2022-2023学年江苏省扬州市第一中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省扬州市第一中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．若集合，，则=（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据交集的定义进行求解即可.

【详解】因为，，

所以，

故选：B

2．设命题，命题，则命题是命题成立的（    ）条件

A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要

【答案】A

【分析】求出命题对应不等式的解集，然后根据充要条件的定义即可求解.

【详解】解：因为命题，即或，又命题，

所以或，

所以命题是命题成立的充分不必要条件，

故选：A.

3．下图给出四个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是

①          ②            ③            ④

A．①，②，③，④

B．①，②，③，④

C．①，②，③，④

D．①，②，③，④

【答案】B

【分析】通过②的图象的对称性判断出②对应的函数是偶函数；①对应的幂指数大于1，通过排除法得到选项

【详解】②的图象关于y轴对称，②应为偶函数，故排除选项Ｃ，Ｄ，①由图象知，在第一象限内，图象下凸，递增的较快，所以幂函数的指数大于1，故排除Ａ

故选Ｂ．

【点睛】本题考查幂函数的图象与性质，幂函数的图象取决于幂指数．属于基础题．

4．已知正数，满足，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用基本不等式求和的最小值.

【详解】由，为正实数，

则，

当且仅当，即，时等号成立，

故选：D.

5．已知，，，则(　　)

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】将a、b、c化为的形式，利用函数的单调性即可进行大小比较.

【详解】由题意，，，，

因为函数在上单调递增，且，

所以，即a＞b＞c.

故选A.

【点睛】本题考查了利用幂函数的单调性比较大小，要求认真计算，仔细审题，关键是熟悉幂函数的性质，属基础题.

6．已知f(x－1)＝x2，则f(x)的解析式为（    ）

A．f(x)＝x2－2x－1 B．f(x)＝x2－2x＋1

C．f(x)＝x2＋2x－1 D．f(x)＝x2＋2x＋1

【答案】D

【解析】采用换元法即可求解

【详解】令，则，等价于，

故

故选：D

【点睛】本题考查换元法求解函数解析式，属于基础题

7．著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：．若常数，空气温度为，某物体的温度从下降到，大约需要的时间为（    ）（参考数据：）

A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟

【答案】D

【分析】将已知数据代入模型，解之可得答案.

【详解】由题知，，，

，，

，，.

故选：D.

8．已知偶函数在上单调递增，且，则满足的x的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】由题得函数在上单调递减，且，再根据函数的图象得到，解不等式即得解.

【详解】因为偶函数在上单调递增，且，

所以在上单调递减，且，

因为，

所以，

所以.

故选：B

【点睛】本题主要考查函数的单调性和奇偶性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

二、多选题

9．已知a>b>0，c>d>0，则下列不等式中一定成立的是（    ）

A．a+c>b+d B．a-c>b-d C．ac>bd D．

【答案】ACD

【分析】根据不等式的性质依次判断即可.

【详解】对A，若a>b>0，c>d>0，则a+c>b+d，故A正确；

对B，若a>b>0，c>d>0，如，则，故B错误；

对C，若a>b>0，c>d>0，则ac>bd，故C正确；

对D，若a>b>0，c>d>0，则，则，故D正确.

故选：ACD.

10．下列四个命题中，是真命题的有（    ）

A．且，

B．，

C．若，则

D．当时，不等式恒成立，则实数m的取值范围是

【答案】BCD

【分析】运用特例法，根据不等式的性质、基本不等式、常变量分离法，结合对钩函数的单调性进行逐一判断即可.

【详解】A：当时，显然不成立，因此本命题是假命题；

B：因为方程的判别式，

且二次函数的开口向上，所以恒成立，因此本命题是真命题；

C：因为，所以当时，有，

因此本命题是真命题；

D：当时，，

设，当时，该函数单调递减，所以，

要想不等式恒成立，只需，因此本命题是真命题，

故选：BCD

11．已知函数，满足的的值有（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【解析】设，则，再分别计算即可求出参数的值；

【详解】解：设，则

若，则，解得或（舍去），所以，当时，方程无解；当时，，解得或，满足条件；

若时，，即，，方程无解，

故选：AD

【点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．

(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．

12．对任意两个实数，定义，若，，下列关于函数的说法正确的是（　　）

A．函数是偶函数

B．方程有两个解

C．方程至少有三个根

D．函数有最大值为0，无最小值

【答案】ABD

【解析】由已知条件得到函数图象，结合图象即可判断选项正误.

【详解】由题意，可得如下函数图象，

∴由函数图象知：是偶函数，与x轴有两个交点，根的个数可能有0,2,3,4个，有最大值为0，无最小值.

故选：ABD

三、填空题

13．命题“”的否定是_____.

【答案】

【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可解答.

【详解】命题“”的否定是：.

故答案为：

14．有四个幂函数：① ；②；③ ；④ .某同学研究了其中的一个函数，并给出这个函数的三个性质：（1）偶函数；（2）值域是，且；（3）在上是增函数.如果给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是___________.（填序号）.

【答案】②

【分析】根据幂函数的性质分别写出四个函数的奇偶性、值域和单调性，再结合题干找出满足题意的即可.

【详解】对于①，结合幂函数的性质可知函数的定义域为，又因为，可知函数为奇函数，值域为，在区间上是减函数，只满足题干三个性质中的一个，所以①不是他研究的函数；

对于②，结合幂函数的性质可知函数的定义域为，又因为，可知函数为偶函数，值域为，在区间上是增函数，正好满足题干三个性质中的两个，所以②是他研究的函数；

对于③ ，结合幂函数的性质可知函数的定义域为，又因为，可知函数为奇函数，值域为，在区间上是增函数，只满足题干三个性质中的一个，所以③不是他研究的函数；

对于④ ，结合幂函数的性质可知函数的定义域为，又因为，可知函数为奇函数，值域为，在区间上是增函数，只满足题干三个性质中的一个，所以④不是他研究的函数.

故答案为：②.

15．已知函数在 上单调递增，则实数的取值范围为_________．（用区间表示）

【答案】##

【分析】根据分段函数的图象可知函数的单调区间，从而可列出实数满足的条件，解不等式即可求出实数的取值范围.

【详解】画出分段函数的图象，如图所示，

所以要使函数在上单调递增，

则或，解得或，

所以实数的取值范围为.

故答案为：.

16．不等式的解集为，则的最大值为____________.

【答案】

【分析】分、两种情况讨论，根据题意可得出、所满足的不等关系式，结合基本不等式可求得的最大值.

【详解】当时，即不等式的解集为，则，，

要使得有意义，此时，则；

当时，若不等式的解集为，则，即，

所以，，

因为，则，

当时，则，此时；

当时，则，令，则，

当且仅当时，等号成立.

综上所述，的最大值为.

故答案为：.

四、解答题

17．求下列各式的值：

(1)

(2)

【答案】(1)

(2)

【分析】根据指数式和对数式的运算性质即可求解.

【详解】（1）

（2）

18．设，集合，，若，且

(1)求集合；

(2)求集合

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）首先由条件确定，求得，再求集合；

（2）根据，确定，代入求，再求集合，最后求.

【详解】（1）由条件可知，，，

所以，解得：，

，解得：或，

所以

（2）因为，所以,代入，

解得：

代入集合，，解得：或

所以,

所以.

19．已知函数的定义域为集合，函数的定义域为集合，

(1)当时，求；

(2)设命题，命题，的充分不必要条件，求实数的取值范围．

【答案】(1)或

(2)或

【分析】（1）根据解分式不等式求出集合；把的值代入得到，由可求出集合，从而可求；

（2）通过解含参不等式可求出集合；根据的充分不必要条件可得出A是B的真子集，从而可求出实数的取值范围．

【详解】（1）由，得，即，

∴；

当时，，

由，得或，∴或，

∴或

（2）由得，

∴或，∴或，

因为p是q的充分不必要条件，所以A是B的真子集，

∴或，即或，

所以a的取值范围是或.

20．已知二次函数（，，均为常数，），若和3是函数的两个零点，且最大值为4.

(1)求函数的解析式；

(2)试确定一个区间，使得在区间内单调递减，且不等式在区间上恒成立.

【答案】(1)

(2)可取（答案不唯一）

【分析】（1）根据题意，得到方程组，求得的值，即可求解；

（2）由（1）得到函数的单调区间，把不等式转化为在区间上恒成立，求得不等式的解集为，结合题意，得到答案.

【详解】（1）解：由函数，且和3是函数的两个零点，最大值为4，

可得，解得，

所以函数的解析式为.

（2）解：由函数表示开口向下，对称轴为，

所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，

又由不等式在区间上恒成立，

即在区间上恒成立，

即在区间上恒成立，

又由不等式

因为，结合不等式的解法，可得，即不等式的解集为，

要使得在区间内单调递减，且不等式在区间上恒成立，

则满足，可取区间.

21．已知函数是定义在上的奇函数，当时，.

(1)求函数在上的解析式；

(2)用单调性定义证明函数在区间上是增函数.

【答案】(1) ;(2)证明见详解.

【解析】(1)根据奇函数的性质,可知,再利用时的解析式,求出时的解析式即可;

(2)直接利用定义法证明即可.

【详解】(1)是定义在上的奇函数,故,

当时,,

所以当时,,,

所以,

因此,;

(2)任取,

则

,

,

,则

所以,即,

所以函数在区间上是增函数.

【点睛】本题考查奇偶性的应用以及定义法证明单调性,难度不大.利用奇偶性求解析式时,注意时的情况,不要遗漏.

22．已知函数，.

(1)若，，求，的最小值；

(2)若恒成立，

①求证：；

②若，且恒成立，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)①证明见解析；②

【分析】（1）化简得到，根据基本不等式可得最值；

（2）①由恒成立，令求解.

②，由恒成立，分 和，讨论求解.

【详解】（1）若，，则，

当且仅当，即时，取等号，

所以；

（2）①证明：因为恒成立，即恒成立，

所以，

即，

所以，

则，

所以；

②解：，

又，

当时，不等式恒成立，

当时，

所以恒成立.

令，则，

则在上恒成立，

又，

所以.