数学6.3 函数的最值课堂检测

【精选】6.3 函数的最值同步练习

一．填空题

1．已知函数，当时，的最小值为，且对任意的，不等式恒成立，则实数m的最大值是________.

2．若0<x1<x2<1，且1<x3<x4，下列命题：①；②；③；④；其中正确的有___________

3．已知定义在上的函数的导函数为，且，则的解集为________.

4．函数（其中e=2. 718是自然对数的底数）的极值点是_____，极小值=______．

5．已知函数，若对任意的，且，都有，则实数的取值范围是_______.

6．若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是________.

7．若函数在内有极小值，则的取值范围为____.

8．已知函数，若？x1，x2∈（0，+∞），f（x1）≥g（x2）恒成立，则实数a的取值范围为__________

9．已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数的取值集合是________．

10．已知函数（为自然对数的底数，，为常数）有三个不同的零点，则实数的取值范围为________.

11．已知函数，则函数的单调递减区间为_____．

12．已知函数有极值，且导函数的极值点是的零点，给出命题：①；②若，则存在，使得；③与所有极值之和一定小于0；④若，且是曲线的一条切线，则的取值范围是.则以上命题正确序号是_____________.

13．若函数f（x）=﹣x﹣cos2x+m（sinx﹣cosx）在（﹣∞，+∞）上单调递减，则m的取值范围是____________．

14．设函数在内有定义.对于给定的正数，定义函数，取函数.若对任意的，恒有，则的最小值为______.

15．关于函数,有下列命题:①函数的图象关于轴对称;②当时,是增函数;当时,是减函数;③函数的最小值是;④当或时,是增函数.其中正确命题的序号是______.

16．已知函数，，则的单调递增区间为______.

17．已知函数若存在实数，使得成立，则实数的取值范围是______.

18．已知数列的通项公式为，若存在，使得对任意都成立，则的取值范围为__________

参考答案与试题解析

1．【答案】2

【解析】根据题意，由的最小值为分析可得，再对不等式变形可得，

构造函数，求得最小值为，即可得到结论.

详解：由题意，，

当时，，此时，

当时，恒成立，则在上单调递增，

所以，的最小值为，解得.

当时，，

当时，此时，恒成立，

所以，函数的最小值为，解得（舍），

当时，此时，恒成立，

所以，函数的最小值为，解得（舍）.

综上，当时，的最小值为时，此时，

所以，不等式对恒成立，即，

令，则，

令，则恒成立，即在上单调递增，又，

所以，当时，，即；当时，，即.

即在上单调递减，在上单调递增，

所以，在处取得最小值，此时最小值为，

所以，，即实数的最大值为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论思想，构造函数，考查不等式恒成立，属于中档题.

2．【答案】①④

【解析】令，求导后求得函数的单调性后，即可判断①．②；令，求导求得函数的单调性后，即可判断③．④；即可得解.

详解：令，则，

易知当时，单调递增，

由，，

则存在使得，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

，当时，即，

此时，故②错误；

，即，

，故①正确；

令，，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

，与的大小无法确定即．的大小无法确定，故③错误；

，即，

，故④正确.

故答案为：①④.

【点睛】

本题考查了导数的应用，考查了构造新函数的能力和推理能力，属于中档题.

3．【答案】

【解析】令，利用导数及已知可判断该函数的单调性，由单调性可得答案.

【详解】

令，则，

所以函数在上单调递减，

因为，，即，

所以，解得.

故答案为：

【点睛】

已知条件中含有导数与的关系式时，可构造新函数，新函数的导数利用已知不等式确定符号，从而确定单调性，这类新函数一般有等，属于中档题.

4．【答案】与     

【解析】先求的导函数，令，求出导函数的零点，判断零点左右两边的导函数值的正负情况，即可对本题求解.

详解：

令，解得或，

且由函数性质知：在，上，在上，

故函数的极值点为：与；极小值为.

故答案为：与；

【点睛】

本题考查函数导数与极值的应用，考查理解辨析能力与运算求解能力，属于基础题.

5．【答案】

【解析】化简不等式，得出函数的单调性，利用导数转化为不等式恒成立，进而分离参数求解对应函数的最值，即可得到参数的取值范围.

详解：由，得，

由函数单调性的定义可得函数在上单调递增，

故在上恒成立，

即在上恒成立，记，则，当时，，函数单调递减，且；当时，，函数单调递增，

所以函数在上的最小值为，

故答案为：

【点睛】

本题考查利用导数判断函数的单调性．最值，分离参数法求参数的取值范围；考查学生的逻辑推理能力．转化与化归能力及运算求解能力；将进行转化，从而求得函数的单调性，通过构造函数法和分离参数法求参数的取值范围是求解本题的关键；属于综合型．难度大型试题.

6．【答案】

【解析】依题意可得在上恒成立，参变分离得到在上恒成立，令，求出的最大值即可求出参数的取值范围；

详解：解：因为的定义域为，且函数在上单调递增，

在上恒成立，

即在上恒成立，

令

当时

所以即

故答案为：

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性，不等式恒成立问题，属于中档题.

7．【答案】

【解析】先求导函数，再由题意有函数的增区间为，，减区间为 ，即当时，函数取极小值，然后得，再求解即可.

【详解】

解：因为函数，

所以，

由函数有极小值，

则，

即，

则函数的增区间为，，

减区间为 ，

则当时，函数取极小值，

又函数在内有极小值，

则，

又，

则，

故答案为：.

【点睛】

本题考查了利用导数研究函数的单调性及极值问题，重点考查了运算能力，属中档题.

8．【答案】

【解析】求导后即可求得，根据二次函数的性质可得，再由恒成立问题的解决方法可得，即可得解.

详解：求导得，

则当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增；所以；

函数为开口向下，对称轴为的二次函数，

所以当时，；

由题意可知即.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了利用导数解决不等式恒成立问题，考查了推理能力，属于中档题.

9．【答案】．

【解析】由已知可知是唯一的根，进而可转化为在时没有变号零点，构造函数，结合导数及函数的性质可求．

详解：解：函数定义域，，

由题意可得，是唯一的根，

故在上没有变号零点，

即在时没有变号零点，

令，，则，

当时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减，

故当时，取得最小值，

故即．

故答案为：．

【点睛】

本题考查根据极值点以及极值点个数求解参数范围，其中涉及到利用参变分离法求解参数范围，难度较难.参变分离法求解参数范围的主要过程：构造新函数，分析新函数的单调性以及值域从而求解出参数的范围.

10．【答案】

【解析】函数有三个不同零点，转化为方程有3个根，进而当与有两个不同交点问题，画简图可得的范围．

【详解】

时，，，

得或，函数有三个不同零点，

则与有两个不同的交点，而，

令，，，，，，

所以，函数大致图象如下：

与的图象有两个交点的范围，．

故答案为：

【点睛】

本题考查了利用导数研究函数的单调性得函数最值，进而求两个交点时的范围，属于中档题．

11．【答案】，

【解析】求出函数的导函数，令可得到答案.

详解：解：令，解得：或．

函数的单调递减区间为，，

故答案为：，，

【点睛】

本题考查利用导数求函数的减区间，属于基础题.

12．【答案】①②③④

【解析】列出关系式求解与的关系，化简函数的解析式，利用函数的零点判断①的正误；通过的范围，结合函数的图象判断②的正误；求出极值之和判断③正误；利用函数的导数结合函数的切线方程，转化推出参量的范围判断④的正误即可．

【详解】

解：①正确；

函数的导函数为：；且导函数的极值点是的零点

得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，故是的极小值点；

即；

；

函数有极值；

中，；

解得：；

②正确；

当时，有两个不等的实根，设为，；

由①知，是的极小值点；

，

当 时，，单调递增，

当 时，，单调递减，

当 时，，单调递增，

当时，，

当时， ，

存在，使得；

③正确；

由①知极值为

设有两个不等的实根，设为，；

，

的两个极值，

与所有极值之和为： ．

④正确；

，

当时，

若．解得，

如图：且是的一条切线，

设切点坐标，，则，，

因为，

，

，

，

，．

故答案为：①②③④．

【点睛】

本题主要考查极值的概念．利用导数研究函数的单调性等基础知识，同时考查推理论证能力，分类讨论等综合解题能力，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．

13．【答案】[，]

【解析】先求导得f′（x）=﹣+sin2x+m（sinx+cosx），令sinx+cosx=t，（）则sin2x=t2﹣1那么y=+ m t -1，h（t）=+ m t -1≤0在t∈[，]恒成立．可得，解不等式得解.

【详解】

函数f（x）=﹣x﹣cos2x+m（sinx﹣cosx）,则f′（x）=﹣+sin2x+m（sinx+cosx），令sinx+cosx=t，（）则sin2x=t2﹣1那么y=+ m t -1，因为f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，则h（t）=+ m t -1≤0在t∈[，]恒成立．可得，即解得：，故答案为：[，]．

【点睛】

本题考查了利用导函数研究单调性，求解参数范围问题．属于中档题.

14．【答案】1

【解析】根据题意，利用导数求出函数的最大值即可.

【详解】

，当时，，函数单调递减，

当时，，函数单调递减，所以函数的最大值为：，即，要想恒有，只需，所以的最小值为1.

故答案为：1

【点睛】

本题考查了数学阅读能力，考查了利用导求函数最大值问题，考查了数学运算能力.

15．【答案】①③④

【解析】【详解】

解：

①定义域为，又满足，所以函数的图象关于轴对称，正确．

②当时，则，令，则，由对勾函数的性质可知在上是减函数，在上是增函数，在定义域上是增函数，由复合函数的单调性可知，在上是减函数，在上是增函数，不正确．

③，又是偶函数，所以函数的最小值是，正确．

④当或时函数是增函数，根据复合函数知，是增函数，正确．

故答案为：①③④

【点睛】

本题通过多个问题来考查函数复合函数的研究方法，涉及了函数的奇偶性，单调性，最值等，知识点，方法灵活，要细心耐心．

16．【答案】

【解析】首先求出函数的导函数，由，再根据三角函数的性质解三角不等式即可；

详解：解：，

所以，

令，即，所以，故的单调递增区间为，

故答案为：

【点睛】

本题考查利用导数求函数的单调区间，三角函数的性质的应用，属于中档题.

17．【答案】

【解析】由已知条件令可得，分离参数可得，令

，求出的值域即可求解.

【详解】

，且

令，，即，

从而可得，

令，

则，

令，则，

因为，所以，

即在上为增函数，所以，即，

所以，当时，，

当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，所以，

所以，实数的取值范围是.

故答案为：

【点睛】

本题考查了导数在求函数最值中的应用，考查了分离参数法求参数的取值范围，属于难题.

18．【答案】

【解析】根据题意，利用数列的关系式，进一步进行转换，再利用函数的导数的应用求出函数的单调区间和最值，进一步利用函数的恒成立问题的应用求出结果．

【详解】

数列的通项公式为，若存在，使得对任意的都成立， 则，

设，则 ，

令，解得，

所以函数的单调增区间为，函数的减区间为，

所以函数在时函数取最大值，

由于，所以当时函数最大值为．

所以的取值范围是．

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查了利用函数的导数求出函数的单调区间和最值，恒成立问题的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．