高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册第二章 导数及其应用6 用导数研究函数的性质6.1 函数的单调性习题

【优质】6.1 函数的单调性-1作业练习

一．填空题

1．

函数在上的最小值为___________.

2．

若函数存在零点，则a的取值范围为___________.

3．

已知函数图象上恰好存在两个不同的点关于轴对称后在函数的图象上，则实数的取值范围是___________.

4．

已知函数，若存在互不相等的实数，使得，则的取值范围是__________．

5．

已知函数，若函数有5个零点，则的取值范围是__________.

6．

已知函数（为大于1的整数），若与的值域相同，则的最小值是__________.（参考数据：，，）

7．

已知函数．若对恒成立，实数a的取值范围是_________．

8．

已知函数有三个零点，则实数a的取值范围是_______________.

9．

已知在区间上为递减函数，则的取值范围为________．

10．

函数在区间上的最大值是___________．

11．

在上单调递增，则的取值范围为__________.

12．

已知函数，，，若与的图象上分别存在点？，使得？关于直线对称，则实数的取值范围是________.

13．

函数的递减区间为___________.

14．

已知函数恰有两个相异零点，则的最大值为________．

15．

某厂生产某种产品件的总成本（万元），已知产品单价的平方与产品件数成反比，生产件这样的产品单价为万元，则产量定为______件时，总利润最大．

16．

将一个边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长相等的小正方形，做成一个无盖方盒，若该方盒的体积为2，则a的最小值为__________．

17．

已知函数，，若图象向下平移个单位后与的图象有交点，则的最小值为______．

18．

已知函数，则的极大值为______.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】

，

令，即，解得，

令，即，解得，

所以函数在上单调递减；在上单调递增；

所以.

故答案为：

2．【答案】.

【解析】

由题意，函数，可得，

因为，可得，

令，可得，所以在上单调递增，

又由，

所以存在，使得，即，即，

当时，，当时，，

所以在区间上单调递减，在上单调递增，

所以，

要使得存在零点，只需，即，解得，

即实数a的取值范围为.

3．【答案】

【解析】

关于轴对称即，问题等价于与有两个交点，即有两个实根.令，.要有两个零点，即不单调，故此时时，，时，，即在单调递增，在单调递减.所以，即，

又当或时，，所以有两个零点．

故答案为：.

4．【答案】

【解析】

设，根据函数的图象及对应的方程，不妨设，

根据二次函数关于 对称可以得到，

由图象可知， 与在部分的交点横坐标满足，

所以，所以，

令，，

则当，时，，

所以函数在，上单调递增，

所以，，

所以，．

故答案为：

5．【答案】

【解析】

解：因为，当时，，所以当时，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，且，，

所以的图象如下所示：

函数有5个零点，即有5个解，所以与一共有5个实数解，因为与轴有个交点，所以方程有2个实数解，则有3个实数解，即与有3个交点，所以，解得，即

故答案为：

6．【答案】

【解析】

解：由（），得，

令，得，

当时，，当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以的最大值为，即的值域为，

所以的值域为，

所以，所以，

设，则，

当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

因为，，

，

，

所以的最小值为5，

故答案为：5

7．【答案】

【解析】

解：对恒成立，等价于在上恒成立，即

令，则有

当时，，则有在上单调递减；

当或时，，则有在和上单调递增；

所以的最小值为或，

又，，所以，即.

故答案为：

8．【答案】

【解析】

令，有三个零点即与有三个交点，，在和上单调递减，在上单调递增，且，

的极大值为，极小值为.

结合图象与有三个交点，即，∴.

故答案为：

9．【答案】

【解析】

由（），得，又函数在区间上为递减函数，

在上恒成立，，

解得．

故答案为：

10．【答案】2

【解析】

由题意可知，，

令，则或2，

所以在上单调递增，在上单调递减，且，，，

所以在上的最大值是2．

故答案为：2

11．【答案】.

【解析】

由题意，函数，可得，

因为函数在上单调递增，即在上恒成立，

即在上恒成立，

令，可得当时，函数取得最大值，最大值为，

所以，即实数的取值范围是.

故答案为：.

12．【答案】

【解析】

与的图象上分别存在点，，使得，关于直线对称，

函数的图象关于直线对称图像与函数图像有交点．

函数图像关于直线对称图像函数为的反函数．

函数的反函数为，

关于对称的函数为．

此图像与函数的图像在上有交点

可转化为关于的方程在上有解．

可得．

问题又可转化为求函数的值域．

得，

函数在，上的递减区间为，，递增区间为，

的最小值为（e），的最大值为，

函数的值域为

的取值范围为

故选：B

13．【答案】

【解析】

，由得，，

由得，所以函数的递减区间为.

故答案为：.

14．【答案】4

【解析】

解：因为函数恰有两个相异零点，设的重根为，另一根为，则，由，可知二次项系数为零，即，所以，所以

所以，所以

令为定义域在上的函数，则，所以当时，当时，即在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，即的最大值为；

故答案为：

15．【答案】

【解析】

设产品单价为，因为产品单价的平方与产品件数成反比，所以,（其中为非零常数），

又生产件这样的产品单价为万元，所以，

故，所以，

记生产件产品时，总利润为,

所以,

则，

由，得；由，得，

故函数在上单调递增，在上单调递减，

因此当时，取最大值，即产量定为件时，总利润最大．

故答案为:

16．【答案】3

【解析】

设截去的四个小正方形的边长为，则无盖方盒底面边长为的正方形，高为，

所以方盒的体积为

，，

，，

当时，，当时，，

所以在单调递增，在单调递减，

所以当时，，解得： ，

所以a的最小值为，

故答案为：.

17．【答案】

【解析】

由题意可得，即在上有解，

设，其中，则，

令，其中，则，

故函数在上单调递增，

因为，，

所以，存在，使得，

即，

令，其中，则，故在上递增，

因为，则，，由可得，

所以，，则，

且当时，，则，此时函数单调递减，

当时，，则，此时函数单调递增，

故，所以，.

故答案为：.

18．【答案】

【解析】

由可得，

当时，；当或时，，

所以在和单调递增，在上单调递减，

所以当时，的极大值为，

故答案为：.