定
1．待定系数法：确定解析式的方法仍是待定系数法，由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式．
2．待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤
（1）设反比例函数解析式为（k≠0）；
（2）把已知一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程；
（3）解这个方程求出待定系数k；
（4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式．
四、反比例函数中|k|的几何意义
1．反比例函数图象中有关图形的面积

2．涉及三角形的面积型
当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解．
（1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S△ABC=2S△ACO=|k|；

（2）如图②，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C，则S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=；
（3）如图③，已知反比例函数的图象上的两点，其坐标分别为，，C为AB延长线与x轴的交点，则S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=．
五、反比例函数与一次函数的综合
1．涉及自变量取值范围型
当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标．针对时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围.例如，如下图，当时，x的取值范围为或；同理，当时，x的取值范围为或．

2．求一次函数与反比例函数的交点坐标
（1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定.
①k值同号，两个函数必有两个交点；②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点；
（2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况．
六、反比例函数的实际应用
解决反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，特别注意自变量的取值范围．
真题演练
一．选择题（共10小题）
1．（2021•胶州市校级模拟）若点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）都在反比例函数y＝的图象上，且x1＜x2＜0＜x3，则（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y1＞y2 D．y1＞y3＞y2
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据x1＜x2＜0＜x3即可得出结论
【解答】解：∵反比例函数y＝中k＝5＞0，
∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小．
∵x1＜x2＜0，
∴A、B两点在第三象限，C点在第一象限，
∴y3＞y1＞y2．
故选：C．
2．（2021•张店区二模）如图，A是反比例函数y＝（x＞0）的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，C为y轴上的一点，连接AC、BC，则△ABC的面积为（　　）

A．6 B．3 C．2 D．
【分析】连接OA，得到△ABC和△OAB的面积相等，然后结合反比例函数的比例系数k的几何意义求得△ABC的面积．
【解答】解：连接OA，
∵AB⊥x轴，
∴AB∥y轴，S△OAB＝＝，
∴S△ABC＝S△OAB＝，
故选：D．

3．（2021•任城区校级一模）若双曲线y＝在第二、四象限，那么关于x的方程ax2+2x+1＝0的根的情况为（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．无实根
【分析】由双曲线y＝在第二、四象限，可得出a＜0，进而可得出Δ＝22﹣4a＞0，再利用根的判别式可得出于x的方程ax2+2x+1＝0有两个不相等的实数根．
【解答】解：∵双曲线y＝在第二、四象限，
∴a＜0，
∵关于x的方程ax2+2x+1＝0，
∴Δ＝22﹣4a＞0，
∴关于x的方程ax2+2x+1＝0有两个不相等的实数根．
故选：A．
4．（2021•郯城县模拟）已知反比例函数y＝的图象经过点P（﹣2021，2022），则这个函数的图象位于（　　）
A．一三象限 B．二三象限 C．三四象限 D．二四象限
【分析】由P点的坐标判断P点在第二象限，根据反比例函数的性质即可判断这个函数的图象位于二四象限．
【解答】解：∵点P（﹣2021，2022），
∴点P在第二象限，
∵反比例函数y＝的图象经过点P（﹣2021，2022），
∴这个函数的图象位于二四象限，
故选：D．
5．（2021•市北区一模）若函数的图象与一次函数y＝kx+2的图象有公共点，则k的取值范围是（　　）
A．k≥ B．k≥，且k≠0
C．k≤，且k≠0 D．k≤
【分析】先由两解析式组成方程组，消去y得到关于x的一元二次方程kx2+2x﹣4＝0，根据题意得到此方程有两个不相等的实数根，则Δ＝22+16k≥0，然后解不等式即可求解．
【解答】解：由得kx+2＝，
整理得kx2+2x﹣4＝0，
∵图象有公共点，
∴Δ＝22+4•k×4≥0，
∴k≥﹣．
∴k的取值范围是k≥﹣且k≠0，
故选：B．
6．（2021•德州）小红同学在研究函数y＝|x|+的图象时，发现有如下结论：①该函数有最小值；②该函数图象与坐标轴无交点；③当x＞0时，y随x的增大而增大；④该函数图象关于y轴对称；⑤直线y＝8与该函数图象有两个交点，则上述结论中正确的个数为（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】利用函数的图象和函数的增减性的特征对每一个选项进行分析判断得出结论．
【解答】解：列表：
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
1
2
3
4
…
y
…
5

4
5
5
4

5
…
画出函数图象如图，

观察图象：
①该函数有最小值，符合题意；
②该函数图象与坐标轴无交点，符合题意；
③当x＞0时，y随x的增大而增大，不合题意；
④该函数图象关于y轴对称，符合题意；
⑤令|x|+＝8，整理得x2﹣8x+4＝0或x2+8x+4＝0，
∵Δ＝82﹣4×1×4＞0，
∴两个方程均有两个不相等的实数根，即共有四个根，且这四个根互不相等．
∴直线y＝8与该函数图象有四个交点，不符合题意，
综上，以上结论正确的有：①②④，
故选：B．
7．（2021•德州）已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）都在反比例函数y＝（a是常数）的图象上，且y1＜y2＜0＜y3，则x1，x2，x3的大小关系为（　　）
A．x2＞x1＞x3 B．x1＞x2＞x3 C．x3＞x2＞x1 D．x3＞x1＞x2
【分析】先判断k＝a2+1＞0，可知反比例函数的图象在一、三象限，再利用图象法可得答案．
【解答】解：∵a2+1＞0，
∴反比例函数y＝（a是常数）的图象在一、三象限，
如图所示，当y1＜y2＜0＜y3时，x3＞0＞x1＞x2，
故选：D．

8．（2021•济南）反比例函数y＝（k≠0）图象的两个分支分别位于第一、三象限，则一次函数y＝kx﹣k的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据反比例函数的性质可得k＞0，从而可判断出﹣k＜0，然后再判断一次函数y＝kx﹣k的图象图象所经过象限即可．
【解答】解：∵反比例函数y＝（k≠0）图象的两个分支分别位于第一、三象限，
∴k＞0，
∴﹣k＜0，
∴一次函数y＝kx﹣k的图象图象经过第一、三、四象限，
故选：D．
9．（2021•滨州）如图，在△OAB中，∠BOA＝45°，点C为边AB上一点，且BC＝2AC．如果函数y＝（x＞0）的图象经过点B和点C，那么用下列坐标表示的点，在直线BC上的是（　　）

A．（﹣2019，674） B．（﹣2020，675）
C．（2021，﹣669） D．（2022，﹣670）
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，求出B、C点的坐标，再写出BC解析式，再判断点在BC上．
【解答】解：作BD⊥OA，CE⊥OA，

∵∠BOA＝45°，
∴BD＝OD，
设B（a，a），
∴，
∴a＝3或a＝﹣3（舍去），
∴BD＝OD＝3，
B（3，3），
∵BC＝2AC．
∴AB＝3AC，
∵BD⊥OA，CE⊥OA，
∴BD∥CE，
.∴△ABD∽△ACE
∵＝3，
∴，
∴CE＝1，
∵图象经过点C，
∴，
∴x＝9，
C（9，1）
设BC的解析式为y＝kx+b，
，
解得，
∴x+4，
当x＝﹣2019时，y＝677，
当x＝﹣2020时，y＝677，
当x＝2021时，y＝﹣669，
当x＝2022时，y＝﹣670，
故选：D．
10．（2021•枣庄）在平面直角坐标系xOy中，直线AB垂直于x轴于点C（点C在原点的右侧），并分别与直线y＝x和双曲线y＝相交于点A，B，且AC+BC＝4，则△OAB的面积为（　　）
A．2+或2﹣ B．2+2或2﹣2 C．2﹣ D．2+2
【分析】先求出点A，点B坐标，可得AC＝x＝OC，BC＝，由AC+BC＝4，可求x的值，由三角形的面积公式可求解．
【解答】解：设点C（x，0），
∵直线AB与直线y＝x和双曲线y＝相交于点A，B，
∴点A（x，x），点B（x，），
∴AC＝x＝OC，BC＝，
∵AC+BC＝4，
∴x+＝4，
∴x＝2±，
当x＝2+时，AC＝2+＝OC，BC＝2﹣，
∴AB＝2，
∴△OAB的面积＝×BA×OC＝2+2；
当x＝2﹣时，AC＝2﹣＝OC，BC＝2+，
∴AB＝2，
∴△OAB的面积＝×BA×OC＝2﹣2；
综上所述：△OAB的面积为2+2或2﹣2，
故选：B．
二．填空题（共5小题）
11．（2021•潍城区二模）如图，在矩形AOBC中，OB＝8，OA＝6，分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F是边BC上的一个动点（不与B，C重合），过F点的反比例函数y＝（k＞0）的图象与AC边交于点E，将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上的点D处，则k的值为 　　．

【分析】证明Rt△MED∽Rt△BDF，则 ＝＝，而EM：DB＝ED：DF＝4：3，求出DB，在Rt△DBF中，利用勾股定理即可求解．
【解答】解：如图，过点E作EM⊥x轴于点M，

∵将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上的D点处，
∴∠EDF＝∠C＝90°，EC＝ED，CF＝DF，
∴∠MDE+∠FDB＝90°，
而EM⊥OB，
∴∠MDE+∠MED＝90°，
∴∠MED＝∠FDB，
∴Rt△MED∽Rt△BDF；
又∵EC＝AC﹣AE＝8﹣，CF＝BC﹣BF＝6﹣，
∴ED＝8﹣，DF＝6﹣，
∴＝＝；
∵EM：DB＝ED：DF＝4：3，而EM＝6，
∴DB＝，
在Rt△DBF中，DF2＝DB2+BF2，即（6﹣）2＝（）2+（）2，
解得k＝，
故答案为．
12．（2021•周村区一模）若双曲线y＝向右平移2个单位后经过点（4，1），则k的值是 　3　．
【分析】首先根据“双曲线y＝向右平移2个单位后经过点（4，1）”得到双曲线没有移动前经过的点的坐标，从而确定k的取值．
【解答】解：∵双曲线y＝向右平移2个单位后经过点（4，1），
∴双曲线没有移动时经过（2，1），
∴k﹣1＝2×1，
解得：k＝3，
故答案为3．
13．（2021•青岛模拟）如图，正方形ABCD的两个顶点B，D在反比例函数y＝的图象上，对角线AC，BD的交点恰好是坐标原点O．已知正方形的面积为2，则k的值是 　﹣　．

【分析】根据正方形的性质得到四边形OMBN的面积，再根据反比例函数系数k的几何意义即可求出答案．
【解答】解：根据正方形的性质可知，
S四边形OMBN＝S正方形ABCD＝×2＝|k|，
∵k＜0，
∴k＝﹣，
故答案为：﹣．

14．（2021•沂南县模拟）若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“H函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“H点”．根据该约定，下列关于x的函数：①y＝2x；②y＝（m≠0）；③y＝3x﹣1；④y＝x2．其中是“H函数”的为 　①②　．（填上序号即可）
【分析】根据“H函数”的定义判断即可．
【解答】解：（1）①y＝2x是“H函数”．②y＝（m≠0）是“H函数”．③y＝3x﹣1不是“H函数”，④y＝x2不是“H函数”．
故答案为①②．
15．（2021•潍坊模拟）如图，若点M是x轴正半轴上任意一点，过点M作PQ∥y轴，分别交函数y＝（x＞0）和y＝（x＞0）的图象于点P和Q，连接OP和OQ．则下列结论：
①∠POQ可能等于90°；
②＝；
③当k1+k2＝0时，OP＝OQ；
④△POQ的面积是|k1+k2|．
其中一定正确的是 　①③　．

【分析】①点M从点O出发，沿着x轴正方向运动，∠POQ从180°逐渐趋向于0°，因而必存在某一时刻，使得∠POQ＝90°，故①正确；
②易得＜0，＞0，因而等式不成立，故②不正确；
③由PQ∥y轴可得OM⊥PQ，k1＝OM•PM，k2＝﹣OM•QM，由k1+k2＝0可得，PM＝QM，根据垂直平分线的性质可得OM＝OQ，故③正确；
④△POQ的面积等于△OMP的面积和△OMQ的面积，可得等式，进而判断④不正确．
【解答】解：①点M从点O出发，沿着x轴正方向运动，∠POQ从180°逐渐趋向于0°，因而必存在某一时刻，使得∠POQ＝90°，故①正确；
②∵k1＞0，k2＜0，
∴＜0，
∵＞0，
∴≠；
故②不正确；
③∵PQ∥x轴，
∴OM⊥PQ，|k1|＝OM•PM，|k2|＝OM•QM，
∵k1＞0，k2＜0，
∴k1＝OM•PM，k2＝﹣OM•QM，
∵k1+k2＝0，
∴OM•PM﹣OM•QM＝0，
∴PM＝QM，
∴OP＝OQ，
故③正确；
④S△POQ＝S△OMP+S△OMQ
＝OM•PM+OM•QM
＝（k1﹣k2）≠|k1+k2|．
故④不正确．
故答案为：①③．
三．解答题（共3小题）
16．（2021•博山区一模）如图，已知反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（4，2），过A作AC⊥y轴于点C．点B为反比例函数图象上的一动点，过点B作BD⊥x轴于点D，连接AD．直线BC与x轴的负半轴交于点E．
（1）求k的值；
（2）连接CD，求△ACD的面积；
（3）若BD＝3OC，求四边形ACED的面积．

【分析】（1）根据题意直接用待定系数法将A点代入即可得出答案；
（2）由题意先求出AC和DF，进而根据三角形面积公式进行计算即可得出答案；
（3）由题意求出直线BC的解析式，可得E点的坐标，求出DE，OC，AC，即可利用梯形面积公式解决问题．
【解答】解：∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（4，2），
∴2＝，
∴k＝8；
（2）如图，

∵AC⊥y轴，BD⊥x轴，A（4，2），
∴AC＝4，DF＝OC＝2，
∴S△ACD＝，
（3）反比例函数的解析式为：y＝（x＞0），
∵BD＝3OC，
∴BD＝3×2＝6，
∵BD⊥x轴，
∴点B的纵坐标为6，代入y＝，得：6＝，
解得：x＝，
∵B（），C（0，2），设直线BC的解析式为：y＝mx+b，
则，
解得：
∴直线BC的解析式为：y＝3x+2，令y＝0，得：3x+2＝0，
解得：x＝﹣，
∴E（﹣），
∴DE＝＝2，
∵AC∥DE，
∴S四边形ACED＝．
17．（2021•青岛一模）如图，直线y1＝k1x+b与双曲线y2＝在第一象限内交于A、B两点，已知A（1，m），B（2，1）．
（1）分别求出直线和双曲线的解析式；
（2）设点P是线段AB上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，E是y轴上一点，当△PED的面积最大时，请直接写出此时P点的坐标为 　（，）　．

【分析】（1）依据反比例函数图象上点的坐标特征，即可得到m和k2的值，再根据待定系数法即可得出直线AB的解析式；
（2）设点P（x，﹣x+3），用含x的代数式表示出△PED的面积，即可求解．
【解答】解：（1）∵点B（2，1）在双曲线上，
∴k2＝2×1＝2，
∴双曲线的解析式为y2＝，
∵A（1，m）在双曲线y2＝，
∴m＝2，
∴A（1，2）．
∵直线AB：y1＝k1x+b过A（1，2）、B（2，1）两点，则，解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3；

（2）设点P（x，﹣x+3），且1≤x≤2，
△PED的面积＝PD•OD＝x（﹣x+3）＝﹣（x﹣）2+，
当x＝时，△PED的面积取得最大值，
此时点P的坐标为（，），
故答案为（，）．
18．（2021•崂山区二模）从﹣3，﹣1，1，3中任取一个值作为横坐标a，不放回再任取一个作为纵坐标b，请用树状图或列表的方法求点M（a，b）在双曲线y＝的图象上的概率．
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式求解可得．
【解答】解：列表如下：

﹣3
﹣1
1
3
﹣3

（﹣3，﹣1）
（﹣3，1）
（﹣3，3）
﹣1
（﹣1，﹣3）

（﹣1，1）
（﹣1，3）
1
（1，﹣3）
（1，﹣1）

（1，3）
3
（3，﹣3）
（3，﹣1）
（3，1）

∵组成的点（a，b）共有12个，
其中在双曲线的图象上的有4种，
∴M在双曲线的图象上的概率为：．