2022-2023学年天津市实验中学滨海学校高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023年度第一学期高一年级期中质量调查（数学）试卷

满分：150分 时长：100分钟

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）

1. ，则阴影部分表示的集合为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由Venn图表示的集合求解．

【详解】，

图中阴影部分表示，

故选：C．

2. 命题“，”的否定是（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】D

【解析】

【分析】根据存在命题的否定为全称命题可得结论.

【详解】因为存在命题的否定为全称命题,

所以命题“，”的否定是“，”.

故选：D

3. 下列各组函数是同一个函数的是（    ）

A. 与 B. 与

C. 与 D. 与

【答案】B

【解析】

【分析】根据函数相等的定义，逐个选项进行判断可得答案.

【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，故两函数不相等，A错误；

对于B，与的定义域和解析式一致，故两函数相等，两函数为同一函数，B正确；

对于C，的定义域为，的定义域为，故两函数不相等，C错误；

对于D，与的定义域相等，但是解析式不相等，故两函数不相等，D错误；

故选：B

4. 设，则（    ）

A  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据不等式性质及特例法可得结果.

【详解】当，时，选项，，不正确，

∵，，∴

根据不等式的性质可得选项正确．

故选：．

5. 已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.

C. 或 D. 或

【答案】B

【解析】

【分析】根据一元二次不等式在实数集上的恒成立问题运算求解，注意分类讨论和.

【详解】当时，则恒成立，成立；

当时，则，解得；

综上所述：实数的取值范围为.

故选：B

6. 图中的文物叫做“垂鳞纹圆壶”，是甘肃礼县出土的先秦时期的青铜器皿，其身流线自若、纹理分明，展现了古代中国精湛的制造技术.科研人员为了测量其容积，以恒定的流速向其内注水，恰好用时秒注满，设注水过程中，壶中水面高度为，注水时间为，则下面选项中最符合关于的函数图象的是（ ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据壶的结构即可得出选项.

【详解】水壶的结构：低端与上端细、中间粗，

所以在注水恒定的情况下：

开始水的高度增加的快，中间增加的慢，最后水上升的速度又变快，

由图可知选项A符合，

故选：A

7. “”是“函数与x轴只有一个交点”的（    ）

A. 充要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】根据函数与x轴的交点转换为方程得实根，从而可分类得的值，故可判断两个条件之间的关系.

【详解】解：若函数与x轴只有一个交点，即方程只有一个实根

则或，所以或，

因此“”是“函数与x轴只有一个交点”的充分不必要条件.

故选：B.

8. 函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由函数的奇偶性以及定义域判断BD，由判断AC.

【详解】由图可知，函数为奇函数，且定义域不是.

对于B，定义域为，故B错误；

对于D，，即该函数为偶函数，故D错误；

对于AC，两个函数的定义域都为，因为，所以A错误，C正确；

故选：C

9. 利用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】设，根据当连续函数满足（a）（b）时，在区间上有零点，即方程在区间上有解，进而得到答案．

【详解】解：设，

当连续函数满足（a）（b）时，在区间上有零点，

即方程在区间上有解，

又（2），（3），

故（2）（3），

故方程在区间上有解，

即利用二分法求方程近似解，可以取的一个区间是.

故选：C．

10. 设，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据指数和对数函数单调性，结合临界值即可判断出大小关系.

【详解】，.

故选：B.

11. 已知函数且在上是减函数，则的范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

依题意可得，解得即可

【详解】因为函数且是上的减函数，

所以，解得，

故选：C

12. 已知函数，，对于任意，存在，有，则实数a的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意可得，，再由对于任意，存在，有等价于，即可列出不等式，即可求出实数a的取值范围.

【详解】由题意知：，

因为，

所以

对于任意，存在，有等价于

即.

则实数a的取值范围是.

故选：A.

二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分）

13. 函数的定义域是______.

【答案】

【解析】

【分析】根据具体函数定义域的求法即可得解.

【详解】要使函数有意义，则，

解得且.

即函数的定义域是.

故答案为：.

14. 已知函数为偶函数，则的值是________

【答案】2

【解析】

【分析】由偶函数的定义求解即可

【详解】因为函数为偶函数，

所以，

所以，

所以，

所以，

故答案为：2

15. 对任意，函数，则的最小值是___________.

【答案】0

【解析】

【分析】根据给定条件，用分段函数表示出，再分段讨论作答.

【详解】由得，，于是得，

当时，在上单调递减，，

当时，在上单调递减，，

当时，在上单调递增，，

所以当时，函数取得最小值0.

故答案为：0

16. 已知函数是幂函数，若，则实数的最大值是______．

【答案】6

【解析】

【分析】根据幂函数的定义求出参数的值，再根据幂函数的奇偶性和单调性解不等式即可.

【详解】解：因为函数是幂函数，

所以，解得，

所以，

因为，

所以函数是上的奇函数，

又函数在上递增，且在定义域内连续，

所以函数在上递增，

不等式，即为不等式，

所以，解得，

所以实数的最大值是6.

故答案：6.

17. 已知正实数满足，则的最小值为___________．此时m的值为__________

【答案】    ①.     ②. ##

【解析】

【分析】利用“一正”、“二定”、“三相等”即可得到结果.

【详解】∵正实数，，

，

当且仅当时，等号成立，

故答案为：，.

18. 已知函数，若函数有3个零点，则实数a的取值范围是________.

【答案】

【解析】

【分析】先得到时，有个零点.当时，结合二次函数的性质求得的取值范围.

【详解】函数，

当时，方程，解得，函数有一个零点，

则当时，函数须有两个零点，即，在时有两个解.

设，对称轴为，在上单调递减，

在上单调递增，∴，且，

即，解得.

所以的取值范围是.

故答案为：

三、解答题（本题共4小题，共60分）

19. 计算：

（1）．

（2）．

【答案】（1）．   

（2）．

【解析】

【分析】利用指数、对数的运算性质可得解.

【小问1详解】

【小问2详解】

.

20. 函数的定义域为.

（1）设，求的取值范围；

（2）求函数的值域.

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）根据指数函数的单调性，即可求得的范围；

（2）利用换元法，结合二次函数值域的求解，即可得解.

【小问1详解】

对，其在定义域单调递增，故.

【小问2详解】

根据（1）所得，的值域即为的值域，

又在单调递减，在单调递增，

又当时，；时，，

故的值域为.

21. 已知不等式的解集为或（其中）．

（1）求实数，的值；

（2）解关于的不等式．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】(1)根据不等式与对应方程的根的关系求解；(2)分式不等式转化为一元二次不等式求解即可.

【小问1详解】

由题意可得的解集为或，

则且1和为方程的两个根．

则，解得．

【小问2详解】

不等式化为，

转化为，即

所以，解集为．

22. 已知函数为偶函数．

（1）求的值；

（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用函数奇偶性的定义化简可得实数的值；

（2）由基本不等式结合对数函数的单调性可求得函数在上的单调性，由此可得出实数的取值范围.

【小问1详解】

解：因为函数为偶函数，则，

即，

所以，

，

.

【小问2详解】

解：，

因为，由基本不等式可得，

当且仅当时，即当时，等号成立，故.