2022-2023学年江苏省南京市九年级上册数学月考专项突破模拟卷（AB卷）含解析

这是一份2022-2023学年江苏省南京市九年级上册数学月考专项突破模拟卷（AB卷）含解析，共53页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年江苏省南京市九年级上册数学月考专项突破模拟卷（A卷）
一、选一选（共6小题，每小题2分，满分12分）
1. 下列关于的方程中，一定是一元二次方程的为（ ）
A. B. C. D. =0
2. 用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知一元二次方程的两根为a，b，则下列说确的是（　　）
A. B. C. D.
4. 如图，△ABC的顶点A、B、C、均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC=90°，则∠AOC的大小是（ ）

A. 30° B. 45° C. 60° D. 70°
5. 定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程． 已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）
A. a=c B. a=b C. b=c D.
6. 下列说确是( )
A. 三点确定一个圆
B. 一个三角形只有一个外接圆
C. 和半径垂直的直线是圆的切线
D. 三角形的内心到三角形三个顶点距离相等
二、填 空 题（共10小题，每小题2分，满分20分）
7. 方程的根是_____．
8. 如图，△ABC的外接圆的圆心坐标为_____．

9. 如图，把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M，N，量得OM=8cm，ON=6cm．则该圆玻璃镜的直径是_____cm．

10. 小颖同学在手工制作中，把一个圆形的纸片贴到边长为12cm的等边三角形纸片上，若三角形的三条边恰好都与圆相切，则圆的半径为_____cm．
11. 如果x2﹣2（m+1）x+m+3是一个完全平方式，则m=_____．
12. 如图，邻边没有等的矩形花圃ABCD，它的一边AD利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6m．若矩形的面积为4m2，则AB的长度是 m（可利用的围墙长度超过6m）．

13. 如图，⊙I为△ABC的内切圆，点D，E分别为边AB，AC上的点，且DE为⊙I的切线，若△ABC的周长为21，BC边的长为6，△ADE的周长为_____．

14. 如图⊙O的半径为1cm，弦AB、CD的长度分别为，则弦AC、BD所夹的锐角＝_________．

15. 已知实数，满足，则代数式的最小值等于______．
16. 在平面直角坐标系中，已知点A（4，0）、B（﹣6，0），点C是y轴上的一个动点，当∠BCA=45°时，点C的坐标为___．
三、解 答 题（共11小题，满分88分）
17. 计算：．
18. 解下列方程：
（1）2x2﹣3x﹣2=0（用配方法）
（2）（x﹣2）2﹣3x（x﹣2）=0．
19. 先化简，再求值：，其中x2+2x﹣1=0．
20. 已知关于x的一元二次方程.
（1）求证：方程总有两个没有相等的实数根.
（2）若此方程的一个根是1，求出方程的另一个根及m的值.
21. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，半径为4，直线l与⊙O相切，切点为P，l∥BC，l与BC间的距离为7．

（1）仅用无刻度的直尺，画出一条弦，使这条炫将△ABC分成面积相等的两部分（保留作图痕迹，没有写画法）．
（2）求弦BC长．
22. 如图，△ABC是⊙O内接三角形，CE是⊙O 的直径，CF 是⊙O 的弦，CF⊥AB， 垂足为D．若∠BCE=20°，求∠ACF 的度数．

23. 某公司今年一种产品，1月份获得利润20万元，由于产品畅销，利润逐月增加，3月份的利润比2月份的利润增加4.8万元，假设该产品利润每月的增长率相同，求这个增长率．
24. 如图1，AB为半圆O的直径，D为BA的延长线上一点，DC为半圆O的切线，切点为C．
（1）求证：∠ACD=∠B；
（2）如图2，∠BDC的平分线分别交AC，BC于点E，F，求∠CEF的度数．

25. 某校八年级学生小丽、小强和小红到某超市参加了社会实践，在中他们参与了某种水果的工作，已知该水果的进价为8元/千克，下面是他们在结束后的对话．
小丽：如果以10元/千克的价格，那么每天可售出300千克．
小强：如果以13元/千克的价格，那么每天可售出240千克．
小红：通过验证，我发现每天的量y（千克）与单价x（元）之间存在函数关系，每天200千克以上．
（1）求每天的量y（千克）与单价x（元）之间的函数关系式；
（2）该超市这种水果每天获取的利润达到1040元，那么单价为多少元？
26. 如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN，∠MAC=∠ABC，D是弧AC的中点，连接BD交AC于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F．
（1）求证：MN是半圆的切线；
（2）作DH⊥BC交BC的延长线于点H，连接CD，试判断线段AE与线段CH的数量关系，并说明理由．
（3）若BC=4，AB=6，试求AE的长．

27. 如图1，函数y=﹣x+10的图象交x轴于点A，交y轴于点B．以P（1，0）为圆心的⊙P与y轴相切，若点P以每秒2个单位的速度沿x轴向右平移，同时⊙P的半径以每秒增加1个单位的速度没有断变大，设运动时间为t（s）
（1）点A坐标为　 　，点B的坐标为　 　，∠OAB=　 　°；
（2）在运动过程中，点P的坐标为　 　，⊙P的半径为　 　（用含t的代数式表示）；
（3）当⊙P与直线AB相交于点E、F时
①如图2，求t=时，弦EF长；
②在运动过程中，是否存在以点P为直角顶点的Rt△PEF，若存在，请求出t的值；若没有存在，请说明理由（利用图1解题）．



2022-2023学年江苏省南京市九年级上册数学月考专项突破模拟卷（A卷）
一、选一选（共6小题，每小题2分，满分12分）
1. 下列关于的方程中，一定是一元二次方程的为（ ）
A. B. C. D. =0
【正确答案】D

【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的次数是2；二次项系数没有为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【详解】解：A、x2-2=（x+3）2，是一元方程，故A选项错误；
B、当a=0时，没有是一元二次方程，故B选项错误；
C、是分式方程，故C选项错误；
D、x2-1=0是一元二次方程，故D选项正确；
故选：D．
本题考查一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的次数是2．
2. 用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D

【详解】


故选D．
3. 已知一元二次方程的两根为a，b，则下列说确的是（　　）
A. B. C. D.
【正确答案】A

【详解】解：由根与系数关系得：．故选．
4. 如图，△ABC的顶点A、B、C、均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC=90°，则∠AOC的大小是（ ）

A. 30° B. 45° C. 60° D. 70°
【正确答案】C

【详解】试题分析：由题意可知，∠ABC和∠AOC是同弧所对的圆周角和圆心角，所以∠AOC=2∠ABC，又因为∠ABC+∠AOC=90°，所以∠AOC=60°．
故选C．
考点：圆周角和圆心角．

5. 定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程． 已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）
A. a=c B. a=b C. b=c D.
【正确答案】A

【分析】因为方程有两个相等的实数根，所以根的判别式△=b2-4ac=0，又a+b+c=0，即b=-a-c，代入b2-4ac=0得(-a-c)2-4ac=0，化简即可得到a与c的关系．
【详解】解：∵一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等实数根，
∴△=b2−4ac=0，
又a+b+c=0，即b=−a−c，
代入b2−4ac=0得(−a−c)2−4ac=0，
即(a+c)2−4ac=a2+2ac+c2−4ac=a2−2ac+c2=(a−c)2=0，
∴a=c，
故选：A．
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，根据方程根的情况确定方程中字母系数之间的关系是解题关键．
6. 下列说确的是( )
A. 三点确定一个圆
B. 一个三角形只有一个外接圆
C. 和半径垂直的直线是圆的切线
D. 三角形的内心到三角形三个顶点距离相等
【正确答案】B

【分析】根据确定圆的条件对A、B进行判断；根据切线的判定定理对C进行判断；根据三角形内心的性质对D进行判断．
【详解】解：A、没有共线的三点确定一个圆，所以A选项错误；
B、一个三角形只有一个外接圆，所以B选项正确；
C、过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线，所以C选项错误；
D、三角形的内心到三角形三边的距离相等，所以D选项错误．
故选B．
本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了确定圆的条件和切线的判定．
二、填 空 题（共10小题，每小题2分，满分20分）
7. 方程的根是_____．
【正确答案】，

【详解】方程变形得：x2+2x=0，即x（x+2）=0，
可得x=0或x+2=0，
解得：x1=0，x2=﹣2．
故答案是：x1=0，x2=﹣2
8. 如图，△ABC的外接圆的圆心坐标为_____．

【正确答案】（6，2）

【详解】试题分析：本题可先设圆心坐标为（x，y），再根据“三角形外接圆的圆心到三角形三顶点的距离相等”列出等式，化简即可得出圆心的坐标．
解：设圆心坐标（x，y）；
依题意得，
A（4，6），B（2，4），C（2，0）
则有
==，
即（4﹣x）2+（6﹣y）2=（2﹣x）2+（4﹣y）2=（2﹣x）2+y2，
化简后得x=6，y=2，
因此圆心坐标为（6，2）．
点评：本题考查了三角形外接圆的性质和两点之间的距离公式．解此类题目时要注意运用三角形的外接圆圆心到三角形三点的距离相等这一性质．
9. 如图，把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M，N，量得OM=8cm，ON=6cm．则该圆玻璃镜的直径是_____cm．

【正确答案】10

【详解】∵把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M，N，量得OM=8cm，ON=6cm，
∴MN=cm，
故答案是：10．
10. 小颖同学在手工制作中，把一个圆形的纸片贴到边长为12cm的等边三角形纸片上，若三角形的三条边恰好都与圆相切，则圆的半径为_____cm．
【正确答案】2

【详解】如图，⊙O为等边△ABC的内切圆，
作OD⊥BC于D，连结OB，则OD为⊙O的半径，

∵点O为△ABC的内心，
∴OB平分∠ABC，OD垂直平分OD，
∴∠OBD=30°，BD=CD=6，
在Rt△OBD中，
∵tan∠OBD=，
∴OD=×6=2，
即圆的半径为2cm．
故答案是：2．
11. 如果x2﹣2（m+1）x+m+3一个完全平方式，则m=_____．
【正确答案】1或﹣2．

【详解】∵x2﹣2（m+1）x+m+3=（x﹣m﹣1）2，
∴m+3=（m+1）2，
解得：m=1或﹣2．
故答案是：1或﹣2．
12. 如图，邻边没有等的矩形花圃ABCD，它的一边AD利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6m．若矩形的面积为4m2，则AB的长度是 m（可利用的围墙长度超过6m）．

【正确答案】1或2

【分析】设垂直墙的篱笆的长为x，那么平行墙的篱笆长为（6-2x），（6-2x）和x就是鸡场的长和宽．然后用面积做等量关系可列方程求解．
【详解】解：设AB长为x米，则BC长为（6-2x）米．
依题意，得x（6-2x）=4．
整理，得x2-3x+2=0．
解方程，得x1=1，x2=2．
所以当x=1时，6-2x=4；
当x=2时，6-2x=2．
故1或2．
故答案为1．
13. 如图，⊙I为△ABC的内切圆，点D，E分别为边AB，AC上的点，且DE为⊙I的切线，若△ABC的周长为21，BC边的长为6，△ADE的周长为_____．

【正确答案】9

详解】如图所示：

∵△ABC周长为21，BC=6，
∴AC+AB=21﹣6=15，
设⊙I与△ABC的三边AB、BC、AC的切点为M、N、Q，切DE为P，
∵DM=DP，BN=BM，CN=CQ，EQ=EP，
∴BM+CQ=BN+CN=BC=6，
∴△ADE的周长=AD+DE+AE=AD+AE+DP+PE
=AD+DM+AE+EQ
=AB﹣BM+AC﹣CQ
=AC+AB﹣（BM+CQ）
=15﹣6=9，
故答案是：9．
考查了切线长定理，理解定理，找出图形中存在的相等的线段是关键．
14. 如图⊙O的半径为1cm，弦AB、CD的长度分别为，则弦AC、BD所夹的锐角＝_________．

【正确答案】75°

【详解】根据勾股定理的逆定理可证△AOB是等腰直角三角形，故可求∠OAB=∠OBA=45°，又由已知可证△COD是等边三角形，所以∠ODC=∠OCD=60°，根据圆周角的性质可证∠CDB=∠CAB，而∠ODB=∠OBD，所以∠CAB+∠OBD=∠CDB+∠ODB=∠ODC=60°，再根据三角形的内角和定理可求α．
解：连接OA、OB、OC、OD，

∵OA=OB=OC=OD=1，AB=，CD=1，
∴OA2+OB2=AB2，
∴△AOB是等腰直角三角形，
△COD是等边三角形，
∴∠OAB=∠OBA=45°，∠ODC=∠OCD=60°，
∵∠CDB=∠CAB，∠ODB=∠OBD，
∴α=180°-∠CAB-∠OBA-∠OBD=180°-∠OBA-（∠CDB+∠ODB）=180°-45°-60°=75°．
15. 已知实数，满足，则代数式的最小值等于______．
【正确答案】4

【分析】把m-n2=1变形为n2=m-1，利用非负数的性质可得出m的取值范围，再将令y=将代数式转化为只含字母m的函数，通过函数的增减性即可得出结果．
【详解】解：∵m﹣n2=1，
即n2=m-1≥0，
∴m≥1，
令y=
∴该二次函数开口向上，对称轴为直线m=-3
∴m>-3时，y随着m的增大而增大
∵m≥1，
∴当m=1时，y取得最小值：
∴代数式有最小值：4
故4
本题主要考查非负数的性质、配方法和二次函数最值等相关知识在求解过程中，是要将条件m﹣n2=1，转化为n2=m-1，即利用非负数的性质得出m的取值范围，又可将后面代数式中的n2用含m的式子进行替换，此时就可以用配方法并m的取值以及函数关系式就可得求出最小值．

16. 在平面直角坐标系中，已知点A（4，0）、B（﹣6，0），点C是y轴上的一个动点，当∠BCA=45°时，点C的坐标为___．
【正确答案】（0，12）或（0，﹣12）

【详解】试题分析：设线段BA的中点为E，
∵点A（4，0）、B（﹣6，0），∴AB=10，E（﹣1，0）.
（1）如答图1所示，过点E在第二象限作EP⊥BA，且EP=AB=5，

则易知△PBA为等腰直角三角形，∠BPA=90°，PA=PB=.
以点P为圆心，PA（或PB）长为半径作⊙P，与y轴的正半轴交于点C，
∵∠BCA为⊙P的圆周角，
∴∠BCA=∠BPA=45°，则点C即为所求.
过点P作PF⊥y轴于点F，则OF=PE=5，PF=1，
在Rt△PFC中，PF=1，PC=，
由勾股定理得：，
∴OC=OF+CF=5+7=12.
∴点C坐标为（0，12）.
（2）如答图2所示，根据的对称性质，可得y轴负半轴上的点C坐标为（0，﹣12）.

综上所述，点C坐标为（0，12）或（0，﹣12）.
三、解 答 题（共11小题，满分88分）
17. 计算：．
【正确答案】

【详解】试题分析：先去值符号、计算0次方、负指数幂和二次根式，再加减即可.
试题解析：
原式=2﹣1+4+2
=2+5．
18. 解下列方程：
（1）2x2﹣3x﹣2=0（用配方法）
（2）（x﹣2）2﹣3x（x﹣2）=0．
【正确答案】(1) x1=，x2=﹣3；(2) x1=2，x2=﹣2．

【详解】试题分析：(1) 用配方法解；(2)因式分解法解.
试题解析：
（1）（2x﹣1）（x+3）=0，
2x﹣1=0或x+3=0，
所以x1=，x2=﹣3；
（2）（x﹣2）2﹣2x（x﹣2）=0，
（x﹣2）（x﹣2﹣2x）=0，
x﹣2=0或x﹣2﹣2x=0，
所以x1=2，x2=﹣2．
19. 先化简，再求值：，其中x2+2x﹣1=0．
【正确答案】．

【分析】先化简和求得x的值，再代入计算．
【详解】解：
=
=
=
=
由x2+2x﹣1=0．可得：x2=1﹣2x，
把x2=1﹣2x代入
=
=
=
=
由x2+2x﹣1=0．可得x=1±，
把x=1±代入．
20. 已知关于x的一元二次方程.
（1）求证：方程总有两个没有相等的实数根.
（2）若此方程的一个根是1，求出方程的另一个根及m的值.
【正确答案】（1）证明见解析；（2），3；

【分析】（1）要证明方程有两个没有相等的实数根，即证明△＞0即可；
（2）将x=1代入方程，求出m的值，进而得出方程的解．
【详解】（1）证明：∵
而≥0，
∴△＞0．
∴方程总有两个没有相等的实数根；

（2）解：∵方程的一个根是1，
∴1-（m+2）+2m-1=0，
解得：m=2，
∴原方程为：，
解得：．
即m的值为2，方程的另一个根是3．
∴方程总有两个没有相等的实数根；
此题考查了根的判别式，一元二次方程（a≠0）的根与△=有如下关系：
（1）△＞0方程有两个没有相等的实数根；
（2）△=0方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0方程没有实数根．
同时考查了一元二次方程的解的定义．
第（2）问还可以利用根与系数的关系得到另一个解与m的二元方程组来解题．
21. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，半径为4，直线l与⊙O相切，切点为P，l∥BC，l与BC间的距离为7．

（1）仅用无刻度的直尺，画出一条弦，使这条炫将△ABC分成面积相等的两部分（保留作图痕迹，没有写画法）．
（2）求弦BC的长．
【正确答案】（1）画图见解析；（2）2．

【分析】（1）连结PO并延长交BC于Q，然后连结AQ并延长交⊙O于D，则弦AD为所求；
（2）连结OC，如图，根据切线的性质得OP⊥l，则根据平行线的性质得PQ⊥BC，则根据垂径定理得BQ=CQ，然后在Rt△OCQ中利用勾股定理计算出CQ，则利用BC=2CQ求解．
【详解】解：（1）如图，

（2）连结OC，如图，
∵直线l与⊙O相切，切点为P，
∴OP⊥l，
而l∥BC，
∴PQ⊥BC，
∴BQ=CQ，
∵PQ=7，OP=OC=4，
∴OQ=3，
在Rt△OCQ中，CQ=，
∴BC=2CQ=2．
22. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，CE是⊙O 的直径，CF 是⊙O 的弦，CF⊥AB， 垂足为D．若∠BCE=20°，求∠ACF 的度数．

【正确答案】20°．

【详解】试题分析：由CE是直径得∠CBE=90°，再由直角三角形两锐角互余得∠E=70°，又∠A=∠E=70°，再根据直角三角形两锐角互余得∠ACF的度数．
试题解析：∵CE是直径
∴∠CBE=90°
∴∠E=90°-∠BCE=90°-20°=70°
∵∠A=∠E
∴∠A=70°
∵CF⊥AB
∴∠ACF=90°-∠A=90°-70°=20°．
考点：圆周角定理．
23. 某公司今年一种产品，1月份获得利润20万元，由于产品畅销，利润逐月增加，3月份的利润比2月份的利润增加4.8万元，假设该产品利润每月的增长率相同，求这个增长率．
【正确答案】20%

【分析】设每月获得的利润的增长率是x，然后用x分别表示出2月份和3月份，根据“3月份的利润比2月份的利润增加4.8万元”列方程求解．
【详解】设这个增长率为x．
依题意得：20（1+x）2﹣20（1+x）=4.8，
解得 x1=0.2，x2=﹣1.2（没有合题意，舍去）．
0. 2=20%．
答：这个增长率是20%．
24. 如图1，AB为半圆O的直径，D为BA的延长线上一点，DC为半圆O的切线，切点为C．
（1）求证：∠ACD=∠B；
（2）如图2，∠BDC的平分线分别交AC，BC于点E，F，求∠CEF的度数．

【正确答案】（1）详见解析；（2）∠CEF=45°．

【详解】试题分析：（1）连接OC，根据切线的性质和直径所对的圆周角是直角得出∠DCO＝∠ACB＝90°，然后根据等角的余角相等即可得出结论；
（2）根据三角形的外角的性质证明∠CEF=∠CFE即可求解．
试题解析：
（1）证明：如图1中，连接OC．

∵OA＝OC，∴∠1＝∠2，
∵CD是⊙O切线，∴OC⊥CD，
∴∠DCO＝90°，∴∠3＋∠2＝90°，
∵AB是直径，∴∠1＋∠B＝90°，
∴∠3＝∠B．
（2）解：∵∠CEF＝∠ECD＋∠CDE，∠CFE＝∠B＋∠FDB，
∵∠CDE＝∠FDB，∠ECD＝∠B，∴∠CEF＝∠CFE，
∵∠ECF＝90°，
∴∠CEF＝∠CFE＝45°．
25. 某校八年级学生小丽、小强和小红到某超市参加了社会实践，在中他们参与了某种水果的工作，已知该水果的进价为8元/千克，下面是他们在结束后的对话．
小丽：如果以10元/千克的价格，那么每天可售出300千克．
小强：如果以13元/千克的价格，那么每天可售出240千克．
小红：通过验证，我发现每天的量y（千克）与单价x（元）之间存在函数关系，每天200千克以上．
（1）求每天的量y（千克）与单价x（元）之间的函数关系式；
（2）该超市这种水果每天获取的利润达到1040元，那么单价为多少元？
【正确答案】（1）y=﹣20x+500；（2）该超市这种水果每天获取的利润达到1040元，那么单价为12元．

【分析】（1）用待定系数法求得函数的解析式；
（2）列出方程即可解决问题．
【详解】解：（1）设y=kx+b，
∵x=10，y=300；x=13，y=240，
∴ ，
解得，
∴y=﹣20x+500；
（2）（x﹣8）（﹣20x+500）=1040，
整理，得x2﹣33x+252=0，
解得x1=12，x2=21．
当x=12时，量为﹣20×12+500=260＞200，符合题意；
当x=21时，量为﹣20×21+500=80＜200，没有符合题意，舍去，
所以x=12．
即该超市这种水果每天获取的利润达到1040元，那么单价为12元．
26. 如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN，∠MAC=∠ABC，D是弧AC的中点，连接BD交AC于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F．
（1）求证：MN是半圆的切线；
（2）作DH⊥BC交BC的延长线于点H，连接CD，试判断线段AE与线段CH的数量关系，并说明理由．
（3）若BC=4，AB=6，试求AE的长．

【正确答案】（1）证明见解析；（2）AE=CH，理由见解析；（3）AE=1.

【详解】试题分析：（1）由AB是直径得出∠ACB=90°，推出∠CAB+∠MAC=90°即可；
（2）连接AD，证明△ADE≌△CDH即可；
（3）由（2）可得出AE=CH，且DE=DH，可证得BE=BH，BC和AB的长可求出AE．
试题解析：（1）如图所示，
∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB+∠ABC=90°，
∵∠MAC=∠ABC，∴∠CAB+∠MAC=90°，
即∠MAB=90°，
∴MN是半圆的切线；
（2）AE=CH，理由如下：
连接AD，
∵D是的中点，∴AD=CD，∠HBD=∠ABD，
∵DE⊥AB，DH⊥BC，∴DE=DH，且∠AED=∠DHC，
在Rt△ADE和Rt△CDH中， ，∴Rt△ADE≌Rt△CDH（HL），
∴AE=CH；
（3）由（2）知DH=DE，∠DHB=∠DEB=90°，
在△RtDBH和Rt△DBE中， ，∴△RtDBH≌Rt△DBE（HL），
∴BE=BH，∴BA﹣AE=BC+CH，且AE=CH，∴BA﹣AE=BC+AE，
又∵AB=6，BC=4，∴6﹣AE=4+AE，
∴AE=1．

本题主要考查切线的判定及圆周角定理等知识的综合运用，注意证明切线的两种思路，已知切点时可证明垂直，没有切点时可作垂直证明距离等于半径．
27. 如图1，函数y=﹣x+10的图象交x轴于点A，交y轴于点B．以P（1，0）为圆心的⊙P与y轴相切，若点P以每秒2个单位的速度沿x轴向右平移，同时⊙P的半径以每秒增加1个单位的速度没有断变大，设运动时间为t（s）
（1）点A的坐标为　 　，点B的坐标为　 　，∠OAB=　 　°；
（2）在运动过程中，点P的坐标为　 　，⊙P的半径为　 　（用含t的代数式表示）；
（3）当⊙P与直线AB相交于点E、F时
①如图2，求t=时，弦EF的长；
②在运动过程中，是否存在以点P为直角顶点的Rt△PEF，若存在，请求出t的值；若没有存在，请说明理由（利用图1解题）．

【正确答案】（1）（10，0），（0，10），45°．（2）（1+2t，0），1+t．（3）.

【详解】试题分析：（1）利用待定系数法求出点A、B的坐标，即可解决问题．
（2）根据题意可得P（1+2t，0），⊙O半径为1+t．
（3）①如图1中，作⊥AB于K，连接PE．在Rt△A中，由∠A=90°，∠PAK=45°，PA=4，推出=PA=2 ，在Rt△PEK中，根据EK=计算即可．
②分两种情形a、如图2中，当点P在点A左侧时，点F与点A重合时，∠EPF=90°；b、如图3中，当点P在点A右侧时，点F与点A重合时，∠EPF=90°．分别列出方程求解即可.
试题解析：
解：（1）∵y=﹣x+10的图象交x轴于点A，交y轴于点B，
∴A（10，0），B（0，10），
∴OA=OB=10，
∵∠AOB=90°，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
故答案分别为（10，0），（0，10），45°．
（2）由题意P（1+2t，0），⊙O半径为1+t，
故答案分别为（1+2t，0），1+t．
（3）①如图1中，作⊥AB于K，连接PE．

当t=时，P（6，0），半径为3.5，
在Rt△A中，∵∠A=90°，∠PAK=45°，PA=4，
∴=，PA=2，
在Rt△PEK中，EK==，
∴EF=2EK=．
②存在．
a、如图2中，当点P在点A左侧时，点F与点A重合时，∠EPF=90°

∵OP+PA=OA，
∴1+2t+1+t=10，
∴t=．
b、如图3中，当点P在点A右侧时，点F与点A重合时，∠EPF=90°．

由OP﹣PF=OA，
∴1+2t﹣（1+t）=10，
∴t=10，
综上所述，t=s或10s时，存在以点P为直角顶点的Rt△PEF．
圆的综合题，运用了垂径定理、等腰直角三角形的性质、函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会分类讨论，学会利用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．

2022-2023学年江苏省南京市九年级上册数学月考专项突破模拟卷（B卷）
一、选一选（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 9的算术平方根是（ ）
A. ﹣3 B. ±3 C. 3 D.
2. 要使分式有意义，则x的取值应满足（ ）
A. x=﹣2 B. x≠2 C. x＞﹣2 D. x≠﹣2
3. 某市在扶贫助残捐款5280000元，将5280000用科学记数法表示为（ ）
A. 5.28×106 B. 5.28×107
C. 52.8×106 D. 0.528×107
4. 三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣13x+36=0的一个根，则该三角形的周长为（　　）
A. 13 B. 15 C. 18 D. 13或18
5. 若△ABC∽△A′B′C′，∠A=40°，∠C=110°，则∠B′等于（ ）
A. 30° B. 50° C. 40° D. 70°
6. 点（2，﹣4）在反比例函数y=的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（　　）
A. （2，4） B. （﹣1，﹣8） C. （﹣2，﹣4） D. （4，﹣2）
7. 如图，在ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，，则DE：EC=【 】

A. 2：5 B. 2：3 C. 3：5 D. 3：2
8. 如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（ ）

A. B. C. D.
9. 如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8．若∠BPC=∠BAC，则tan∠BPC=（　　）

A. B. C. D.
10. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，在边AB上取一点D，作DE⊥AB交BC于点E，现将△BDE沿DE折叠，使点B落在线段DA上，对应点记为B1；BD的中点F的对应点记为F1，若△EFB∽△AF1E，则B1D=（　　）

A. B. C. D.
二、填 空 题（每空2分，满分16分，将答案填在答题纸上）
11. 2相反数是______．
12. 分解因式：2a2﹣8a+8＝__________．
13. 已知，则______．
14. 设a、b是一元二次方程2x2﹣6x﹣1=0的两个实数根，则a+b的值是_____．
15. 如图，在ABC中，DE∥BC，AD：DB=1：2，DE=2，则BC的长是____．

16. 在Rt△ABC中，∠C=90°，，BC=8，则△ABC面积为_______．
17. 已知等腰△ABC中，AB=AC，∠CAB=108°，D是直线BC上一点（没有与B、C重合），连接AD，若△ABD是等腰三角形，则∠DAC=_____．
18. 如图平面直角坐标系中，O（0，0），A（4，4 ），B（8，0）．将△OAB沿直线CD折叠，使点A恰好落在线段OB上点E处，若OE=，则CE：DE的值是_____．

三、解 答 题（本大题共10小题，共84分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19. 计算或化简：
（1）﹣sin30°+（2017﹣π）0
（2）．
20. （1）解方程：x2﹣6x﹣4=0
（2）解没有等式组：．
21. 已知关于的方程.
（1）若该方程有两个没有相等的实数根，求实数a的取值范围；
（2）若该方程的一个根为1，求的值及该方程的另一根．
22. 已知：△ABC在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．
(1)画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是__________；
(2)以点B为位似，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1；四边形AA2C2C的面积是__________平方单位．

23. 如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠C，点P在边AB上．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AB=AD，以过点P的直线为轴，将四边形ABCD折叠，使点B、C分别落在点B′、C′上，且B′C′点D，折痕与四边形的另一交点为Q．在图2中作出四边形PB′C′Q（保留作图痕迹，没有必说明作法和理由）．

24. 如图，江阴实验中学初三研究性学习小组要测量学校旗杆AB高度，首先在初三楼一楼C 处测得旗杆顶部的仰角为60°，然后在初三楼三楼D处测得旗杆顶部的仰角为30°，已知旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上，若CD=8米，求旗杆AB的高度．

25. 海上有一小岛，为了测量小岛两端A、B的距离，测量人员设计了一种测量方法，如图所示，已知B点是CD的中点，E是BA延长线上的一点，测得AE=8.3海里，DE=30海里，且DE⊥EC，cos∠D=．

（1）求小岛两端A、B的距离；
（2）过点C作CF⊥AB交AB的延长线于点F，求sin∠BCF的值．
26. 如图所示，直线y=x+b与双曲线y=（x＜0）交于点A（﹣1，﹣5），并分别与x轴、y轴交于点C、B．
（1）求出b、m值；
（2）点D在x轴的正半轴上，若以点D、C、B组成的三角形与△OAB相似，试求点D的坐标．

27. 如图，正方形ABCD中，AB=4，点E是BC上一点，且tan∠BAE=，点F是CD的中点，连接AE、BF将△ABE着点E按顺时针方向旋转，使点B落在BF上的B1处位置处，点A旋转落在A1点位置处，连接AA1交BF于点N．
（1）求证：∠BFC=∠A1 B1F；
（2）说明点N是AA1的中点；
（3）求AN的长．

28. 已知如图，矩形OABC放置于平面直角坐标系中，点O与原点重合，点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上，点B的坐标为（6，3），点D是边BC上的一动点，连接OD，作点C关于直线OD的对称点C′．
（1）若点C、C′、A在一直线上时，求点D的坐标；
（2）若点C′到矩形两对边所在直线距离之比为1：2时，求点C′的坐标；
（3）若连接BC′，则线段BC′的长度范围是　 　．






2022-2023学年江苏省南京市九年级上册数学月考专项突破模拟卷（B卷）
一、选一选（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 9的算术平方根是（ ）
A. ﹣3 B. ±3 C. 3 D.
【正确答案】C

【详解】试题分析：9的算术平方根是3，
故选C．
考点：算术平方根．

2. 要使分式有意义，则x的取值应满足（ ）
A. x=﹣2 B. x≠2 C. x＞﹣2 D. x≠﹣2
【正确答案】D

【详解】试题分析：∵分式有意义，∴x+2≠0，∴x≠﹣2，即x的取值应满足：x≠﹣2．故选D．
考点：分式有意义的条件．

3. 某市在扶贫助残捐款5280000元，将5280000用科学记数法表示为（ ）
A. 5.28×106 B. 5.28×107
C. 52.8×106 D. 0.528×107
【正确答案】A

【详解】试题解析：5280000=5.28×106，
故选A．
考点：科学记数法—表示较大的数．
4. 三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣13x+36=0的一个根，则该三角形的周长为（　　）
A. 13 B. 15 C. 18 D. 13或18
【正确答案】A

【详解】解：解方程x2-13x+36=0得，
x=9或4，
即第三边长为9或4．
∵边长为9，3，6没有能构成三角形；而4，3，6能构成三角形，
∴三角形的周长为3+4+6=13，
故选A．

5. 若△ABC∽△A′B′C′，∠A=40°，∠C=110°，则∠B′等于（ ）
A. 30° B. 50° C. 40° D. 70°
【正确答案】A

【分析】利用三角形内角和求∠B，然后根据相似三角形的性质求解.
【详解】解：根据三角形内角和定理可得：∠B=30°，
根据相似三角形的性质可得：∠B′=∠B=30°.
故选：A.
本题考查相似三角形的性质，掌握相似三角形对应角相等是本题的解题关键.
6. 点（2，﹣4）在反比例函数y=的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（　　）
A. （2，4） B. （﹣1，﹣8） C. （﹣2，﹣4） D. （4，﹣2）
【正确答案】D

【详解】∵点（2，-4）在反比例函数y=的图象上，
∴k=2×（-4）=-8．
∵A中2×4=8；B中-1×（-8）=8；C中-2×（-4）=8；D中4×（-2）=-8，
∴点（4，-2）在反比例函数y=的图象上．
故选D．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是求出反比例系数k，解决该题型题目时，点的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k值是关键．
7. 如图，在ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，，则DE：EC=【 】

A. 2：5 B. 2：3 C. 3：5 D. 3：2
【正确答案】B

【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD
∴∠EAB=∠DEF，∠AFB=∠DFE
∴△DEF∽△BAF
∴
∵，
∴DE：AB=2：5
∵AB=CD，
∴DE：EC=2：3
故选B
8. 如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（ ）

A. B. C. D.
【正确答案】D

【详解】过B点作BD⊥AC，如图，
由勾股定理得，AB=，AD=，
cosA===，
故选D．

9. 如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8．若∠BPC=∠BAC，则tan∠BPC=（　　）

A. B. C. D.
【正确答案】D

详解】过点A作AE⊥BC于点E，

∵AB=AC=5，
∴BE=BC=×8=4，∠BAE=∠BAC，
∵∠BPC=∠BAC，
∴∠BPC=∠BAE．
在Rt△BAE中，由勾股定理得
AE===3，
∴tan∠BPC=tan∠BAE=．
故选D．
10. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，在边AB上取一点D，作DE⊥AB交BC于点E，现将△BDE沿DE折叠，使点B落在线段DA上，对应点记为B1；BD的中点F的对应点记为F1，若△EFB∽△AF1E，则B1D=（　　）

A. B. C. D.
【正确答案】C

【详解】设BD=4x，
∵∠C=90°，AB=5，AC=3，
∴BC=4，
∵DE⊥AB，∠C=90°，
∴△BED∽△BAC，
∴，
∴DE=3x，
由题意得，DF=2x，
由勾股定理得，EF=x，
由翻转变换的性质可知，EF1=EF=x，DF1=DF=2x，
∵△EFB∽△AF1E，
∴ ，即，
解得，x=，
则B1D=BD=4x=，
故选C．
点睛：本题考查了相似三角形的性质，主要利用了翻折变换的性质，勾股定理，相似三角形对应边成比例解决问题，熟记性质并准确识图是解题的关键．
二、填 空 题（每空2分，满分16分，将答案填在答题纸上）
11. 2的相反数是______．
【正确答案】﹣2．

【详解】解：2的相反数是﹣2．
故答案为﹣2．
12. 分解因式：2a2﹣8a+8＝__________．
【正确答案】2（a﹣2）2

【分析】首先提取公因式2，进而利用完全平方公式分解因式得出答案．
【详解】解：2a2﹣8a+8
＝2（a2﹣4a+4）
＝2（a﹣2）2．
故2（a﹣2）2．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用完全平方公式是解题关键．
13. 已知，则______．
【正确答案】．

【分析】根据两内项之积等于两外项之积解答即可．
【详解】∵，
∴，
故．
本题主要考查了比例的性质，可根据比例的基本性质直接求解．
14. 设a、b是一元二次方程2x2﹣6x﹣1=0的两个实数根，则a+b的值是_____．
【正确答案】3．

【详解】已知a、b是一元二次方程2x2﹣6x﹣1=0的两个实数根，根据一元二次方程根与系数的关系可得a+b=﹣=3．
故答案为3．
15. 如图，在ABC中，DE∥BC，AD：DB=1：2，DE=2，则BC的长是____．

【正确答案】6

【详解】∵DE∥BC，
∴，
∵AD：DB=1：2，DE=2，
∴，
解得：BC=6．
故6．
本题考查平行线分线段成比例．根据平行线和其所截线段得出比例式是解题关键．
16. 在Rt△ABC中，∠C=90°，，BC=8，则△ABC的面积为_______．
【正确答案】24

【详解】试题分析：∵在Rt△ABC中，∠C=90°， ，BC=8，∴AC=6．
∴△ABC的面积为×6×8=24．
17. 已知等腰△ABC中，AB=AC，∠CAB=108°，D是直线BC上一点（没有与B、C重合），连接AD，若△ABD是等腰三角形，则∠DAC=_____．
【正确答案】36°或126°．

【详解】如图，∵AB=AC，∠CAB=108°，
∴∠ABC=∠C=36°，
当点D在线段BC时，
∵AB=BD，
∴∠BAD=72°，
∴∠DAC=36°，
当点D在CB的延长线上时，
∵AB=BD，
∴∠D′AB=18°，
∴∠D′AC=126°，
综上所述：∠DAC=36°或126°，
故答案为36°或126°．

18. 如图平面直角坐标系中，O（0，0），A（4，4 ），B（8，0）．将△OAB沿直线CD折叠，使点A恰好落在线段OB上的点E处，若OE=，则CE：DE的值是_____．

【正确答案】．

【详解】如图，过A作AF⊥OB于F，

∵A（4，4），B（8，0），
∴AF=4，OF=4，OB=8，
∴BF=8﹣4=4，
∴OF=BF，
∴AO=AB，
∵tan∠AOB==，
∴∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=∠ABO=60°，
∵将△OAB沿直线线CD折叠，使点A恰好落在线段OB上的点E处，
∴∠CED=∠OAB=60°，
∴∠OCE=∠DEB，
∴△CEO∽△DBE，
∴ ，
设CE=a，则CA=a，CO=8﹣a，ED=b，则AD=b，DB=8﹣b，
∴ ，
∴32b=88a﹣11ab ①，
，
∴56a=88b﹣11ab ②，
②﹣①得：56a﹣32b=88b﹣88a，
∴，
即CE：DE=．
故答案为．
三、解 答 题（本大题共10小题，共84分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19. 计算或化简：
（1）﹣sin30°+（2017﹣π）0
（2）．
【正确答案】（1）4；（2）x+1．

【详解】试题分析：（1）根据二次根式的性质、角的的三角函数值、零指数幂的性质分别计算各项后，合并即可；（2）把所给的分式先通分后再约分即可.
试题解析：
（1）原式=4﹣+1=4；
（2）原式=﹣==x+1．
20. （1）解方程：x2﹣6x﹣4=0
（2）解没有等式组：．
【正确答案】（1）x=3±；（2）x＜﹣8．

【详解】试题分析：（1）利用配方法解方程即可；（2）分别求出所给的两个没有等式的解集，这两个没有等式解集的公共部位即为没有等式组的解集.
试题解析：
（1）∵x2﹣6x=4，
∴x2﹣6x+9=4+9，即（x﹣3）2=13，
则x﹣3=±，
∴x=3±；
（2）解没有等式x﹣1＞2x，得：x＜﹣1，
解没有等式x+3＜﹣1，得：x＜﹣8，
则没有等式组的解集为x＜﹣8．
21. 已知关于的方程.
（1）若该方程有两个没有相等的实数根，求实数a的取值范围；
（2）若该方程的一个根为1，求的值及该方程的另一根．
【正确答案】（1）；（2）a值是-1，该方程的另一根为-3．

【分析】（1）利用根的判别式列出没有等式求解即可；
（2）利用根与系数的关系列出有关的方程（组）求解即可.
【详解】解：（1）∵方程有两个没有相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=22﹣4×1×（a﹣2）=12﹣4a＞0，
解得：a＜3，
∴a的取值范围是a＜3；
（2）设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得：
，
解得：，
则a的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3．

22. 已知：△ABC在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．
(1)画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是__________；
(2)以点B为位似，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1；四边形AA2C2C的面积是__________平方单位．

【正确答案】(1)画图见解析，（2，–2）； (2)画图见解析，7.5．

【分析】（1）将△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，如图所示，找出所求点坐标即可；
（2）以点B为位似，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，如图所示，找出所求点坐标即可；根据四边形的面积等于两个三角形面积之和解答即可．
【详解】（1）如图所示，画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是（2，﹣2）；
（2）如图所示，以B为位似，画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，四边形AA2C2C的面积是=．
故答案为（1）（2，﹣2）；（2）7.5．

本题考查了作图﹣位似变换与平移变换，熟练掌握位似变换与平移变换的性质是解答本题的关键．
23. 如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠C，点P在边AB上．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AB=AD，以过点P直线为轴，将四边形ABCD折叠，使点B、C分别落在点B′、C′上，且B′C′点D，折痕与四边形的另一交点为Q．在图2中作出四边形PB′C′Q（保留作图痕迹，没有必说明作法和理由）．

【正确答案】（1）详见解析；（2）图见解析.

【详解】试题解析：(1)根据已知条件易证AB∥CD，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可判定四边形ABCD是平行四边形；（2）根据轴对称的性质作图即可.
试题分析：
（1）四边形ABCD是平行四边形
证明：∵在四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠A=∠C，
∴∠C+∠B=180°，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）四边形PB′C′Q如下：

24. 如图，江阴实验中学初三研究性学习小组要测量学校旗杆AB的高度，首先在初三楼一楼C 处测得旗杆顶部的仰角为60°，然后在初三楼三楼D处测得旗杆顶部的仰角为30°，已知旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上，若CD=8米，求旗杆AB的高度．

【正确答案】旗杆AB的高度为12米．

【详解】试题分析：过点D作DE⊥AB，垂足为E，则四边形ACDE为矩形，AE=CD=8米，AC=DE．设BE=x米，先解Rt△BDE，得出DE=x米，AC=x米，再解Rt△ABC，得出AB=3x米，然后根据AB-BE=AE，列出关于x的方程，解方程即可．
试题解析：
过点D作DE⊥AB，垂足为E，由题意可知，四边形ACDE为矩形，

则AE=CD=8米，AC=DE．
设BE=x米．
在Rt△BDE中，∵∠BED=90°，∠BDE=30°，
∴DE=BE=x米，
∴AC=DE=x米．
在Rt△ABC中，∵∠BAC=90°，∠ACB=60°，
∴AB=AC=×x=3x米，
∵AB﹣BE=AE，
∴3x﹣x=8，
∴x=4，
AB=3×4=12（米）．
即旗杆AB的高度为12米．
25. 海上有一小岛，为了测量小岛两端A、B的距离，测量人员设计了一种测量方法，如图所示，已知B点是CD的中点，E是BA延长线上的一点，测得AE=8.3海里，DE=30海里，且DE⊥EC，cos∠D=．

（1）求小岛两端A、B的距离；
（2）过点C作CF⊥AB交AB的延长线于点F，求sin∠BCF的值．
【正确答案】解：（1）在Rt△CED中，∠CED=90°，DE=30海里，
∴．∴CE=40（海里），CD=50（海里）．
∵B点是CD的中点，∴BE=CD=25（海里）．
∴AB=BE﹣AE=25﹣8.3=16.7（海里）．
答：小岛两端A、B的距离为16.7海里．
（2）设BF=x海里，
在Rt△CFB中，∠CFB=90°，∴CF2=CB2﹣BF2=252﹣x2=625﹣x2．
在Rt△CFE中，∠CFE=90°，∴CF2+EF2=CE2，即625﹣x2+（25+x）2=1600．
解得x=7．
∴．

【详解】试题分析：（1）在Rt△CED中，利用三角函数求出CE，CD的长，根据中点的定义求得BE的长，AB=BE﹣AE即可求解．
（2）设BF=x海里．在Rt△CFB中，利用勾股定理求得CF2=CB2﹣BF2=252﹣x2=625﹣x2．在Rt△CFE中，列出关于x的方程，求得x的值，从而求得sin∠BCF的值．
26. 如图所示，直线y=x+b与双曲线y=（x＜0）交于点A（﹣1，﹣5），并分别与x轴、y轴交于点C、B．
（1）求出b、m的值；
（2）点D在x轴的正半轴上，若以点D、C、B组成的三角形与△OAB相似，试求点D的坐标．

【正确答案】（1）b=﹣4，m=5；（2）D点坐标为：（6，0），（20，0）．

【分析】（1）将A坐标代入y=x+b，求出b的值，将点A的坐标代入双曲线解析式中，求出m的值即可；（2）如图所示，过点A作AE⊥y轴于点E，根据已知条件易得∠BCD=∠ABO=135°，再求得AB=，BO=4，BC=4，分△AOB∽BD′C和△AOB∽DBC两种情况求点D的坐标即可.
【详解】（1）∵直线y=x+b的双曲线y=交于点A（﹣1，﹣5），
∴﹣1+b=﹣5，m=（﹣1）×（﹣5）=5，
∴解得：b=﹣4，m=5；
（2）如图所示：过点A作AE⊥y轴于点E，
∵CO=OB=4，∠COB=90°，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
∴∠ABE=45°，∠BCD=135°，
∴∠ABO=135°，
∵AB=
，BO=4，BC=4，
当△AOB∽DBC时， =，
∴，
解得：CD=2，
∴DO=6，
∴D点坐标为：（6，0）；
当△AOB∽BD′C时， =，
∴，
解得：CD′=16，
∴D′O=16+4=20，
∴D′点坐标为：（20，0），
综上所述，符合要求的D点坐标为：（6，0），（20，0）．

本题属于反比例函数与函数的综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，勾股定理，待定系数法确定函数解析式，相似三角形的判定与性质，利用了数形的思想，是一道综合性较强的试题．
27. 如图，正方形ABCD中，AB=4，点E是BC上一点，且tan∠BAE=，点F是CD的中点，连接AE、BF将△ABE着点E按顺时针方向旋转，使点B落在BF上的B1处位置处，点A旋转落在A1点位置处，连接AA1交BF于点N．
（1）求证：∠BFC=∠A1 B1F；
（2）说明点N是AA1的中点；
（3）求AN的长．

【正确答案】（1）详见解析； （2）详见解析；（3）．

【详解】试题分析：（1）已知四边形ABCD是正方形，根据正方形性质可得AB∥CD，即可得∠ABF=∠CFB，由旋转的性质可得EB=EB1，根据等腰三角形的性质可得∠EBB1=∠EB1B，再由∠ABC=∠EB1A1=90°，即可得∠ABF+∠EBB′=90°，∠BB1E+∠A1B1F=90°，所以∠A1B1F=∠ABF=∠BFC；（2）作EP⊥BF，A1Q⊥BF，取BC的中点M，连接AB1，B1M，可得点P是BB1的中点，根据三角形的中位线定理可得EP∥MB1，即可得MB1⊥BB1；易证△BPE∽△BCF，即可求得BP=，EP=，从而求得BB1= ，再证明A，B1，M三点共线，即可得AB1=，再证明△AB1N≌△A1QN，即可得AN=A1N，从而证得N是AA1的中点；（3）由△AB1N≌△A1QN，可得B1N=B1Q=，根据勾股定理即可求得AN=．
试题解析：
（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，
∴∠ABF=∠CFB，
∵EB=EB1，
∴∠EBB1=∠EB1B，
∵∠ABC=∠EB1A1=90°，
∴∠ABF+∠EBB′=90°，∠BB1E+∠A1B1F=90°，
∴∠A1B1F=∠ABF=∠BFC．
（2）作EP⊥BF，A1Q⊥BF，取BC的中点M，连接AB1，B1M，

∴点P是BB1的中点，
∵EBM中点，
∴EP∥MB1，
∴MB1⊥BB1，
由旋转得，△BPE∽△BCF，
∴BP=，EP=，
∵PB1=PB=，
∴BB1=，
∵sin∠FBC===，
∴∠AB1B=90°，
∴A，B1，M三点共线，
∴AB1=，
∵∠B1A1Q=∠BB1E=∠FBC，
∴△B1QA1∽△FCB，
∴B1Q=，A1Q==AB1，
∴△AB1N≌△A1QN，
∴AN=A1N，
∴N是AA1的中点．
（3）∵△AB1N≌△A1QN，
∴B1N=B1Q=，
根据勾股定理得，AN==．
点睛：本题是一道四边形的综合题，解决本题利用了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数、勾股定理等知识点，题目难度较大.
28. 已知如图，矩形OABC放置于平面直角坐标系中，点O与原点重合，点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上，点B的坐标为（6，3），点D是边BC上的一动点，连接OD，作点C关于直线OD的对称点C′．
（1）若点C、C′、A在一直线上时，求点D的坐标；
（2）若点C′到矩形两对边所在直线距离之比为1：2时，求点C′的坐标；
（3）若连接BC′，则线段BC′的长度范围是　 　．

【正确答案】（1）D（，3）；（2）点C′的坐标为（，2）或（2，1）；（3）3﹣3≤BC′≤6．

【详解】试题分析：（1）根据轴对称的性质和矩形的性质易证∠DCE=∠COD，再求得CD的长，即可得点D的坐标；（2）分点C′到矩形OA边与BC边的距离之比为1：2和点C′到矩形BC边与OA边的距离之比为2：1两种情况求点C′的坐标即可；（3）由OC′=OC，可知点C′在以O为圆心，以3为半径的弧上（如图）．当点D与点C或点B重合时，BC′有值．当点C′在直线OB上时，BC′有最小值．由此即可求得BC的取值范围.
试题解析：
（1）如下图所示：

∵点C、C′、A在一直线上，
∴tan∠BCC′==．
∵点C与点C′关于OD对称，
∴OD⊥CC′．
∴∠DCE+∠CDE=90°．
∵∠CDE+∠COD=90°．
∴∠DCE=∠COD．
∴tan∠COD==，
∴CD=OC=．
∴D（，3）．
（2）设点C′的坐标为（x，y）．
由轴对称的性质可知OC=OC′=3．
由两点间的距离公式可知x2+y2=9．
点C′到矩形两对边所在直线距离之比为1：2时，
C′的纵坐标为2或1．
将y=2代入x2+y2=9得：x2+4=9，解得：x=或x=﹣（舍去），
∴C′（，2）．
将y=1代入x2+y2=9得：x2+1=9，解得：x=2或x=﹣2（舍去），
∴C′（2，1）．
综上所述，点C′的坐标为（，2）或（2，1）．
（3）∵OC′=OC，
∴点C′在以O为圆心，以3为半径的弧上．
如下图所示：

当点D与点C或点B重合时，BC′有值，值=BD=6．
当点C′在直线OB上时，BC′有最小值．
在△ABO中，依据勾股定理可知OB==3．
∵OC′=OC=3，
∴BC′的最小值=BO﹣OC′=3﹣3．
∴线段BC′的长度范围是3﹣3≤BC′≤6．
故答案为3﹣3≤BC′≤6．
点睛：本题考查了坐标与图形、矩形的性质、轴对称的性质、圆中的最短距离问题，解决问题时注意知识点的综合运用，同时注意运用数形思想和分类讨论思想.