2021-2022学年黑龙江省齐齐哈尔市第一中学高一上学期期中考试数学试题含解析

2021-2022学年黑龙江省齐齐哈尔市第一中学高一上学期期中考试

数学试题

一、单选题

1．设集合，，则=（       ）

A．{0，1} B．{0，1，2} C．{-1，0，1} D．{-1，0，1，2}

【答案】C

【解析】先解绝对值不等式得，再求集合交集即可得答案.

【详解】解：由得，故，

所以.

故选：C.

【点睛】本题考查集合的交集运算，绝对值不等式，是基础题.

2．下列各组函数中，表示同一函数的是（　　）

A．与 B．与

C．与 D．与

【答案】D

【分析】逐一分析选项，判断是否满足函数的三个要素.

【详解】A.的定义域是，的定义域是，两个函数的定义域不相同，不是同一函数；

B.，，两个函数的对应关系不同，不是同一函数；

C.,，两个函数的对应关系不同，不是同一函数；

D.两个函数的定义域是，对应关系，所以是同一函数.

故选D.

【点睛】本题考查了函数的三个要素，属于简单题型,意在考查对函数概念的理解.

3．对集合{1，5，9，13，17}用描述法来表示，其中正确的是（       ）

A．{ x |是小于18的正奇数} B．

C． D．

【答案】D

【分析】对照四个选项一一验证：

对于A：{ x |是小于18的正奇数}=即可判断；

对于B：即可判断；

对于C：即可判断；

对于D：即可判断.

【详解】对于A：{ x |是小于18的正奇数}=，故A错误；

对于B：，故B错误；

对于C：，故C错误；

对于D：，故D正确.

故选：D

4．成立的一个充分不必要条件是（       ）

A． B． C．  D．

【答案】D

【解析】先解不等式,，再利用充分不必要条件的定义判断.

【详解】不等式,解得或,

所以成立的一个充分不必要条件是

故选：D

5．已知为一次函数，且则的值为

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【分析】设，代入得到或，计算得到答案.

【详解】设

则

或

综上：

故答案选B

【点睛】本题考查了一次函数的计算，待定系数法是常规方法，需要灵活掌握和应用.

6．函数，若，则实数a的值为（       ）

A．±1 B．-2或±1 C．-1 D．-2或-1

【答案】C

【分析】根据分段函数解析式，分段求解，即可得答案.

【详解】当时，令 ，与矛盾，不合题意；

当时，令 ，取 ，符合题意，

故选：C

7．若函数在区间上是单调递增的，则实数的取值范围为（     ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】易得满足；当时，满足可求解.

【详解】当时，在上单调递增，满足题意；

当时，要使在上单调递增，则满足，解得，

综上，实数的取值范围为.

故选：D.

8．若对满足条件的任意不等式恒成立，则实数k的取值范围为（     ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由基本不等式求出的最小值，可得的范围．

【详解】∵，，∴，

∴，当且仅当，即时等号成立，∴的最小值是，

恒成立，即恒成立，∴．

故选：B．

【点睛】不等式恒成立求参数范围问题的通常解法是用参数分离法转化为求函数的最值，函数的最值可以是一元函数的最值，利用函数的单调性求得最值，也可以是用基本不等式求得最值．

二、多选题

9．下列函数中，在上是减函数的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】根据反比例函数的性质，可判断A；根据一次函数的性质可判断B,C;根据二次函数的性质可判断D.

【详解】为反比例函数，在时是减函数，故在上是减函数，故A正确；

为一次函数，在R上是增函数，故在上是增函数，故B错误；

为一次函数，在R上是减函数，故在上是减函数，故C正确；

在时是增函数，故在上是增函数，故D错误，

故选：AC

10．已知，则下列选项正确的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【解析】由不等式的性质结合作差法逐项判断即可得解.

【详解】对于A，因为，所以，所以，故A正确；

对于B，因为，所以即，故B正确；

对于C，由且可得，故C错误；

对于D，由可得，故D正确.

故选：ABD.

11．若正实数a，b满足则下列说法正确的是（       ）

A．ab有最大值  B．有最大值

C．有最小值2 D．有最大值

【答案】AB

【解析】对A,根据基本不等式求的最大值；

对B,对平方再利用基本不等式求最大值；

对C,根据再展开求解最小值；

对D,对平方再根据基本不等式求最值.

【详解】对A,,当且仅当时取等号.故A正确.

对B, ,故,当且仅当时取等号.故B正确.

对C, .当且仅当时取等号.所以有最小值4.故C错误.

对D, ,即,故有最小值.故D错误.

故选：AB

【点睛】本题主要考查了基本不等式求解最值的问题,需要根据所给形式进行合适的变形,再利用基本不等式.属于中档题.

12．下列说法错误的是（       ）

A．已知，则．

B．的最小值为2．

C．在定义域上是增函数．

D．，，．

【答案】BCD

【分析】利用基本不等式可判断A、B的正误，由可得C的正误，由集合的运算可得D的正误.

【详解】解：对于A，因为，所以

当且仅当时等号成立，故A正确；

对于B，因为，当且仅当，即时等号成立，而无解，所以等号不成立，所以，故B错误；

对于C，的定义域为，因为，所以，

所以在定义域上不是增函数，故C错误；

对于D，由，得，故D错误，

故选：BCD.

三、填空题

13．函数的定义域为_____________.

【答案】

【分析】根据偶次根式和分式有意义的要求可得不等式组，解不等式组可求得结果.

【详解】由题意得：，解得：且，即的定义域为.

故答案为：.

14．已知，，则是p的______．

（用“既不充分也不必要条件、必要不充分条件、充分不必要条件、充分必要条件”填空）

【答案】必要不充分条件

【分析】求出所对不等关系，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答.

【详解】解不等式得：或，则有：，显然有，

所以是p的必要不充分条件.

故答案为：必要不充分条件

15．函数的值域是_______

【答案】

【分析】根据二次函数的性质先求的值域，取倒数即可求出的取值范围．

【详解】由，即，所以

所以．

故函数的值域为

故答案为

【点睛】本题考查函数的值域求法，属于基础题．

四、双空题

16．已知函数，若关于x的不等式的解集为，则_______；若函数，，则函数的最大值为____________.

【答案】         

【解析】由题意知且，列出方程组求解t、a，求出函数的解析式，并作出函数的图像，数形结合可求得最大值.

【详解】由题意知，且，即，

由②式可求得或（舍去），

将代入①式可得，解得；

，时，，，

令解得或，

所以，

二次函数的对称轴为，，，作出函数的图像如图所示，

所以函数的最大值为8.

故答案为：；8

【点睛】本题考查一元二次函数与一元二次不等式的关系、分段函数的图像与性质，属于中档题.

五、解答题

17．已知函数

（1）若求的定义域；

（2）若函数定义域为,求实数的取值范围.

【答案】(1)(2)

【分析】（1）当，计算得到答案.

（2）讨论和两种情况，分别计算得到答案.

【详解】（1）当

即 故定义域为

（2）函数定义域为

当时，，满足

当时，定义域为，即恒成立

综上所述：

【点睛】本题考查了函数的定义域，忽略掉的情况是容易犯的错误.

18．已知，求的最小值，并求取到最小值时x的值；

已知，，，求xy的最大值，并求取到最大值时x、y的值．

【答案】当时，y的最小值为7． ，时，xy的最大值为6．

【分析】直接利用基本不等式的关系式的变换求出结果．

直接利用基本不等式的关系式的变换求出结果．

【详解】已知，

则：，

故：，

当且仅当：，

解得：，

即：当时，y的最小值为7．

已知，，，

则：，

解得：，

即：，

解得：，时，xy的最大值为6．

【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.

19．已知二次函数的最小值为.

（1）求函数的解析式；

（2）解关于的不等式：.

【答案】（1）；（2）答案不唯一，具体见解析.

【解析】（1）由题意可得出，且，再由可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，进而可得出函数的解析式；

（2）将所求不等式变形为，对和的大小进行分类讨论，由此可得出原不等式的解集.

【详解】（1）由于二次函数的最小值为，则，且，

所以，，则，解得.

所以，；

（2）由，可得，

即，即.

①当时，即当或时，则有，原不等式的解集为；

②当时，即当或时，解原不等式可得，原不等式的解集为；

③当时，即当时，解原不等式可得，原不等式的解集为.

综上所述，当或时，原不等式的解集为；

当或时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为.

【点睛】本题考查二次函数解析式的求解，同时也考查了含参二次不等式的求解，考查计算能力，属于中等题.

20．已知函数．

(1)若对任意的，恒成立．试求实数a的取值范围；

(2)若时，求函数在上的最小值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由已知将不等式等价于在上恒成立，再运用二次函数的性质可求得实数a的取值范围；

（2）先运用单调性的定义证得函数的单调性，再分当时，当时，讨论可求得函数函数在上的最小值．

【详解】(1)解：根据题意得在上恒成立，等价于在上恒成立，

因为在上单调递增，在上单调递减，所以，

所以；

(2)解：，设，

，

∵，∴，∴，即，

∴在单调递减，同理可证在单调递增，

当时，，函数在上单调递增，；

当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，

．

所以．