2022-2023学年广东省广州市实验外语学校高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年广东省广州市实验外语学校高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合，集合N满足，则集合N的个数为（    ）

A．6 B．7 C．8 D．9

【答案】C

【分析】利用子集的定义写出集合即得解.

【详解】由子集的定义可知集合N有，共8个．

故选：C

2．函数与的对应关系如下表．

则的值为（    ）A．0 B．3 C．1 D．

【答案】A

【分析】根据图表代入对应的值，即可得到答案.

【详解】根据表格，，，

故选：A.

3．下列各组函数中，表示同一函数的是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】A

【分析】根据同一函数的定义，逐项验证定义域和对应法则是否相同，即得．

【详解】对于A中，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域相同，对应法则相同，所以是同一个函数；

对于B中，函数和的定义域都是，但对应法则不同，所以不是同一个函数；

对于C中，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不相同，所以不是同一个函数；

对于D中，函数的定义域为，的定义域为，定义域不相同，所以不是同一个函数.

故选：A．

4．设，，，则，，的大小关系是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据幂函数的单调性比较大小.

【详解】，，，

因为函数在上单调递增，

又，

所以，即，

故选：B．

5．一次函数与二次函数在同一坐标系中的图象大致是(　　)

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】分类讨论，和时，由一次函数的单调性与二次函数图象的开口方向，排除一些选项，再由的的正负，确定二次函数对称轴的位置，从而可得最后结果.

【详解】若a>0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的开口向上，故可排除A；若a＜0，同理可排除D.对于选项B，由直线可知a>0，b>0，从而－<0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故应排除B.故选C.

【点睛】本题巧妙地利用二次函数与一次函数图象经过特殊点，结合排除法解答．在遇到此类问题时，要牢记在二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a的正负决定抛物线开口的方向，c确定抛物线在y轴上的截距，b与a确定顶点的横坐标(或对称轴的位置)．

6．已知函数，则“”是“在上的单调递增”的（    ）．

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】在为单调递增，满足，

解得，∴，

当时，在上为增，

综上，在为单增时，

∴，是在为增函数的必要不充分条件．

故选：B．

【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．

1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．

2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．

3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．

7．设集合，，函数，若，且，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】时，根据解析式求出，再由求解不等式即可.

【详解】当时，则，

由，解得，

又，所以.

故选：C

8．若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】正实数x,y满足，

则，

当且仅当取得最小值2.

由有解,可得，

解得m>2或m<−1.

本题选择C选项.

点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．

二、多选题

9．下列说法错误的是（    ）

A．的最小值为2 B．的最小值为2

C．的最大值为2 D．最小值为2

【答案】ACD

【分析】利用不等式的性质、基本不等式及成立条件即可判断.

【详解】对于A，当时，，故错误；

对于B，，当且仅当即时取等号，故正确；

对于C，，故错误；

对于D，，当且仅当，此时不存在，故错误.

故选：ACD.

10．下列说法正确的是（    ）

A．若函数的定义域为，则函数的定义域为

B．图象关于点成中心对称

C．的最大值为

D．幂函数在上为减函数，则的值为1

【答案】BD

【分析】根据函数的定义域、对称性、最值、单调性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】A选项，函数的定义域为，

所以对于函数，有，即的定义域是，A选项错误.

B选项，，所以图象关于点成中心对称，B选项正确.

C选项，，所以，

即的最小值为，C选项错误.

D选项，是幂函数，

所以，解得或，

当时，，在上递减，

当时，，在上递增，

所以D选项正确.

故选：BD

11．下列说法正确的是（    ）

A．命题“”的否定是“”

B．是命题，成立的一个充分不必要条件

C．“”是“”的必要而不充分条件；

D．“关于的不等式对任意恒成立”的充要条件是“”

【答案】BD

【分析】根据全称量词命题的否定、充分和必要条件等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】对于A选项，命题“”的否定是“”，所以A选项错误.

对于B选项，命题，，则，解得或.

所以是命题，成立的一个充分不必要条件，B选项正确.

对于C选项，则.，所以“”是“”的非充分非必要条件，C选项错误.

对于D选项，“关于的不等式对任意恒成立”，则或，即.

所以“关于的不等式对任意恒成立”的充要条件是“”， D选项正确.

故选：BD

12．已知函数的图象关于直线对称，且对于，当，，且时，恒成立．若对任意的恒成立，则实数a的范围可以是下面选项中的（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABC

【分析】首先得到为偶函数且在上单调递增，则在上单调递减，则问题转化为恒成立，再根据一元二次不等式恒成立求出参数的取值范围.

【详解】解：因为函数的图象关于直线对称，所以的图象关于轴对称，即为偶函数，

又当，，且时，恒成立，即恒成立，

所以在上单调递增，则在上单调递减，

若对任意的恒成立，

即恒成立，即恒成立，

即恒成立，即，解得，即，

故符合条件的有A、B、C；

故选：ABC

三、填空题

13．函数的定义域为_____________.

【答案】

【解析】根据根式函数和分式函数的定义域求解.

【详解】由，

解得，

所以函数的定义域为

故答案为：

14．已知，则的取值范围是___________.

【答案】

【分析】先用已知表示所求式子，再根据不等式的性质求得正确答案.

【详解】设，

所以，解得，

所以，

，

所以，

即的取值范围是.

故答案为：

15．已知函数在区间上为增函数，则实数a的取值范围是________．

【答案】

【分析】首先函数分离常数，根据分数函数的单调性，即可求得实数a的取值范围.

【详解】，

因为函数在区间上为增函数，所以，

解得：.

故答案为：

16．定义域为的函数满足条件：

①，，恒有；

②；

③，

则不等式的解集是___________.

【答案】

【分析】结合函数的单调性、奇偶性求得正确答案.

【详解】①，，，恒有，

所以在上单调递增；

②，，

所以是偶函数；所以在上递减；

③，；

不等式可转化为或，

所以不等式的解集是.

故答案为：

【点睛】

四、解答题

17．已知集合，集合

(1)当时，求；

(2)若，求实数的取值范围．

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）由题意可得，解一元二次不等式求出集合，再根据集合的交集运算即可求出结果;

（2）因为，所以，所以，由此即可求出结果.

【详解】（1）解：当时，集合

集合或；

所以或.

（2）解：因为，所以，

所以，即.

18．在①，②，且，③恒成立，且这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.问题：已知二次函数的图像经过点（1，2），______.

(1)求的解析式；

(2)求在上的值域.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）若选条件①，设，用待定系数法求得即可；若选条件②,设，根据对称轴是，结合条件列方程求得即可；若选条件③，设.，根据条件，列方程求得即可.

（2）直接由（1）中解析式，求二次函数在上的值域即可.

【详解】（1）选条件①.

设，

则.

因为，所以，

所以，解得.因为函数的图像经过点（1，2），

所以，得.故.

选条件②.

设，

则函数图像的对称轴为直线.

由题意可得，解得.故.

选条件③

设.

因为，所以.

因为恒成立，所以，解得，

故.

（2）由（1）可知.因为，所以，

所以.所以在上的值域为.

19．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.

(1)求的值；

(2)求函数的解析式；

(3)判断函数在区间上的单调性，并证明.

【答案】(1)5;

(2) ;

(3)减函数，证明见解析.

【分析】（1）根据函数时的解析式结合其奇偶性，可求得的值，继而求得的值；

（2）由函数时的解析式结合其奇偶性，可求得时的解析式，由奇函数定义确定，即可确定函数解析式；

（3）利用函数单调性的定义可证明函数在的单调性.

【详解】（1）由题意当时，，

，

则；

（2）当时， ，则，

又因为函数是定义在R上的奇函数，所以，

故；

（3）由（2）可得，，

在上为减函数；

证明如下：设 ，

则，

又由，则 ，

，

则，即 ，

故在上为减函数.

20．某商店预备在一个月内分批购入每张价值为20元的书桌共36台，每批都购入x台（x是正整数），且每批均需付运费4元，储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值（不含运费）成正比，若每批购入4台，则该月需用去运费和保管费共52元，现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费．

（1）求该月需用去的运费和保管费的总费用

（2）能否恰当地安排每批进货的数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由．

【答案】（1）；（2）张，见解析．

【详解】（1）设题中比例系数为,若每批购入台,则共需分批,每批价值为20元.

由题意

由 =4时,="52" 得

（2）由（1）知

（元）

当且仅当 ,即 时,上式等号成立.

故只需每批购入6张书桌,可以使资金够用.

21．已知函数.

(1)若命题“，”为真命题，求实数的取值范围；

(2)当时，求关于的不等式的解集.

【答案】(1)；

(2)分类讨论见详解.

【分析】（1）转化为当，，其中，结合二次函数的图像及性质求解即可；

（2）转化，分三种情况讨论，结合二次函数图像及性质求解即可.

【详解】（1）由题意，命题“，”为真命题，

即不等式在有解，

，

即当，，

函数开口向上，对称轴为，故当时，取得最大值，

即，解得.

（2）由题意，，为开口向上的二次函数，

令，

①当时，不等式的解集为；

②当时，不等式的解集为;

③当时，不等式的解集为.

22．对于函数，若存在，使得成立，则称为的不动点，已知函数的两个不动点分别是-2和1.

(1)求的值及的表达式；

(2)当函数的定义域是时，求函数的最大值.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）根据不动点可列方程求解 ，

（2）分类讨论定义域与对称轴的位置关系，结合二次函数的单调性即可求解.

【详解】（1）依题意得 ，即 ，

解得.

.

（2）①当区间在对称轴左侧时，即，也即时，在单调递增，则最大值为；

②当对称轴在内时，即也即时，的最大值为.

③当在右侧时，即时，在单调递减，则最大值为.

所以 .