2022-2023学年北京市海淀区八年级上册数学期中专项突破模拟题（AB卷）含解析

这是一份2022-2023学年北京市海淀区八年级上册数学期中专项突破模拟题（AB卷）含解析，共54页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，作图题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年北京市海淀区八年级上册数学期中专项突破模拟题（A卷）
一、选一选（每小题3分，共30分）
1. 计算的结果是（ ）
A. -16 B. C. D.
2. 下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 下列条件中，没有能判定三角形全等的是（ ）
A. 三条边对应相等
B. 两边和一角对应相等
C. 两角和其中一角对边对应相等
D. 两角和它们的夹边对应相等
4. 已知：如图，D、E分别在AB、AC上，若AB=AC，AD=AE，∠A =60°，∠B=35°，则∠BDC的度数是( )

A. 95° B. 90° C. 85° D. 80°
5. 下列各式中，正确的是（ ）．
A. B.
C. D.
6. 在多项式中应提取的公因式是（ ）．
A. B. C. D.
7. 如图，B，D，E，C四点共线，且△ABD≌△ACE，若∠AEC=105°，则∠DAE的度数等于（　　）．

A. 30° B. 40° C. 50° D. 65°
8. 如图，已知△ABC的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是( )


A 甲 B. 乙与丙 C. 丙 D. 乙
9. 小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是(　　)

A. 角内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C. 三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D 以上均没有正确
10. 某施工队要铺设一条长为1500米的管道，为了减少施工对交通造成的影响，施工队实际的工作效率比原计划提高了20%，结果比原计划提前2天完成任务．若设施工队原计划每天铺设管道x米，则根据题意所列方程正确的是（　　）
A. ﹣=2 B. =2+
C ﹣=2 D. =2+
二、填 空 题（每小题2分，共20分）
11. 当______时，分式 有意义．
12. 使分式的值为0，这时x=_____．
13. 把0．000 043用科学记数法表示为_______．
14. 如图，将△ABC绕点A旋转到△ADE ，∠BAC=75°，∠DAC=25°，则∠CAE=____°．

15. 若关于的方程的根为，则应取值___．
16. 如果多项式是完全平方式，那么________．
17. 已知△ABC中，AD是△ABC的中线，AB=8，AC=6，求AD的取值范围是______．
18. 约分= _________．
19. 如图，已知∠1=∠2，AC=AD，添加一个条件使△ABC≌△AED，你添加的条件是__________（填一种即可），根据________________.

20. 如图，正方形ABCD的边长为4，将一个足够大的直角三角板的直角顶点放于点A处，该三角板的两条直角边与CD交于点F，与CB延长线交于点E，四边形AECF的面积是__________．

三、作图题（每题2分，共4分）
21. （1）已知：， 求作：，使得，.
作图：
（2）如图，已知，求作射线OC，使OC平分.
作射线OC；
‚在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD=OE；
ƒ分别以点D,E为圆心，以大于长为半径，
在内作弧，两弧交于点C．上述做法合理的顺序是_____________．（写序号）

这样做出的射线OC就是∠O 的角平分线，其依据是___________________.
四、解 答 题（共46分）
22. 把下列各式因式分解
（1） （2） (3)
23. 计算： （1） （2）
（3） （4）
24. 先化简，再求值：，其中．
25. 解分式方程
26. 从A地到B地的路程是30千米．甲骑自行车从A地到B地先走，半小时后，乙骑自行车从A地出发，结果二人同时到达．已知乙的速度是甲的速度的1.5倍，求甲、乙二人骑车速度各是多少？
27. 如图，点E、F在线段BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，AF与DE交于点O．求证：△ABF≌△DCE．

28. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.求证：AB=AC.

29. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于D， CE平分∠ACB分别交AB、AD于E、F两点，且BD=FD，AB=CF．求证：（1）CEAB；（2）AE=BE.

附加卷（满分20分）
30. 已知，则分式的值等于__________．
31. 在中，，点是直线上一点（没有与重合），以为一边在的右侧作，使，连接．
（1）如图1，当点在线段上，如果，则 度；
（2）设，．
如图2，当点在线段上移动，则之间有怎样的数量关系？请说明理由；

32. 阅读下列材料：
利用完全平方公式，可以将多项式变形为的形式, 我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．
例如：
＝
＝
＝
＝
根据以上材料，解答下列问题：
（1）用多项式的配方法将化成的形式；
（2）下面是某位同学用配方法及平方差公式把多项式进行分解因式的解答过程：

老师说，这位同学的解答过程中有错误，请你找出该同学解答中开始出现错误的地方，并用“ ”标画出来，然后写出完整的、正确的解答过程：
（3） 求证：x，y取任何实数时，多项式的值总为正数．






















2022-2023学年北京市海淀区八年级上册数学期中专项突破模拟题（A卷）
一、选一选（每小题3分，共30分）
1. 计算的结果是（ ）
A. -16 B. C. D.
【正确答案】C

【详解】解：．故选C．
2. 下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C

【详解】试题解析：A. 右边没有是整式积的形式，没有是因式分解，故本选项错误；
B. 右边没有是整式积的形式，没有是因式分解，故本选项错误；
C. 是因式分解，故本选项正确；
D. 右边没有是整式积的形式，没有是因式分解，故本选项错误；
故选C.
点睛：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解.
3. 下列条件中，没有能判定三角形全等的是（ ）
A. 三条边对应相等
B. 两边和一角对应相等
C. 两角和其中一角的对边对应相等
D. 两角和它们的夹边对应相等
【正确答案】B

【详解】A. 三条边对应相等，能判定三角形全等，没有符合题意；
B. 两边和一角对应相等，没有一定能判定三角形全等，符合题意；
C. 两角和其中一角的对边对应相等，能判定三角形全等，没有符合题意；
D. 两角和它们的夹边对应相等，能判定三角形全等，没有符合题意；
故选：B
4. 已知：如图，D、E分别在AB、AC上，若AB=AC，AD=AE，∠A =60°，∠B=35°，则∠BDC的度数是( )

A. 95° B. 90° C. 85° D. 80°
【正确答案】A

【详解】解：在△ABE和△ACD中，
∵AE=AD，∠A=∠A，AB=AC，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴∠C=∠B．
∵∠B=35°，
∴∠C=35°．
∵∠A=60°，
∴∠BDC=∠A+∠C=95°，
故选A．
5. 下列各式中，正确的是（ ）．
A. B.
C. D.
【正确答案】C

【详解】解；A．分式的分子分母都乘或除以同一个没有为零的整式，故A错误；
B．分子除以（a﹣2），分母除以（a+2），故B错误；
C．分式的分子分母都乘或除以同一个没有为零的整式，分式的值没有变，故C正确；
D．分式的分子分母都乘或除以同一个没有为零的整式，分式的值没有变，故D错误；
故选C．
6. 在多项式中应提取的公因式是（ ）．
A. B. C. D.
【正确答案】D

【详解】解：原式=﹣4ab（3c2+2a2），则在多项式﹣12ab3c﹣8a3b中应提取的公因式是﹣4ab，故选D．
点睛：此题考查了因式分解﹣提公因式法，以及公因式，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．
7. 如图，B，D，E，C四点共线，且△ABD≌△ACE，若∠AEC=105°，则∠DAE的度数等于（　　）．

A. 30° B. 40° C. 50° D. 65°
【正确答案】A

【详解】解：∵△ABD≌△ACE，∴∠ADB=∠AEC=105°，∴∠ADE=∠AED=75°，∴∠DAE=180°﹣75°﹣75°=30°，故选A．
点睛：本题考查的是全等三角形的性质和三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
8. 如图，已知△ABC的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是( )


A. 甲 B. 乙与丙 C. 丙 D. 乙
【正确答案】B

【详解】乙图中利用角角边可证明全等.
丙图中可以用边角边可证明全等.
故选B.
9. 小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是(　　)

A. 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C. 三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D. 以上均没有正确
【正确答案】A

【分析】过两把直尺的交点C作CF⊥BO与点F，由题意得CE⊥AO，因为是两把完全相同的长方形直尺，可得CE=CF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP平分∠AOB
【详解】如图所示：过两把直尺的交点C作CF⊥BO与点F，由题意得CE⊥AO，

∵两把完全相同的长方形直尺，
∴CE=CF，
∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），
故选A．
本题主要考查了基本作图，关键是掌握角内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上这一判定定理．
10. 某施工队要铺设一条长为1500米的管道，为了减少施工对交通造成的影响，施工队实际的工作效率比原计划提高了20%，结果比原计划提前2天完成任务．若设施工队原计划每天铺设管道x米，则根据题意所列方程正确的是（　　）
A. ﹣=2 B. =2+
C. ﹣=2 D. =2+
【正确答案】D

【分析】设施工队原计划每天铺设管道x米，实际的工作效率为每天（1＋20%）x，根据题意可知，实际比计划提前2天完成任务，列方程即可．
【详解】设施工队原计划每天铺设管道x米，实际的工作效率为每天（1＋20%）x，
由题意得=2+．
故选D．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
二、填 空 题（每小题2分，共20分）
11. 当______时，分式 有意义．
【正确答案】x

【详解】解：分式有意义，则x-3≠0，解得：x≠3．故答案为x≠3．
12. 使分式的值为0，这时x=_____．
【正确答案】1

【详解】由题意得＝0，
所以x2-1=0且x+1≠0，
解之得x=1，
故1．
13. 把0．000 043用科学记数法表示为_______．
【正确答案】4.3

【详解】解：0．000 043=．故答案．
14. 如图，将△ABC绕点A旋转到△ADE ，∠BAC=75°，∠DAC=25°，则∠CAE=____°．

【正确答案】50度

【详解】解：根据题意得：∠DAE=∠BAC=75°．∠CAE=∠DAE﹣∠DAC=75°﹣25°=50°．故答案为50．
15. 若关于的方程的根为，则应取值___．
【正确答案】a=-2

【详解】解：把x=2代入方程得：，在方程两边同乘4（a﹣2）得：4（4a+3）=5（a﹣2），解得：a=﹣2，检验：当a=﹣2时，a﹣x≠0，故答案为a=－2．
点睛：本题考查了分式方程的解，解决本题的关键是分式方程．
16. 如果多项式是完全平方式，那么________．
【正确答案】±1

【详解】解：∵y2﹣2my+1是一个完全平方式，∴﹣2my=±2y，∴m=±1．
故±1．
本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
17. 已知△ABC中，AD是△ABC的中线，AB=8，AC=6，求AD的取值范围是______．
【正确答案】

【详解】解：延长AD至点E，使DE=AD，连接EC，
∵BD=CD，DE=AD，∠ADB=∠EDC，
∴△ABD≌△ECD，
∴CE=AB，
∵AB=8，AC=6，CE=8，设AD=x，则AE=2x，
∴2＜2x＜14，
∴1＜x＜7，
∴1＜AD＜7．
故答案为1＜AD＜7．

点睛：本题考查了三角形的三边关系定理：三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边，全等三角形的判定与性质，倍长中线得到两个全等三角形是解题的关键．
18. 约分= _________．
【正确答案】

【详解】先将分子和分母因式分解可得:,再根据分式的基本性质约分可得:
,答案为:.
19. 如图，已知∠1=∠2，AC=AD，添加一个条件使△ABC≌△AED，你添加的条件是__________（填一种即可），根据________________.

【正确答案】 ①. AB=AE ②. SAS

【详解】解：添加的条件AB=AE，∵∠1=∠2，∴∠1+∠EAB=∠2+∠EAB，即∠CAB=∠DAE，在△ABC和△AED中，∵AC=AD，∠CAB=∠DAE，AB=AE，∴△ABC≌△AED（SAS），故答案为AB=AE，SAS．
点睛：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA没有能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
20. 如图，正方形ABCD的边长为4，将一个足够大的直角三角板的直角顶点放于点A处，该三角板的两条直角边与CD交于点F，与CB延长线交于点E，四边形AECF的面积是__________．

【正确答案】16

【详解】解：∵∠EAB+∠BAF=∠FAD+∠FAB=90°，
∴∠EAB=∠FAD，又因四边形ABCD为正方形，
∴△AEB≌△AFD，
即可得四边形AECF的面积=正方形ABCD的面积=16．
答案为16．
本题在于证明△AEB≌△AFD从而把所要求的面积转化为正方形的面积.
三、作图题（每题2分，共4分）
21. （1）已知：， 求作：，使得，.
作图：
（2）如图，已知，求作射线OC，使OC平分.
作射线OC；
‚在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD=OE；
ƒ分别以点D,E为圆心，以大于长为半径，
在内作弧，两弧交于点C．上述做法合理的顺序是_____________．（写序号）

这样做出的射线OC就是∠O 的角平分线，其依据是___________________.
【正确答案】（1）见解析；（2）②③①，三边分别相等的两个三角形全等，全等三角形的对应角相等.

【详解】试题分析：（1）①作∠EBC=∠α，②在射线BE上截取BA=m，在射线BF上截取BC=n，连接AC．△ABC即为所求；
（2）先根据角平分线的作法进行判断，再根据图形进行说理，运用全等三角形的判定与性质进行证明，进而得出结论．
试题解析：（1）如图，①作∠EBC=∠α，②在射线BE上截取BA=m，在射线BF上截取BC=n，连接AC．△ABC即为所求．

（2）解：已知∠AOB，求作射线OC，使OC平分∠AOB．
步骤为：
步：在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD=OE；
第二步：分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于C；
第三步：作射线OC．
故作法合理的顺序为②③①．
如图所示，连接CD，CE，由题可得，OD=OE，CD=CE，在△OCD和△OCE中，∵OD=OE，CD=CE，OC=OC，∴△OCD≌△OCE（SSS），∴∠COD=∠COE（全等三角形的对应角相等），∴OC是∠AOB的平分线（角平分线定义）．
故答案为②③①，三边分别相等的两个三角形全等，全等三角形的对应角相等．

点睛：本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是熟练掌握基本作图，作一个角等于已知角，属于中考常考题型．
四、解 答 题（共46分）
22. 把下列各式因式分解
（1） （2） (3)
【正确答案】（1）2m(a+2b)(a-2b)；（2）；（3）（m-2）(x-3y)(x+3y)

【详解】试题分析：先提公因式，再用公式法分解即可．
试题解析：（1）原式==2m（a+2b）（a-2b）；
（2）原式= =；
（3）原式== =．
23. 计算： （1） （2）
（3） （4）
【正确答案】(1) ;(2) ;(3)-2;(4) -

【详解】试题分析：（1）根据异分母分式加法法则计算即可；
（2）利用积的乘方法则计算即可；
（3）先把分子分母因式分解，同时把除法转化为乘法，约分即可；
（4）利用分式乘方法则计算即可．
试题解析：解：（1）原式== =；
（2）原式====；
（3）原式==-2；
（4）原式==．
24. 先化简，再求值：，其中．
【正确答案】;

【详解】试题分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把m的值代入计算即可求出值．
试题解析：解：原式


．
当时，原式==．
25. 解分式方程
【正确答案】

【详解】试题分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
试题解析：解：方程两边都乘以，约去分母，得
．
解这个整式方程，得 ．
经检验是原分式方程的解．
所以，原分式方程的解为．
26. 从A地到B地的路程是30千米．甲骑自行车从A地到B地先走，半小时后，乙骑自行车从A地出发，结果二人同时到达．已知乙的速度是甲的速度的1.5倍，求甲、乙二人骑车速度各是多少？
【正确答案】甲骑自行车每小时行驶20千米，乙每小时行驶30米

【详解】试题分析：首先设甲速度为x千米/时，则乙的速度为1.5x千米/时，由题意得：甲需要时间小时，乙需要小时，再根据乙所用时间+半小时=甲所用时间即可列出方程．
试题解析：解：设甲的速度为x千米/时，则乙的速度为1.5x千米/时，由题意得：

解得：x=20，经检验：x=20是原分式方程的解，1.5×20=30（千米/时）．
答：甲的速度为20千米/时，则乙的速度为30千米/时．
点睛：此题主要考查了分式方程的应用，难度中等，做此类题主要是要抓住关键条件列出方程解答即可．
27. 如图，点E、F在线段BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，AF与DE交于点O．求证：△ABF≌△DCE．

【正确答案】见解析

【详解】∵BE=CF
∴BE+EF=CF+EF
∴BF=CE
∵∠A＝∠D ，∠B＝∠C，
∴△ABF≌△DCE.
28. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.求证：AB=AC.

【正确答案】证明见解析.

【分析】已知AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，由角平分线的性质定理可得DE=DF，再利用HL证明Rt△BDE≌Rt△CDF，即可得∠B=∠C，由等腰三角形的判定定理即可证得AB=AC.
【详解】∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∴DE=DF，
∵BD=CD，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC.
本题主要考查了角平分线上的点到角两边的距离相等、全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定，比较综合，难度适中．
29. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于D， CE平分∠ACB分别交AB、AD于E、F两点，且BD=FD，AB=CF．求证：（1）CEAB；（2）AE=BE.

【正确答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【详解】试题分析：（1）根据直角三角形的全等证明和全等三角形的性质解答即可；
（2）根据角平分线的性质和全等三角形的判定和性质证明即可．
试题解析：证明：（1）∵AD⊥BC于D，∴∠ADB=∠CDF=90°．在Rt△ADB和Rt△CDF中，∵AB=CF，BD=DF，∴Rt△ADB≌Rt△CDF（HL），∴∠BAD=∠DCF．在△AEF和△CDF中，∠EAF=∠DCF，∠AFE=∠CFD，∴∠AEC=∠CDF=90°，∴CE⊥AB；
（2）∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠BCE．又∵CE⊥AB，∴∠AEC=∠BEC=90°．在△ACE和△BCE中，∠ACE=∠BCE，CE=CE，∠AEC=∠BEC，∴△ACE≌△BCE（ASA），∴AE=BE．
附加卷（满分20分）
30. 已知，则分式的值等于__________．
【正确答案】1

【详解】由已知条件可知xy≠0，根据分式的基本性质，先将分式的分子、分母同时除以xy，再把代入即可．
解答：解：∵∴x≠0，y≠0，
∴xy≠0．
∴．
故答案．
31. 在中，，点是直线上一点（没有与重合），以为一边在的右侧作，使，连接．
（1）如图1，当点在线段上，如果，则 度；
（2）设，．
如图2，当点在线段上移动，则之间有怎样的数量关系？请说明理由；

【正确答案】（1）90；（2）度.

【详解】试题分析：（1）根据已知条件和全等三角形的判定定理，得出△ABD≌△ACE，再根据全等三角形中对应角相等，根据直角三角形的性质可得出结论；
（2）在第（1）问的基础上，将α+β转化成三角形的内角和即可．
试题解析：解：（1）∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD=∠CAE．在△ABD与△ACE中，∵AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B=∠ACE，∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB，∴∠BCE=∠B+∠ACB．又∵∠BAC=90°，∴∠BCE=90°；
（2）α+β=180°．理由：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC．
即∠BAD=∠CAE．在△ABD与△ACE中，∵AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B=∠ACE，∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB，∴∠B+∠ACB=β．∵α+∠B+∠ACB=180°，∴α+β=180°．
点睛：本题考查三角形全等的判定以及全等三角形的性质；两者综合运用，促进角与角相互转换，将未知角转化为已知角是关键．
32. 阅读下列材料：
利用完全平方公式，可以将多项式变形为的形式, 我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．
例如：
＝
＝
＝
＝
根据以上材料，解答下列问题：
（1）用多项式的配方法将化成的形式；
（2）下面是某位同学用配方法及平方差公式把多项式进行分解因式的解答过程：

老师说，这位同学的解答过程中有错误，请你找出该同学解答中开始出现错误的地方，并用“ ”标画出来，然后写出完整的、正确的解答过程：
（3）求证：x，y取任何实数时，多项式的值总为正数．
【正确答案】（1） ；（2）见解析，；（3）见解析

【分析】（1）根据配方法，可得答案；
（2）根据配方法，可得平方差公式，再根据平方差公式，可得答案；
（3）根据交换律、率，可得完全平方公式，根据完全平方公式，可得答案．
【详解】（1）
=
=
（2）标记如图所示：

正确解答如下：

=
=
=
=
（3）证明：
=
=
∵≥0，≥0，
∴．
∴x，y取任何实数时，多项式的值总是正数．
本题考查了配方法，利用完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2配方是解题关键．





























2022-2023学年北京市海淀区八年级上册数学期中专项突破模拟题（B卷）
一、选一选（共10小题，每题3分，共30分）
1. 计算的结果是（ ）．
A. B. C. D.
2. 若有意义，则的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
3. 下列因式分解正确的是（ ）．
A. B.
C. D.
4. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）

A. B.
C. D.
5. 下列分式中，是最简分式的是（ ）．
A. B. C. D.
6. 如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为（　　）

A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
7. 若分式中的、的值同时扩大到原来的倍，则分式的值（ ）．
A. 是原来的倍 B. 没有变 C. 是原来的 D. 是原来的倍
8. 在中，，沿过点的一条直线折叠，折痕交于，若点恰好落在的中点处，则（ ）．

A. B. C. D. 无法确定
9. 小华在数学中，利用“在面积一定矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子的最小值是”．其推导方法如下：在面积是的矩形中设矩形的一边长为，则另一边长是，矩形的周长是；当矩形成为正方形时，就有，解得，这时矩形的周长最小，因此的最小值是．模仿小华的推导，你求得式子的最小值是（ ）．
A. B. C. D.
10. 如图，在四边形中，对角线平分，，下列结论正确的是（ ）．

A. B.
C. D. 与的大小关系没有确定
二、填 空 题（共8小题，每题3分，共24分）
11. 要使分式有意义，则x的取值范围是_____．
12. PM2.5是指大气中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物，将0.0000025用科学计数法表示为________________.
13. 若，请写出一个符合条件的的值__________．
14. 已知：如图，和为两个共直角顶点的等腰直角三角形，连接、．图中一定与线段相等的线段是__________．

15. 如图，的顶点坐标分别为、、，如果在轴上存在一点，使得与全等，那么点的坐标为__________．

16. 如图，把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到，交AC于点D，若，则∠A= °

17. 如图是一个边长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图）．

（）图中的阴影部分的面积为__________．（用含、的代数式表示）
（）根据图，写出一个符合图形的因式分解的等式__________．
18. 已知，现将绕点逆时针旋转，使点落射线上，求作．
作法：在上截，以点为圆心、为半径作弧，以点为圆心、为半径作弧，两弧在射线右侧交于点，则即为所求．

请用文字语言描述上述操作的作图原理：__________．
三、解 答 题
19. 计算：
（）因式分解：；
（）计算：；
（）计算：；
（）解分式方程：．
20. 先化简，再求值：已知：，其中．
21. 如图，，，于，于．

求证：．
证明：在和中，

∴≌（ ）．
∴____________________（ ）．
∴是的角平分线．
又∵于，于，
∴（ ）．
22. 如图所示，直线、、为围绕区域A的三条公路，为便于公路维护，需在区域A内筹建一个公路养护处P，要求P到三条公路的距离相等，请利用直尺和圆规确定符合条件的点P的位置（保留作图痕迹，没有写作法）.

23. 从图所示的风筝中可以抽象出几何图形，我们把这种几何图形叫做“筝形”．
具体定义如下：如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．

（）图，通过观察、测量、折纸，可以猜想“筝形”具有诸如“平分和”这样的性质，请图形，再写出两条“筝形”的性质．
①____________________________．
②____________________________．
（）从你写出的两条性质中，任选一条“筝形”的性质给出证明．
24. 如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE，求证：△ABC与△DEC全等．

25. 一个含有多个字母式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都没有变，这样的式子就叫做对称式．例如：，，，
含有两个字母，对称式的基本对称式是和，像，等对称式都可以用和表示，例如：．
请根据以上材料解决下列问题：
（）式子①，②，③中，属于对称式是__________（填序号）．
（）已知．
①若，，求对称式的值．
②若，直接写出对称式的最小值．
26. 在中，，，点在的延长线上，是的中点，是射线上一动点，且，连接，作，交延长线于点．
（）如图，当点在上时，填空：__________（填“”、“”或“”）．
（）如图，当点在的延长线上时，请根据题意将图形补全，判断与的数量关系，并证明你的结论．






















2022-2023学年北京市海淀区八年级上册数学期中专项突破模拟题（B卷）
一、选一选（共10小题，每题3分，共30分）
1. 计算的结果是（ ）．
A. B. C. D.
【1题答案】
【正确答案】B

【详解】3－2==.
故选B.
2. 若有意义，则的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【2题答案】
【正确答案】C

【详解】由题意得：3x－6≥0，解得x≥2.
故选C.
点睛：二次根式有意义的条件是：根号里面的式子要大于等于零.
3. 下列因式分解正确的是（ ）．
A. B.
C. D.
【3题答案】
【正确答案】B

【详解】ax2－4ax+4a=a（x2－4x+4）=a（x－2）2，所以A选项错误；
x2 y－xy+xy2=xy(x－1+y)，所以B选项正确；
x2－4x+4=（x－2）2，所以C选项错误；
x2－9=(x－3)（x+3），所以D选项错误.
故选B.
点睛：遇因式分解优先提取公因式，提取公因式后若括号里面能继续因式分解，那么要继续因式分解，直到没有能因式分解为止.
4. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）

A. B.
C. D.
【4题答案】
【正确答案】C

【分析】根据三角形全等的判定方法求解即可．
【详解】解：A、∵，，，
∴，选项没有符合题意；
B、∵，，，
∴，选项没有符合题意；
C、∵由，，，
∴无法判定，选项符合题意；
D、∵，，，
∴，选项没有符合题意．
故选：C．
此题考查了三角形全等的判定方法，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．判定三角形全等的方法有：SSS，SAS，AAS，ASA，HL(直角三角形)．
5. 下列分式中，是最简分式的是（ ）．
A. B. C. D.
【5题答案】
【正确答案】D

【详解】A选项：=没有是最简分式；
B选项：=，没有是最简分式；
C选项：==x－y，没有是最简分式；
D选项，是最简分式.
故选D.
点睛：判断一个分式是没有是最简分式关键看分子、分母是否有公因式，如果分子分母是多项式，可以先分解因式，以便于判断是否有公因式，从而判断是否是最简分式.
6. 如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为（　　）

A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
【6题答案】
【正确答案】B

【详解】分析：根据题意点Q是射线OM上的一个动点，要求PQ的最小值，需要找出满足题意的点Q，根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，所以我们过点P作PQ垂直OM，此时的PQ最短，然后根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得PA=PQ，利用已知的PA的值即可求出PQ的最小值．
解答：解：过点P作PQ⊥OM，垂足为Q，则PQ为最短距离，
∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PQ⊥OM，
∴PA=PQ=2，
故选B．
7. 若分式中的、的值同时扩大到原来的倍，则分式的值（ ）．
A. 是原来的倍 B. 没有变 C. 是原来的 D. 是原来的倍
【7题答案】
【正确答案】A

【详解】将原分式中的x、y的值都扩大到原来的5倍，分式变为==5×.
分式的值是原来的5倍.
故选A.
8. 在中，，沿过点的一条直线折叠，折痕交于，若点恰好落在的中点处，则（ ）．

A. B. C. D. 无法确定
【8题答案】
【正确答案】A

【详解】由折叠可得：∠BDE=∠C=90°，∠CBE=∠DBE，∴∠CBA+∠A=90°，
∵D是AB中点，∴ED垂直平分AB，∴EA=EB，
∴∠EBD=∠A，∴∠A=∠EBD=∠CBE，
∴3∠A=90°，∠A=30°.
故选A.
点睛：本题关键利用折叠后图形与原图形对应角相等的性质解题.
9. 小华在数学中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子的最小值是”．其推导方法如下：在面积是的矩形中设矩形的一边长为，则另一边长是，矩形的周长是；当矩形成为正方形时，就有，解得，这时矩形的周长最小，因此的最小值是．模仿小华的推导，你求得式子的最小值是（ ）．
A. B. C. D.
【9题答案】
【正确答案】B

【详解】在面积是4的矩形中，设矩形的一边长为x，则另一边是，矩形的周长是2（x+），当矩形成为正方形时，就有x=，解得x=2，这时矩形的周长2（x+）=8最小，因此x+的最小值是4，而= x+，所以的最小值是4.
故选B.
点睛：本题关键在于理解已知结论的推导过程.
10. 如图，在四边形中，对角线平分，，下列结论正确的是（ ）．

A. B.
C. D. 与的大小关系没有确定
【10题答案】
【正确答案】C

【详解】在AB上截取一点E，使得AE=AD，连接CE，

∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC，
∵在△EAC和△DAC中，
，
∴△EAC≌△DAC，
∴EC=CD，
∴AB－AD=AB－AE=BE＞CE－CB=CD－CB.
故选C.
点睛：在证明线段和差关系时，可以采用“截长补短”造全等的方法.
二、填 空 题（共8小题，每题3分，共24分）
11. 要使分式有意义，则x的取值范围是_____．
【11题答案】
【正确答案】x≠1．

【分析】根据分式有意义的条件可得x﹣1≠0，再解即可．
【详解】解：由题意得：x﹣1≠0，
解得：x≠1，
故答案为x≠1．
此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母没有等于零．
12. PM2.5是指大气中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物，将0.0000025用科学计数法表示为________________.
【12题答案】
【正确答案】2.5×10-6

【分析】值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法没有同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起个没有为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】0.0000025=2.5×10-6，
故2.5×10-6．
本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起个没有为零的数字前面的0的个数所决定．
13. 若，请写出一个符合条件的的值__________．
【13题答案】
【正确答案】1

【详解】∵=1（x≠0），
∴=|x|=x，
∴x＞0即可.
故答案为1.
点睛：掌握公式=|a|.
14. 已知：如图，和为两个共直角顶点的等腰直角三角形，连接、．图中一定与线段相等的线段是__________．

【14题答案】
【正确答案】BE

【详解】∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC－∠BAD=∠DAE－∠BAD，
∴∠DAC=∠BAE，
∵在△CAD和△BAE中，
，
∴△CAD≌△BAE，
∴CD=BE.
故答案为BE.
点睛：本题关键在于掌握三角形全等的判定方法.
15. 如图，的顶点坐标分别为、、，如果在轴上存在一点，使得与全等，那么点的坐标为__________．

【15题答案】
【正确答案】或

【详解】如图所示，

点D的坐标为（0，0）或（3，0）．
故答案为（0，0）或（3，0）．
点睛：本题借助图像解题更为快捷.
16. 如图，把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到，交AC于点D，若，则∠A= °

【16题答案】
【正确答案】55

【分析】根据旋转的性质可得，，再由直角三角形两锐角互余，即可求解．
【详解】解：∵把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到
∴，，
∵，
∴
∴∠A=55°．
故55°
本题主要考查了图形的旋转，直角三角形两锐角的关系，熟练掌握旋转的性质，直角三角形两锐角互余是解题的关键．
17. 如图是一个边长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图）．

（）图中的阴影部分的面积为__________．（用含、的代数式表示）
（）根据图，写出一个符合图形的因式分解的等式__________．
【17题答案】
【正确答案】 ①. ②.

【详解】（1）阴影部分正方形的边长是b－a，则面积为（b－a）2．
（2）阴影部分面积=大正方形面积－四个小长方形面积，∴（b－a）2=（a+b）2－4ab.
故答案为(1).（b－a）2；(2).（a+b）2－4ab=（b－a）2.
点睛：熟练掌握完全平方公式.
18. 已知，现将绕点逆时针旋转，使点落在射线上，求作．
作法：在上截，以点为圆心、为半径作弧，以点为圆心、为半径作弧，两弧在射线右侧交于点，则即为所求．

请用文字语言描述上述操作的作图原理：__________．
【18题答案】
【正确答案】三边分别相等的两个三角形全等

【详解】∵△ABC和△A'BC'中，
，
∴△ABC≌△A'BC'（SSS）.
故答案为三边分别相等的两个三角形全等.
三、解 答 题
19. 计算：
（）因式分解：；
（）计算：；
（）计算：；
（）解分式方程：．
【19题答案】
【正确答案】（）．（）．（）．（）

【详解】试题分析：（1）先提取公因式x，再对括号里面用平方差公式因式分解；（2）先将个分式的分母因式分解，再将除法变为乘法，约分，然后进行同分母的分式加法运算即可；（3）先计算出每一个根式的值，再进行乘法运算，进行加减运算；（4）方程左右两边同时乘以5（x+1），将分式方程化为整式方程，解出未知数后要验证是否为分式方程的增根.
试题解析：
（）原式=x（x2－9）=x（x+3）（x－3）；
（）原式=×（a－1）－=－=；
（）原式4－2+=2；
（）×5（x+1）=×5（x+1）+×5（x+1），
15=2x+5x+5，
7x=10，
x=，
检验：当x=时，5（x+1）≠0，
∴x=是原方程的解．
点睛：掌握二次根式的化简以及同类二次根式的合并，分式化简一般因式分解进行化简，解出分式方程的解后一定要验证是否为分式方程的增根.
20. 先化简，再求值：已知：，其中．
【20题答案】
【正确答案】

【详解】试题分析：首先将括号里面的两个式子通分，然后将除法变为乘法，再分别对每个分式的分母因式分解，约分得到化简后的式子，再由a2－a－2=0得出a2－a=2，将a2－a整体代入化简后的式子求出结果即可.
试题解析：
原式=÷，
=×，
×，
=，
=，
∵a2－a－2=0，
∴a2－a=2，
∴原式=．
点睛：掌握分式的化简以及整体代入的思想.
21. 如图，，，于，于．

求证：．
证明：在和中，

∴≌（ ）．
∴____________________（ ）．
∴是的角平分线．
又∵于，于，
∴（ ）．
【21题答案】
【正确答案】；；；；全等三角形的对应角相等；角平分线上的点到角两边的距离相等．

【详解】试题分析：由已知条件可以证明△ABD≌△ACD，由全等三角形对应角相等可得∠BAD=∠CAD，所以AD是∠BAC的角平分线，又因为DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，由角平分线上的点到角两边的距离相等可得DE=DF．
试题解析：
在△ABD和△ACD中，，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠BAD=∠CAD（全等三角形的对应角相等），
∴AD是∠BAC的角平分线，
又∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）．
点睛：掌握全等三角形的判定方法以及角平分线的性质.
22. 如图所示，直线、、为围绕区域A的三条公路，为便于公路维护，需在区域A内筹建一个公路养护处P，要求P到三条公路的距离相等，请利用直尺和圆规确定符合条件的点P的位置（保留作图痕迹，没有写作法）.

【22题答案】
【正确答案】画图见解析

【详解】试题分析：要使P到三条公路的距离相等，那么P点必然在这三条公路夹角的角平分线上，因此，分别作出l1与l3、l2与l3夹角的角平分线，在区域A内的交点即为点P.
试题解析：
如图，点P即为所求．

点睛：本题关键在于利用角平分线的逆定理解题，掌握尺规作图作角平分线的方法.
23. 从图所示的风筝中可以抽象出几何图形，我们把这种几何图形叫做“筝形”．
具体定义如下：如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．

（）图，通过观察、测量、折纸，可以猜想“筝形”具有诸如“平分和”这样的性质，请图形，再写出两条“筝形”的性质．
①____________________________．
②____________________________．
（）从你写出的两条性质中，任选一条“筝形”的性质给出证明．
【23题答案】
【正确答案】（）①．②，．（）见解析

【分析】（1）①一组对角相等，∠ABC=∠ADC；②AC垂直平分BD，OB=OD，BD⊥AC;
（2）证明∠ABC=∠ADC，由已知条件没有难证明△ABC≌△ADC，即可证明∠ABC=∠ADC．
【详解】解：（1）①一组对角相等，∠ABC=∠ADC；
②AC垂直平分BD，OB=OD，BD⊥AC．
（2）证明：∠ABC=∠ADC，
证：在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠ABC=∠ADC．
本题考查四边形综合．关键全等三角形的判定与性质解题.
24. 如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE，求证：△ABC与△DEC全等．

【24题答案】
【正确答案】证明过程见解析

【分析】由∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，可求得∠DCE=∠ACB，且∠B+∠CEA=∠CEA+∠DEC=180°，可求得∠DEC=∠ABC，再条件可证明△ABC≌△DEC．
【详解】∵∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，
∴∠5+∠4=∠4+∠3，
∴∠5=∠3，且∠B+∠CEA=180°，
又∠7+∠CEA=180°，
∴∠B=∠7，
△ABC和△DEC中 ,
∴△ABC≌△DEC（ASA）．
25. 一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都没有变，这样的式子就叫做对称式．例如：，，，
含有两个字母，的对称式的基本对称式是和，像，等对称式都可以用和表示，例如：．
请根据以上材料解决下列问题：
（）式子①，②，③中，属于对称式的是__________（填序号）．
（）已知．
①若，，求对称式值．
②若，直接写出对称式的最小值．
【25题答案】
【正确答案】（）①③．（）①．②

【详解】试题分析：（1）由对称式的定义对三个式子一一进行判断可得属于对称式的是①、③；（2）①将等号左边的式子展开， 由等号两边项系数和常数项对应相等可得a+b=m，ab=n，已知m、n的值，所以a+b、ab的值即求得，因为+==，所以将a+b、ab的值整体代入化简后的式子计算出结果即可；②+= a2++b2+=（a+b）2－2ab=m2+8+=+，因为m2≥0，所以m2+≥，所以+的最小值是．
试题解析：
（）∵a2b2=b2a2，∴a2b2是对称式，
∵a2-b2≠b2－a2，∴a2－b2没有是对称式，
∵+=+，∴+是对称式，
∴①、③是对称式；
（）①∵（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab=x2+mx+n，
∴a+b=m，ab=n，
∵m=－2，n=，
∴+=====2－2；
②+，
=a2++b2+，
=（a+b）2－2ab+，
=m2+8+，
=+，
∵m2≥0，
∴m2+≥，
∴+最小值是．
点睛：本题关键在于理解对称式的定义，并利用分式的性质将分式变形求解.
26. 在中，，，点在的延长线上，是的中点，是射线上一动点，且，连接，作，交延长线于点．
（）如图，当点在上时，填空：__________（填“”、“”或“”）．
（）如图，当点在的延长线上时，请根据题意将图形补全，判断与的数量关系，并证明你的结论．

【26题答案】
【正确答案】（）．（）

【详解】试题分析：（1）连接EB，由已知条件没有难证明△ACD≌△BCE，所以AD=BE，要证明AD=DF，即要证明BE=DF，即要证明△EMB≌△FMD，已知条件MD=MB，∠EMB=∠FMD，只要再证明∠FDM=∠EBC即可，没有难证明；（2）连接BE，由已知条件没有难证明△ACD≌△BCE，所以EB=AD，要证明AD=DF，即要证明EB=DF，即要证明△EMB≌△FMD，已知条件DM=BM，∠FMD=∠EMB，即要证明∠FDM=∠EBC，没有难证明.
试题解析：
（1）连接EB，

∵在△ACD和△BCE中，，
∴△ACD≌△BCE，
∴∠DAC=∠EBC，EB=AD，
∵∠ADF=90°，
∴∠ADB+∠FDM=90°，
∵∠ACD=90°，
∴∠DAC+∠ADC=90°，
∴∠DAC=∠FDM，
∴∠FDM=∠EBC，
∵M是BD中点，
∴DM=BM，
∵在△EMB和△FMD中，
，
∴△EMB≌△FMD，
∴EB=DF，
∴AD=DF；
（）AD=DF．

证：连接EB，
∵在△ACD和△ECB中，
，
∴△ACD≌△BCE，
∴∠DAC=∠EBC，EB=AD，
∵∠ADF=90°，∠ACD=90°，
∴∠ADB+∠FDM=∠DAC+∠ADC=90°，
∴∠DAC=∠FDM，
∴∠FDM=∠EBC，
∵M是BD中点，
∴DM=BM，
∵在△EMB和△FMD中，
，
∴△EMB≌△FMD，
∴EB=DF，
∴AD=DF．
点睛：本题要证明两条线段相等，关键在于将这两条线段分别放到两个三角形中，证明这两个三角形全等.