高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册6.3 函数的最值同步训练题

【优选】6.3 函数的最值-1课堂练习

一．填空题

1．已知a，bR，a＋b＝t（t为常数），且直线y＝ax＋b与曲线（e是自然对数的底数，e≈2.71828）相切.若满足条件的有序实数对(a，b)唯一存在，则实数t的取值范围为_______.

2．函数在上的最大值与最小值之和为__________.

3．已知函数，若方程f（x）﹣m=0恰有两个实根，则实数m的取值范围是_____.

4．设函数（为常数）．若是上的增函数，则的取值范围是___________．

5．已知，则函数的值域是__________.

6．已知函数，若对恒成立，则的值为______.

7．关于的方程有两个不等实根，则实数的取值范围是___________．

8．设函数，为坐标原点，，．若对此函数图象上的任意一点，都满足成立，则的值为________．

9．已知函数，若存在实数，满足，且，则的最大值为_______________.

10．若，当时，的极大值为______；关于的方程在上有根，则实数的取值范围是______．

11．已知定义在上的函数满足，其中是函数的导函数.若，则实数的取值范围为______.

12．定义在上的函数的值恒非负，则的最大值为______.

13．已知函数在处的切线方程为，则满足的的取值范围为_________.

14．函数的值域为_________．

15．函数在区间上的最大值与最小值之和为____________.

16．已知函数，，给出如下四个命题：

①的单调递增区间为；

②时，的极小值点为；

③时，在上存在唯一零点；

④若在（为自然对数的底数）上的最小值为3，则．

其中的真命题有______．（填上你认为所有正确的结论序号

17．对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.请你根据这一发现，求：函数对称中心为___________；

18．已知是奇函数，当时，，当时，的最小值为1，那么实数的值为______．

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】设出切点坐标，根据切点在切线和曲线上，以及导数与切线的斜率的关系列方程组，由此求得关于的表达式，构造函数，利用研究的单调性，由此求得的取值范围.

详解：设切点为(，)

，

∴，

有唯一解，

构造函数

，

注意到时，

故有唯一解时t的取值范围为(，){e}.

故答案为：

【点睛】

本小题主要考查导数与切线问题，考查利用导数研究函数的单调性．极值，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.

2．【答案】

【解析】利用导数可求得的单调性，由此可求得最大值和最小值，从而求得结果.

详解：，当时，；当时，；

在上单调递减，在上单调递增，

，，

又，，，

.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用导数求解函数的最值的问题，解题关键是利用导数确定函数的单调性，进而得到最值点.

3．【答案】

【解析】通过求导，得出分段函数各段上的单调性，从而画出图像.若要方程f（x）﹣m=0恰有两个实根，只需y=m与y=f（x）恰有两个交点即可，从而得出的取值范围.

详解：（1）x≤0时，f′（x）=ex﹣x﹣1，易知f′（0）=0，而f″（x）=ex﹣1＜0，

所以f′（x）在（﹣∞，0]上递减，故f′（x）≥f′（0）=0，故f（x）在（﹣∞，0]上递增，

且f（x）≤f（0），当x→﹣∞时，f（x）→﹣∞.

（2）x＞0时，，令f′（x）＞0，得0＜x＜e；f′（x）＜0得x＞e；

故f（x）在（0，e）上递增，在（e，+∞）递减，

故x＞0时，；x→0时，f（x）→﹣∞；x→+∞时，f（x）→0.

由题意，若方程f（x）﹣m=0恰有两个实根，只需y=m与y=f（x）恰有两个交点，同一坐标系画出它们的图象如下：

如图所示，当直线y=m在图示①，②位置时，与y=f（x）有两个交点，所以m的范围是：.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了方程根的问题转化为函数图像交点问题，以及利用导数求函数单调性.考查了转化思想和数形结合，属于中档题.

4．【答案】

【解析】求导，由是上的增函数，得到在上恒成立，解此不等式，即可得解.

详解：由，得，

是上的增函数，

，即在上恒成立，

，解得，

，，

的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化与化归能力，属于基础题.

5．【答案】

【解析】对函数求导后，根据．的解集，确定函数的单调区间，进而可得函数的最值，即可得解.

详解：对函数求导得，

所以当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减；

又，，，

所以函数的值域是.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了利用导数求函数的值域，考查了运算求解能力与逻辑推理能力，属于基础题.

6．【答案】-2

【解析】令，利用导函数判断函数在上单调递增，从而可得函数在上为正，在为负，为正，进而判断出方程的两根为，利用韦达定理即可求解.

【详解】

令，则，

令，则，当时，则，

当时，，所以在单调递增，在上单调递减，

故，所以，所以函数在上单调递增，

当时，，所以时，，

同时，则 ，

可知函数在上为正，在为负，为正，

故方程的两根为，即，

故，

故答案为：-2

【点睛】

本题考查了导数在研究函数单调性的应用，考查了转化与化归的思想，属于中档题.

7．【答案】

【解析】通过参数分离，将表示成关于的式子，构造函数，再利用导数求出函数在定义域上的极值，从而得解.

详解：由，得，

令，

函数的定义域为，

则，

当时，，所以在上单调递减；

当时，，所以在上单调递增.

所以，，

当时，，

故实数的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】

本题考查的是利用导数求参数的取值范围问题，解题的关键是进行参数分离，属于中档题. 求函数在某一区间的取值范围，关键是求出函数在这一区间的最大值与最小值，求解过程为：先利用导数研究函数的单调性，求出极值点的值和区间端点的值，最大者为最大值，最小者为最小值.

8．【答案】

【解析】由于点在函数的图象上，因此题中只要设出点坐标为，求出，则最大值，这又可根据导数的知识求解．

详解：设，，

，

∵对此函数图象上的任意一点，都满足成立，且点恰在函数上，

∴当与重合时，取得最大值，即对函数而言，为极大值，

∴，故（∵）．

【点睛】

本题考查利用导数及构造函数求参，观察发现特殊点处取最大值，进而求出答案，本题难度中等．

9．【答案】

【解析】由题意可知,解得,结合已知则有,此时,构造函数求导即可求出最值.

详解：根据题意得，

，即，

又，，

此时，

构造函数,则,

所以函数在上单调递增，

即.

故答案为:

【点睛】

本题主要利用导数求函数的最值,关键是构造函数,属于难题.

10．【答案】2     

【解析】将代入，对函数进行求导，结合单调性可得极值；由题意可得，，利用导数判断函数的单调性，由此求得的范围.

详解：当时，，，

令，得或；令，得；

即函数在和上单调递增，在上单调递减；

所以的极大值为.

关于的方程在上有根，即在上成立，

由于，

当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减；

而，，，

所以的值域为，

即实数的取值范围是，

故答案为：2，.

【点睛】

本题主要考查了导数与函数单调性和极值的关系，学生对一元三次方程的图象的认识，属于中档题.

11．【答案】

【解析】令，求得函数的导数，根据函数的单调性，把题设中的不等式转化为，即可求解.

详解：令，则，

因为，所以，所以函数在为单调递减函数，

又由，

所以，即，所以，

即，所以，解得，

综上可得，实数的取值范围为.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了利用导数求解函数的单调性，以及函数的单调性的应用，着重考查了构造．转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.

12．【答案】

【解析】由题意可知恒成立，即，利用导数判断函数的单调性，再求函数的最小值.

详解：由题意可知，所以是减函数，

所以函数的最小值是

因为恒成立，所以，即 ，

即，所以的最大值是.

故答案为：

【点睛】

本题考查利用导数判断函数的单调性，最值，恒成立问题，属于中档题型，本题的关键是将恒成立问题转化为.

13．【答案】

【解析】因为，可得，即，所以，是上的增函数，结合已知，即可求得答案.

详解：，

，

，

，是上的增函数，

又，，

，

.即

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了根据切线方程求参数和解函数不等式，解题关键是掌握导数求切线方程的方法和导数判断函数单调的解法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.

14．【答案】

【解析】利用换元法，得到，利用导数求得函数的单调性和最值，即可得到函数的值域，得到答案．

详解：由题意，可得，

令，，即，

则，

当时，，当时，，

即在为增函数，在为减函数，

又，，，

故函数的值域为：．

【点睛】

本题主要考查了三角函数的最值，以及利用导数研究函数的单调性与最值，其中解答中合理利用换元法得到函数，再利用导数求解函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查了推理与预算能力，属于基础题．

15．【答案】

【解析】利用导数求得函数的单调性，进而求得极值和区间端点处的函数值值，找出函数的最大值和最小值即可.

详解：解：由题得的定义域为，

由得，或,因为

所以时，，单调递增；

时，，单调递减；

所以为极小值点，且，

又因为，

又，所以

所以.

所以.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查用导数求函数的最值，属于中档题.

16．【答案】②④

【解析】求出函数的定义域以及导函数，根据的取值范围以及函数的单调性与导数的关系可判断①；根据极小值点的定义可判断②；根据零点存在性定理可判断③；根据函数的单调性可判断④.

详解：函数的定义域为，，

当时，，函数在上单调递增，

当时，，解得，函数的单调递增区间为，故①错误；

当时，，令，解得，即函数在上单调递增，

令，解得，函数在单调递减，

所以的极小值点为，故②正确；

当时，由，

当时，函数有唯一一个零点；

当时，函数的单调递增区间为，

单调递减区间为，，

当时，即时，函数有两个零点；

时，仅有一个零点；，函数无零点，故③错误；

当时，函数在上单调递增，则，

解得，显然不成立；

当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，

当时，即，，解得，成立；

当，即，，解得，显然不成立，

故④正确；

故答案为：②④

【点睛】

本题考查了利用导数研究函数的单调性．研究函数的极值点．研究函数的最值．函数的零点，综合性比较强，属于中档题.

17．【答案】

【解析】根据题意求解的根,进而求得拐点,即对称中心的坐标即可.

详解：由题, ,故,令可得.代入可得.故其对称中心为.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了求导分析函数的对称中心问题,需要根据题意求解的根.属于基础题.

18．【答案】

【解析】由奇函数的性质知，在上有最大值，通过求导，只需找到在上的最大值即可.

详解：由已知及奇函数的性质可得，

在上有最大值，

又，

当时，在区间上单调递增，不满足题意；

当时，且时，，

当时，，

故在上单调递增，

在上单调递减，

所以，

解得.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的最值，涉及到函数奇偶性的性质，考查学生的转化与化归的思想，是一道中档题.