高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册6.1 函数的单调性练习题

【优编】6.1 函数的单调性-1优选练习

一．填空题

1．

圆柱形金属饮料罐容积一定时，它的高与底面半径比值为________时，才能使所用的材料最省？

2．

已知函数的导函数为，且满足，当时，．若，则实数m的取值范围是______．

3．

若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为________．

4．

设实数，若对任意的，关于的不等式恒成立，则的最大值为______．

5．

已知函数（），若，且都有恒成立，则的最小值为___________.

6．

若与的图象有且仅有两个公共点，则实数a的取值范围为_____.

7．

若函数有两个不同零点，()，且存在唯一的整数，则实数的取值范围为___________.

8．

设直线与函数，的图象分别交于点．，则的最小值为______.

9．

若关于的函数在区间，上递增，则实数的取值范围是__．

10．

关于的方程在区间上有三个不相等的实根，则实数的取值范围是______.

11．

已知函数，，若图象向下平移个单位后与的图象有交点，则的最小值为______．

12．

已知函数，若函数有5个零点，则的取值范围是__________.

13．

已知函数是定义域上的单调递增函数，是的导数且为定义域上的单调递减函数，请写出一个满足条件的函数的解析式___________．

14．

已知函数在，上不是单调函数，则实数的取值范围为__．

15．

函数在区间上的最大值是___________．

16．

已知在区间上为递减函数，则的取值范围为________．

17．

已知函数，则的极大值为______.

18．

函数的递减区间为___________.

参考答案与试题解析

1．【答案】2

【解析】

设（），（是圆柱的高，是底面半径），则（是体积为定值），

，即，，

，

令，则，

时，，递减，时，，递增，

所以时，取得极小值也是最小值，．

故答案为：2．

2．【答案】

【解析】

令，则，当时，，∴在上递减，而，，

所以，

所以是奇函数且在上单调递减，若，

则，

所以∴，即．

故答案为：

3．【答案】

【解析】

由题意在上恒成立，即恒成立，

又（当且仅当时取等号），

所以．

故答案为：．

4．【答案】

【解析】

令，关于的不等式恒成立，

即当时，.

，

由于与在第一象限只有一个交点（如图所示），设交点的横坐标为，

所以时，递减；时，递增.

令得满足方程.

即在上递增.

所以，

令，由于，所以，

而，所以，即的最大值为.

故答案为：

5．【答案】

【解析】

不妨设，因为在上单调递增，所以，

所以，

令，则，所以在上单调递增.

则即对恒成立，所以，即的最小值为2.

故答案为：2.

6．【答案】

【解析】

根据题意得，方程有且仅有两个解，即，有且仅有两个解

，令 ，可得，直线 与函数有且仅有两个交点

计算得，，所以 时，
 

所以在上为单调增函数，在 上为单调减函数

且时取得最大值，，如图：

由图可知，a的取值范围为

故答案为：

7．【答案】

【解析】

由得，令，，

当时，，当时，，

于是得在上递增，在上递减，当时，

而，，

从而得有两个不同零点，当且仅当直线y=k与函数的图象有两个不同交点，即有，

直线y=k与函数的图象有两个交点的横坐标为，()，此时，，

因存在唯一的整数，于是得，当时，，即，则有，

综上得：实数的取值范围为.

故答案为：

8．【答案】1

【解析】

设，则，

则，

当时，，当时，，

即函数在为减函数，在为增函数，

即，

即当达到最小值时，的值为1，

故答案为：.

9．【答案】

【解析】

解：若函数在区间，上递增，

令，

在，上，>0，且单调递减，

所以（2）>0且任意，，，

所以>0且，

解得：，

故答案为：

10．【答案】

【解析】

令，

则关于的方程在区间上有三个不相等的实根，

等价于函数的图象在区间上的部分与直线有三个不同的交点，

是过原点斜率为的直线，

设过原点且与的图象相切的直线与的图象相切于点，

所以，，所以，

所以切线方程为，整理可得：，

因为切线过原点，所以，即，所以，

所以设过原点且与的图象相切的直线方程为，

记，则直线的斜率为，

由图知：要使函数的图象在区间上的部分与直线有三个不同的交点，

则令直线的斜率在过原点的与的图象相切的直线的斜率和直线的斜率之间，所以，

所以实数的取值范是

故答案为：.

11．【答案】

【解析】

由题意可得，即在上有解，

设，其中，则，

令，其中，则，

故函数在上单调递增，

因为，，

所以，存在，使得，

即，

令，其中，则，故在上递增，

因为，则，，由可得，

所以，，则，

且当时，，则，此时函数单调递减，

当时，，则，此时函数单调递增，

故，所以，.

故答案为：.

12．【答案】

【解析】

解：因为，当时，，所以当时，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，且，，

所以的图象如下所示：

函数有5个零点，即有5个解，所以与一共有5个实数解，因为与轴有个交点，所以方程有2个实数解，则有3个实数解，即与有3个交点，所以，解得，即

故答案为：

13．【答案】（答案不唯一）

【解析】

因为在定义域为单调增函数

所以在定义域上0，

又因为在定义域上为减函数，且大于等于0.

所以可取()，()，满足条件

所以可为().

故答案为：（答案不唯一） .

14．【答案】

【解析】

，，

令，对称轴为，图象开口向上，

若在上不是单调函数，则在上有解，

所以，

解得，

故实数的取值范围是．

故答案为：．

15．【答案】2

【解析】

由题意可知，，

令，则或2，

所以在上单调递增，在上单调递减，且，，，

所以在上的最大值是2．

故答案为：2

16．【答案】

【解析】

由（），得，又函数在区间上为递减函数，

在上恒成立，，

解得．

故答案为：

17．【答案】

【解析】

由可得，

当时，；当或时，，

所以在和单调递增，在上单调递减，

所以当时，的极大值为，

故答案为：.

18．【答案】

【解析】

，由得，，

由得，所以函数的递减区间为.

故答案为：.