南通市如皋初级中学2021-2022学年七年级3月月考数学试题(含解析)
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一、选择题(每题2分,共20分)
1. 下列选项中能由下图平移得到的是( )
A. B.
C. D.
2. 下列式子中,正确的是( )
A B. C. D.
3. 在实数中,无理数的个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 下列命题:①对顶角相等;②同旁内角互补;③直角都相等;④若n<1,则<0,其中真命题的个数有( )
A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5. 如图,把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上,若∠1=25°,则∠2等于( )
A. 35° B. 45° C. 55° D. 65°
6. 如图,下列条件中,不能判断直线的是( )
A. B. C. D.
7. 如图,在一块长为12m,宽为6m的长方形草地上,有一条弯曲的柏油小路(小路任何地方的水平宽度都是2m),则空白部分表示的草地面积是 ( )
A. 70m2 B. 60m2 C. 48m2 D. 18m2
8. 已知x,y是实数,且+(y-3)2=0,则xy的值是( )
A 4 B. -4 C. D. -
9. 一辆汽车在笔直的公路上行驶,两次拐弯后,仍在原来的方向上平行前进,那么两次拐弯的角度是( )
A. 第一次右拐30°,第二次左拐150°
B 第一次左拐30°,第二次右拐30°
C. 第一次左拐30°,第二次左拐150°
D. 第一次右拐30°,第二次右拐30°
10. 如图,△ABC中,AH⊥BC,BF平分∠ABC,BE⊥BF,EF∥BC,以下四个结论:①AH⊥EF,②∠ABF=∠EFB,③AC∥BE,④∠E=∠ABE,正确的是( )
A. ①②③④ B. ①② C. ①③④ D. ①②④
二.填空题(每空2分,共16分)
11. 比较大小:_______4(填“>”、“<”或“=”)
12. 的相反数是_________________;
13. 定义新运算“☆”:a☆b=,则2☆(3☆5)=_____.
14. 把命题“对顶角相等”改写成“如果……,那么……”的形式:______________.
15. 若一个正数a的两个平方根分别是2m-3和5-m,则a的值是_________
16. 同-平面内,∠1的两边平行于∠2的两边,且∠1比∠2的倍少70°,则∠1的度数为_______
17. 如图,,EMNF是直线AB、CD间的一条折线,若∠1=40°,∠2=60°,∠3=70°,则∠4的度数为_______
18. 一副三角板按如图所示叠放在一起,其中点B、D重合,若固定三角形AOB,改变△ACD的位置(其中A点位置始终不变),使CDOB,则∠BAD=_______
三、解答题(共64分)
19. 计算:
(1)
(2)
20. 解方程:
(1)
(2)
21. 请补全证明过程及推理依据.
已知:如图,BCED,BD平分∠ABC,EF平分∠AED.求证:BDEF.
证明:∵BD平分∠ABC,EF平分∠AED,
∴∠1=∠AED,∠2=∠ABC( )
∵BCED,
∴∠AED= ( ).
∴∠AED =∠ABC ( )
∴∠1=∠2( )
∴BDEF( )
22. 如图,在边长为1的小正方形组成的方格纸中,△ABC的顶点都在方格纸的格点上,经过平移,△ABC的顶点A移到了点D的位置.
(1)画出平移后的△DEF;(点E与点B对应,点F与点C对应)
(2)求△DEF的面积.
23. 如图,直线相交于点O,过点O作平分.若,求的度数.
24. 已知:如图,直线EF分别与直线AB,CD相交于点P,Q,PM垂直于EF,∠1+∠2=90°.求证:AB//CD.
25. 已知:如图,AD∥BE,∠1=∠2,∠3=∠4.
(1)求证:AB∥CD;
(2)若∠B=∠3=2∠2,求∠D的度数.
26. 如图已知直线AB射线CD,∠CEB=100°,P是射线EB上一动点,过点P作PQEC交射线CD于点Q,连接CP.作∠PCF=∠PCQ,交直线AB于点F,CG平分∠ECF.
(1)若点P,F,G都在点E右侧.
①求∠PCG的度数:
②若∠EGC-∠ECG=40°,求∠CPQ的度数.
(2)在点P的运动过程中,当时,直接写出∠CPQ的度数.
答案与解析
一、选择题(每题2分,共20分)
1. 下列选项中能由下图平移得到的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平移的性质,图形只是位置变化,其形状与方向不发生变化进而得出即可.
【详解】能由左图平移得到的是:选项C.
故选C.
【点睛】考查平移的性质,掌握平移的性质是解题的关键.
2. 下列式子中,正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分别根据立方根及算术平方根的定义对各选项进行逐一解答即可.
【详解】A.∵,
∴,故本选项正确,符合题意;
B.∵,
∴,故本选项错误,不符合题意;
C.∵,
∴,故本选项错误,不符合题意;
D. ∵,
∴,故本选项错误,不符合题意.
故选:A.
【点睛】考查立方根,算术平方根,掌握它们的定义是解题的关键.
3. 在实数中,无理数的个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】无理数就是无限不循环小数.理解无理数的概念,一定要同时理解有理数的概念,有理数是整数与分数的统称.即有限小数和无限循环小数是有理数,而无限不循环小数是无理数.由此即可判定选择项.
【详解】解:-是无理数;
0.2121……是无限循环小数,不是无理数;
是无理数;
不是无理数;
是无理数;
0.001不是无理数;
0.202002002……是无理数;
∴无理数一共有4个,
故选D.
【点睛】本题主要考查了无理数的定义,解题的关键在于能够熟练掌握有理数和无理数的定义.
4. 下列命题:①对顶角相等;②同旁内角互补;③直角都相等;④若n<1,则<0,其中真命题的个数有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】根据对顶角、同旁内角和直角以及平方运算进行判断即可.
【详解】解:①对顶角相等,是真命题;②同旁内角互补,是假命题;③直角都相等,是真命题;④若n<1,则<0,是假命题.
∴真命题的个数有2个,
故选:B.
【点睛】本题考查了命题,熟练掌握相关基础知识是解题的关键.
5. 如图,把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上,若∠1=25°,则∠2等于( )
A. 35° B. 45° C. 55° D. 65°
【答案】D
【解析】
【分析】如图根据平行线的性质可知∠2=∠3,只要求出∠3即可解决问题.
【详解】解:如图,∵,
∴∠2=∠3,
∵∠1+∠3=90°,∠1=25°,
∴∠2=∠3=90°−25°=65°,
故选D.
【点睛】本题考查平行线的性质、直角的定义,熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键,注意直角三角板直角这个隐含条件,属于中考常考题型.
6. 如图,下列条件中,不能判断直线的是( )
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用平行线的判定方法分别分析得出答案.
【详解】解:A、∵∠1=∠3,∴直线l1//l2,故此选项不合题意;
B、∠2=∠3,不能得出直线l1//l2,故此选项符合题意.
C、∵∠4=∠5,∴直线l1//l2,故此选项不合题意;
D、∵∠2+∠4=180°,∴直线l1//l2,故此选项不合题意;
故选B.
【点睛】本题主要考查了平行线的判定,正确把握平行线的判定方法是解题关键.
7. 如图,在一块长为12m,宽为6m的长方形草地上,有一条弯曲的柏油小路(小路任何地方的水平宽度都是2m),则空白部分表示的草地面积是 ( )
A. 70m2 B. 60m2 C. 48m2 D. 18m2
【答案】B
【解析】
【详解】解:草地面积=长方形面积-小路面积=12×6-2×6=60(m2),
故选B.
8. 已知x,y是实数,且+(y-3)2=0,则xy的值是( )
A. 4 B. -4 C. D. -
【答案】B
【解析】
【详解】由题意得,3x+4=0,y−3=0,
解得,x=−,y=3,
则xy=−4,
故选B
9. 一辆汽车在笔直的公路上行驶,两次拐弯后,仍在原来的方向上平行前进,那么两次拐弯的角度是( )
A. 第一次右拐30°,第二次左拐150°
B. 第一次左拐30°,第二次右拐30°
C. 第一次左拐30°,第二次左拐150°
D. 第一次右拐30°,第二次右拐30°
【答案】B
【解析】
【分析】根据两条直线平行的性质:两条直线平行,同位角相等.再根据题意得:两次拐的方向不相同,但角度相等.
【详解】解:如图,第一次拐的角是∠1,第二次拐的角是∠2,由于平行前进,可以得到∠1=∠2.
故选:B.
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质.注意要想两次拐弯后,仍在原来的方向上平行前进,则拐的方向应相反,角度应相等.
10. 如图,△ABC中,AH⊥BC,BF平分∠ABC,BE⊥BF,EF∥BC,以下四个结论:①AH⊥EF,②∠ABF=∠EFB,③AC∥BE,④∠E=∠ABE,正确是( )
A. ①②③④ B. ①② C. ①③④ D. ①②④
【答案】D
【解析】
【详解】解:∵AH⊥BC,EF∥BC,
∴①AH⊥EF正确;
∵BF平分∠ABC,
∴∠ABF=∠CBF,
∵EF∥BC,
∴∠EFB=∠CBF,
∴②∠ABF=∠EFB正确;
∵BE⊥BF,而AC与BF不一定垂直,
∴BE∥AC不一定成立,故③错误;
∵BE⊥BF,
∴∠E和∠EFB互余,∠ABE和∠ABF互余,
而∠EFB=∠ABF,
∴④∠E=∠ABE正确.
故选:D.
二.填空题(每空2分,共16分)
11. 比较大小:_______4(填“>”、“<”或“=”)
【答案】<
【解析】
【分析】根据无理数的估算,进行大小比较即可.
【详解】解:∵,
∴,
∴<4.
故答案为:<.
【点睛】本题考查无理数的估算,实数的大小比较,熟练地掌握无理数的估算是解决问题的关键.
12. 的相反数是_________________;
【答案】2
【解析】
【分析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答即可.
【详解】2的相反数是2.
故答案为2.
【点睛】本题考查了实数的性质,熟记概念与性质是解题的关键.
13. 定义新运算“☆”:a☆b=,则2☆(3☆5)=_____.
【答案】3.
【解析】
【详解】试题解析:∵3☆5==4;
∴2☆(3☆5)=2☆4==3.
考点:实数的运算.
14. 把命题“对顶角相等”改写成“如果……,那么……”的形式:______________.
【答案】两个角是对顶角,那么这两个角相等
【解析】
【分析】先找到命题的题设和结论,再写成“如果…,那么…”的形式.
【详解】解:把命题“对顶角相等”改写成“如果……,那么……”的形式为:
如果两个角是对顶角,那么这两个角相等.
故答案为:两个角是对顶角,那么这两个角相等
【点睛】本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式,“如果”后面是命题的条件,“那么”后面是条件的结论,解决本题的关键是找到相应的条件和结论,比较简单.
15. 若一个正数a的两个平方根分别是2m-3和5-m,则a的值是_________
【答案】49
【解析】
【分析】利用正数的两平方根和为0,进而求出m的值,即可得出答案.
【详解】解:∵正数a的两个平方根分别是2m−3和5−m,
∴2m−3+5−m=0,
解得:m=−2,
则2m−3=−7,
∴a=49.
【点睛】此题主要考查了平方根的定义,得出m的值是解题关键.
16. 同-平面内,∠1的两边平行于∠2的两边,且∠1比∠2的倍少70°,则∠1的度数为_______
【答案】140°或80°
【解析】
【分析】分图1和图2两种情况,利用平行线的性质进行讨论求解即可.
【详解】解:如图1所示,由题意得,
∴∠BCD=∠2,∠BCD=∠1,
∴∠1=∠2,
∵∠1比∠2的倍少70°,
∴,
∴,
∴;
如图2所示,由题意得,
∴∠AED+∠2=180°,∠AED=∠1,
∴∠1+∠2=180°,
∵∠1比∠2的倍少70°,
∴,
∴,
∴;
∴∠2=100°,
∴∠1=80°,
故答案为:140°或80°.
【点睛】本题主要考查平行线性质,熟知平行线的性质利用分类讨论的思想求解是解题的关键.
17. 如图,,EMNF是直线AB、CD间的一条折线,若∠1=40°,∠2=60°,∠3=70°,则∠4的度数为_______
【答案】50°##50度
【解析】
【分析】分别过点M点、N做直线AB的平行线,根据两直线平行,内错角相等,逐渐找到相等角即可解题.
【详解】
解:如图分别过点M,点N做直线AB的平行线OM、NP,
∵AB∥OM,
∴∠1=∠OME
又∵∠OMN=∠2-∠OME
∴∠OMN =∠2-∠1=60°-40°=20°
∵OM∥PN
∴∠MNP=∠OMN
又∵∠PNF=∠3-∠MNP
∴∠PNF = ∠3-∠OMN=70°-20°=50°
∵PN∥AB∥CD
∴∠4=∠PNF=50°
故答案为50°
【点睛】本题考查了两直线平行内错角相等的应用,添加适当的辅助线是解题的关键.
18. 一副三角板按如图所示叠放在一起,其中点B、D重合,若固定三角形AOB,改变△ACD的位置(其中A点位置始终不变),使CDOB,则∠BAD=_______
【答案】15°或165°
【解析】
【分析】由平行内错角相等得:∠AEC=∠B=45°,再由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得α=15°.
【详解】解:设∠BAD=α,
∵CDOB,
∴∠AEC=∠B=45°,
∵∠D=30°,
∴α=∠BAD=45°-30°=15°,
∴当α=15°时,CDOB,
∴∠BAD=15°,
当CD在点A的上方时,
DC边与OB边平行时,
∴∠CEA=∠B=45°,
∴∠DAE=∠CEA-∠D=45°-30°=15°,
∴α=∠BAD=180°-15°=165°,
∠BAD=135°+30°=165°,
故答案为:15°或165°.
【点睛】此题考查平行线的性质,关键是根据两直线平行,内错角相等解答.
三、解答题(共64分)
19. 计算:
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】直接利用二次根式以及立方根的性质分别化简得出答案
直接去绝对值进而计算得出答案
【小问1详解】
【小问2详解】
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简,立方根的性质,混合运算,以及去绝对值的应用,熟练运用二次根式的混合运算是解题的关键.
20. 解方程:
(1)
(2)
【答案】(1),;
(2).
【解析】
【分析】(1)直接利用平方根可得答案;
(2)直接利用立方根的性质计算得出答案.
【小问1详解】
解:,
,
,
,;
【小问2详解】
解:,
,
,
.
【点睛】此题主要考查了平方根、立方根,解题的关键是正确掌握相关定义.
21. 请补全证明过程及推理依据.
已知:如图,BCED,BD平分∠ABC,EF平分∠AED.求证:BDEF.
证明:∵BD平分∠ABC,EF平分∠AED,
∴∠1=∠AED,∠2=∠ABC( )
∵BCED,
∴∠AED= ( ).
∴∠AED =∠ABC ( )
∴∠1=∠2( )
∴BDEF( )
【答案】角平分线的定义;∠ABC;两直线平行,同位角相等;等量代换;等量代换;同位角相等,两直线平行.
【解析】
【分析】根据角平分线的定义得出∠1∠AED,∠2∠ABC,根据平行线的性质定理得出∠AED=∠ABC,求出∠1=∠2,再根据平行线的判定定理推出即可.
【详解】证明:∵BD平分∠ABC,EF平分∠AED,
∴∠1∠AED,∠2∠ABC(角平分线的定义),
∵BCED,
∴∠AED=∠ABC(两直线平行,同位角相等),
∴∠AED∠ABC(等量代换),
∴∠1=∠2(等量代换),
∴BDEF(同位角相等,两直线平行),
故答案为:角平分线的定义;∠ABC;两直线平行,同位角相等;等量代换;等量代换;同位角相等,两直线平行.
【点睛】本题考查了角平分线的定义,平行线的性质定理和判定定理等知识点,能熟记平行线的性质定理和判定定理是解此题的关键.
22. 如图,在边长为1的小正方形组成的方格纸中,△ABC的顶点都在方格纸的格点上,经过平移,△ABC的顶点A移到了点D的位置.
(1)画出平移后的△DEF;(点E与点B对应,点F与点C对应)
(2)求△DEF的面积.
【答案】(1)见解析 (2)4
【解析】
【分析】(1)直接利用A、D点的位置得出平移的方向,进而得出答案;
(2)根据方格纸的边长为1,用矩形的面积减去待求三角形附近的直角三角形面积即可求解.
【小问1详解】
如图,△DEF即为所求;
【小问2详解】
.
【点睛】本题考查了平移变换和网格图形面积,正确得出对应点位置是解题的关键.
23. 如图,直线相交于点O,过点O作平分.若,求的度数.
【答案】70°
【解析】
【分析】根据角平分线的定义和对顶角相等解答即可.
【详解】解:∵∠AOC=40°,
∴∠BOD=∠AOC=40°,
∵OF平分∠BOD,
∴∠BOF=20°,
∵OE⊥AB,
∴∠EOB=90°,
∴∠EOF=90°-20°=70°.
【点睛】本题主要考查了角的平分线和角的计算,涉及到的角有平角、直角;熟练掌握平角等于180度,直角等于90度,是解答本题的关键.
24. 已知:如图,直线EF分别与直线AB,CD相交于点P,Q,PM垂直于EF,∠1+∠2=90°.求证:AB//CD.
【答案】见解析
【解析】
【分析】先根据垂直的定义可得∠APQ+∠2=90°,再结合∠1+∠2=90°可得∠APQ=∠1,然后根据“内错角相等,两直线平行”即可证明结论.
【详解】证明:∵PM⊥EF(已知),
∴∠APQ+∠2=90°(垂直定义).
∵∠1+∠2=90°(已知),
∴∠APQ=∠1(同角的余角相等)
∴AB//CD(内错角相等,两直线平行).
【点睛】本题主要考查了平行线的判定、垂直的定义、同角的余角相等等知识点,掌握“内错角相等,两直线平行”是解答本题的关键.
25. 已知:如图,AD∥BE,∠1=∠2,∠3=∠4.
(1)求证:AB∥CD;
(2)若∠B=∠3=2∠2,求∠D的度数.
【答案】(1)见解析 (2)72°
【解析】
【分析】(1)根据平行线的判定和性质即可解决问题.
(2)根据三角形内角和求解即可.
【小问1详解】
∵ADBE,
∴∠3=∠CAD,
∵∠3=∠4,
∴∠4=∠CAD,
∵∠1=∠2,
∴∠1+∠CAE=∠2+∠CAE,
即∠BAE=∠CAD,
∴∠4=∠BAE,
∴ABCD;
【小问2详解】
∵∠B=∠3=2∠2,∠1=∠2,∠B+∠3+∠1=180°,
∴5∠1=180°,
∴∠1=36°,
∴∠2=36°,
∴∠3=72°,
∵∠3=∠4,∠4=∠AFD,
∴∠AFD=72°,
∴∠D=180°-∠2-∠AFD=72°.
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质,熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键.
26. 如图已知直线AB射线CD,∠CEB=100°,P是射线EB上一动点,过点P作PQEC交射线CD于点Q,连接CP.作∠PCF=∠PCQ,交直线AB于点F,CG平分∠ECF.
(1)若点P,F,G都在点E的右侧.
①求∠PCG的度数:
②若∠EGC-∠ECG=40°,求∠CPQ的度数.
(2)在点P的运动过程中,当时,直接写出∠CPQ的度数.
【答案】(1)①40°;②60°
(2)60°或15°
【解析】
【分析】(1)①依据平行线的性质以及角平分线的定义,即可得到∠PCG的度数;
②依据平行线的性质以及角平分线的定义,即可得到∠ECG=∠GCF=20°,再根据PQCE,即可得出∠CPQ=∠ECP=60°;
(2)设∠EGC=3x°,∠EFC=2x°,则∠GCF=3x°-2x°=x°,分两种情况讨论:①当点G、F在点E的右侧时,②当点G、F在点E的左侧时,依据等量关系列方程求解即可.
【小问1详解】
解:①∵ABCD,
∴∠CEB+∠ECQ=180°,
∵∠CEB=100°,
∴∠ECQ=80°,
∵∠PCF=∠PCQ,CG平分∠ECF,
∴∠PCF =∠QCF,∠ECG=∠FCG =∠FCE,
∴∠PCG=∠PCF+∠FCG=∠QCF+∠FCE=∠ECQ=40°;
②∵ABCD,
∴∠QCG=∠EGC,
∵∠QCG+∠ECG=∠ECQ=80°,
∴∠EGC+∠ECG=80°,
又∵∠EGC-∠ECG=40°,
∴∠EGC=60°,∠ECG=20°,
∴∠ECG=∠GCF=20°,∠PCF=∠PCQ=×(80°−40°)=20°,
∵PQCE,∴∠CPQ=∠ECP=∠ECQ-∠PCQ=80°-20°=60°;
【小问2详解】
解:设∠EGC=3x°,∠EFC=2x°,
①当点G、F在点E的右侧时,
∵ABCD,
∴∠QCG=∠EGC=3x°,∠QCF=∠EFC=2x°,
则∠GCF=∠QCG-∠QCF=3x°-2x°=x°,
∴∠PCF=∠PCQ=∠FCQ=∠EFC=x°,
则∠ECG=∠GCF=∠PCF=∠PCD=x°,
∵∠ECD=80,
∴4x=80°,解得x=20,
∴∠CPQ=∠ECP=3x°=60°;
②当点G、F在点E左侧时,反向延长CD到H,
∵∠EGC=3x°,∠EFC=2x°,
∴∠GCH=∠EGC=3x°,∠FCH=∠EFC=2x°,
∴∠ECG=∠GCF=∠GCH-∠FCH=x°,
∴∠ECH=∠GCH+∠GCE=4x°,
∴4x+80=180,
解得x=25,
∴∠FCQ=∠ECF+∠ECQ=25°×2+80°=130°,
∴∠PCQ=∠FCQ=65°,
∴∠CPQ=∠ECP=80°-65°=15°.
故∠CPQ的度数为60°或15°.
【点睛】本题主要考查了平行线的性质,掌握两直线平行,同旁内角互补;两直线平行,内错角相等是解题的关键.
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