黑龙江省绥化市部分学校2021-2022学年高一上学期期末数学试题

2021~2022年度高一联合考试

数学试卷

考生注意：

1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．

2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．

3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．

4．本卷命题范国：人教A版必修第一册第一章——第五章第4节．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 设集合，则（    ）

A. {1，3} B. {3，5} C. {5，7} D. {1，7}

【答案】B

【解析】

【分析】先求出集合B，再求两集合的交集

【详解】由，得，解得，

所以，

因为

所以．

故选：B．

2. 函数的定义域为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】求使函数有意义的的取值范围可得答案.

【详解】由已知解得，所以f(x)的定义域为．

故选：B．

3. 已知集合则角α的终边落在阴影处(包括边界)的区域是（　　　　）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】令，由此判断出正确选项.

【详解】令，则，故B选项符合.

故选：B

【点睛】本小题主要考查用图像表示角的范围，考查终边相同的角的概念，属于基础题.

4. 下列函数中，最小值是的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】应用特殊值及基本不等式依次判断各选项的最小值是否为即可.

【详解】A：当，则，，

所以，故A不符合；

B：由基本不等式得：(当且仅当时取等号)，符合；

C：当时，，不符合；

D：当取负数，，则，，

所以，故D不符合；

故选：B.

5. 已知，则a，b，c的大小关系是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据指数函数的单调性、对数函数的单调性可得答案.

【详解】根据指数函数的单调性可知，，

即，即c＞1，

由对数函数的单调性可知，即．所以c＞a＞b．

故选：B．

6. 设为偶函数，且在区间上单调递减，，则的解集为（    ）

A. （－1，1） B.  C.  D. （2，4）

【答案】C

【解析】

【分析】由奇偶性可知的区间单调性及，画出函数草图，由函数不等式及函数图象求解集即可.

【详解】根据题意，偶函数在上单调递减且，则在上单调递增，且．

函数的草图如图，或，

由图可得－2＜x＜0或x＞2，即不等式的解集为．

故选：C．

7. 已知某扇形的面积为，圆心角为，则该扇形的半径为（    ）

A. 3 B.  C. 9 D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据扇形面积公式求出半径.

【详解】扇形的面积，解得：．

故选：A．

8. 已知函数，则下列选项中正确的是（    ）

A. 函数是单调增函数

B. 函数的值域为

C. 函数为偶函数

D. 函数的定义域为

【答案】D

【解析】

【分析】应用换元法求解析式，进而求其定义域、值域，并判断单调性、奇偶性，即可知正确选项.

【详解】由题意，由，则，即.

令，则

∴，其定义域为不是偶函数，

又故不是单调增函数，

易得，则，

∴.

故选：D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 下列函数既是偶函数，又在上单调递增的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】AD

【解析】

【分析】利用奇偶性定义、三角函数的性质判断奇偶性，根据函数解析式及指数复合函数的单调性判断区间单调性.

【详解】A：且上单调递增，满足题设；

B：为奇函数，不满足题意．

C：在上有增有减，不满足题意；

D：，又在上单调递增，单调递增，故在上单调递增，满足题设.

故选：AD．

10. 下列存在量词命题中，是真命题的是（    ）

A.  B. 至少有一个，使x能同时被2和3整除

C.  D. 有些自然数是偶数

【答案】BD

【解析】

分析】A选项，计算出，BD选项，可以找到例子，C选项，根据进行判断.

【详解】A中，，即，解得：，所以A是假命题；

B选项，6能同时被2和3整除，所以B是真命题；

C选项，因为所有实数的绝对值非负，即，所以C是假命题；

D中，2既是自然数又是偶数，所以D是真命题．

故选：BD．

11. 已知函数，则（    ）

A. f(x)的最小正周期为 B. f(x)的图象关于直线对称

C. f(x)在区间上单调递减 D. f(x)的图象关于点对称

【答案】ACD

【解析】

【分析】求f(x)的最小正周期可判断A；求出f(x)的对称轴方程可判断B；求出f(x)的单调递减区间可判断C；求出f(x)的对称中心可判断D．

【详解】，f(x)的最小正周期为，故A正确；

由得，

f(x)的图象关于直线对称，由，解得，故B错误；

f(x)的单调递减区间为，时单调递减区间为，故C正确；

由得，所以

f(x)的图象关于点对称，故D正确．

故选：ACD．

12. 由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数史称戴德金分割，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足，，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称为戴德金分割试判断，对于任一戴德金分割，下列选项中，可能成立的是（    ）

A. M没有最大元素，N有一个最小元素

B. M没有最大元素，N也没有最小元素

C. M有一个最大元素，N有一个最小元素

D. M有一个最大元素，N没有最小元素

【答案】ABD

【解析】

【分析】举特例根据定义分析判断，进而可得到结果．

【详解】令，，显然集合M中没有最大元素，集合N中有一个最小元素，即选项A可能；

令，，显然集合M中没有最大元素，集合N中也没有最小元素，即选项B可能；

假设答案C可能，即集合M、N中存在两个相邻的有理数，显然这是不可能的；

令，，显然集合M中有一个最大元素，集合N中没有最小元素，即选项D可能.

故选：ABD．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 命题“”的否定是________．

【答案】

【解析】

【分析】由否定的定义写出即可.

【详解】命题“”的否定是“”

故答案为：

14. 已知角的终边过点（1，－2），则________．

【答案】

【解析】

【分析】由三角函数的定义以及诱导公式求解即可.

【详解】的终边过点（1，－2），．

故答案为：

15. 已知幂函数f(x)是奇函数且在上是减函数，请写出f(x)的一个表达式________．

【答案】

【解析】

【分析】由题意可知幂函数中为负数且为奇数，从而可求出解析式

【详解】因为幂函数是奇函数且在上是减函数，

所以为负数且为奇数，

所以f(x)的一个表达式可以是（答案不唯一），

故答案为：（答案不唯一）

16. 函数f(x)是定义在R上的偶函数，f（x－1）是奇函数，且当时，，则________．

【答案】1

【解析】

【分析】由函数f(x)是定义在R上的偶函数及f（x－1）是奇函数得到函数的周期，进而根据函数的性质求得答案.

【详解】根据题意，函数f(x)是定义在R上的偶函数，则有f（－x）＝f(x)，又f（x－1）是奇函数，则f（－x－1）＝－f（x－1），所以f（x＋2）＝f[－（x＋2）]＝f[－（x＋1）－1]＝－f[（x＋1）－1]＝－f(x)，即f（x＋2）＝－f(x)，则有f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f(x)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数，则，，故．

故答案为：1.

四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知集合.

（1）当时.求;

（2）若是的充分条件，求实数的取值范围.

【答案】（1）或.   

（2）

【解析】

【分析】（1）解一元二次不等式求集合A、B，再由集合的补、并运算求即可.

（2）由充分条件知，则有，进而求的取值范围.

【小问1详解】

，

当时，，或，

∴或；

【小问2详解】

由是的充分条件，知：，

∴，解得，

∴的取值范围为.

18. 已知，且．

（1）求的值；

（2）求的值．

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）根据题意可得出关于的方程，结合已知条件可知，即可求得的值；

（2）利用诱导公式结合弦化切可求得所求代数式的值.

【小问1详解】

解：因，所以，

即，解得或

因为，所以，则．

【小问2详解】

解：.

19. 已知函数．

（1）求当f(x)取得最大值时，x的取值集合；

（2）完成下列表格并在给定的坐标系中，画出函数f(x)在上的图象．

【答案】（1）；   

（2）图象见解析.

【解析】

【分析】（1）利用整体法求解三角函数最大值时x取值集合；（2）填写表格，并作图.

【小问1详解】

．

由，得．

故当f(x)取得最大值时，x的取值集合为．

【小问2详解】

函数f(x)在上的图象如下：

20. 已知函数的图象关于原点对称．

（1）求实数b的值；

（2）若对任意的，有恒成立，求实数k的取值范围．

【答案】（1）－1    （2）

【解析】

【分析】（1）由得出实数b的值，再验证奇偶性即可；

（2）由结合函数的单调性解不等式，结合基本不等式求解得出实数k的取值范围．

【小问1详解】

∵函数的定义域为R，且为奇函数．

，解得．

经检验，当b＝－1时，为奇函数，满足题意．

故实数b的值为－1

【小问2详解】

，

∴f(x)在R上单调递增．

，

在上恒成立，

在上恒成立

（当且仅当x＝0时，取“＝”），则．

∴实数k的取值范围为．

21. 通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设f（t）表示学生注意力随时间t（分钟）的变化规律（f（t）越大，表明学生注意力越集中）经过实验分析得知：．

（1）讲课开始后第5分钟与讲课开始后第25分钟比较，何时学生的注意力更集中？

（2）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？

（3）一道比较难的数学题，需要讲解25分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？

【答案】（1）讲课开始25分钟时，学生的注意力比讲课开始后5分钟更集中   

（2）讲课开始10分钟，学生的注意力最集中，能持续10分钟   

（3）不能

【解析】

【分析】（1）分别求出比较即可；

（2）由的单调性得出最大值，从而得出学生的注意力最集中所持续的时间；

（3）由的解，结合的单调性求解即可.

【小问1详解】

因为，

所以讲课开始25分钟时，学生的注意力比讲课开始后5分钟更集中．

【小问2详解】

当时，是增函数，且．

当时，减函数，且．

所以讲课开始10分钟，学生的注意力最集中，能持续10分钟

【小问3详解】

当时，令，则．

当时，令，则．

则学生注意力在180以上所持续的时间为．

所以老师不能在学生达到所需要的状态下讲授完这道题．

22. 已知

（1）若函数f(x)的图象过点（1，1），求不等式f(x)＜1的解集；

（2）若函数只有一个零点，求实数a的取值范围．

【答案】（1）（－1，1）   

（2）a≥0或

【解析】

【分析】（1）将点（1，1）代入函数解析式中可求出的值，然后根据对数函数的单调性解不等式即可，

（2）将问题转化为只有一解，再转化为关于x的方程ax2＋x＝1只有一个正根，然后分和分析求解

【小问1详解】

∵函数的图象过点（1，1），

，解得．

此时．

由f(x)＜1，得，解得．

故f(x)＜1的解集为（－1，1）．

【小问2详解】

．

∵函数只有一个零点，只有一解，

将代入ax＋1＞0，得x＞0，

∴关于x的方程ax2＋x＝1只有一个正根．

当a＝0时，x＝1，满足题意；

当a≠0时，若ax2＋x－1＝0有两个相等的实数根，由，解得，此时x＝2，满足题意；

若方程ax2＋x－1＝0有两个相异实数根，则两根之和与积均为，

所以方程两根只能异号，所以，a＞0，此时方程有一个正根，满足题意．

综上，a≥0或．