2022-2023 数学浙教版新中考精讲精练 考点29锐角三角函数

考点29锐角三角函数

考点总结

1．锐角三角函数的意义：

如图，在Rt△ABC中，设∠C＝90°，∠α为Rt△ABC的一个锐角，则：

∠α的正弦sinα＝；

∠α的余弦cosα＝；

∠α的正切tanα＝

2．同角三角函数之间的关系：

sin2A＋cos2A＝  1  ，tanA＝．

3．互余两角三角函数之间的关系：

(1)sinα＝cos(90°－α)，cosα＝sin(90°－α)．

(2)tanα·tan(90°－α)＝1.

(3)锐角的正弦值或正切值随着角度的增大而增大，锐角的余弦值随着角度的增大而减小．

(4)对于锐角A有0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0.

4．特殊的三角函数值：

5．如图，直角三角形的三条边与三个角这六个元素中，有如下的关系：

(1)三边的关系(勾股定理)：a2＋b2＝c2．

(2)两锐角间的关系：∠A＋∠B＝90°．

(3)边与角的关系：sinA＝cosB＝，

cosA＝sinB＝，tanA＝，tanB＝．

6．直角三角形的边角关系在现实生活中有着广泛的应用，它经常涉及测量、工程、航海、航空等，其中包括了一些概念，一定要根据题意理解其中的含义才能正确解题．

(1)仰角：向上看时，视线与水平线的夹角，如图．

(2)俯角：向下看时，视线与水平线的夹角，

(3)坡角：坡面与水平面的夹角．

(4)坡度：坡面的铅直高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，一般情况下，我们用h表示坡的铅直高度，用l表示坡的水平宽度，用i表示坡度，即i＝＝tanα，显然，坡度越大，坡角就越大，坡面也就越陡，如图．

(5)方向角：指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的锐角叫做方向角，如图32­4．

真题演练

一、单选题

1．（2021·浙江台州·中考真题）如图，将长、宽分别为12cm，3cm的长方形纸片分别沿AB，AC折叠，点M，N恰好重合于点P．若∠α＝60°，则折叠后的图案（阴影部分）面积为（   ）

A．（36）cm2 B．（36）cm2 C．24 cm2 D．36 cm2

【答案】A

【分析】

过点C作，过点B作，根据折叠的性质求出，，分别解直角三角形求出AB和AC的长度，即可求解．

【详解】

解：如图，过点C作，过点B作，

∵长方形纸片分别沿AB，AC折叠，点M，N恰好重合于点P，

∴，

∴，

∴，，，

∴，

∴，

故选：A．

2．（2021·浙江金华·中考真题）如图是一架人字梯，已知米，AC与地面BC的夹角为，则两梯脚之间的距离BC为（    ）

A．米 B．米 C．米 D．米

【答案】A

【分析】

根据等腰三角形的性质得到，根据余弦的定义即可，得到答案．

【详解】

过点A作，如图所示：

∵，，

∴，

∵，

∴，

∴，

故选：A．

3．（2021·浙江温州·中考真题）图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若．，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

根据勾股定理和三角函数求解．

【详解】

∵在中，，

∴

在中，，

故选：A．

4．（2021·浙江·中考真题）如图，已知在矩形中，，点是边上的一个动点，连结，点关于直线的对称点为，当点运动时，点也随之运动．若点从点运动到点，则线段扫过的区域的面积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

先判断出点Q在以BC为直径的圆弧上运动，再判断出点C1在以B为圆心，BC为直径的圆弧上运动，找到当点P与点A重合时，点P与点D重合时，点C1运动的位置，利用扇形的面积公式及三角形的面积公式求解即可．

【详解】

解：设BP与CC1相交于Q，则∠BQC=90°，

∴当点P在线段AD运动时，点Q在以BC为直径的圆弧上运动，

延长CB到E，使BE=BC，连接EC，

∵C、C1关于PB对称，

∴∠EC1C=∠BQC=90°，

∴点C1在以B为圆心，BC为直径的圆弧上运动，

当点P与点A重合时，点C1与点E重合，

当点P与点D重合时，点C1与点F重合，

此时，，

∴∠PBC=30°，

∴∠FBP=∠PBC=30°，CQ=，BQ=，

∴∠FBE=180°-30°-30°=120°，，

线段扫过的区域的面积是．

故选：B．

5．（2021·浙江丽水·中考真题）如图，是的直径，弦于点E，连结．若的半径为，则下列结论一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

根据垂径定理、锐角三角函数的定义进行判断即可解答．

【详解】

解：∵是的直径，弦于点E，

∴

在中，，

∴

∴，故选项A错误，不符合题意；

又

∴

∴，故选项B正确，符合题意；

又

∴

∵

∴，故选项C错误，不符合题意；

∵，

∴，故选项D错误，不符合题意；

故选B．

6．（2021·浙江宁波·中考真题）如图，在中，于点D，．若E，F分别为，的中点，则的长为（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】C

【分析】

根据条件可知△ABD为等腰直角三角形，则BD=AD，△ADC是30°、60°的直角三角形，可求出AC长，再根据中位线定理可知EF=。

【详解】

解：因为AD垂直BC，

则△ABD和△ACD都是直角三角形，

又因为

所以AD=，

因为sin∠C=，

所以AC=2，

因为EF为△ABC的中位线，

所以EF==1，

故选：C．

7．（2021·浙江绍兴·中考真题）如图，中，，，点D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE，使，连结CE，则的值为（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得出，在结合题意可得，即证明，从而得出，即易证，得出．再由等腰三角形的性质可知，，即证明，从而可间接推出．最后由，即可求出的值，即的值．

【详解】

∵在中，点D是边BC的中点，

∴，

∴，

∴．

∴，

∴在和中，，

∴，

∴，

∵为等腰三角形，

∴，，

∴，

∴，即．

∵，

∴，

∴．

故选D．

8．（2021·浙江·杭州市丰潭中学二模）如图，已知平面直角坐标系中，点A，B坐标分别为A（4，0），B（﹣6，0）．点C是y轴正半轴上的一点，且满足∠ACB＝45°，圆圆得到了以下4个结论：①△ABC的外接圆的圆心在OC上；②∠ABC＝60°；③△ABC的外接圆的半径等于5；④OC＝12．其中正确的是（　　）

A．①② B．②③ C．③④ D．①④

【答案】C

【分析】

如图，作出的外接圆，以AB为斜边在轴上方作等腰，过点E作轴于D，连接EC，过点E作轴于F，由圆心必然在弦的垂直平分线上可判断①；再证明E为外接圆圆心，求出半径，可判断③；再在中由勾股定理求出CF，可求得OC和，即可判断②④．

【详解】

解：如图，作出的外接圆，以AB为斜边在x轴上方作等腰，

过点E作轴于D，连接EC，过点E作轴于F，

∵的外接圆的圆心必在弦AB的垂直平分线上，

∴圆心肯定不在OC上，故①错误；

∵∠ACB＝45°，

∴由圆周角定理得：所对的圆心角必为90°，

∵EB＝EA，

∴在弦AB的垂直平分线上，

∵∠AEB＝90°，

∴E必为圆心，即AE、BE为半径，

∴，故③正确；

∵BD＝5，OB＝6，

∴OD＝1，

∵∠EDO＝∠DOF＝∠OFE＝90°，

∴OD＝EF＝1，ED＝FO＝5，

∴，

∴OC＝OF+FC＝12，故④正确；

∵，

∴∠ABC≠60°，故②错误；

故选：C．

9．（2021·浙江·杭州市采荷中学二模）如图，在中，，设，，所对的边分别为4，3，5，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

根据锐角三角函数的定义进行判断即可．

【详解】

解：在△ABC中，∠C=90°，设∠A、∠B，∠C所对的边分别为4，3，5，

所以sinB=，即3=5sinB，因此选项A不符合题意，选项B符合题意，

tanB=，即3=4tanB，因此选项C不符合题意，选项D不符合题意，

故选：B．

10．（2021·浙江·杭州市十三中教育集团（总校）二模）如图，已知中，，，分别为，的中点，连结，过作的平行线与的角平分线交于点，连结，若，，则的正弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

根据题意延长DF交AB于H，过F作FT⊥AB于T，连接CF，设DF=x，运用三角形中位线定理、全等三角形的性质以及锐角三角函数定义构建方程，求出x即可得出答案．

【详解】

解：延长DF交AB于H，过F作FT⊥AB于T，连接CF，

设DF=x，
∵DH∥AC，D为BC的中点，
∴H为AB的中点，
∴BH=AH，
∴DH是△ABC的中位线，
∴DH=AC=1，
∴FH=1-x，
∵FA平分∠CAB，FE⊥AC，FT⊥AB，
∴FE=FT，
∵E为AC的中点，FE⊥AC，
∴CF=AF，
在Rt△CFE和Rt△AFT中，
，
∴Rt△CFE≌Rt△AFT（HL），
∴AE=AT=1，
∵∠FAE=∠AFH=∠FAH，
∴FH=AH=BH=1-x，
∴TH=1-（1-x）=x，
∵∠C=∠BDH=∠TFH，
∴sin∠C=sin∠TFH，
∴，
解得：或（舍去），
∴，
∵DE=，
∴.

故选：A．

二、填空题

11．（2021·浙江绍兴·中考真题）图1是一种矩形时钟，图2是时钟示意图，时钟数字2的刻度在矩形ABCD的对角线BD上，时钟中心在矩形ABCD对角线的交点O上．若，则BC长为_______cm（结果保留根号）．

【答案】

【分析】

根据题意即可求得∠MOD=2∠NOD，即可求得∠NOD=30°，从而得出∠ADB=30°，再解直角三角形ABD即可．

【详解】

解：∵时钟数字2的刻度在矩形ABCD的对角线BD上，时钟中心在矩形ABCD对角线的交点O，

∴∠MOD=2∠NOD，
∵∠MOD+∠NOD=90°，
∴∠NOD=30°，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD//BC，∠A=90°，AD=BC，

∴∠ADB=∠NOD=30°，

∴

故答案为：．

12．（2021·浙江·中考真题）如图，已知在中，，则的值是______．

【答案】

【分析】

在直角三角形中，锐角的正弦=锐角的对边：直角三角形的斜边，根据定义直接可得答案．

【详解】

解： ，

故答案为：

13．（2021·浙江宁波·中考真题）如图，在矩形中，点E在边上，与关于直线对称，点B的对称点F在边上，G为中点，连结分别与交于M，N两点，若，，则的长为________，的值为__________．

【答案】2       

【分析】

由与关于直线对称，矩形证明再证明 可得 再求解 即可得的长； 先证明 可得： 设 则 再列方程，求解 即可得到答案．

【详解】

解： 与关于直线对称，矩形

矩形

为的中点，

如图， 四边形都是矩形，

设 则

解得：

经检验：是原方程的根，但不合题意，舍去，

故答案为：

14．（2021·浙江绍兴·中考真题）已知与在同一平面内，点C，D不重合，，，，则CD长为_______．

【答案】，，

【分析】

首先确定满足题意的两个三角形的形状，再通过组合得到四种不同的结果，每种结果分别求解，共得到四种不同的取值；图2、图3、图4均可通过过A点向BC作垂线，构造直角三角形，利用直角三角形的性质可求出相应线段的长，与CD关联即可求出CD的长；图5则是要过D点向BC作垂线，构造直角三角形，解直角三角形即可求解．

【详解】

解：如图1，满足条件的△ABC 与△ABD的形状为如下两种情况，点C，D不重合，则它们两两组合，形成了如图2、图3、图4、图5共四种情况；

如图2，，此时，，由题可知：

，

∴是等边三角形，

∴；

过A点作AE⊥BC，垂足为E点，

在中，∵，

∴,

;

在中，;

∴；

（同理可得到图4和图5中的，，．）

∴．

如图3，，此时，，由题可知：

，

∴是等边三角形，

∴；

过A点作AM⊥BC，垂足为M，

在中，∵，

∴,

;

在中，;

（同理可得到图4和图5中的，，．）

∴CD=；

如图4，由上可知：；

如图5，过D点作DN⊥BC，垂足为N点；

∵，

∴，

∴在中，,

；

∵,

∴在中，;

综上可得：CD的长为，，．

故答案为：，，．

15．（2021·浙江杭州·中考真题）sin30°的值为_____．

【答案】

【详解】

试题分析：根据特殊角的三角函数值计算即可：sin30°=．

三、解答题

16．（2021·浙江台州·中考真题）图1是放置在水平地面上的落地式话筒架实物图，图2是其示意图．支撑杆AB垂直于地l，活动杆CD固定在支撑杆上的点E处，若∠AED＝48°，BE＝110 cm，DE＝80 cm，求活动杆端点D离地面的高度DF．（结果精确到1cm，参考数据：sin48°≈0.74， cos48°≈0.67， tan48°≈1. 11）

【答案】

【分析】

过点E作，易得四边形EBFM是矩形，即，再通过解直角三角形可得，即可求解．

【详解】

解：过点E作，

∵，，，

∴，

∴四边形EBFM是矩形，

∴，

∵∠AED＝48°，

∴，

∴，

∴．

17．（2021·浙江杭州·中考真题）如图，在中，的平分线交边于点，于点．已知，．

（1）求证：．

（2）若，求的面积

【答案】（1）见解析；（2）

【分析】

（1）根据题意证明即可；

（2）根据特殊角的锐角三角函数求得BE、EC的长，用三角形面积公式计算即可．

【详解】

解：（1）因为平分，

所以．

所以，

又因为，

所以，

所以．

（2）由题意，得，，

所以，

所以的面积为．

18．（2021·浙江宁波·中考真题）我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，且，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动．如图2是伞完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈D已滑动到点的位置，且A，B，三点共线，，B为中点，当时，伞完全张开．

（1）求的长．

（2）当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离．（参考数据：）

【答案】（1）20cm；（2）26.4cm

【分析】

（1）根据中点的性质即可求得；

（2）过点B作于点E．根据等腰三角形的三线合一的性质求出．利用角平分线的性质求出∠BAE的度数，再利用三角函数求出AE，即可得到答案．

【详解】

解：（1）∵B为中点，

∴，

∵，

∴．

（2）如图，过点B作于点E．

∵，

∴．

∵平分，

∴．

在中，，

∴，

∴．

∵，

∴，

∴伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离为．