高中北师大版 (2019)1.2 空间两点间的距离公式习题

1.2　空间两点间的距离公式

1.在空间直角坐标系中,若一定点到三条坐标轴的距离都是1,则该点到原点的距离是(　　).

A. B. 

C. D.

解析:如答图,构建一个正方体ABCO-A1B1C1D1,设B1为定点.

(第1题答图)

由题意知,|B1A|=|B1C|=|B1D1|=1,故正方体的棱长为.

于是点B1的坐标为(),故|OB1|=.

答案:A

2.已知三角形的三个顶点A(2,-1,4),B(3,2,-6),C(5,0,2),则△ABC的中线AD的长为(　　).

A. B.2

C.11 D.3

解析:由中点坐标公式得,D(4,1,-2),所以|AD|==2.

答案:B

3.已知A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x)两点,当|AB|取最小值时,x的值为(　　).

A.19 B.-

C. D.

解析:∵|AB|

=

=,

∴当x=时,|AB|取得最小值.

答案:C

4.已知A,B,C三点的坐标分别为(4,1,3),(2,-5,1),(3,7,λ).若AB⊥AC,则实数λ等于(　　).

A.28 B.-28 C.14 D.-14

解析:∵AB⊥AC,

∴△ABC为直角三角形,∠A=90°.

∴|BC|2=|AB|2+|AC|2.

而|BC|2=λ2-2λ+146,|AB|2=44,|AC|2=(3-λ)2+37,解得λ=-14.

答案:D

5.已知A(3,5,-7)和B(-2,4,3),则线段AB在坐标平面yOz上的射影长度为　　　　　. 

解析:∵A(3,5,-7)在平面yOz上的射影为A'(0,5,-7),B(-2,4,3)在平面yOz上的射影为B'(0,4,3),

∴线段A'B'是线段AB在平面yOz上的射影,

∴|A'B'|=.

答案:

6.在空间直角坐标系中,正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A的坐标为(3,-1,2),其中心M的坐标为(0,1,2),则该正方体的棱长为　　　　　. 

解析:因为顶点A(3,-1,2),中心M(0,1,2),

所以顶点C1(-3,3,2).所以正方体的对角线长为|AC1|==2.

所以正方体的棱长为.

答案:

7.在直三棱柱ABC-A1B1C1(侧棱与底面垂直)中,AC=2,CB=CC1=4,E,F,M,N分别是棱A1B1,AB,C1B1,CB的中点.建立空间直角坐标系,如图.

(第7题)

(1)在平面ABB1A1内找一点P,使△ABP为等边三角形.

(2)在线段MN上是否存在一点Q,使△AQB为以AB为斜边的直角三角形?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

解:(1)因为EF是AB的中垂线,所以在平面ABB1A1内只有直线EF上的点到A,B两点的距离相等.

所以点P在直线EF上.

又A(2,0,0),B(0,4,0),所以F(1,2,0),E(1,2,4).

所以设点P的坐标为(1,2,m),其中m∈R,且m≠0.

由|PA|=|AB|,得,解得m=±,故平面ABB1A1内点P的坐标为(1,2,)或(1,2,-),使得△ABP为等边三角形.

(2)假设线段MN上存在一点Q满足题意,设点Q的坐标为(0,2,n),其中n∈[0,4].

由△AQB为以AB为斜边的直角三角形,得|QF|=|AB|.

又F(1,2,0),所以,整理得,所以n2=4.

因为n∈[0,4],所以n=2.故在线段MN上存在点Q(0,2,2),使得△AQB为以AB为斜边的直角三角形.