2022-2023学年广东省佛山市禅城实验高级中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年广东省佛山市禅城实验高级中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由交集定义可直接得到结果.

【详解】由交集定义可知：.

故选：A.

2．命题，的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】根据全称命题的否定形式，即得解

【详解】根据全称命题的否定形式，命题，的否定是：，.

故选：C

3．函数的定义域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】解不等式组可得解.

【详解】由函数有意义可得，解得.

故选：D

【点睛】本题考查了函数的定义域，属于基础题.

4．设，集合，则韦恩图中阴影部分表示的集合的子集个数是（    ）

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】A

【分析】根据图形求出集合中的元素，再根据子集个数公式求解.

【详解】由图可知，韦恩图中阴影部分表示的集合的元素属于B，不属于A，

又，

所以阴影部分表示的集合为，

所以其子集个数为，故B，C，D错误.

故选：A.

5．已知则的值为（    ）

A． B．2 C．7 D．5

【答案】B

【分析】先算，再求

【详解】，

故选：B

6．下列不等式中成立的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】B

【分析】A，如时，，所以该选项错误；BCD，利用作差法比较大小分析得解.

【详解】A. 若，则错误，如时，，所以该选项错误；    

B. 若，则，所以该选项正确；

C. 若，则，所以该选项错误；

D. 若，则，所以该选项错误.

故选：B

7．已知x，y均为正数，且满足，则的最大值为（    ）

A． B．2 C． D．

【答案】B

【分析】直接根据基本不等式即可求出的最大值.

【详解】∵，，∴，

即，∴，即.

当且仅当且，即，时取等号，∴的最大值为2.

故选：B.

8．对于函数，若在其定义域内任取两个不等的实数、，均满足，则称该函数为凸函数.下列函数中是凸函数的是（    ）

A．； B．； C．； D．.

【答案】C

【分析】根据给定条件直接计算的值，再判断是否恒大于零即可.

【详解】对于A，f(x)定义域是R，，A不是；

对于B，f(x)定义域是，，符号不确定，B不是；

对于C，f(x)定义域是R，，C是凸函数；

对于D，f(x)定义域是R，，若取，，则上式为0，D不是.

故选：C

二、多选题

9．下列关系式正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】由常用集合的定义即可判断ABC，由元素与集合的关系可判断D.

【详解】对于A，是实数，即，A正确；

对于B，，B错误；

对于C，是无理数，C错误；

对于D，，D正确.

故选：AD.

10．下列函数在上为增函数的有（    ）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【分析】根据已知函数的单调性判断即可.

【详解】ACD选项在单调递增，B选项在单调递减.

故选：ACD.

11．关于x的一元二次不等式的解集为，则下列成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【分析】根据不等式的解集为，得到-1，为方程的两个根，然后利用韦达定理列方程，解方程得到，代入选项中即可判断.

【详解】不等式的解集为，所以-1，为方程的两个根，则，解得，所以，，，，故C错，ABD正确.

故选：ABD.

12．设，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】利用作差法根据已知条件逐个分析判断即可.

【详解】对于A，因为，所以，

所以，

所以，所以A正确，

对于B，因为，所以，

所以，所以，所以B正确，

对于C，因为，所以，

所以

，所以，所以C正确，

对于D，因为

所以，所以，所以D错误，

故选：ABC

三、填空题

13．已知幂函数经过点，则函数_______________．

【答案】

【分析】先设出幂函数，再把点代入即可．

【详解】设，则有

解得，所以．

【点睛】本题考查待定系数法求幂函数的解析式，比较基础．

14．已知函数是上的减函数，且，则实数x的取值范围是_______．

【答案】

【分析】利用函数的单调性即可求解.

【详解】因为函数是上的减函数，且，

所以，解得.

故实数x的取值范围为.

故答案为：.

15．在下列所示电路图中，下列说法正确的是____(填序号)．

（1）如图①所示，开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要条件；

（2）如图②所示，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件；

（3）如图③所示，开关A闭合是灯泡B亮的充要条件；

（4）如图④所示，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件．

【答案】（1）（2）（3）

【分析】充分不必要条件是该条件成立时，可推出结果，但结果不一定需要该条件成立；必要条件是有结果必须有这一条件，但是有这一条件还不够；充要条件是条件和结果可以互推；条件和结果没有互推关系的是既不充分也不必要条件

【详解】（1）开关闭合，灯泡亮；而灯泡亮时，开关不一定闭合，所以开关闭合是灯泡亮的充分不必要条件，选项（1）正确.

（2）开关闭合，灯泡不一定亮；而灯泡亮时，开关必须闭合，所以开关闭合是灯泡亮的必要不充分条件，选项（2）正确.

（3）开关闭合，灯泡亮；而灯泡亮时，开关必须闭合，所以开关闭合是灯泡亮的充要条件，选项（3）正确.

（4）开关闭合，灯泡不一定亮；而灯泡亮时，开关不一定闭合，所以开关闭合是灯泡亮的既不充分也不必要条件，选项（4）错误.

故答案为（1）（2）（3）.

四、双空题

16．是定义在上的奇函数， 且当时，．则时，_______；不等式的解集是______．

【答案】     ；     .

【分析】设，计算，再根据奇函数的性质，即可得对应解析式，再利用偶函数及函数的单调性的性质解不等式即可.

【详解】设，则，所以

又为奇函数，所以，

所以当时，，

又时，利用二次函数性质知函数单调递增，又为奇函数，所以在上单调递增，所以不等式可化为，解得：，

所以不等式的解集是，

故答案为：，.

五、解答题

17．设，，求，．

【答案】或，或.

【分析】解一元二次不等式化简集合，，再由交集和并集的定义求解即可.

【详解】不等式的解集为或，不等式的解集为或，所以或，或，所以或，或.

18．已知实数x满足集合，实数x满足集合或．

(1)若，设全集，求；

(2)若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）先求出集合，再求出，然后可求出；

（2）根据题意可得，然后列不等式可求得结果.

【详解】（1）当时，，

因为或，

所以或，

所以

（2）因为是的充分不必要条件，

所以，

因为，或，

所以或，

解得或，

即实数a的取值范围为.

19．（1）比较与的大小；

（2）已知，，求证：，当且仅当时等号成立.

【答案】（1）（2）详见解析

【分析】采用作差法比较大小和证明不等式.

【详解】（1），

，

当且仅当，时，等号成立.

（2），当且仅当时取等号.又，，所以仅当时取等号.即，当且仅当时等号成立.

【点睛】本题考查作差法在比较大小和证明不等式中的应用，难度一般.证明不等式时，注意说明取等号的条件.

20．已知函数，且.

(1)求实数的值并判断该函数的奇偶性；

(2)判断函数在（1，+∞）上的单调性并证明.

【答案】(1)，函数为奇函数

(2)在上是增函数，证明见解析

【分析】（1）根据，代入函数解析即可求解；

（2）利用函数单调性的定义证明即可.

【详解】（1）∵，且，

∴；

所以，定义域为关于原点对称，

∵，

∴函数为奇函数.

（2）函数在上是增函数，

证明：任取，设，则

∵，且，

∴，

∴，即，

∴在上是增函数.

21．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，.

(1)现已画出函数在轴左侧的图象，请补全函数的图象，并根据图象写出函数的单调递增区间；

(2)直接写出函数的值域；

(3)求出函数的解析式（要有求解过程）.

【答案】(1)图象见解析，函数的增区间为，

(2)，

(3)

【分析】（1）根据偶函数的图象关于轴对称，能作出函数在上的图象，结合图象可得函数的增区间；

（2）结合函数的图象可得，当，或时，函数取得最小值为，由此能求出函数的值域；

（3）根据函数为偶函数，即可求出函数的解析式．

【详解】（1）根据偶函数的图象关于轴对称，作出函数在上的图象，

结合图象可得函数的增区间为，．

（2）结合函数的图象可得，当，或时，函数取得最小值为，

函数没有最大值，故函数的值域为，；

（3）当时，，再根据时，，

可得．

再根据函数为偶函数，可得，

综上可得，．

22．通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间：讲授开始时，学生的兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散.分析结果和实验表明：讲课开始时，学生注意力集中度的值（的值越大，表示学生的注意力越集中）与x的关系如下：

(1)讲课开始时和讲课开始时比较，何时学生的注意力更集中？

(2)讲课开始多少分钟时，学生的注意力最集中，能持续多久？

(3)一道数学难题，需要讲解，并且要求学生的注意力集中度至少达到55，那么老师能否在学生达到所需状态下讲授完这道题目？请说明理由.

【答案】(1)讲课开始后5min学生注意力更集中

(2)开讲10分钟后，学生的接受能力最强（为，能维持6分钟

(3)不能，理由见解析

【分析】（1）由题意得，，即可得到答案；

（2）分析函数的单调性，根据函数单调性求函数最值，即可求出；

（3）分别求解当和时，不等式的解集，求出满足条件的时长，即可得到结论.

【详解】（1）由题意得，，

所以讲课开始后5min学生注意力更集中.

（2）当时，，

在时单调递增，最大值为．

当时，；当时，函数为减函数，且．

因此开讲10分钟后，学生的接受能力最强（为，能维持6分钟．

（3）当时，令，解得或20（舍去）；

当时，令，解得，

可得学生一直达到所需接受能力55的状态的时间，

因此老师不能及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题．