2022-2023学年重庆市第一中学校高一上学期期中数学试题（解析版）

2022年重庆一中高2025届高一上期半期考试

数学试题卷

注意事项：

1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.

2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试题卷上作答无效.

3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回，满分150分，考试用时120分钟.

一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求的）

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据可求得集合；由指数函数单调性解不等式可求得集合；根据交集定义可求得结果.

【详解】由知：，即；

由得：，即，.

故选：C.

2. 已知函数为奇函数,且当时, ,则

A. -2 B. 0 C. 1 D. 2

【答案】A

【解析】

【详解】因为是奇函数，所以，故选A.

3. 已知函数的图像恒过定点，则点的坐标是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】令幂指数，求出，再代入计算可得.

【详解】解：对于函数，令，解得，所以，

即函数恒过定点.

故选：A

4. 已知函数的图像如图所示，则此函数可能是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】通过函数的定义域排除AB，计算特殊值排除D，得到答案.

【详解】的定义域为，不符合函数图像，A不满足；

的定义域为，不符合函数图像，B不满足；

，，不符合函数图像，D不满足.

故选：C

5. 已知命题：，是假命题，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据一元二次不等式恒成立求解实数的取值范围.

【详解】由题意得是真命题，即，，

当时，符合题意；

当时，有，且，解得.

综上所述，实数的取值范围是.

故选:D.

6. 已知函数，对于上任意两个不相等实数，不等式恒成立，则的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由题知函数在上单调递减，再利用分段函数的单调性列出不等式组，即可求解.

【详解】对于上任意两个不相等实数，不等式恒成立，

可知函数在上单调递减，

则，解得

所以实数的取值范围为

故选：B

7. 已知函数定义域为，为偶函数，为奇函数，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】结合函数的奇偶性、周期性等知识求得正确答案.

【详解】依题意，定义域为，

由于为偶函数，图象关于轴对称，

所以图象关于直线对称，

为奇函数，，

由，

以替换，，

所以，

所以，

所以是周期为的周期函数.

由得，所以关于对称，

令，，

所以.

所以D选项正确，ABC选项无法判断.

故选：D

8. 定义在上的函数满足，，且当时，，则方程所有的根之和为（    ）

A. 44 B. 40 C. 36 D. 32

【答案】A

【解析】

【分析】根据题中所给的函数性质可得的周期为且关于中心对称，再画函数分析与的交点对数，进而根据对称性可得根之和即可.

【详解】由可得函数为奇函数，且关于对称，

又由题意，故，

所以函数关于中心对称，且，故函数的周期为.又当时，，此时，

故函数在上单调递增，综上可画出的部分图象，

又方程的根，即与的交点，

由图可知：函数的最大值为，

当时，，此时直线与曲线交于最高点，

所以与在上有个交点，根据函数的对称性可知：在也有个交点，并且两两关于中心对称，加上共11个，

故其根之和为，

故选：.

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9. 下列函数是同一函数的是（    ）

A. 与 B. 与

C. 与 D. 与

【答案】AD

【解析】

【分析】对于同一函数，定义域和对应关系相同，即为同一函数，分别判断每个选项即可.

【详解】对于A，与，定义域都为，对应关系也相同，是同一函数；

对于B，定义域为，与定义域为，故不同一函数；

对于C，与，定义域都为，但对应关系不同，故不是同一函数；

对于D，与，定义域都为，对应关系也相同，是同一函数.

故选：AD.

10. 下列说法正确的有（    ）

A. “”是“”的充分不必要条件

B. 若，，，则

C. 函数的最小值为

D. 若函数在区间上为增函数，则的范围为

【答案】AB

【解析】

【分析】解分式不等式可求得的范围，根据推出关系可知A正确；根据指数函数和幂函数单调性可得大小关系，知B正确；根据，由对勾函数单调性可求得最小值，知C错误；根据复合函数单调性的判断方法可知在上单调递减，结合函数定义域的基本要求可构造不等式组求得范围，知D错误.

【详解】对于A，由得：或，，，

“”是“”的充分不必要条件，A正确；

对于B，在上单调递减，，即；

，在上单调递增，，即；

，B正确；

对于C，，，

令，则，

在上单调递增，，即的最小值为，C错误；

对于D，令，在上单调递减，

若在上为增函数，则在上单调递减，

在上单调递减且在上恒成立，

，解得：，即实数的取值范围为，D错误.

故选：AB.

11. 以下命题中是真命题的有（    ）

A. 若定义在上的函数在是增函数，在也是增函数，则在为增函数

B. 若函数是定义在上的单调递增函数，则一定在上单调递增

C. 函数，则直线与的图像有1个交点

D. ，都有函数在上是单调函数

【答案】BD

【解析】

【分析】举出特例可判断A项；可用定义法判断B项；举例说明存在实数不在的定义域内，即可判断C项错误；对与0的关系讨论，然后结合一次函数和二次函数的性质，即可判断D项.

【详解】，显然在是增函数，在也是增函数，而在上不是增函数，所以A项错误；

因为函数是定义在上的单调递增函数，

所以，有，则，

则，

所以一定在上单调递增，B项正确；

显然0不在的定义域内，所以，与的图像没有交点，C项错误；

当时，函数在上单调递增，所以在上是单调函数；

当时，函数对称轴为，当且仅当，即时等号成立，此时可得函数在上是单调递增函数；

当时，函数对称轴为，当且仅当，即时等号成立，此时可得函数在上是单调递增函数.

综上所述，，都有函数在上是单调函数，D项正确.

故选：BD.

12. 已知函数的定义域为，且满足当时，，当时，，为非零常数，则下列说法正确的是（    ）

A. 当时，

B. 当时，在单调递增

C. 当时，记函数与的图象在的个交点为，则

D. 当时，在上的值域为

【答案】ACD

【解析】

【分析】确定函数周期为2，计算得到A正确，计算得到，B错误，计算函数的交点，相加得到C正确，根据函数的单调性，计算最值得到值域，得到答案.

【详解】，当时，，函数周期为2，，A正确；

当时，取，，，函数单调递减，B错误；

，，当时，，函数简图如图所示，

根据图像与的图像交点分别为，，，，，故，C正确；

当时，，，函数简图如图所示：

，根据图像知，函数在和上单调递增，在上单调递减，，

现考虑轴上每4个单位长度为一段的函数值，最大值依次变大，最小值依次变小，故只需考虑最后一段即可，

，，

故值域为，D正确.

故选：ACD

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡相应位置上）

13. 函数在区间上的值域为______.

【答案】

【解析】

【分析】令，再结合二次函数的性质即可得出答案.

【详解】解：令，则，

故，

则，

所以函数在区间上的值域为.

故答案为：.

14. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为______.

【答案】

【解析】

【分析】先根据定义域求出的定义域，结合解析式的特征可得答案.

【详解】因为的定义域为，所以，即的定义域；

因为，所以，所以的定义域为.

故答案为：.

15. 已知函数与函数的图像在恰好有一个交点，则实数的取值范围是______.

【答案】

【解析】

【分析】联立方程分离之后解出，分离变量转化为函数交点问题，借助对勾函数的单调性求解即可.

【详解】联立得，

解出，

令，原式整理得，可变形为

这个方程在上恰有一个解等价于函数和在仅有一个交点.

在上单调递减，在上单调递增；

分别计算的值为，易得：

故答案为：.

16. 已知正实数，满足，则的最小值为______.

【答案】.

【解析】

【分析】由已知等式可得，构造函数，则，再由其单调性可得，则，然后利用基本不等式可求得结果.

详解】由题意可得，

所以，

令，

因为和均在上单调递增，

所以在上单调递增，

因为等价于，

所以，得，

因为，为正实数，

所以

，

当且仅当且，即时取等号，

所以的最小值为，

故答案为：.

四、解答题（共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）

17. （1）已知幂函数在递增，求实数的值.

（2）化简求值.

【答案】（1）-1；（2）7.

【解析】

【分析】（1）根据函数是幂函数，求得m，再由函数在递增验证即可；

（2）利用根式和指数幂的运算求解.

【详解】解：（1）因为函数是幂函数，

所以，即，

解得或，

当时，在递减，不成立；

当时，在递增，成立，

所以实数的值为-1.

（2），

，

，

.

18. 已知函数为定义在上的奇函数，当时，.

（1）判断并证明：函数在上单调性；

（2）求函数在上的解析式.

【答案】（1）给定区间内单调递增，证明见解析.   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据定义证明函数在上的单调性，即可得出在上的单调性.

（2）根据时函数的表达式，由奇偶性得出在上的解析式.

【小问1详解】

在给定区间内单调递增，证明如下：

在中，，，

当时，，

在中，设，则，，

，

∴在上单调递增，

∴函数在上单调递增.

【小问2详解】

由题意及（1）得， ，

在中，为奇函数，

，

当时，

当，

∴

19. 已知二次函数满足的解集为，且.

（1）求的解析式；

（2）当时，求函数的最大值（用表示）.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据函数类型设，由已知求解的值，即可得解析式；

（2）根据二次函数，分类讨论确定函数在动区间上的单调性，即可得函数的最大值.

【小问1详解】

解：设二次函数，又

的解集为，即的解集为

则方程的两根为1和3，且

所以，解得，所以；

【小问2详解】

解：由于，又

当时，在上单调递减，所以；

当，即时，在上单调递增，

所以；

当时，在上单调递增，在上单调递减，所以    ；

综上，.

20. 已知定义在R上的函数有.当时，.

（1）求的值；

（2）已知函数，若对任意，都存在，使得，求实数的取值范围.

【答案】（1）4    （2）

【解析】

【分析】（1）根据题意赋值运算求解；

（2）由题意分析可得：在上的值域为在上的值域的子集，结合单调性和分类讨论分别求、的值域，再根据子集关系运算求解.

【小问1详解】

∵，令，

∴.

【小问2详解】

设在上的值域为A，在上的值域为B，

由题意可得：，

∵，所以的周期为2，则在上的值域即为在上的值域，

当时，则在上单调递减，且，

故；

当时，则，

对任意，且，

则，

∵，则，

∴，即，

故在上单调递增，且，

∴；

当时，则；

综上所述：.

对于，则有：

当时，则在上单调递增，且，

故，则，解得；

当时，则，即，不合题意，舍去；

当时，则在上单调递减，且，

故，则，解得；

综上所述：实数的取值范围为.

21. 定义在上的函数满足：对任意都有成立，且时，.

（1）判断函数的奇偶性，并证明；

（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）偶函数，证明见解析，   

（2）

【解析】

【分析】（1）由奇偶性的定义证明，

（2）由函数的单调性转化，结合指数函数的性质求解，

【小问1详解】

由题意得，当时，得，

当时，，得，

则，故为偶函数，

【小问2详解】

当时，，

而，故在上单调递增，

，

即对任意恒成立，

设，，由指数函数的性质得在单调递减，

故，解得，

即的取值范围为

22. 已知函数，.

（1）求关于的不等式的解集；

（2）若存在两不相等的实数，，使，且，求实数的取值范围.

【答案】（1）；   

（2）

【解析】

【分析】（1）求出函数的定义域为，根据函数单调性的定义证明函数在上单调递增.即可得出关系式，求解即可；

（2）易证为奇函数，则，进而推得，令，则，，只需即可.

【小问1详解】

要使函数有意义，

则，解得，所以的定义域为.

，且，

则

，

因为，所以，则，

所以.

所以，函数在上单调递增.

解可得，

解得，.

所以不等式的解集为.

【小问2详解】

由（1）知，的定义域为.

又，所以为奇函数.

又函数在上单调递增，

则要使，有.

则，

令，显然，设，则单调递增，所以.

则，，

由已知可转化，有，

只需即可，根据二次函数的性质可知，只需或即可，

即或，解得.