高中北师大版 (2019)第二章 导数及其应用6 用导数研究函数的性质6.3 函数的最值同步训练题

【精品】6.3 函数的最值练习

一．填空题

1．若函数在定义域上是增函数，则实数的取值范围为__________.

2．函数有极值，则的取值范围是______．

3．已知函数有四个不同的零点，且四个零点全部大于1，则的值为_______．

4．已知函数，若对任意的，总存在，使得成立，则正整数的最小值为_________．

5．已知函数,,实数,若使得对,都有成立,则的最大值为__________.

6．若a为实数，对任意，当时，不等式恒成立，则a的最大值是_________.

7．若函数只有一个零点，则实数的取值范围是______.

8．已知函数是奇函数，当时，，则的图象在点处的切线斜率为__________.

9．已知函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围是_________.

10．已知函数f（x）＝lnxa，f′（x）是f（x）的导函数，若关于x的方程f′（x）0有两个不等的根，则实数a的取值范围是_____

11．设函数的定义域为D，若满足条件：存在，使在上的值域为，则称为“倍胀函数”.若函数为“倍胀函数”，则实数t的取值范围是________.

12．已知是函数的极值点,则实数的值为______.

13．函数共有________个极值.

14．已知函数，若函数f(x)在处取得极大值，则实数a的取值范围是______.

15．若函数与的图象存在公共切线，则实数的最大值为______

16．已知函数f(x)=()|x|,若函数g(x)=f(x﹣1)+a(ex﹣1+e﹣x+1)存在最大值M,则实数a的取值范围为_____

17．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是__.

18．函数的单调减区间是______．

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】定义域，在上恒成立，即在上恒成立，，当且仅当时成立，则

点睛：函数单调性问题，往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，即转化为方程或不等式解的问题（有解，恒成立，无解等），而不等式有解或恒成立问题，又可通过适当的变量分离转化为对应函数最值问题.

2．【答案】

【解析】三次函数有极值，则有两个不等的实根，则，可解得的取值范围.

详解：由题意可得：.

若函数有极值，则一元二次方程有两个不同的实数根，

所以，整理可得：，

据此可知的取值范围是或．

【点睛】

本题考查导数与极值.函数的极值点必为导函数的零点，但在导函数的零点处函数不一定取得极值，还需验证导函数验在零点附近的正负.如果三次函数的导函数(二次函数)对应的方程有两个相同的实根，那么三次函数是没有极值的.

3．【答案】

【解析】根据函数的零点与方程根的关系，令，则可得，结合所求令，则函数有四个不同的零点，等价于关于 的方程有两个不同的实根，且此时直线与的图象应有四个交点，交点的横坐标分别为，由数形结合的知识，即可求解.

详解：解：由题意令，

，

令，则

所以函数有四个不同的零点，

等价于关于 的方程，

即方程有两个不同的实根，

且此时直线与的图象应有四个交点，

交点的横坐标分别为，

由上，；上，，

，

且当时，；当时，，

所以由数形结合可知：

，

故答案为：

【点睛】

本题考查函数的零点与方程根的关系，函数的导数与单调性．极值与最值的综合应用，考查转化与化归思想．数形结合思想，考查理解辨析能力与运算求解能力，属于难题.

4．【答案】2

【解析】分别求出函数在区间上的值域，然后将问题转化为两个函数在区间上的值域之间的关系，列出不等式组，即可求解．

详解：由题意，函数，则，

当时，，所以在上单调递增，

又由，所以在上的值域为，

又因为，则，

因为正整数，即，所以时，， 在上单调递减，

又由，

所以在上的值域为，

若对任意的，总存在，使得成立，

则，解得，又因为，所以的最小值为2.

故答案为：2.

【点睛】

本题主要考查利用导数研究函数的单调性．极值与最值中的综合应用，着重考查了转化与化归思想，分析问题和解答问题的能力，以及运算能力，属于中档试题．

5．【答案】6

【解析】根据已知条件，函数在的值域是函数在上值域的子集，用求导的方法求出单调区间，极值，最值，值域；结合的图像特征，即可求解.

【详解】

,,又,

故在单调递减,在单调递增

又因为对任意,存在,使得

则只需要,令,得,或

由,可得,且

所以.

故答案为:6.

【点睛】

本题考查函数值域间的关系，考查利用函数的导数求最值，考查数形结合思想，属于较难题.

6．【答案】7

【解析】将原不等式等价于，构造函数，利用导数求出其最小值，即可得到a的最大值.

【详解】

因为对任意，当时，不等式恒成立

所以对任意，当时，不等式恒成立

即

所以当时，不等式恒成立

令

则

当时，

当时，或

所以函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增

因为

所以

所以，的最大值为：

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了利用导数研究不等式的恒成立问题，属于难题.

7．【答案】或

【解析】首先求出函数的导函数，当时，可得在定义域上单调递减，再根据零点存在性定理可得在上存在唯一的零点，当时，由导数可得函数的单调性及最小值为，令，利用导数说明的单调性，即可求出参数的值；

详解：解：因为，定义域为，

所以

当时，恒成立，即在定义域上单调递减，，当时，，，，所以，所以在上存在唯一的零点，满足条件；

当时，令，解得即函数在上单调递增，令，解得即函数在上单调递减，

则在取值极小值即最小值，，

令，，则恒成立，即在定义域上单调递增，且，

所以要使函数只有一个零点，则，

解得，

综上可得或；

故答案为：或

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的零点问题，考查分类讨论思想，属于中档题.

8．【答案】

【解析】首先根据奇函数的定义，求得当时的解析式，由此利用导数求得的图象在点处的切线斜率.

详解：当时，，则，此时，所以，

所以.

故答案为：

【点睛】

本题考查函数与导数的综合应用，考查化归与转化的数学思想.

9．【答案】

【解析】由题意可知，函数在区间上存在极小值，分和两种情况讨论，分析函数在区间上的单调性，在时求出函数的极值点，可得出，解出即可.

【详解】

，.

当时，对任意的，，此时，函数在区间上为增函数，则函数在区间上没有最小值；

当时，令，可得，

当时，，当时，，

此时，函数的极小值点为，由题意可得，解得.

因此，实数的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用函数的最值点求参数，解题时要熟悉函数的最值与导数之间的关系，考查运算求解能力，属于中等题.

10．【答案】（﹣∞，ln2）

【解析】根据题意可得f′（x），代入关于x的方程f′（x）0，方程有2个交点转化为y＝1lnx与y＝a有两个不同的交点，则令g（x）＝1lnx，求导研究g（x）的图象从而可得a的取值范围.

【详解】

根据题意可得，f′（x），x＞0

∵关于x的方程关于x的方程f′（x）0有两个不相等的实数根，

∴lnxa有两个不相等的实数根，

∴y＝1lnx与y＝a有两个不同的交点；

令g（x）＝1lnx，

∴g′（x），

令g′（x）＝0，x＝2或﹣1（舍负）；

令g′（x）＞0，0＜x＜2；令g′（x）＜0，x＞2；

∴g（x）的最大值为g（2）＝1ln2ln2；

∴aln2；

∴a的取值范围为（﹣∞，ln2）.

故答案为：（﹣∞，ln2）.

【点睛】

本题主要考查导数的运算．导数在函数中的应用．函数零点等基础知识，考查了转化能力．运算求解能力，考查了函数与方程．化归与转化等数学思想方法，属于较难题．

11．【答案】

【解析】根据定义及函数的单调性，可得方程有两个不等的实数根，构造函数，通过求导求得极值点，代入，求得的最大值，进而可求解.

详解：解：因为函数为“倍胀函数”，且定义域为，所以存在，使在上的值域为.因为为增函数，所以，所以方程有两个不等的实数根.令，则，令，解得.易知在上单调递增，在上单调递减，所以.易知当时，，当时，所以要使方程有两个不等的实数根，只需，得，所以t的取值范围为.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查利用导数研究函数的单调性，方程的根等，考查化归与转化思想与数形结合思想的应用，考查考生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于较难题.

试题以新定义函数为切入点，围绕函数的定义域与值域的关系设题，引导考生将已知条件转化为方程的根进行求解，思维层次较高，考查逻辑推理．直观想象，数学运算等核心素养.

12．【答案】2

【解析】对求导，得到，根据是函数极值点，从而得到，得到的值.

【详解】

函数，

所以，

因为是的极值点，

所以，即

所以.

故答案为：2.

【点睛】

本题考查根据函数的极值点求参数的值，属于简单题.

13．【答案】0

【解析】对函数求导，结合导数的符号判断函数的单调性，进而可求函数的极值的个数．

【详解】

解：由题知的导函数，

，

恒成立．

函数在上是单调递增函数，

函数没有极值．

故答案为：．

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的极值，属于基础题．

14．【答案】.

【解析】求出函数的导数，讨论a的取值范围，得到函数的单调区间，结合函数的最大值，可得a的取值范围.

【详解】

解：由，可得，

设，，

当，，，函数单调递增，

当，，，函数单调递增；

，，函数单调递减；

由f(x)在处取得极大值，可得，

当时，单调递增，当，，单调递减；

当，，单调递增，所以f(x)在处取得极小值，与题意不符；

当时，即，可得：在单调递增，所以当，

，当，，即f(x)在单调递减，在单调递增，所以f(x)在处取得极小值，与题意不符；

当时，即，在单调递增，在单调递减，

所以当，，单调递减，与题意不符；

当，即可，当，，函数单调递增；

当，，函数单调递减，所以f(x)在处取得极大值，符合题意，

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查利用导数研究函数的参数及含参函数的极值问题，综合性大，属于难题.

15．【答案】e

【解析】设公切线与f（x）．g（x）的切点坐标，由导数几何意义．斜率公式列出方程化简，分离出a后构造函数，利用导数求出函数的单调区间．最值，即可求出实数a的取值范围．

【详解】

解：设公切线与f（x）＝x2+1的图象切于点（，），

与曲线C：g（x）＝切于点（，），

∴2，

化简可得，2，

∴

∵2，

a，

设h（x）（x＞0），则h′（x），

∴h（x）在（0，）上递增，在（，+∞）上递减，

∴h（x）max＝h（），

∴实数a的的最大值为e，

故答案为e．

【点睛】

本题考查了导数的几何意义．斜率公式，导数与函数的单调性．最值问题的应用，及方程思想和构造函数法，属于中档题．

16．【答案】a≤0

【解析】由函数f(x)=()|x|对称性和单调性可得f(x﹣1)的对称性和单调性，由h(x)=ex﹣1+e﹣x+1的对称性和单调性，通过讨论得g(x)=f(x﹣1)+a(ex﹣1+e﹣x+1)得对称性和单调性，利用对称性和单调性可得结果.

【详解】

显然f(x)=()|x|是偶函数,且f(x)在上单调递减,

故y=f(x﹣1)的函数图象关于直线x=1对称,且y=f(x﹣1)在(﹣∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.

令h(x)=ex﹣1+e﹣x+1,则h(1+x)=ex+e﹣x,h(1﹣x)=e﹣x+ex,故h(1﹣x)=h(1+x),

∴h(x)的图象关于直线x=1对称,

故g(x)=f(x)+ah(x)的图象关于直线x=1对称.

∵g(x)由最大值M,∴g(x)在[1,+∞)上有最大值M.

h′(x)=ex﹣1,

∴x>1时,h′(x)>0,∴h(x)在[1,+∞)上单调递增,

(1)若a≤0,则g(x)=f(x﹣1)+ah(x)在[1,+∞)上单调递减,

故g(x)存在最大值,符合题意.

(2)若a>0,当x≥1时,g′(x)=﹣()x﹣1？ln2+a(ex﹣1),

显然g′(x)是增函数,故g′(x)≥g′(1)=﹣1,

又x→+∞时,g′(x)→+∞,故存在x0∈(1,+∞),使得当x>x0时,g′(x)>0,

∴g(x)在(x0,+∞)上单调递增,故g(x)不存在最大值,不符合题意.

综上,a≤0.

故答案为：a≤0

【点睛】

本题考查了函数的对称性和单调性，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了根据函数的最值求参数的取值范围，属于中档题.

17．【答案】[﹣1，+∞）；

【解析】把函数在区间上单调递增转化为在区间上恒成立，分离参数，根据函数单调性，即可求出结果．

详解：因为函数在区间上单调递增，

所以在区间恒成立，即在区间恒成立；

所以.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求最值，分离参数法，是中档题．

18．【答案】

【解析】分析：先求出函数的定义域，函数的导函数，令导函数小于0求出的范围，写成区间形式，可得到函数的单调减区间.

详解：函数的定义域为，，令，得函数的单调递减区间是，故答案为.

点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于简单题.利用导数求函数的单调区间的步骤为：求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间.