2022-2023学年广东华侨中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年广东华侨中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．用列举法表示集合为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】解方程，得到，故用列举法表达出集合.

【详解】，解得：，故列举法表示为.

故选：B

2．设集合，集合或，则与的关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据子集概念即可得到结果.

【详解】根据题意可得，，所以，

故选：C

3．已知幂函数的图象经过点(8,4)，则（    ）

A．3 B． C．9 D．

【答案】C

【分析】由幂函数过的点坐标求解析式，再将代入求函数值即可.

【详解】令，则，可得，

所以，故.

故选：C

4．“x＝1”是“x2﹣1＝0”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】A

【分析】由题意，根据充分条件与必要条件的定义，可得答案.

【详解】先证充分性：将代入方程，方程成立，则充分性得证；

再证必要性：由方程，解得，则不必要性得证.

故选：A

5．的最小值为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】C

【分析】利用均值不等式求解即可.

【详解】因为，所以，当且仅当即时等号成立.

所以当时，函数有最小值4.

故选：C.

6．已知函数，则（    ）

A．0 B．2 C．4 D．8

【答案】B

【分析】首先求出，然后可得答案.

【详解】因为，

所以，

故选：B

7．已知不等式对任意实数恒成立.则取值范围是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】考虑和两种情况，当时利用判别式的符号解决问题.

【详解】由题意，不等式对任意实数恒成立，

若，则，满足题意；

若，则，

于是，.

故选：D.

8．已知奇函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由题意，得到，且函数在上单调递减，作出函数的图像，把不等式转化为，或，结合图像，即可求解.

【详解】因为奇函数在上单调递减，且，

所以，且函数在上单调递减，

则函数的对应的图像，如图所示，

不等式等价于：

①，即，解得；

②，即，解得，

综上可得，不等式的解集为.

故选：B .

二、多选题

9．已知集合，．若，则实数m的值为（       ）

A．0 B．1 C．-3 D．3

【答案】AD

【分析】根据并集结果得到，从而讨论得到或或，根据集合中元素的互异性排除不合要求的结果.

【详解】因为，所以．

因为，，所以或，

解得或或；

当时，，，符合题意；

当时，集合不满足集合元素的互异性，不符合题意；

当时，，，符合题意；

综上，或.

故选：AD

10．设，则下列不等式中正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】根据不等式的性质，结合基本不等式判断AC；举反例判断BD即可

【详解】对A，因为，故，故，故A正确；

对B，取，则，但，故B错误；

对C，因为，故故，当且仅当取等号，因为，故，故C正确；

对D，取，则，故D错误；

故选：AC

11．下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（    ）

A．与 B．与

C．与 D．与

【答案】BCD

【分析】分别判断每组函数的定义域和对应关系是否一致即可.

【详解】解：对于A选项，函数的定义域为，的定义域为，故错误；

对于B选项，与的定义域均为，且，满足，故正确；

对于C选项，函数与的定义域均为，且，满足，故正确；

对于D选项，与的定义域与对应关系均相同，故正确.

故选：BCD

12．已知函数是定义在R上的偶函数，当时，则（    ）

A．的最小值为-1

B．在上单调递减

C．的解集为

D．存在实数x满足

【答案】ACD

【分析】根据题意当时，作出其图象，然后再由偶函数的性质作出的图象，通过观察函数图象即可判断.

【详解】依题意，作出函数的图象，如图所示：

观察图象可得：的最小值为-1，A正确；

在和上单调递减，B错误；

的解集为，C正确；

令，则有，D正确；

故选：ACD.

三、填空题

13．已知集合，，则___________.

【答案】

【分析】根据交集定义计算．

【详解】由已知．

故答案为：

14．若命题，是假命题，则实数的一个值为_____________．

【答案】（上任一数均可）

【分析】由命题的否定是真命题易得的范围．

【详解】由题意是真命题，

所以，解得．

故答案为：（上任一数均可）．

15．若且，则的最小值是_________.

【答案】##

【分析】根据给定条件借助“1”的妙用即可求出的最小值.

【详解】因且，则，

当且仅当，即时取“=”，由得，

所以当时，取得最小值是.

故答案为：

16．已知，函数，若存在最小值，则的取值范围是__________.

【答案】

【分析】利用分段函数的单调性及最值求解即可.

【详解】解：当，即时，在上单调递增，故无最小值，不符合题意；

当时，在上单调递减，所以，又在上的最小值为，要使存在最小值，还需，

解得，

故；

当时，要使存在最小值，

还需：，因为，所以无解

综上的取值范围为.

故答案为：.

四、解答题

17．已知全集，集合，，

（1）求；

（2）.

【答案】（1）（2）

【分析】（1）化简A集合得到：，利用补集定义即得解；

（2）先计算，利用补集定义即得解.

【详解】解：（1）集合，

.

（2）集合，

，

.

【点睛】本题考查了集合的交并补运算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.

18．已知集合，．

(1)命题p：，命题q：，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

(2)命题“r：，使得”是真命题，求实数m的取值范围．

【答案】(1)或；

(2)．

【分析】（1）对集合分两种情况讨论，再综合即得解；

（2）根据题意得出为非空集合且，从而得出为非空集合时，然后可得出时或，从而可得出的取值范围．

【详解】（1）解：①当为空集时，，即，原命题成立；

②当不是空集时，，所以，解得；

综上①②，的取值范围为或.

（2）解：，使得，为非空集合且，

所以，即，

当时或，

所以或，

的取值范围为．

19．已知关于x的不等式．

（1）若不等式的解集是，求的值；

（2）若，，求此不等式的解集．

【答案】（1）；（2）分类讨论，答案见解析．

【分析】（1）利用根与系数关系列式，求得的值，进而求得的值.

（2）将原不等式转化为，对分成三种情况，讨论不等式的解集.

【详解】（1）由题意知，且1和5是方程的两根，

∴，且，

解得，，∴．

（2）若，，原不等式为，

∴，∴．

∴时，，原不等式解集为，

时，，原不等式解集为，

时，，原不等式解集为，

综上所述：当时，原不等式解集为，

当时，原不等式解集为．

当时，原不等式解集为．

【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查根与系数关系，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.

20．某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y200x＋80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.

(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？

【答案】(1)400；

(2)不能获利，至少需要补贴35000元.

【分析】(1)每月每吨的平均处理成本为，利用基本不等式求解即得最低成本；

(2)写出该单位每月的获利f(x)关于x的函数，整理并利用二次函数的单调性求出最值即可作答.

【详解】（1）由题意可知：，

每吨二氧化碳的平均处理成本为：

，

当且仅当，即时，等号成立，

∴该单位每月处理量为400吨时，每吨的平均处理成本最低；

（2）该单位每月的获利：

，

因，函数在区间上单调递减，

从而得当时，函数取得最大值，即，

所以，该单位每月不能获利，国家至少需要补贴35000元才能使该单位不亏损.

21．已知函数是定义在上的函数，恒成立，且

(1)确定函数的解析式；

(2)用定义证明在上是增函数；

(3)解不等式．

【答案】(1)

(2)证明见解析

(3)

【分析】（1）先由函数的奇偶性得到b=0，然后由求解；

（2）利用函数单调性定义证明；

（3）将，转化为，利用单调性求解.

【详解】（1）解：因为函数，恒成立，

所以，则，

此时，所以，

解得，

所以；

（2）证明：设，

则，

，

，且，则，

则，即，

所以函数是增函数．

（3），

，

是定义在上的增函数，

，得，

所以不等式的解集为．

22．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到横线中，并解答．已知一次函数满足，且______．

(1)求函数的解析式；

(2)若在上的最大值为2，求实数的值．

【答案】(1)

(2)-2

【分析】（1）选择方案，设一次函数解析式，代入函数解方程组得答案.

（2）计算，考虑和两种情况，计算最值得到答案.

【详解】（1）方案一：选条件①．

设，则，即，

所以，，所以，由，得，

所以．

方案二：选条件②．

设，则，即，

所以，，所以．

，得，所以．

方案三：选条件③．

设，则，即，

所以，，所以．

由，得，所以．

（2），

所以的图象为开口向上的抛物线，且对称轴为直线．

当，即时，，

令，解得；

当，即时，，令，解得（舍去）．

综上，．