2021-2022学年黑龙江省绥化市望奎县第一中学高一下学期期末数学试题（解析版）

2021-2022学年黑龙江省绥化市望奎县第一中学高一下学期期末数学试题

一、单选题

1．若复数满足，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】同时除以，化简即可.

【详解】.

故选：D

【点睛】本题考查复数的除法运算，属于基础题.

2．要了解全市高一学生身高在某一范围的学生所占比例的大小，需知道相应样本的

A．平均数 B．方差 C．众数 D．频率分布

【答案】D

【详解】试题分析：频率分布直方图是用来显示样本在某一范围所占的比例大小，故要了解全市高一学生身高在某一范围的学生所占比例的大小，需知道相应样本的频率分布

【解析】本题考查了频率分布直方图的意义和运用

点评：平均数是表示样本的平均水平，方差表示的是学生身高波动的大小，众数则表示哪一个身高的学生最多，只有频率分步直方图可以清晰地揭示各个身高的学生所占的比例．

3．如图，在正方体中，M、N分别为，的中点，则异面直线与所成角为（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】在正方体中，连接交于，连接，所以，所以异面直线与所成角即与所成角，即可得解.

【详解】

如图，在正方体中，连接交于，

连接，M、N分别为，的中点，所以，

所以异面直线与所成角即与所成角，

易知，

故选：C.

4．设为单位向量，，当的夹角为时，在上的投影向量为（    ）

A．－ B． C． D．

【答案】B

【分析】直接利用向量的投影向量的公式求解.

【详解】解：由题意，在上的投影向量为．

故选：B．

5．已知m,n为直线，α为平面，下列结论正确的是

A．若⊂, 则 B．若，则

C．若,则 D．若 ,则

【答案】D

【详解】逐一考查所给的线面关系：

A.若, 不一定有 ，如图所示的正方体中，若取 为 ，平面 为平面 即为反例；

B.若，不一定有 ，如图所示的正方体中，若取 为 ，平面 为平面 即为反例；

C.若,不一定有  ，如图所示的正方体中，若取 为 ，平面 为平面 即为反例；

D.若 ,由线面垂直定理的推论，则 .

本题选择D选项.

6．在中，角所对的边分别为，若，，，则此三角形解的情况为（    ）

A．无解 B．有两解 C．有一解 D．有无数解

【答案】C

【分析】利用正弦定理可得，由的取值范围可求得的范围，结合大边对大角可知为锐角的一个，由此可得结果.

【详解】由正弦定理得：，

，，则，

，

，，只能为锐角的一个值，只有一个解.

故选：C.

7．某班为了了解学生每周购买零食的支出情况，利用分层随机抽样抽取了一个15人的样本统计如下：

据此估计该班学生每周购买零食的支出的总体方差为（    ）A．10 B．11.2 C．23              D．11.5

【答案】B

【分析】由均值和方差公式直接计算．

【详解】全班学生每周购买零食的平均费用为，

方差.

故选：B.

8．已知等腰直角三角形三个顶点都在球的球面上，若球上的点到平面的最大距离为4，则球的体积为

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】分析：首先求得球的半径，然后求解其表面积即可.

详解：由题意可知，等腰直角三角形的斜边长度为，

设球的半径为，球心到所在平面的距离为，

由题意结合几何关系可得：，

解得：.则球O的体积为.

本题选择D选项.

点睛：本题主要考查球的几何特征，空间想象能力等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

二、多选题

9．如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】应用几何图形进行向量加减运算，结合向量的概念、三角形及平行四边形法则，即可判断各项正误.

【详解】在平行四边形ABCD中，根据向量的加减法法则：、，结合相等、相反向量的定义：、.

故选：ABD.

10．下列关于复数的说法，其中正确的是（    ）

A．复数是实数的充要条件是

B．复数是纯虚数的充要条件是

C．若，互为共轭复数，则是实数

D．若，互为共轭复数，则在复平面内它们所对应的点关于虚轴对称

【答案】AC

【分析】根据复数的分类，共轭复数的定义与复数的几何意义判断．

【详解】根据复数的分类，时，才是纯虚数．A正确，B错误，

，则，所以是实数，C正确；

当是实数时，其共轭复数是它本身，对应的点是同一点，不关于虚轴对称，D错．

故选：AC．

11．从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个小球，则下列结论正确的是（    ）

A．“至少有一个红球”和“至少有一个黑球”是互斥事件

B．“恰有一个黑球”和“都是黑球”是互斥事件

C．“恰有一个红球”和“都是红球”是对立事件

D．“至少一个黑球”和“都是红球”是对立事件

【答案】BD

【分析】利用对立事件、互斥事件的定义直接求解．

【详解】解：从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个小球，可能结果有：二个红球，一个红球一个黑球，二个黑球；

对于，“至少一个红球”和“至少有一个黑球”能同时发生，不是互斥事件，故错误；

对于，“恰有一个黑球”和“都是黑球”不能同时发生，是互斥事件，故正确；

对于，“恰有一个红球”和“都是红球”不能同时发生，但是可以同时都不发生，是互斥事件，但不是对立事件，故错误；

对于，“至少一个黑球”和“都是红球”不能同时发生，但是一定有一个要发生，是对立事件，故正确．

故选：．

12．在中，角、、所对的边分别为、、，，.若点在边上，且，是的外心.则下列判断正确的是（    ）

A． B．的外接圆半径为

C． D．的最大值为2

【答案】BC

【分析】先利用正弦定理求出，判定出选项A错误；再利用，求出外接圆半径，选项B正确；画出图像，在中，计算出，选项C正确；再由由得出选项D错误.

【详解】在中，,

，

，又，

，故选项A错误；

又，

所以，

故，选项B正确.

取的中点，如图所示：

在中，

，

在中，

，

故选项C正确；

由，

当且仅当圆心在上时取等号，

所以的最大值为，故选项D错误.

故选：B C.

【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用以及在外接圆内求最值问题.属于中档题.

三、填空题

13．若复数（）在复平面上对应的点位于第二象限，则m的取值范围是_______.

【答案】

【分析】根据复数实部虚部的符号特点，解出关于的不等式即可求得的范围

【详解】复数（）在复平面上对应的点位于第二象限.

可得 解得.

故答案为：

14．数据的第80百分位数是__________．

【答案】9.5

【分析】先将数据按从小到大排序，再由第80百分位数的概念求解.

【详解】将数据从小到大排列为，共10个数，

由，得第80百分位数为．

故答案为：.

15．一个长方体共一项点的三个面的面积分别是，这个长方体对角线的长是____________.

【答案】

【分析】由长方体对角线与棱长的关系计算．

【详解】设长方体的长、宽、高分别为，则，解得，

∴对角线长．

故答案为．

【点睛】本题考查求长方体的对角线长，设长方体棱长分别为，则对角线长．

四、解答题

16．已知向量，.

(1)若，求的值.

(2)若，求与的夹角的余弦值.

【答案】(1)

(2)

【分析】对于第小问1，根据向量平行的坐标运算公式，求解的值.

对于第小问2，由题意，先计算的值，得到的坐标，再由向量的夹角公式，求其余弦值.

【详解】(1)平面向量，，若，则，解.

(2)若，则，

即，解,∴，

∴与的夹角的余弦值为：

.

17．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，．

(1)若，求B；

(2)若，求b．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）利用余弦定理进行求解；（2）用正弦定理求出或，分两种情况进行求解，得到或.

【详解】(1)由余弦定理，得，

又，

∴．

(2)由正弦定理，得，

∵，

∴或．

当时，，

∴；

当时，，

∴．

综上，或．

18．甲、乙两名运动员各投篮一次，甲投中的概率为0.8，乙投中的概率为0.9，求下列事件的概率：

（Ⅰ）两人都投中；

（Ⅱ）恰好有一人投中；

（Ⅲ）至少有一人投中.

【答案】（Ⅰ）0.72；（Ⅱ）0.26；（Ⅲ）0.98.

【分析】（Ⅰ）由相互独立事件概率的乘法公式即可得解；

（Ⅱ）由相互独立事件概率的乘法公式、互斥事件概率的加法公式，运算即可得解；

（Ⅲ）由互斥事件概率加法公式即可得解.

【详解】设“甲投中”，“乙投中”，则“甲没投中”，“乙没投中”，

由于两个人投篮的结果互不影响，

所以与相互独立，与，与，与都相互独立，

由己知可得，，则，；

（Ⅰ）“两人都投中”，则；

（Ⅱ）“恰好有一人投中”，且与互斥，

则

；

（Ⅲ）“至少有一人投中”，且、、两两互斥，

所以

.

【点睛】本题考查了对立事件的概率及概率的加法公式、乘法公式的应用，考查了运算求解能力，属于中档题.

19．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，平面ABCD⊥平面PAB，E，F分别是线段AD，PB的中点，.证明：

(1)平面PDC；

(2)PB⊥平面DEF.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）根据平行四边形可证明，利用线面平行判定定理求解即可；

（2）根据面面垂直的性质可得AD⊥平面PAB，可得，再由即可得证.

【详解】(1)取PC的中点M，连接DM，MF.

∵M，F分别是PC，PB的中点，

∴，.

∵E为DA的中点，四边形ABCD为正方形，

∴，，

∴，，

∴四边形DEFM为平行四边形.

∴，

∵平面PDC，平面PDC.

∴平面PDC.

(2)∵ 四边形ABCD为正方形，∴.

又平面ABCD⊥平面PAB，平面平面，平面ABCD，

∴ AD⊥平面PAB.

∵平面PAB，∴.

连接AF，∵，F为PB中点，∴.

又，AD，平面DEF，

∴ PB⊥平面DEF.

20．某新能源汽车制造公司，为鼓励消费者购买其生产的新能源汽车，约定从今年元月开始，凡购买一辆该品牌汽车，在行驶三年后，公司将给予适当金额的购车补贴．某调研机构对已购买该品牌汽车的消费者，就购车补贴金额的心理预期值进行了抽样调查，得其样本频率分布直方图如图所示．

(1)求实数的值；

(2)估计已购买该品牌汽车的消费群体对购车补贴金额的心理预期值的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数；（精确到0.01）

(3)现在要从购车补贴金额的心理预期值在间用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行调查，求抽到2人中购车补贴金额的心理预期值都在间的概率．

【答案】(1)；

(2)平均数的估计值为3.5万元，中位数的估计值为3.33万元；

(3).

【分析】（1）由频率分布直方图所有频率和为1可求得；

（2）利用频率分布直方图中每组数据区间的中点值乘以相应频率相加可求得平均数，判断中位数对应的区间，求出频率0.5对应的值即为中位数；

（3）先算出从购车补贴金额的心理预期值在 的6人中，在 间的有4人，然后根据列举法列出所有可能的基本事件15种，选出都在预期值间的情况6种，利用古典概型公式计算即可。

【详解】(1)由题意知，，解得．

(2)平均数的估计值为

万元

因为，则中位数在区间（3，4）内．

设中位数为，则，

得，所以中位数的估计值为3.33万元．

(3)从购车补贴金额的心理预期值在[3，5）间用分层抽样的方法抽取6人，则购车补贴金额的心理预期值在[3，4）间的有4人，记为a，b，c，d，购车补贴金额的心理预期值在[4，5）间的有2人，记为A，B，则基本事件有（a，b），（a，c），（a，d），（a，A），（a，B），（b，c），（b，d），（b，A），（b，B），（c，d），（c，A），（c，B）（d，A），（d，B），（A，B），共15种情况．

其中购车补贴金额的心理预期值都在[3，4）间有（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d），共6种情况，所以抽到2人中购车补贴金额的心理预期值都在[3，4）间的概率．

21．如图，在四棱锥中，平面，且，，，点G，H分别为边，的中点，点M是线段上的动点.

（1）求证：；

（2）若，当三棱锥的体积最大时，求点C到平面的距离.

【答案】（1）证明见解析（2）

【分析】（1）连接,相交于点O.由垂直平分线性质可得,由中位线定理可得,从而.再由平面,可得,所以平面,即可得.

（2）根据,,,可求得和,进而求得,由相似比与面积比关系求得,即可由等体积法求得.因而当点M与点E重合时取得最大值.由线段关系求得,再根据等体积,即可求得点D到平面的距离.

【详解】（1）证明：连接,相交于点O.如下图所示:

平面.平面,

.

又,,

为线段的垂直平分线.

.

∵G,H分别为,的中点,

,

,

又,,平面,

平面.

又平面,

.

（2）由（1）得,,.

,在中,,,

.

在中,.

的面积

,

∵G,H分别为,中点,

.

平面.即平面.

.

显然,当点M与点E重合时,取得最大值,此时.

连接,不难得出.

,.

又易知,

.

∵G是中点,

∴C到平面的距离等于D到平面的距离.

又,

,得.

∴点D到平面的距离为.

【点睛】本题考查了直线与平面垂直的判定,由线面垂直证明线线垂直,等体积法求点到平面的距离,属于中档题.

五、双空题

22．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则____________；的面积为____________.

【答案】         

【分析】由三角函数的平方关系及余弦定理即可得出，再利用余弦定理求出，利用面积公式直接计算即可求出的面积

【详解】由题意知，

即，

由正弦定理得

由余弦定理得，

又.

，则有，解得

故的面积

故答案为： ；