2022-2023学年江苏省扬州中学高二上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省扬州中学高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知直线的倾斜角为，且经过点，则直线的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先求出斜率，再由直线的点斜式方程求解即可.

【详解】由题意知：直线的斜率为，则直线的方程为.

故选：C.

2．以点，为直径端点的圆的方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】求得圆心和半径，从而求得圆的方程.

【详解】的中点坐标为，即圆心为，

，所以圆的半径为，

所以圆的方程为.

故选：D

3．已知双曲线C：的左右焦点为，，点P在双曲线C的右支上，则（    ）

A．－8 B．8 C．10 D．

【答案】A

【分析】先由双曲线的方程求出，然后利用双曲线的定义可求得答案.

【详解】由，得，得，

因为双曲线C的左右焦点为，，点P在双曲线C的右支上，

所以，

故选：A

4．“”是“直线和直线垂直”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】因为直线和直线垂直，所以或，再根据充分必要条件的定义判断得解.

【详解】由直线和直线垂直，

可得或.

当时，直线和直线垂直；

当直线和直线垂直时，不一定成立.

所以是直线和直线垂直的充分不必要条件，

故选：A．

5．若圆：过坐标原点，则实数的值为（    ）

A．2或1 B．-2或-1 C．2 D．-1

【答案】C

【分析】根据圆的一般方程的定义，结合过原点列方程即可求解.

【详解】∵表示圆，

∴

∴.

又圆过原点，

∴，

∴或（舍去）；

.

故选:C.

6．设是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且.则的面积为（    ）

A．6 B． C．8 D．

【答案】B

【分析】利用椭圆的几何性质，得到，，进而利用得出，进而可求出

【详解】解：由椭圆的方程可得，

所以，得

且，，

在中，由余弦定理可得

，

而，所以，，

又因为，，所以，

所以，

故选：B

7．已知点在直线上的运动，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】表示点与距离的平方，求出到直线的距离，即可得到答案.

【详解】表示点与距离的平方，

因为点到直线的距离，

所以的最小值为．

故选：A

8．椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点，是点关于原点的对称点，若，，则椭圆的离心率为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】作另一焦点为，连接，，根据平面几何知识得出三角形为等腰直角三角形，设，根据椭圆的定义以及勾股定理，构造齐次方程，即可得出离心率.

【详解】作另一焦点为，连接，，则四边形为平行四边形

，且，则三角形为等腰直角三角形

设，则，即

在三角形中，由勾股定理得

则，即

故选：C

【点睛】本题主要考查了构造齐次方程求椭圆的离心率，属于中档题.

二、多选题

9．（多选）抛物线y2＝8x的焦点为F，点P在抛物线上，若|PF|＝5，则点P的坐标为（    ）

A．(3，2) B．(3，－2)

C．(－3，2) D．(－3，－2)

【答案】AB

【分析】设点P的坐标为(x，y)，利用抛物线的定义可得x－(－2)＝5，求得x＝3代入抛物线方程中可求出y的值，从而可求出点P的坐标

【详解】抛物线y2＝8x的准线方程为，

设点P的坐标为(x，y)，

∵|PF|＝5，∴x－(－2)＝5，∴x＝3.

把x＝3代入方程y2＝8x得y2＝24，

∴y＝±.

∴点P的坐标为(3，±).

故选：AB.

10．设双曲线的左、右焦点分别为，点P在C的右支上，且不与C的顶点重合，则下列命题中正确的是（    ）

A．若，则C的两条渐近线的方程是

B．若点P的坐标为，则C的离心率大于3

C．若，则的面积等于

D．若C为等轴双曲线，且，则

【答案】BC

【分析】本题根据双曲线的离心率和渐近线、三角形面积求法及余弦定理进行逐项分析即可求解.

【详解】解：由题意得：

A选项：当时，双曲线的渐近线的斜率，A错误；

B选项：因为点在C上，则，得，所以，故B正确；

C选项：，若，则，即，即，得，所以，C正确；

D选项：若C为等轴双曲线，则，从而．若，则，．在中，由余弦定理，得，D错误

故选：BC

11．（多选题）光线自点射入，经倾斜角为的直线反射后经过点，则反射光线还经过下列哪个点（    ）

A． B． C． D．

【答案】BD

【分析】求出点关于直线的对称点的坐标，求出反射光线所在直线的方程，逐一验证各选项中的点是否在反射光线所在直线上，由此可得出合适的选项.

【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，

设点关于直线的对称点为，

则，解得，

所以，反射光线经过点和点，反射光线所在直线的斜率为，

则反射光线所在直线的方程为，

当时，；当时，.

故选：BD.

【点睛】结论点睛：若点与点关于直线对称，由方程组可得到点关于直线的对称点的坐标（其中，）.

12．已知曲线C的方程为，圆，则（    ）

A．C表示一条直线

B．当时，C与圆M有3个公共点

C．当时，存在圆N，使得圆N与圆M相切，且圆N与C有4个公共点

D．当C与圆M的公共点最多时，r的取值范围是

【答案】BC

【分析】对于A，由，得，则表示两条直线；对于B，C，利用点到直线的距离公式进行判断；对于D，举反例判断即可

【详解】由，得，即，

则表示两条直线，其方程分别为与，所以A错误；

因为到直线的距离，所以当时，直线与圆相切，易知直线与圆相交，与圆有3个公共点，所以B正确；

当时，存在圆，使得圆内切于圆，且圆与这两条直线都相交，即与有4个公共点与圆的公共点的个数的最大值为4，所以C正确；

当时，圆与直线、 交于一点，所以公共点的个数为3，所以D错误，

故选：BC

【点睛】关键点点睛：此题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是对方程得，即，从而可得曲线表示的是直线与，从而进行分析即可，考查计算能力，属于中档题

三、填空题

13．若曲线上一点P到焦点的距离为4，则点P到y轴的距离为______.

【答案】3

【分析】根据抛物线定义，可得点P到抛物线准线的距离，进而即得.

【详解】因为点P到焦点的距离为4，

所以点P到抛物线准线的距离为4，

所以点P到y轴的距离为3.

故答案为：3.

14．若直线：与直线：平行，则直线与之间的距离为______．

【答案】

【分析】先根据直线与平行求出参数，再由两平行直线间的距离公式可得答案.

【详解】∵直线与平行，∴，解得，

∴直线：，直线：，

∴直线与之间的距离．

故答案为：

15．已知圆，直线，为直线上的动点，过做圆的切线，切点为，则四边形的面积的最小值为________

【答案】

【分析】结合图形，根据直线与圆相切的性质，利用点到直线的距离、三角形的面积公式求解.

【详解】

由题知，⊙M：，圆心为，半径，

圆心到直线上的点的最短距离为，

所以切线长，

故四边形的面积的最小值为.

故答案为：.

16．过双曲线：的左焦点的动直线与的左支交于A、B两点，设的右焦点为.若存在直线，使得，则的离心率的取值范围是______.

【答案】

【分析】由题可设为，，，联立l与双曲线的方程可得、；根据得，将、代入可得关于m的表达式，根据m范围和可求离心率范围﹒

【详解】依题意知直线的斜率不为0，设的方程为，

联立，消去，得，

设，，则由知，，，

由得，

故，即，

整理得，

将、代入整理得，，

则，∴，故，

∴，两边除以，得，解得，

又∵，∴，故，

又A、B在左支且过，∴，即，故，

∴，∴，

即，则，故，即，

综上：，即．

【点睛】本题的关键在于根据直线l方程里面m的范围，得到关于a、b、c的不等式，从而求得离心率的范围．

四、解答题

17．已知，当为何值时，

(1)方程表示焦点在轴上的椭圆；

(2)方程表示双曲线.

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）结合椭圆几何性质即可；

（2）结合双曲线几何性质即可.

【详解】（1）由题知：

，

解得：

（2）由题知:

,

解得：或

18．求满足下列条件的直线方程.

(1)过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程；

(2)经过点，并且与圆相切的直线方程.

【答案】(1)或

(2)或

【分析】（1）由点以及截距式即可求得直线方程；

（2）由直线与圆相切，分直线斜率存在与不存在两种情况讨论，由几何法即可得到直线方程.

【详解】（1）i.当截距都为0时，设直线方程为，

代入点得，故所求直线为，即.

ii.当截距不为0时，设方程为，

代入得，解得，

故所求直线为；

综上：直线方程为或.

（2）圆方程配方为，

圆心为，半径，代入，易得该点不在圆上，

i.当切线斜率不存在时，即，与圆相切，符合题意；

ii.当切线斜率存在时，设为，即，

由相切得：，解得，

故所求切线为，即.

综上：切线方程为或.

19．已知为坐标原点，双曲线：的离心率为，点P在双曲线上，点，分别为双曲线的左右焦点，.

(1)求双曲线的标准方程；

(2)已知点，，设直线的斜率分别为，.证明：为定值.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）结合双曲线定义即可；

（2）设点，结合两点斜率公式即可.

【详解】（1）由题知：由双曲线的定义知：

，

又，

，

双曲线的标准方程为.

（2）设，则

，，

，

20．已知圆：与圆：.

(1)求证：圆与圆相交；

(2)求经过两圆交点，且圆心在直线上的圆的方程.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）求出圆心距与两圆半径的和、差比较可得；

（2）由出两圆交点坐标，设出圆心坐标，由圆心到这两个交点距离相等求得参数值 ，得圆心坐标，再计算出半径后可得圆方程．

【详解】（1）证明：圆：化为标准方程为，

∴，，∵圆：的圆心坐标为，半径为，

∴，∵.∴两圆相交；

（2）由，解得或

则交点为，，∵圆心在直线上，设圆心为，

则，即，解得，

故圆心，半径，∴所求圆的方程为.

21．已知圆C与y轴相切，圆心C在射线上，且截直线所得弦长为．

（1）求圆C的方程；

（2）已知点，直线与圆C交于A、B两点，是否存在m使得，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

【答案】（1）；（2）不存在，理由见解析．

【分析】（1）设圆C的方程为，圆C与y轴相切，则，圆心C在射线上，所以，根据弦长公式得，解方程组即可得结果；

（2）依题意得在线段的中垂线上，则，根据斜率关系即可求出参数值．

【详解】（1）设圆C的方程为

圆心C在射线上，所以

圆C与y轴相切，则

点到直线的距离 ，

由于截直线所得弦长为，所以

则得，又 所以(舍去)，

故圆C的方程为；

（2）假设m存在，由（1）得，因为，

所以在线段的中垂线上，则，

因为，所以 解得；

当时，直线方程为即，

圆心到该直线的距离，该直线与圆相离，不合题意；

所以不存在实数m满足题干要求.

【点睛】圆的弦长的常用求法：

(1)几何法：求圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则 ；

(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：．

22．在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，短轴的一个端点的坐标为.

（1）求椭圆的方程.

（2）点为椭圆的右焦点，过上一点的直线与直线交于点为，直线交于另一点，设与交于点.证明：

①；

②为线段的中点.

【答案】（1）；（2）①证明见解析；②证明见解析.

【分析】（1）根据短轴的端点求得的值，然后利用离心率的定义和的平方关系即可求得椭圆的标准方程；

（2）①求得P的坐标，结合A,B，利用向量的数量积为零证明AF⊥FP,即可证得；

②写出直线AB的方程，与椭圆方程结合可得到，设中点为，利用中点公式求得R的坐标，利用向量的坐标证明即，共线，

即的中点在直线上，从而点与重合，从而证得结论.

【详解】(1)解：设椭圆的半焦距为，

因为的短轴的一个端点的坐标为，

所以，所以.①

因为，所以.②

由①②，得，所以，

所以椭圆的方程为.

(2)证明：①将代入，得，

解得，所以.

又，，所以，，，

所以，故.

②由直线过焦点，

得直线的方程为，

代入，并结合整理，

得.

设，则.

设中点为，则，

，

即，

所以，即，共线，

即的中点在直线上，从而点与重合，

故是线段的中点.

【点睛】本题考查椭圆的标准方程和几何性质，考查直线与椭圆的交点的相关问题，其中利用向量方法计算求证是解题的关键方法.