高中北师大版 (2019)第一章 直线与圆2 圆与圆的方程2.3 直线与圆的位置关系课后测评

【精挑】2.3 直线与圆的位置关系-2优选练习

一．填空题

1．在平面直角坐标系中，已知圆．

①圆与圆的位置关系是________;（选填：相离，外切，相交，内切或内含）

②记圆与直线和分别交于．和．四点，当变化时，凸四边形面积的最大值是________．

2．若圆的方程是，则在轴上截距为的切线方程为_________.

3．过点的直线与圆相交于．两点，且圆上一点到直线的距离的最大值为，则直线的方程是_____________．

4．在平面直角坐标系中，已知圆，线段是圆的一条动弦，且，线段的中点为，则直线被圆截得的弦长取值范围是______.

5．已知为圆上任意一点（原点除外），直线的倾斜角为弧度，记.在下侧的坐标系中，画出以为坐标的点的轨迹的大致图形为________.

6．圆的圆心到直线的距离为______.

7．已知圆与圆外切，则ab的最大值为__________．

8．已知是单位圆（圆心在坐标原点）上任一点，将射线绕点逆时针旋转到交单位圆于点，则的最大值为________.

9．已知关于直线成轴对称，则_______．

10．已知，则直线过定点__________；若直线与圆恒有公共点，则半径r的取值范围是__________.

11．过点的直线被圆截得的弦长为，则直线的斜率为_________.

12．已知直线过点且与直线垂直，则圆与直线相交所得的弦长为__

13．若圆上有且只有两个点到直线的距离为1，则半径r的取值范围是______．

14．圆的点到直线距离的最小值是________.

15．已知过圆的圆心C，则圆心C的坐标是________，________．

16．在平面直角坐标系中，动圆截轴所得的弦长恒为.若过原点作圆的一条切线，切点为，则点到直线距离的最大值为____.

17．已知圆与直线相切，则___________．

18．从圆外一点向这个圆引切线，则切线的方程为______.

参考答案与试题解析

1．【答案】相交    3 

【解析】①根据两圆的方程分别得到两圆的圆心与半径，求出圆心距与半径之和比较，即可得出结果；

②先判断，得到的对角线相互垂直，根据点到直线距离公式，分别求出圆心到两直线的距离，再由几何法得到弦长，，根据，即可求出结果.

详解：①因为圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为，

所以，

因此两圆相交；

②因为的斜率为，的斜率为，

所以，即，因此的对角线相互垂直，

又圆心到直线的距离为，

圆心到直线的距离为，

因此，，

所以四边形的面积为，

因为

，

（其中），

因为，所以，因此，

令，

则.

故答案为：相交；3.

【点睛】

本题主要考查判断两圆位置关系，以及求圆中四边形面积的最值问题，熟记两圆位置关系的判断方法，以及圆的弦长的求法即可，属于常考题型.

2．【答案】或

【解析】先验证直线斜率不存在时是否符合题题，再将直线方程用斜截式表示，再利用切线的性质，圆心到切线的距离等于半径求出切线方程.

详解：解：（1）直线斜率不存在时，方程为，不与圆相切，不合题意；

（2）直线斜率存在时，设为，直线方程为，即，

由直线与圆相切，则，得，

切线方程为：或

故答案为：或

【点睛】

本题考查了圆的切线问题，注意考查直线斜率不存在时，直线与圆是否相切，再利用切线的性质即圆心到直线的距离等于半径列式求解.

3．【答案】或

【解析】由题意可知，圆心到直线的距离为，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，结合点到直线的距离公式可求得直线的方程.

详解：圆的圆心为坐标原点，半径长为，

由题意可知，圆心到直线的距离满足，.

①当直线的斜率不存在时，则直线的方程为，此时圆心在直线上，不合乎题意；

②当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，即，

由点到直线的距离公式可得，解得.

综上所述，直线的方程为或.

故答案为：或.

【点睛】

本题考查利用圆上一点到直线距离的最值求直线的方程，解答的关键就是将问题转化为圆心到直线的距离来计算，同时要对直线的斜率是否存在进行分类讨论，考查计算能力，属于中等题.

4．【答案】

【解析】由已知求得点的轨迹，再求出过点且与的轨迹相切的直线方程，求出所求切线被圆所截弦长，结合图形可得直线被圆截得的弦长取值范围．

详解：圆的圆心坐标为

弦，线段的中点为，则

即点的轨迹方程为

设过原点与圆相切的直线方程为

则，解得或

即切线方程为或

如图,点在直线的下方，在直线的上方.

而点到直线的距离为，到直线的距离为.

由图可知当直线过圆的圆心时，直线被圆截得的弦长最长，圆的直径4.

当直线与圆相切时，直线与圆心的距离最远，

此时直线被圆截得的弦长最短，为

所以直线被圆截得的弦长取值范围是

故答案为：

【点睛】

本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，考查运算求解能力，是中档题．

5．【答案】见解析

【解析】先记圆的圆心为，半径为，的中点为，连接，根据几何法求出弦长，得到，，即可画出其对应的图形.

详解：记圆的圆心为，半径为，的中点为，连接，如图1；

则，

因为直线的倾斜角为弧度，即，

所以，

因此，所以，

即，，

画出其图象如图2.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查画出点的轨迹对应的图形，熟记轨迹方程的求法，涉及圆的弦长的求法，以及正弦型函数的图形，属于跨章节综合题.

6．【答案】1

【解析】先求出圆的圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可算出结果.

详解：解：圆的圆心坐标为，

所以圆的圆心到直线的距离为：

，

故答案为：1

【点睛】

本题考查了由圆的标准方程求圆心坐标，考查了点到直线的距离公式，考查了数学运算能力.

7．【答案】2

【解析】由圆心距等于半径之和得出的关系式，然后由基本不等式可得最值．

详解：圆心为，，两圆外切，则，

∴，所以，所以，当且仅当时等号成立，

故答案为：2.

【点睛】

本题考查两圆的位置关系，考查基本不等式求最值，解题关键是掌握两圆位置关系的判断．

8．【答案】

【解析】设，则，代入要求的式子由三角函数的知识可得解．

详解：设，则，

，

的最大值为，

故答案为：

【点睛】

本题主要考查圆，考查两角和与差的正弦公式的应用，考查三角函数的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．

9．【答案】4

【解析】将圆心代入直线方程，计算得到答案.

详解：，即，圆心为，

圆心在直线上，故，故.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了直线和圆的位置关系，属于简单题.

10．【答案】     

【解析】将直线化简成点斜式的形式得：，可得直线的斜率为且经过定点，利用定点在圆内或圆上，从而得到答案．

详解：解：将直线化简为点斜式，可得，

直线经过定点，且斜率为．

即直线过定点恒过定点．

和圆恒有公共点，

，即半径的最小值是1，

故答案为：；．

【点睛】

本题给出含有参数的直线方程，求直线经过的定点坐标．着重考查了直线的基本量与基本形式等知识，属于基础题．

11．【答案】

【解析】将圆的一般方程化为标准方程，根据弦长可知直线经过圆的圆心，进而由两点坐标求得直线的斜率.

详解：圆，化为标准方程可得，

所以圆心坐标为，半径为，

直线被圆截得的弦长为，即弦长为直径，所以直线经过圆心，

又因为直线过点，

所以由两点间斜率公式可知，

故答案为：.

【点睛】

本题考查了直线与圆的位置关系，两点间斜率公式的应用，属于基础题.

12．【答案】

【解析】

【分析】

先求出直线的方程，再求出圆心与半径，计算圆心到直线的距离，由垂径定理求弦长．

【详解】

由题意可得，的方程为，

可化为，圆心，半径，

圆心到的距离，

．

故答案为：．

13．【答案】

【解析】详解：∵圆心P(3,？5)到直线4x？3y=2的距离等于

，

由|5？r|<1，解得：4<r<6，

则半径r的范围为(4,6).

故答案为：(4,6)

，当时满足题意.

考点：1．直线和圆的位置关系；2．点到直线的距离.

14．【答案】

【解析】由圆的方程可得圆心坐标及其半径，求出圆心到直线的距离，求出圆上的点到直线的最小距离为即可.

详解：由圆可得圆心坐标，半径为1，

所以圆心到直线的距离为，所以直线与圆相离，

所以圆上的点到直线的最小距离为.

故答案为：.

【点睛】

本小题主要考查圆的一般方程化为标准方程，考查直线和圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，属于基础题.

15．【答案】     

【解析】由圆方程，求得圆的圆心坐标，将圆心坐标代入直线的方程，求得直线的斜率，得到答案.

详解：由圆，可得圆，

所以圆心，将点坐标代入，得．

故答案为：，.

【点睛】

本题考查圆的一般方程与圆的标准的方程．以及直线的方程的应用，其中正确得出圆心的坐标是解答本题的关键，着重考查了运算与求解能力．

16．【答案】；

【解析】先根据截轴所得的弦长恒为找到的关系，再由切点列勾股定理可得点在的圆上，从而最大距离为圆心到直线的距离加半径.

详解：因为动圆截轴所得的弦长恒为，

所以

设，由已知条件得，

所以，即点在的圆上

所以点到直线距离的最大值为

故答案为：

【点睛】

此题考查圆上点到直线距离的最值问题，关键点是对题干条件的转化，属于较易题目.

17．【答案】

【解析】先求出圆心坐标为，半径为1，由题得，解方程即得解.

详解：由题得圆的方程为，

所以圆心坐标为，半径为1，

所以，

解之得.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

18．【答案】或.

【解析】当切线方程斜率不存在时，直线满足题意；当切线方程斜率存在时，设出切线方程，根据圆心到切线的距离列出关于的方程，求出方程的解得到的值，进而得到满足题意的切线方程.

详解：解：分两种情况考虑：

若切线方程斜率不存在时，直线满足题意；

若切线方程斜率存在时，设为，此时切线方程为，即，

∵直线与圆相切，∴圆心到切线的距离，

即，解得：，

此时切线方程为，

综上，切线方程为或.

故答案为：或.

【点睛】

此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，直线的点斜式方程，利用了分类讨论的思想，分类讨论时注意考虑问题要全面，做到不重不漏.