北师大版 (2019)选择性必修 第一册1.3 全概率公式练习题

1.3　全概率公式

1.甲、乙、丙三人向同一飞机射击,按照命中飞机的人数划分,那么下列事件组是样本空间Ω的一个划分的是(　　).

A.B1={无人命中飞机},B2={三人全命中飞机}

B.B1={至少一人命中飞机},B2={至多一人命中飞机}

C.B1={恰有一人命中飞机},B2={至少两人命中飞机}

D.B1={三人以下命中飞机},B2={全命中飞机}

解析:样本空间Ω={无人命中飞机,一人命中飞机,两人命中飞机,三人全命中飞机},选项A,B1∪B2≠Ω,故不正确;选项B,B1B2={恰有一人命中飞机},故不正确;选项C,B1∪B2≠Ω,故不正确;选项D,B1B2=⌀,B1∪B2=Ω,故D正确.

答案:D

2.设某工厂有两个车间生产同型号家用电器,第一车间的次品率为0.15,第二车间的次品率为0.12,两个车间的成品都混合堆放在一个仓库,假设第一、二车间生产的成品比例为2∶3,今有一客户从成品仓库中随机提出一台产品,则该产品合格的概率为(　　).

A.0.865 B.0.868 

C.1.73 D.0.5

解析:设事件A表示“从仓库中随机提出的一台产品是合格品”,事件Bi表示“提出的一台产品是第i车间生产的”,则P(B1)=,P(B2)=,P(A|B1)=0.85,P(A|B2)=0.88.

由全概率公式,得P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)·P(A|B2)=×0.85+×0.88=0.868.

答案:B

3.袋中有大小、质地相同的a个黄球、b个白球,现从中不放回地摸球两次,则第二次摸得黄球的概率是(　　).

A. B. 

C. D.

解析:设事件A表示“第二次摸得黄球”,事件B1表示“第一次摸得黄球”,B2表示“第一次摸得白球”,由题意知P(B1)=,P(B2)=,P(A|B1)=,P(A|B2)=.

则由全概率公式,得P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)=.故选A.

答案:A

4.已知12件产品中有4件次品,在先取1件的情况下,再任取2件产品都取到正品,则先取1件为次品的概率是(　　).

A. B. C. D.

解析:设事件A表示“任取2件产品皆为正品”,事件B表示“先取1件为次品”,则B,构成样本空间的一个划分,且P(B)=,P()=,

则P(A|B)=,P(A|)=.

由全概率公式,得P(A)=P(B)P(A|B)+P()·P(A|)=.由贝叶斯公式,得P(B|A)=.

答案:C

5.甲袋中有5个白球、7个红球,乙袋中有4个白球、2个红球,这些球除颜色外完全相同.从两个袋子中任取一袋,然后从所取到的袋子中任取一球,则取到的球是白球的概率为　　　　. 

解析:设事件A表示“从袋子中取出白球”,B1表示“取到的袋子是甲袋”,B2表示“取到的袋子是乙袋”,则P(B1)=,P(B2)=,P(A|B1)=,P(A|B2)=.

由全概率公式,得P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)·P(A|B2)=.

答案:

6.某学生接连参加同一课程的考试两次,第一次及格的概率是p,如果第一次及格,那么第二次及格的概率也是p;如果第一次不及格,那么第二次及格的概率就是.若已知他第二次考试及格了,则第一次考试及格的概率为　　　　　. 

解析:设事件A表示“第二次考试及格”,事件B表示“第一次考试及格”,则B,构成样本空间的一个划分,且P(B)=p,P()=1-p,

则P(A|B)=p,P(A|)=.

由全概率公式,得P(A)=P(B)P(A|B)+P()·P(A|)=p×p+(1-p)×.由贝叶斯公式,得P(B|A)=.

答案:

7.玻璃杯成箱出售,每箱20只,假设各箱含0,1,2只残次品的概率分别是0.8,0.1和0.1,某顾客欲购一箱玻璃杯,在购买时,售货员随机取出一箱,顾客开箱随机地查看4只,若无残次品,则买下该箱玻璃杯,否则退回.则顾客买下该箱的概率α=　　　　;在顾客买下的一箱中,确实没有残次品的概率β=　　　　. 

解析:设事件A表示“顾客买下该箱玻璃杯”,事件Bi表示“抽到的一箱中有i件残次品”,i=0,1,2,则P(B0)=0.8,P(B1)=0.1,P(B2)=0.1,P(A|B0)=1,P(A|B1)=,P(A|B2)=.

由全概率公式,得α=P(A)=P(B0)P(A|B0)+P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)=0.8×1+0.1×+0.1×.由贝叶斯公式,得β=P(B0|A)=.

答案:

8.同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应.由长期的经验知,三家的正品率分别为0.95,0.90,0.80,三家产品数按2∶3∶5的比例混合在一起.

(1)从中任取一件,求此产品为正品的概率;

(2)现取到一件产品为正品,问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大?

解:设A=“取到的产品为正品”,B1,B2,B3分别表示“产品由甲、乙、丙厂生产”.由已知得P(B1)=0.2,P(B2)=0.3,P(B3)=0.5,

P(A|B1)=0.95,P(A|B2)=0.9,P(A|B3)=0.8.

(1)由全概率公式得P(A)=P(Bi)P(A|Bi)=0.2×0.95+0.3×0.9+0.5×0.8=0.86.

(2)由贝叶斯公式得P(B1|A)=≈0.2209,

P(B2|A)=≈0.3140,

P(B3|A)=≈0.4651,

由以上3个数作比较,可知这件产品由丙厂生产的可能性最大,由甲厂生产的可能性最小.