高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册7.1 实际问题中导数的意义课后作业题

【精选】7.1 实际问题中导数的意义课堂练习

一．填空题

1．函数的最小值是_____________.

2．若函数与像的交点为，，，则____________.

3．已知函数，则的最大值为__________．

4．若关于的方程有且只有三个不相等的实根，则实数的取值范围是__________.

5．已知函数 若关于的不等式的解集非空，且为有限集，则实数的取值集合为___________.

6．定义在上的函数满足：，且当时，，则不等式的解集为______.

7．已知，则____________.

8．已知函数与函数的图象上至少存在一对关于轴对称的点，则实数的取值范围是________.

9．已知在上是单调增函数，则实数的取值范围是________．

10．若关于x的不等式恒成立，则的最大值是________________.

11．函数在的最大值等于__________.

12．函数的最小值为__________．

13．已知函数在区间内是减函数，则实数的取值范围是________．

14．对于总有成立，则=     　        ．

15．已知，则不等式的解集为__________.

16．若函数的零点都在区间上，则使得方程有正整数解的实数的取值的个数为______．

17．已知是的极小值点，那么函数的极大值为______.

18．若函数，的最大值为，则实数的最大值为___________.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】先求得定义域,再根据函数的单调性求得最小值

详解：由题,,可得,所以的定义域是,

因为单调递增,单调递减,所以单调递增,

所以当时,取得的最小值是,

故答案为:

【点睛】

本题考查利用函数的单调性求函数的最值,求最值时需注意函数的定义域

2．【答案】2

【解析】利用复合函数的单调性得出的单调性，再结合两函数的对称性确定交点个数与性质后可得结论．

详解：由是增函数，在是单调递增，在单调递增得在上是增函数，

又，所以的图象关于直线对称，易知也是的对称轴，

在上是减函数，而，，因此与的图象在上有一个交点，时，，时，，，与的图象在上无交点，所以在上它们只有一个交点，根据对称性在上也只有一个交点，且这两个交点关于直线对称．

所以．

故答案为：2.

【点睛】

本题考查两函数图象交点问题，解题方法是研究函数的性质：单调性，对称性，确定交点个数及性质．

3．【答案】1

【解析】先求函数的定义域，再求导，求出函数的单调区间，即可求出的最大值

详解：解：因为，所以它的定义域为，

求导得．

令，得，令，得，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以的最大值为．

故答案为：1

【点睛】

此题考查利用导数求函数的最值，属于基础题.

4．【答案】

【解析】由参变量分离法得出，令（且），，作出函数的图象，由题意可知，关于的方程的两根．满足，，数形结合可得出实数的取值范围.

详解：显然不满足方程；

当且时，由得，

令，，对函数求导得，令得，列表如下：

所以，函数在处取得极大值，即，如下图所示：

由于关于的方程有且只有三个不相等的实根，

则关于的方程要有两个根．，且，，如下图所示：

所以，.

综上所述，实数的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用函数的零点个数求参数，考查了利用导数研究函数的零点个数问题，考查数形结合思想的应用，属于中等题.

5．【答案】

【解析】利用导数，研究的性质和图像；利用换元法，结合二次不等式的解集，结合的函数图像，即可分类讨论求得.

详解：当时，，则，令，解得，

容易得在区间单调递减，在区间单调递增，

且在时，取得极小值，即；且时，；

当时，，则，令，解得，

容易得在区间单调递增，在区间单调递减，

且在时，取得极大值，即；且时，；

故的模拟图像如下所示：

综上所述：的值域为.

令，则，其，对称轴为：

当时，显然关于的二次不等式解集为空集，不满足题意；

当，即或时，

若，显然关于的二次不等式的解集为，又，

数形结合可知，此时关于的原不等式解集为空集，不满足题意；

若，关于的二次不等式的解集为，又，

数形结合可知，此时关于的原不等式解集为，满足题意；

当，即或时，

令，解得，

显然，故此时关于的不等式的解集为，

数形结合可知，要满足题意，只需或.

即，解得，满足或；

或，解得，不满足或，舍去；

综上所述，要满足题意，则或.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的性质和图像，涉及二次不等式的求解，属压轴题.

6．【答案】

【解析】先由两边对求导，根据题意，得到，推出时，都有，构造函数，对其求导，得到在上单调递减，再由，将原不等式化简得到，根据函数单调性，即可求出结果.

详解：因为，

两边对求导，得到，

令，则，

因为当时，，

所以，

因此，

又，直线过原点，

所以，因此时，都有；

令，

则，

即函数在上单调递减，

又，

所以不等式可化为，即，

所以，

即原不等式的解集为.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查由函数单调性解不等式，以及导数的方法判定函数的单调性，属于常考题型.

7．【答案】

【解析】求导后，将代入和，可构造方程求得和，从而得到，代入即可求得结果.

详解：，

，解得：，

，.

故答案为：.

【点睛】

本题考查导数值的求解问题，关键是能够通过函数值和导数值构造方程求得导函数的解析式，属于常考题型.

8．【答案】

【解析】使用等价转化，原问题等价于在有零点，通过的符号判断函数的单调性并计算值域，值域包含0，然后简单计算即可.

详解：原问题等价于在有零点，

而，

知在单调递减，在单调递增，

又，，，

所以可判断，

因而的值域为，又有零点，

由得.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查根据函数零点所在区间求参数，考查了等价转化思想的应用，以及对分析能力和计算能力的考查.，属中档题.

9．【答案】

【解析】

在上恒成立

即在上恒成立

，

，

则

故答案为：

10．【答案】

【解析】由，，原不等式可化为.再利用导数研究函数的图象，根据的图象恒在的图象的上方，对进行分类讨论，即可得到答案.

详解：由，，原不等式可化为.

设，则，

当时，，递增；

，，递减.

所以，在处取得极大值，且为最大值；

时，.

的图象恒在的图象的上方，

显然不符题意；

当时，为直线的横截距，其最大值为的横截距，

再令，可得，所以取得最大值为.

此时，，直线与在点处相切.

【点睛】

本小题主要考查函数的导数及其应用等基础知识；考查抽象概括能力．运算求解能力和创新意识；考查化归与转化．数形结合等思想方法.

11．【答案】

【解析】对函数求导即可得函数的单调区间，比较极大值及端点值即可得解.

详解：由题意，

所以当时，；当时，；

所以的单调增区间为，减区间为.

又，.

所以函数在的最大值等于.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了利用导数求函数的最值，考查了运算求解能力，属于基础题.

12．【答案】

【解析】（1） 求导数， 确定函数在区间上的单调性， 即可求出函数在区间上的最小值．

详解：，

当时，

当时，

所以在上递减，在递增，

所以函数在处取得最小值，即．

【点睛】

本题考查导数知识的运用， 考查函数的单调性与最值， 考查学生的计算能力， 属于中档题 ．

13．【答案】

【解析】求导得，转化条件为在区间内恒成立，令，求导后求得即可得解.

详解：，，

函数在区间内是减函数，

在区间内恒成立，即在区间内恒成立，

令，则，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

又，，，

.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力与推理能力，属于中档题.

14．【答案】4

【解析】本小题考查函数单调性及恒成立问题的综合运用，体现了分类讨论的数学思想．

要使恒成立，只要在上恒成立．

当时，，所以，不符合题意，舍去．

当时，即单调递减，，舍去．

当时

① 若时在和上单调递增，

在上单调递减．

所以

② 当时在上单调递减，

，不符合题意，舍去．综上可知a=4.

15．【答案】

【解析】首先根据题意得到为偶函数，利用导数求出的单调区间，再根据单调区间解不等式即可.

详解：又因为，，

所以为偶函数.

当时，，，

因为，，所以，

故在为增函数.

又因为为偶函数，所以在为减函数.

因为，所以，解得或.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查利用导数研究函数的单调性，同时考查了函数的奇偶，属于中档题.

16．【答案】3

【解析】由以及题设条件得出，利用导数得出函数的单调性以及极大值，进而确定方程有正整数解在区间上，再得出，从而得出取值的个数.

详解：函数的零点都在区间上

又,令

或

函数的零点都在区间上

,令

解得

当或时,

当时,

则函数在，上单调递增，在上单调递减

当时,有极大值,

结合函数的单调性，知方程有正整数解在区间上

此时令,可得

此时有,由于为大于的整数

由上知,令时,不等式成立

当时,有

故可得的值有三个

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了利用导数研究函数的零点问题以及根据函数的零点个数求参数范围，属于中档题.

17．【答案】

【解析】求出导数，由题意得，，解出，再由单调性，判断极大值点，求出即可．

详解：解：函数的导数，

由题意得，，即，解得．

，，

，得或，即函数在和上单调递增；

，得，函数在上单调递减；

故在处取极小值，处取极大值，且为．

即

故答案为：．

【点睛】

本题考查导数的应用：求函数的极值，同时考查运算能力，属于基础题．

18．【答案】

【解析】利用导数研究函数的单调性求出最值，分．两类进行绝对值运算，验证是否满足函数，的最大值为即可求得a的范围从而求出最大值.

详解：不妨令，则，解得，

当时，，为单调递减函数；当时，，为单调递增函数.

因为，

所以，

当时，在处取得最大值，满足题意；

当时，在处取得最大值，不满足题意.

所以，则a的最大值为.

故答案为：

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性及最值．含绝对值函数的性质，考查学生分类讨论思想，属于较难题.