高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册3.2 空间向量运算的坐标表示及其应用课时练习

3.2　空间向量运算的坐标表示及应用

1.设点A(3,3,1),B(1,0,5),C(0,1,0),则AB的中点M到点C的距离|CM|的值为(　　).

A. B. C. D.

解析:∵AB的中点为M2,,3,∴=2,,3,

故|CM|=||=.

答案:C

2.已知A(4,1,3),B(2,-5,1),C为线段AB上一点,且=3,则C的坐标为(　　).

A.,- B.,-3,2

C.,-1, D.,-

解析:设C(x,y,z),则=(x-4,y-1,z-3).

又=(-2,-6,-2),=3,

∴(-2,-6,-2)=(3x-12,3y-3,3z-9).

∴解得

答案:C

3.如图,F是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CD的中点.E是BB1上一点,若D1F⊥DE,则有(　　).

(第3题)

A.B1E=EB B.B1E=2EB

C.B1E=EB D.E与B重合

解析:如答图,分别以DA,DC,DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则D(0,0,0),F(0,1,0),D1(0,0,2),设E(2,2,z),则=(0,1,-2),=(2,2,z),因为=0×2+1×2-2z=0,所以z=1,所以B1E=EB.

(第3题答图)

答案:A

4.已知点A(1,0,0),B(0,-1,1),O(0,0,0),向量+λ的夹角为120°,则实数λ的值为(　　).

A.± B. C.- D.±

解析:∵=(1,0,0),=(0,-1,1),

∴+λ=(1,-λ,λ).

∴(+λ)·=λ+λ=2λ,|+λ|=,||=.

∴cos120°==-,∴λ2=.又<0,∴λ=-.

答案:C

5.已知O为坐标原点,=(1,2,3),=(2,1,2),=(1,1,2),点Q在直线OP上运动,则当取得最小值时,点Q的坐标为(　　).

A. B.

C. D.

解析:由题意知存在实数λ,使得=λ,则-λ=(1-λ,2-λ,3-2λ),-λ=(2-λ,1-λ,2-2λ),所以=(1-λ,2-λ,3-2λ)·(2-λ,1-λ,2-2λ)=2(3λ2-8λ+5)=23λ-2-.

所以当λ=时,最小,此时=,即点Q的坐标为.

答案:C

6.已知向量a=(1,λ,2),b=(2,-1,2),且a,b夹角的余弦值为,则实数λ等于　　　　　. 

解析:cos<a,b>=

=,

解得λ=-2或λ=.

答案:-2或

7.已知点A(λ+1,μ-1,3),B(2λ,μ,λ-2μ),C(λ+3,μ-3,9)三点共线,则实数λ=　　　　　,μ=　　　　　. 

解析:=(λ-1,1,λ-2μ-3),=(2,-2,6),由A,B,C三点共线,得,即=-,解得λ=0,μ=0.

答案:0　0

8.如图,在棱长为1的正方体OABC-O1A1B1C1中,E,F分别是棱AB,BC上的动点,且AE=BF=x,其中0≤x≤1,以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz.

(第8题)

(1)求证:A1F⊥C1E;

(2)若A1,E,F,C1四点共面,求证:.

证明:(1)由已知条件A1(1,0,1),F(1-x,1,0),C1(0,1,1),E(1,x,0),

则=(-x,1,-1),=(1,x-1,-1),

所以=-x+(x-1)+1=0,

所以,即A1F⊥C1E.

(2)=(-x,1,-1),=(-1,1,0),=(0,x,-1),设=λ+μ

解得λ=,μ=1.所以.