数学选择性必修 第一册4. 1 直线的方向向量与平面的法向量课后复习题

§4　向量在立体几何中的应用

4.1　直线的方向向量与平面的法向量

1.已知A,B,C三点的坐标分别为(4,1,3),(2,-5,1),(3,7,λ).若,则实数λ等于(　　).

A.28 B.-28

C.14 D.-14

解析:=(-2,-6,-2),=(-1,6,λ-3),因为,所以=0,即2-36-2(λ-3)=0,解得λ=-14.故选D.

答案:D

2.(多选题)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,以下向量可以作为平面ABC法向量的是(　　).

A. B. C. D.

解析:∵AA1⊥平面ABC,B1B⊥平面ABC,

∴可以作为平面ABC的法向量.

答案:BC

3.已知平面α内有一点M(1,-1,2),平面α的一个法向量为n=(6,-3,6),则下列点中,在平面α内的是(　　).

A.P(2,3,3) B.P(-2,0,1)

C.P(-4,4,0) D.P(3,-4,4)

解析:设平面α内一点P(x,y,z),

则=(x-1,y+1,z-2).

∵n=(6,-3,6)是平面α的法向量,∴n⊥.

∴n·=6(x-1)-3(y+1)+6(z-2)=6x-3y+6z-21=0,即2x-y+2z=7.

把各选项的点的坐标代入上式可知A选项符合.

答案:A

4.已知点A,B,C的坐标分别为(0,1,0),(-1,0,-1),(2,1,1),点P的坐标为(x,0,z),若PA⊥AB,PA⊥AC,则点P的坐标为　　　　　. 

解析:易得=(-1,-1,-1),=(2,0,1),=(-x,1,-z),

因为PA⊥AB,PA⊥AC,所以

即解得

所以点P的坐标为(-1,0,2).

答案:(-1,0,2)

5.若A0,2,,B1,-1,,C-2,1,是平面α内的三点,设平面α的一个法向量为a=(x,y,z),则x∶y∶z=　　　　　. 

解析:=1,-3,-,=-2,-1,-,

由题意知a·=0,a·=0,

即所以

所以x∶y∶z=y∶y∶=2∶3∶(-4).

答案:2∶3∶(-4)

6.已知=(1,5,-2),=(3,1,z),=(x-1,y,-3).若,且是平面ABC的一个法向量,则等于　　　　　　. 

解析:因为,所以=0,

即1×3+5×1-2z=0,解得z=4.

因为是平面ABC的一个法向量,

所以,

所以

即解得

所以=,-,-3.

答案:,-,-3

7.已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点,若=(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1),则给出下列结论:

①AP⊥AB;②AP⊥AD;③是平面ABCD的一个法向量;④.其中正确的有　　　　　.(填序号) 

解析:=2×(-1)+(-1)×2+(-4)×(-1)=-2-2+4=0,则,即AP⊥AB;=(-1)×4+2×2+0=0,则,即AP⊥AD.

又AB∩AD=A,∴AP⊥平面ABCD,故是平面ABCD的一个法向量.

由于=(2,3,4),=(-1,2,-1),

,故不平行.

答案:①②③

8.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点,求证:

(第8题)

(1)AE⊥CD;

(2)PD⊥平面ABE.

证明:由题意知AB,AD,AP两两垂直,所以可建立如答图的空间直角坐标系A-xyz.

(第8题答图)

设PA=AB=BC=1,

则P(0,0,1),B(1,0,0).

(1)因为∠ABC=60°,AB=BC,所以△ABC为正三角形,所以C,0,从而E,=,0.

设D(0,y,0),则=-,y-,0.

由AC⊥CD,得=0,从而可得y=,则D0,,0,所以=-,0.

又因为=,所以=-+0=0,所以,即AE⊥CD.

(2)因为P(0,0,1),且由(1)知D0,,0,

所以=0,,-1.

又因为=,所以=0+×(-1)=0,所以,即PD⊥AE.

因为=(1,0,0),

所以=0,即PD⊥AB.

又因为AB∩AE=A,AB,AE⊂平面ABE,

所以PD⊥平面ABE.